第二章 专题3 数列与不等式(1)根据数列单调性求解-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

Sn4=54-4=2(k-1),又aa-3=0,则S4-3=2(k-1)+a4-3=2(k-1): 则S-2=2(k-1)+0-2=2k-2+2-4k=-2k,5-1=-2k+a-1=-2k [2(k-1),n=4k-3, -2k,n=4k-2 则S。= keN”.若|a。I的前k项和为100，则2(k -2k,n=4k-1, 2k,n■4k, 1)=100→k=51→n=4×51-3=201或2k=100-k=50→n=4×50=200. 变式训练11.2760解析：由a*1+(-1)a=3n-1,散2@1=2，a+ a2=5,a4-ay=8,4+a4=11,.放a1+a=3,a5+a1=3,ay+au=3, 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3：2+4=13，a6+ ag=37,a10+a2=61,.从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构 成以13为首项，以24为公差的等差数列.故S0=3×15+13×15+ 15x14×24=2760, 2 方法总结 数列求和方法 1.公式法 (1)等差数列前n项和： 8a(a) 2 2 (2)等比数列前n项和： (na19=1, (n01,q=1, 8n=a(1-g) a1-a.9 “91 a,ta2t…tan 1-g,9*1 1-g (3)常见数列前n项和： 1+2+3+…+n.(n+1) 2 1+3+5+…+2m-1=n2: 2+4+6++2n=n2+n: 14243+n2-gal(2t. 2.剑序相加：如果一个数列|a,}的前n项中首未两蟾等“距离”的两 项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用 倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此方法推导的. 3.分短求和：分组求和一毅道用于两种形式： ①若an=b,±c,且|bnI,c,为等差或等比数列，可采用分姐求和法 求{anl的前n项和； 2道项会式清a,-化有有要的酸乳：头中数彩1，是 比数列现等差数列，可采用分姐求和法求和。 4,裂项相消：把数列的通项折成两项之差，在求和时中间的一些项可 以相互抵消，从而求得其和 裂项相清求和法经常用到下列拆项公式： ① 11 (n+1)nn+1 ②1 n(n+k)k(nn+k月 ③ 1 1 1 ④1（1）(d为列1a,的公)： aadaa =√n+I-√n: √n+√m+1 0am-. 1 5.错位相减：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数 列的对应顶之积构战的，那么这个数列的前须和即可用此方法来 求，如等比数列的前项和就是用此方法推导的. 专题3数列与不等式(1)一—根据数列单湖性求解 超度南总-2-号分 一学霸高考·黑 名号·号(-以)以数以}起现为 子，公比为子的等比数到 (2)解：曲1)得1士子×（仔）=（子）儿月。 1 3 解得a,=一 (号 2·23-2 31 (3)证明：b。= a。 3 3+1-2n*1 3 令fn)=3: 3()广23(）广2 (月）广-2ae[1,+).因为)=3·（号）广-2在ae[1,+) 上单调递增，则f()≥f(1)=3× 2 >0,所以数列 在neN'上单调递减，从而数列b,在neN'上单 调递增，且bn<1,故得b,<b1<1. 变式训练1，解：(1)5，=21+1，则当n≥2时，a,=5。-S1=21+1- (2+1)=2”,当n=1时，1=S1=22+1=5,不符合an=2”,所以 (5,n=1, (20,n≥2 (2)因为VneN”,a>An,3”恒成立，所以VneN,A<= ·3 日（厂令6（广”则6当2时，不妨设的 第n项的值最小，只需今 解得3≤n≤4， 又名=一舒了所以1，的最小值为所以A分即A的取值 644 范是（✉）】 变式渊鉴20证明：由已知可得数列作 是首项为1，公比为2 的等比数列，则2三2即3(2-1)。.①，则51=(2 1)a1②，②-①得a1=(21-1)am1-(2”-1)a.,即(21- 2a4=(2-1)0n可得01=之又a1=40a,是等比数列 (2)解：由(1)知a,=4· (合）”-（传）”则-a. 82 由6(a-5A且一（仔）'得6当≤5时 n-4 2 b1<6,因此数列1b,的最大项为=bs=名，由3n∈N”,使 4+21≤b,得4+22≤号即8：(22+2·2-1≤0，整理得 题·数学·13一 (42-)(22+1)≤0，则2”≤4，即m≤-2m的取值花围是 (-m,-2]. 变式训练3.(1)证明：3na+1-6S。=n(n+1)(n+2)①，当n≥2 时，3(n-1)a,-6S-1=(n-1)n(n+1)②，式子①-②，化简得na1- （a+1)a,=n(n+1),两边同时除以a(n+1)得-品=1(n≥2. n+l n 3na1-6S=n(n+1)(n+2)中，令n=1得3a2-6S,=6,即3a2-601=6 又a1微=4宁号1，放对aeN÷1数列 (侣供}是首项为1，公差为1的等差数列 (2)解：由(1)得二=1+(n-1)×1=m,则a,=,设数列 {(-1)”·24,}的前n项和为T.,当n为偶数时，T.=2[-12+22-32+ …-(n-1)2+n2],n2-(n-1)2=2n-1,∴T。=2[3+7+…+(2n 1D门=2.3+2-少.子n(+1)=24n,当n为备数时，n1为佩数 2 T.=Ta1-2·(-1)(n+1)2=(n+1)2+n+1-2(n+1)2=-m2-m, 2- (3)解：设等比数列{b.的公比为g(g≠0)，，b1=1,∴，由8b2+2b4= b6→8q+2g3=g3→g=0或g=±2.又数列16.1是递增数列，9=2→ b=21.由(2)知，a,≥6。，即n2≥2"-1，令cn=n2-2-1,则dn= c1-c,=(n+1)2-2”-n2+2m1=2n+1-2,d1-d=2n+3-2”-(2n+ 1)+2-1=2-2m1,当n=1时，d2>d1,当n=2时，d2=d,当n≥3时， dn1<dn,即有d1<d=d,d>d4>d5>….又d1=2>0,d2=4=3>0,d4= 1>0,dy=-5<0,故当n≥5时，dn<0,q1c2<g3<c<6,c3>c6>c7> 又c1=0,66=62-2>0,c=72-20<0,a6>b6,当n≥7时，an<b,故使 得a,≥b。成立的最大整数n为6. 专题4数列与不等式(2)一利用放缩法求解 a+2d=4. 典型例题1.(1)解：由题意可得 +3=33品.解得80则数 2 (d=2, 列1a,的通项公式为a,=2n-2,其前n项和3，=0+2n2)0=n(n- 2 1),则n(n-1)+b。,n(n+1)+b。,(n+1)(n+2)+b。成等比数列，即 [n(m+1)+b.]2=[n(n-1)+b.]×[(n+1)(n+2)+6.],n2《n+1)2+ 2n(n+1)b.+b=n(n-1)(n+1)(n+2)+(n+1)(n+2)b.+n(n-1)b.+ 6乐，放6.=nnt)2-a(n-)(a+1)(a+2」 (a+0(a*2)+a(a-1)-2n(a+a(a+1). /n-1 ②证明：结合()中的通项公式可得=√公=√a了 √片a后标+后2-v),则6+6++6，<2x( 122 0)+2x(2-√万)+…+2(n-√n-T)=2Wn 变式训练1.(1)解：设等差数列1a,1的公差为d,由S3=a5,得3a1+ 3动=a,+4d,即2a,=4,由a=-2a,+,取a1,得a=2a+}=ad, 即ad解得4=4子所以a宁子 11 20,(0)知5x宁宁，所以区宁 2 兰因为，宁子学所以宁，所以区的前0项和 为20x,20x19x1105 42 42 2运：因为发言，所u安导6（信）】 >2,当=1时好16<2：当≥2时，房房 11 6216+ 6[(号）(}号)+（日）门小26c2综上可 一学霸高考·黑 翔11， …+好32 变式训练2(1)解28.=n2+5,即3,5n,当=1时，， 2 254=5=3当n≥2时，51=-25a=卫.，=及 12+5 S15n-1》25am-》=n+2,而4=3他满足上式6=2 2 2 （a到据80a26n S+4 n2+5m+4 2 (2)x2(n2)nt3 n2+5n+8 anb.(n+2)×nx2 (n+2)xnx2m-2+ 3n+8 4(n+2)-n 1 1 (n+2)xnx2 ()mx22 ()x2 -(合 111 .T= 1x203x22'2x24x2t3x25x2+ 1 nx2T-(n+2)x2T 71 1 1 (a+2)·2m421(a+1）·2（a+2)·2 11 4 (3)证明：由(1)可得c,= ,=。豆后·派+派++行 √+I(屠+√+I)+√(++I)-4R√+1 √k+I(E+√+I) （'+2-2派年2派-2F-0(keN), 店+I(E+√+I) 派√+I(g++I) 1 1 4 √R√+I√原+√+I eN()》 2 2(k+I-E)(keN”),.c1+cg++Cn=1+ 1.1 +… 2厚 1+1=2-3 h52+*-a可0+2,2m-22 2 226号 典型例题2()解：由o1=3a,+1得a1+分=3(，+分)所以 两宁}是等到首复方宁宁会批为 da+2 3所以a解得 （②运期：由（)知。宁，所以品因为当a>1时” a。3-1 1≥2·3-，所以 a12 a 3 宁号子k所以 3 31 13 an 2 变式训练3.(1)解：由b,为正整数n的最大奇因数，得61=1，b2=1, b63=3,b4=1,bs=5,b6=3,则a1=b1+b2=1+1=2,a2=b6+1=3+1=4,所 以等比数列a,}的公比为2，故等比数列|a,的通项公式为a.=2. (2)解：由bn为正整数n的最大奇因数，得当n为正奇数时，b,=n:当 题·数学·14一第二章数列学霸 专题3数列与不等式(1)一 根据数列单调性求解 命题密钥 掌握数列的单调性是求解与数列相关综合问题的核心，数列既具有函数特征，又能构成独 特的递推关系，使得它与函数、导数和不等式等知识有着密切的联系，因而对学生综合运用所学 知识解决问题的能力提出了较高的要求 考点觉醒 {a递增； 作差比较法 当a1-a。>0时， 当a+-a,<0时，{a,递减 若a,>0.当1>1时，a递增： 数列的单调性 作商比较法 当<1时，a,递减 a 函数法 设a,=fm),利用函数y=fx)的单调 性来研究(a)的单调性 实战演练 典型例题(2025·八省联考)已知数列{an}中，a1=3,a1= 3a. a+2 （正明数-} 为等比数列： (2)求{a,}的通项公式； (3)令6.=2，证明，<b1<1 a 021 学霸高考·黑题数学 变式训练1.(2025·山西忻州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=21+1. (1)求{a.}的通项公式； (2)若HneN”,a2n>入n·3"恒成立，求实数入的取值范围， 变式训练2.(2025·河北秦皇岛一模)设Sn为数列{a.}的前n项和，已知a1=4, a.+S. 是公比 2a. 为2的等比数列. (1)证明：{an}是等比数列： (2)求{a.}的通项公式以及Sn; (3)设bn=(n-5)a.,若3neN°，使4"+2m-2≤bn,求m的取值范围. 变式训练3.(2025·河南洛阳模拟)已知数列{an}的首项为1，其前n项和为Sn,等比数列{bn}是 首项为1的递增数列，若3nan1-6Sn=n(n+1)(n+2),8b2+2b,=b6· (1)求证：数列 是等差数列： (2)求数列1(-1)·2an}的前n项和； (3)求使得a.≥b。成立的最大整数n. 022