第二章 专题2 数列的求和-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

第二章数列学霸 专题2数列的求和 命题密钥 从近几年的高考情况来看，数列求和通常以解答题的形式考查，难度中等或稍难，往往在解 决数列基本问题后考查数列求和，在求和后还可以与不等式、函数、最值等问题综合考查，难度 进一步提升.需要我们掌握基本的数列求和方法，根据数列形式灵活选择解题方法， 考点觉醒 倒序相加法 数列首末两端等“距离”的两项的和相等 通项形式为两种通项公式相加或含有绝对值号 分组求和法 通项形式为奇偶项 裂项相消法 通项可拆分成两项之差，求和过程中相互抵消 数列的求和 错位相减法 通项形式为一个等差数列和一个等比数列的对 应项之积 并项求和法 前一项与后一项之间存在定值关系 实战演练 题组。倒序相加法 典型例题1.(2025·浙江湖州一模)若x)=(x-2)+2(x-2)+2,已知数列1a,中，首项a,-20 a.=a1+ +neN”,则a)月 23 变式训练1.(2025·江西南昌期中)已知函数f(x)满足f(x)=f(1-x),f'(x)为f(x)的导函数， g(x)=f(x)+3Ra=g(2026 n ,则数列{a}的前2025项和为 题组口分组求和法 an-6,n为奇数， 典型例题2.(2023·新课标全国Ⅱ)已知{an}为等差数列，b,= 记Sn,T分别为数 2a,n为偶数， 列{an},{bn}的前n项和，S4=32,T3=16. 017 学霸高考·黑题数学 (1)求{a.}的通项公式； (2)证明：当n>5时，T.>Sa 变式训练2.(2025·山东聊城期中)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数.已知数列{a.}满足 a2=1,2S.=na.,若b,=[lg(an+1)],数列bn}的前n项和为T.,则T2m4= () A.4956 B.4965 C.7000 D.8022 变式训练3.(2025·广东江门期中)在数列{a.}中，a1=2,a2=8,且对任意的n∈N,都有an2= n ,n=2k-1,k∈N', 4a1-4a.,则{a,}的通项公式为 ;若bn= 则数列{bn}的前n项和 n log2。,n=2h,keN°， T.= 题组目裂项相消法 典型例题3.(2022·新高考全国I)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1, 是公差为的 a. 等差数列. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：上++<2 a a2 a 变式训练4.(2025·福建龙岩二模)已知数列{a.}的前n项和为Sn,且满足nS.1-(n+1)Sn=n(n+ 1),neN,a1=1. (1)求数列{a,}的通项公式： (2)若6=(-1). 2an+2 ,求数列{bn}的前n项和T. Anan+l 018 第二章数列学霸 变式训练5.(2025·河北石家庄期中)数列a.}满足a。-a1= (n≥3)，b n-2 an-1 ,a1=a2=1. (1)证明：数列{b,}是等差数列； 3,求数列{c.的前n项和S (2)令c.=(n+1)an】 题组四错位相减法 典型例题4(20如5：全国-多)已知数列a.中a=3,-品n (1)证明：数列{nan}是等差数列； (2)给定正整数m,设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amx",求f'(-2). 变式训练6.(2025·湖南娄底二模)记S。为数列{a,}的前n项和，且 2"a. 为等差数列， an n(n+1) 为等比数列，a1=1 (1)求a2的值，并求{an}的通项公式： (2)探究{an}是否存在唯一的最大项； (3)证明：S<8. 019 学霸高考·黑题数学 题组五并项求和法 典型例题5.(2022·天津)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=a2-b2=a3-b3=1. (1)求{an}与{bn}的通项公式； (2)设{an}的前n项和为S。,求证：(Sn+1+an+1)bn=Sn1bn+1-Snbn; (3)求2[a-(-1)a,br 变式训练7.(2025·福建三明三模)若数列{an}满足an1+an=2n+1(n∈N”),a4=2,则a1+a2+a3t …+a1n日 () A.155 B.156 C.203 D.204 变式训练8.(2025·广东阳江模拟)已知等差数列{a,}的首项为1，且a3,a+1,2a6成等比数列，则 数列{(-1)"a.}的前2025项和为 () A.-1013 B.-505 C.505 D.1013 变式训练9.(2025·江苏南京师大附中月考)设数列{an}满足a1=1,a2=2,a.+2三 (an+1,n为奇数， 2an,n为偶数 aeN),令6=(ga)户·sin(a1…受)，则数列6，的前100项和为() A.4950 B.-5000 C.-5050 D.-5250 变式训练10.(2025·湖北武汉月考)佩尔数列是一个在计算机科学中有着重要应用的数列.若数 列{P。}满足P1=0,P2=1,且P2=2P1+P.,则称数列{Pn}为佩尔数列.已知{Pn}为佩尔数列，若 P为奇数，把P,换成(-1)n,若P.为偶数，把P,换成0，得到数列a,},若a.的前k项和为 100,则k的值可能是 () A.198 B.201 C.99 D.100 变式训练11.(2025·山东潍坊月考)已知数列{an}满足a1+(-1)a,=3n-1(neN),则{a,}的 前60项的和为42m6+1,解得420%=-1，当n=2026时，a2m6三-426-a2ms+1,解得 40s=3 典型例题4.D解析：令n=1,得3a1=2S1+1=2a1+1,得a1=1,由 3n,=25,+1,当n≥2时，3.1=251+1，两式相减，得3a。-3a1= 2(S.-5)=24,即4，=3a1,即=3，所以数列1a,是以a1=1为 do-1 首项，3为公比的等比数列，所以3，=1X-3).121 1-3 变式训练10.C解析：因为a1=2a。-3,所以a+1-3=2(a,-3).因为 a1-3=1,所以数列1a,-3引是首项为1，公比为2的等比数列，所以a。 3=21,所以a.=21+3,故a21=220+3 变式训练1.ABD解析：由a1-38,1,得1。-3，所以 体n+i体n 数列侣}是以-3为公差的等龙数到，面士2x(-9).6,日 a)ai 所以=14，得4=，放A正确；所以士+(-3)(a-)=17- 1 3n,得a,7n放B正确：令分7-3n=0,解得a号对于6 a。 17-3na,aa,4,a为正数，且依次递增：6a,,4,为负数，且 1,11 依次递增，所以a,≥a6,故C错误50=@1+a2++a1o=4i81 11 1111111111111 3+2147034+8+22了8i 古-0，放D正确 变式训练12.C解析：因为51-25。=2n+1,所以S1+2(n+1)+3= 2(5.+2n+3),所以数列1S+2m+3引是首项为6，公比为2的等比数列， 所以8+2m+3=6x2,即3.=3x2”-2n-3,所以.=36 a5,-5446 变式训练13.8，=3-21解析：由1=2，a1=3a,+21,neN”,可 得a1+2=3(@.+2-l),所以1an+2-1|是以3为首项，3为公比的等 比数列，所以4n+21=3,则an=3"-2. 1 变式训练14，产解析：由a2aeN期 28+1,又41o7则2==2故 anta。+l 02 1 2 数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，即二=2+(n-1)× aatl 1=n+1,则有=n。 “2=n-1,…,1=2,且n≥3，故1×2×…× da-l an da-l =,即8日=(a≥3)，显然n=1,2时均演是，故 d.=ml' 变式训练15.(1)证明：由各项都为正数的数列{a,}满足5a2+4a1 6,=0,得+0a=(01+a,).即2子，所以数列 a。taa+1 a,+a,是公比为与的等比数列 (2)解：因为a=5=方所以a1a=名，由(1)知数列a,+a 是首项为容公比为兮的等比数列，所以。01会（兮）广 兴女点于是（兮）广”-【-（兮）门汉周为4 50,所以a-(兮）广=0，即a-(兮 一学霸高考·黑 方法总结 模型一：a-a,=n)一黑加法 (1)当f八n)=c(常数)时，{an|为等差数列. (2)当)=知+b时，累加后等号右边为等差数列求和 (3)当f代n)=g时，累加后等号右边为等比数列求和。 (4)当八n)=分式型时，黑加后等号右边可裂项求和 模型二：。 1=n)一系来法 模型三：a1=Aa,+B(A≠1，A≠0，B≠0)—特定系数法 若a,满足此模型，则|a,+A川是等北数列，且公比g=4,其中入= A-1 模型四：a1=Aa,+Bn+C(A≠1，A≠0，B≠0)—特定系数法 若1an}满足此模型，则1an+km+A}是等比数列，且公比q=A,其 中k B 模型五：41=Aa,+Bg(指殷型)一—待定系数法 (1)若A≠g,别1a,+是等比数列，公比g=A (2)者4g则周边同对降以有之日此时合 {是等差 数列，且公差daB 模型六：a1Ban+C —倒数法 者0，}满足此模型，则有1S.L,B “a1Aa。A 模型七：a1=ma(a,>0,m>0,k>0且k1)一对数法 着{an}满足此模型，测有ga1=lga.+lgm 专题2数列的求和 典型例题1158解折：因为。，=41+宁号+…+ neN,所以 nn+1 n+l n 46N,即侣}是常数数列又4方所以片号茹即6，分 因为fx)=(x-2)3+2(x-2)+2,所以f(4-x)=(4-x-2)3+2(4-x 2)+2=-(x-23-2(x-2)+2,所以f)4-)=4又a.=20所以 a(品）ieN,厮以a)=f(知)+（品）+ (器)（器）即a)=(器）（器）+…+（品） (品)所以21()·（知（器）) (品)（器）)+…+(（器）(0)）=4×9，所以 茗a2x9=158 变式训练1,675解析：由题意知八x)=1-*),所以财"(x)=了'(1-x),即 了")1-)=Q又因为g(x)=f'()+子，所以g()+g(1-x)= 2 f"(x)+f"(1-x)+ 3 3 2 3 2025 (2026+82026卡+g(2026 ①，41+a+ay++a2ms= 2025 2024 2023 1 (2026)*g(2026)g(2026 ++g（2026】 ②，将①②两 2025× 式相加可得a1+a2+a3++a2西= 32025 2 3 =675. 题 ·数学·10 重难点拔 本主要是对f八x)=1-x)求导，得f(x)=∫'(1-x),解题的关纯 在于我到g国+1-)号的关系，弄根据制序相和法即可求解 典型例题2(1)解：设等差数列1a.!的公差为d,而b。= .-6,为奇数则6=01-6，=24，=2a+24,=6-65a+24-6 (2an,n为偶数， 于是8-：62，解得5，则a,=4,a-1d=2a+3,所以 (T3=4和1+4d-12=16, "ld=2, 数列{an}的通项公式是a,=2n+3. （2)证明：方法-：由（1)知，S.=n(5+2+3》=n2+4nb,= 2 2-3,n为奇数：当n为偶数时，61+6，=2(a-1)-3+4h+6=6a+l, 4n+6,n为偶数， T=13+(6a+D.是 2 =子2+7e当>5时五-8 当心5时，T--(侵-5）(4o)=(a*2)(a-5列>0， 因此T>S。,所以当n>5时，T>S, 方法二：1)知a52a3》=4a-a6为州数 2n-3,n为奇数当n为 2 偶数时，T=(6,场++6)+(6+6+…+6，)=-1+2(a-)-3. 2 2 "26.子当5时8-（仔子）小-( 2 4n)= 2(m-1)>0,因此T>S,:当a为奇数时，若4≥3，则T.=(6,+ 6++6.)+(62+6:+…+61)=-1+2m-3.n+114+4(-)+6 2 2 2 号名子5，显然=1满足上式因货当为奇数时. 五子5当5时，8（层字小-(0 子a+2(a-5列>0，因此7,8所以当a5时，78 变式训练2B解析：当n=1时，2S1=1×a1.因为S1=a1,所以41=0.当 n≥2时，2S。=na,2S-1=(n-1)a,两式相减得2a,=a,-(m 1)an-,即(n-2)a。=(n-1)a-.当n≥3时， 品那么a =1x2x3 da-l X2n-1(n≥3).当a=1时，4=0 也满足a,=n-1.当n=2时，a2=1也满足a。=n-1.所以a,=n-1,当n= 1时，41=0,61=[g(a1+1)]=[g1]=0:…:当a=10时，a0=9,b1o= [g(a0+1)]=[g10]=1.可以发现当1≤n≤9时，b。=0,共9个0.当 10≤n≤99时，1≤g(n-1+1)=gm<2,所以b.=1,共有99-10+1= 90(个)1.当100≤n≤999时，2≤g(n-1+1)=gm<3,所以bn=2,共有 999-100+1=900(个)2.当1000≤n≤2024时，3≤lg(n-1+1)=lgn<4, 所以6.=3，共有2024-1000+1=1025（个）3.则124=9×0+90×1+ 900×2+1025×3=0+90+1800+3075=4965. 1n211 3x2°4+12，m=2k-1,keN”, 变式训练3.a。=n·2” 1n2n2 3×2423n=2h,keN 解析：因为a1=2,2=8,所以a2-2a1=8-2×2=4.因为aa+2=401- 4an,所以a*2-2a1=2(an+1-2a,).又a-2a1=4≠0，则有aw1-2a,≠ 0(aeN),所以--21=2，所以01-2a,是以4为首项，2为公 awt1-2da 比的等比数列.所以a12a,=4x21=2,所以-1.又2。 2*120 2 一学霸高考·黑 1,所以8) 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以。=1+(n 2* 2 1)×1=n,所以an=n·2兰 n ,n=2k-1,k∈N” 1 由题意可得b。= =2-1，keN期 ,n=2k,keN” -n,n=2k,kEN', an 16,的奇数项为以6，=为首现，为公比的等比数列：偶数项是以 b2=-2为首项，-2为公差的等差数列.所以当n为偶数，且n≥2时， Tn=(b1tb++b1)+(62+b4+…+b.）= 1 2 +(-2 4-…-n)= 1- n(n+2)。1n2n2 4 3x242+行当n为奇数，且n≥3时，-1为偶数， 7=716,= 3x224232°3×2412 时，T= 过号吕宁满是所以，当：为者数，且>1时，有 1n211 12综上T 3x24+12n=2k-1,keN·, T.=3x2°412 1n2n2 3x242+3,n=2k,keN 典型厦3(0)满41a-1…子-1又：（侣}是公 a1 为3的等差数列，心=1+3(-)=+2 a。 n≥2时，S。-1= 8g4m 3 3 即之a×2x2×x 得(m-a,=(a+1)a,即马= 414 a。2 之1片点告”（≥2.显检对于a=1电收 -1 n-2n-12 立a的通现公式为a,aeN) 2台)（日川小(）2 变式调练4解：(1)由nS-(a+1)S=n(a+1),aN,得 n+l n 1以4=1复列侣}是首项为产-=，公差为=1的等费数 =n,即3=n2,当n≥2时，4，=5-54=2-(n-1)2e2n-l, 列心 且a1=1也满足，a。=2m-1,则数列1a.的通项公式为a,=2n-1. 4n (2)(1)得a,=2-1.6=(-1)”·(2m-2n+D（-1)° (2品)…x=-(写）号（传） (-1)· 11 变式训练5.(1)证明：因为an=a (n≥3)，且b1“an da-2 ,1 aa-l= 12a-14=-1,故 a=1,所t以b-b-2a1a2a102 aw-24m-2 1,是首项为6，=L,公差为1的等差数列 a1 题·数学·11一 (2)解：由题意得{}是从n=2开始的等差数列，则品=1+ a-1 （a-2)×1=n-1,即=m-1(n≥2)，得到a,=4 2..… da-l .1×1×2×…×(n-1)=(n-1)1,则6,5(+)0 3 -万a-1(aDm*3·2 3n 3n (n+1)1s a]]面g6 品a]小品]小 l-3an 1 典型例题4、(1)证明：数列a,中，4=3，= aa+l'a(a+)心(nt 1)a-1=nan+1,即(n+1)a+1-nan=1,.na}是以a1=3为首项，1为 公差的等差数列 (2)解：由题意及(1)得，n∈N·,在数列{m,}中，首项为3，公差为1， m.=3+1x(a-1),即6，=1+2，在代=4，x+,2++0中， n 3*254+(2)r=3++(m+2r 国=3*(m+2)当x1且x≠0时，1-)： ”(x)=3x+42++(m+2), (x=3+s+2++l-(m+2)x=3+l-）-(m+2), 1-x 3x(1-x-)(m+2)x” f"(x)= 3 (1-x)2 1f（-2)=1-2 -2[1--2)g-m+22y°=1+-2[1-2) [1-(-2)]2 1-(-2) 9 m+2(-2)=1-2（-2)”(m+2)(-2)”.7_(3m+7(-2) 3 99 3 9 9 变式调练6(0)据：因为}为等差数取前3项细2,4了， 皮等发数列，即红号，2因为可}为等比数到取前3现知 8 宁专吕成等比数列，即2=购代人仙=号+2，得 2,能理得好-19=0，即(2a-39)-》=0所以-号 3 号看那么-所以a，但 3 n a(n+1) a2一不为等比数列，与题于不符，所以=合去者0=之，得 5-n a,nt,经检验得符合题意，故a.-n(n+ 23 (2)解：令a,<a1,解得m<2,令a>a1,解得n>2,当n=2时，an= 3 ?a1=4=2所以<a=a>,>45>…>a,即最大项不谢 一，故{a.不存在唯一的最大项 （)证用：方法-线受空兰…2出①两边同果宁 2 得，8=1x22X33x4+…（2②.①-②，整理得=4+2 3 2222 21 +…+2③两边同乘2，得2=2+3+ 4. 34 22 2+27+…+ nnt④.③-④，整理得5=7+2+2交+…+2可-2 1.1 1n2+5n 2-12*川 即3=8+5如+88 2 方法二：因为6-n（atD。2n246a+8)-(a2+5n+8)。2. 2 一学霸高考·黑 43+4-2.45n+8,记6.=2.43n4,注意到61=2， 2 24+1 2+2n+1+3n+3+4-2.+5n+8,所以a,=6,-b1,于是S=(61- 29+1 2+1 6,+(6,-6)++(6.-61)=b,-b1=8-+5a+8,因此5=8- 2 n2+5n+8<8 2 典型例题5.(1)解：设{a.的公差为d,1bn|的公比为g,则an=1+(n 0d,6由-441可得{2h2dg=29=0 含去)，所以an=2n-1,b,=2-(n∈N）. (2)证明：因为b1=2b,≠0，所以要证(S+1+a+1)b,=Sb+1-Sby 即证(S1+a+1)b,=Sa+1·2b。-S6,即证Sn+1+a+1=2Sn1-S。,即证 an1=S-1-S,而a1=S1-S.显然成立，所以(S1+a1)b,=Sn1 b+1-5.b (3)解：因为[a1-(-1)4a2-1]b4-1+[a21-(-1)*a2x]b24=(4k-1+ 4-3)×242+[4k+1-（4k-1)]×21=2张·4，所以[1 (-1)a]·b=言{[au-(-1)-tah-1Jb-1+[a21-(-1)4a2w] b=含2张·4设.=224，所以T.=2x4+4x42+6x4++2m× 4",则4T。=2×42+4×43+6×44+…+2m×4+1,作差得-3T。=2×(4+42+ 4+4+…+4)-2nX41.2x41-4）-2nx41=（2-60）41-8,所以 1-4 7=（6n-2)448,所以3[a+:-(-1)aJ64=6m-2）4+8 9 9 变式训练7.A解析：由aa1ta。=2n+1(neN”),则a1-a1=2,故 奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，由a4=2,则@3+a4=7,a3=5, 17-3 则an=a3+2 ×2=19,放1+a2tt…+an=(a1+a2)+(a+a4)+ …+(a15+a1)tan=3+7+…+2×15+1+19=155.故选A. 变式训练8.A解析：设公差为d因为a,as+1,2a。成等比数列，所以 (a5+1)2=a×2a6,则(1+4d+1)2=(1+2d)×2(1+5d),解得d=1或 4当时412x(） 1 =0,此时与43，a5+1,2a6成 等比数列矛盾，故排除，当d=1时，a。=1+n-1=n,此时令b。= (-1)”a=(-1)”n,而其前2025项和为-1+2-3+4-+2024-2025= (-1+2)+(-3+4)++-2025=1012×1-2025=-1013. 变式调练9.B解析：数列{an}满足a1=1,a=2,a+2= 只1，为奇数(aeN),所以数列1是以1为首项，1为公差 (2a。,n为侧数 的等差数列，即am-1=m,数列1a}是以2为首项，2为公比的等比数 列，即a=2,因此4=(e22·血受=n受，显然 {面受}的周期为4，则6+ba+6a1+bu=(4秋-32 血4-3)+(4-22血46-2)严+(4-1)2如4)严+(42. 2 2 2 m=(4h-3)2-(4k-1)2=-8(2k-I)(keN*),令c,=ba-3+bn-2 sin 2 b4n-1+b4,则有cn=-8(2n-1).因为c1-c=-8[2(n+1)-1]- 【-8(2n-1)]=-16,所以数列1c,|是等差数列，所以数列16.的前100 项和，即数列16，的前25项和为25[(-8》+8x1-2×25)1。-500 2 变式训练10.B解析：根据数列1P.}满足P,=0,P2=1,且P2= 2P1+P.则P2-P.=2P1为偶数，则Pn与P+2同奇或同偶又P= 0,P2=1,可得|P。的奇数项为偶数，偶数项为奇数，则a。■ 0,n=4k-3, 0,n=2k-1, (-1)(4+)·(2k),n=2k, 即a。= 2-4k,n=4k-2其中keN.所以 10.na4k-1. 4k,n=4k, 数列4，的各项依次为0，-2,0,4,0，-6,0,8，，注意到04-3+@-2+ a4-1a4=2,设数列{a}的前n项和为S,则n三4k时，S。=2k一 题·数学·12一 Sn4=54-4=2(k-1),又aa-3=0,则S4-3=2(k-1)+a4-3=2(k-1): 则S-2=2(k-1)+0-2=2k-2+2-4k=-2k,5-1=-2k+a-1=-2k [2(k-1),n=4k-3, -2k,n=4k-2 则S。= keN”.若|a。I的前k项和为100，则2(k -2k,n=4k-1, 2k,n■4k, 1)=100→k=51→n=4×51-3=201或2k=100-k=50→n=4×50=200. 变式训练11.2760解析：由a*1+(-1)a=3n-1,散2@1=2，a+ a2=5,a4-ay=8,4+a4=11,.放a1+a=3,a5+a1=3,ay+au=3, 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3：2+4=13，a6+ ag=37,a10+a2=61,.从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构 成以13为首项，以24为公差的等差数列.故S0=3×15+13×15+ 15x14×24=2760, 2 方法总结 数列求和方法 1.公式法 (1)等差数列前n项和： 8a(a) 2 2 (2)等比数列前n项和： (na19=1, (n01,q=1, 8n=a(1-g) a1-a.9 “91 a,ta2t…tan 1-g,9*1 1-g (3)常见数列前n项和： 1+2+3+…+n.(n+1) 2 1+3+5+…+2m-1=n2: 2+4+6++2n=n2+n: 14243+n2-gal(2t. 2.剑序相加：如果一个数列|a,}的前n项中首未两蟾等“距离”的两 项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用 倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此方法推导的. 3.分短求和：分组求和一毅道用于两种形式： ①若an=b,±c,且|bnI,c,为等差或等比数列，可采用分姐求和法 求{anl的前n项和； 2道项会式清a,-化有有要的酸乳：头中数彩1，是 比数列现等差数列，可采用分姐求和法求和。 4,裂项相消：把数列的通项折成两项之差，在求和时中间的一些项可 以相互抵消，从而求得其和 裂项相清求和法经常用到下列拆项公式： ① 11 (n+1)nn+1 ②1 n(n+k)k(nn+k月 ③ 1 1 1 ④1（1）(d为列1a,的公)： aadaa =√n+I-√n: √n+√m+1 0am-. 1 5.错位相减：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数 列的对应顶之积构战的，那么这个数列的前须和即可用此方法来 求，如等比数列的前项和就是用此方法推导的. 专题3数列与不等式(1)一—根据数列单湖性求解 超度南总-2-号分 一学霸高考·黑 名号·号(-以)以数以}起现为 子，公比为子的等比数到 (2)解：曲1)得1士子×（仔）=（子）儿月。 1 3 解得a,=一 (号 2·23-2 31 (3)证明：b。= a。 3 3+1-2n*1 3 令fn)=3: 3()广23(）广2 (月）广-2ae[1,+).因为)=3·（号）广-2在ae[1,+) 上单调递增，则f()≥f(1)=3× 2 >0,所以数列 在neN'上单调递减，从而数列b,在neN'上单 调递增，且bn<1,故得b,<b1<1. 变式训练1，解：(1)5，=21+1，则当n≥2时，a,=5。-S1=21+1- (2+1)=2”,当n=1时，1=S1=22+1=5,不符合an=2”,所以 (5,n=1, (20,n≥2 (2)因为VneN”,a>An,3”恒成立，所以VneN,A<= ·3 日（厂令6（广”则6当2时，不妨设的 第n项的值最小，只需今 解得3≤n≤4， 又名=一舒了所以1，的最小值为所以A分即A的取值 644 范是（✉）】 变式渊鉴20证明：由已知可得数列作 是首项为1，公比为2 的等比数列，则2三2即3(2-1)。.①，则51=(2 1)a1②，②-①得a1=(21-1)am1-(2”-1)a.,即(21- 2a4=(2-1)0n可得01=之又a1=40a,是等比数列 (2)解：由(1)知a,=4· (合）”-（传）”则-a. 82 由6(a-5A且一（仔）'得6当≤5时 n-4 2 b1<6,因此数列1b,的最大项为=bs=名，由3n∈N”,使 4+21≤b,得4+22≤号即8：(22+2·2-1≤0，整理得 题·数学·13一