第二章 专题1 数列的递推与通项-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

学霸高考·黑题数学 第二章 数列 专题1 数列的递推与通项 命题密钥 数列是高考的重点、热，点内容从近几年的高考情况来看，数列的通项公式的求解主要以解 答题的形式考查，一般出现在第一小问中，难度不大，有时也会出现在选择题、填空题中，与函 数、不等式等综合考查.数列的通项公式的求法多种多样，需要灵活求解。 考点觉醒 累加法 形如a-a,=fm)的递推关系 累乘法 形如1=fm)的递推关系 a 已知S.求a 利用a与S的关系 当a,与S同时出现在递推关系中 通项公式的求解 形如a=Aa,+B的递推关系 形如an,1=Aa+Bn+C的递推关系 构造法 形如a=Aa.+B的递推关系 形如a1= 的递推关系 Ba.+C 形如a1=ma。的递推关系 实战演练 题组一累加法 美型例题1(205·河多张家口一模)已知数列1a满足a=2a,>0,且c心-1，则-a 变式训练1.(2025·福建厦门外国语学校月考)数列{an}满足an+a+1=3n,且a,=1,则a1m等于 () A.148 B.149 C.152 D.299 014 第二章数列学霸 变式训练2.(2025·河南洛阳三模)函数f(x)满足Vx,y∈Z,f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+1,且 -2)=1,则）-n)= () A.4900 B.4950 C.5000 D.5050 变式训练3.（多选）(2025·四川成都月考)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本 末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不 相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1,3,6,10，它的前后两项之差组成新数 列2,3,4，新数列2,3,4为等差数列，则数列1,3,6,10被称为二阶等差数列，现有二阶等差数列 {cn},其前6项分别为4,8,10,10,8,4，设其通项公式c.=g(n),则下列结论中正确的是（) A.数列{ca1-cn}的公差为2 B.2(c1-e,)=-300 C.数列{cn}的前7项和最大 D.c21=-296 题组马累乘法 典型例题2.(2025·广东梅州期中)若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)a.-1(n≥2)，a1=2,则a4= () A.2 B.6 C.12 D.20 dtd.-2n,则au 变式训练4(2025·湖南长沙月考)在数列a,中，a,>0,a-1,a- A.414 B.15 C.√223 D.10 变式训练5.(2025·河南信阳模拟)已知数列{an}中，a,=1,a1a.=2,n∈N”,则下列说法不正确 的是 ( ) A.a4-a3=2 B.azn=2d2n-1 C.{a2n}是等比数列 D.a+a2=2* 变式训练6（多选)(2025·河北邯郸一模)已知函数(x)的定义域为(0，+m),八+) x+y fx21)=2,则 ( xy A.f(2)=8 B.f3)+f(4)+f(5)=168 c.X10）-5 D.f2024)=2024×22024 f8) 题组目利用an与Sn关系求通项公式 典型例题3.(2025·天津)S.=-n2+8n,则数列{1an1的前12项和为 A.112 B.48 C.80 D.64 变式训练7.(2025·湖北黄冈中学模拟)已知数列1a.}的前n项和S.满足S+S=Sm,且a=2, 那么a10= () A.2 B.10 C.11 D.56 015 学霸高考·黑题数学 变式训练8.(2025·江苏镇江模拟)设数列{a,}的前n项和为Sn,若a1=2√S。+1,且a1=1,则 A.a5<5 B.a5>10 C.S10>1000 D.S1oo<10000 变式训练9.(2025·河南三门峡三模)已知数列{an}的前n项和是S.,若S,=(-1)1an+ n(n≥2)，neN,则a2ms= () A.-1 B.1 C.2 D.3 题组四构造法 典型例题4.(2025·江西赣州一模)已知数列{an}的前n项和为S。,且满足3an=2Sn+1,则S,= A.11 B.31 C.61 D.121 变式训练10.(2025·河北保定月考)已知数列{an}满足a1=4,且a1=2an-3,则a211=（) A.2210-3 B.221-1 C.2210+3 D.2211+1 1 变式训练1.（多选）(2025·江苏南京二模)已知数列a,}中，a=ga,-a1=-30,14,neN, 其前n项和为S.,则 () 1 A.a1214 B.a.217-3n C.an≥a D.S10<0 变式训练12.(2025·江苏南通海门中学期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,其中a1=1, 且8-28，=2n+1,则 () 369 A. B36 46 46 C.36 46 D365 46 变式训练13.(2025·广东广州期末)已知数列{a}满足a1=2,a1=3a,+2-,neN”,则数列 {an}的通项公式为 1 变式训练14.(2025·天津耀华中学月考)已知数列1a,}满足a=1,4=2且a2=。 +aa+l (n∈N'),则数列{an}的通项公式是 变式训练15.已知各项都为正数的数列{an}满足5a.+2+4a+1-an=0. (1)证明：数列{an+an1}为等比数列； (2)若a云求a,的通项公式 o164:6,解得=弓号 变式训练25号解析：根据结论，得}：市+7元-0，即心： 2xPi+2yP元，平方得市=4x2P+42P戒+8y·1P市1·P元， eos LBPC.又因为点P是△ABC的外心，所以1P1=IP1=P元I,且 LBPc=2B4C=60,所以24+g=,(P=灯≤ (停）广解鸭0y≤停当且仅当y-停时取等号，所以 6 (x+y）m=3 方法总结 向量与三角形面积的关系在三角形四心中的具体形式： ①0是△ABC的重心S,:Sg:Sc=1:1:1=0i+0成+0元=0. ②0是△ABC的内心=S,:Sa:Sc=a:b:c=a·Oi+b.Oi+e 0t=0. ⑤0是△ABC的外心台s4:Sm:Sc=in2A:sin2Bin2C÷ sin 24 04+sin 2B.O8+sin 2C.0C=0. ④0是△ABC的垂心分S,:Sg:Sc=anA:anB:anC台anA· O+tnB.Oi+tnC.O元=Q. 第二章数列 专题1数列的递推与通项 典型例题1.42产 1 解析：由题得a2=(a-a)+(2-a2-2)+…+ 11 ) （a5-a)ai22rt…+2+(a-1)+4 +(n-1)+ 1 1 4,(n≥2)，当n=1时，n+4-,=1+4-1=4=a符合题意， 4=n+4- 1 所以a-n=n+4)一一n=4, 变式训练1.B解析：由题意得2=3-a1=2因为a,+a1=3n,4-1+ an=3nm-3(m≥2)，所以a1-a1=3(n22),所以41o0=(a10o-ag）+ (aw-a%）+…+(a4-02)+a2=49x3+2=149. 变式训练2B解析：令x=y=0,则f(0)=2/代0)+1，可得f代0)=-1，令 x=y=-1,则-2)=2-1)+3，可得f代-1)=-1，令x=1,y=-1,则 0)=1)+/-1)-1,可得/1)=1，令x=,y=1,neN°，则/八a+1)= 八m)+/(1)+2n+1,可得f八n+1)-f(n)=2n+2,则当n≥2时，f(n)- m-1)=2n,则f(n)=f八n)-f(n-1)+…+f(3)-f(2)+f(2)-f1)+ 1)=2n+2(-1)++2×3+2x2+1=2×anD-1=2+n-1,显然 2 )=1也满足上式，所以f()-m2=m-1,故罗G(m)-m)= 100x(100+）-100=4950. 2 变式训练3.BD解析：因为二阶等差数列1c,1其前6项分别为4,8， 10,10,8,4,从第二项开始，每一项与前一项的差组成新数列的前5项 为4,2,0，-2，-4，易知新数列的公差为-2，即数列{c1-c.|的公差 为-2，故A错误：易知c1-℃是以4为首项，-2为公差的等差数列， 利用等差数列前n项和公式可得营(G1-6=20x4,0(-2) -300,故B正确：由等差数列通项公式可得c+1-C,=4+(n-1)× （-2)=-2n+6,所以c3-01=-2×1+6,6-02=-2×2+6,…,0,-c1= -2(n-1)+6,累加可得c,-c1=-2[1+2+…+(n-1)]+6(n-1)=-2× (n-10[1+(m-1)1+6(a-1)=-2+7m-6,所以c,=-2+7m-6+G= 2 一学霸高考·黑 -7-6447-2-(子）广华利用=次两数经质可起 当n4时，数列1c,}单调递减，且前6项均为正数，易知c1=-2<0,所 以cn>0(1≤m≤6)，c.<0(n≥7)，因此数列1cn的前6项和最大，故 C错误：由cn=-m2+7n-2可得c21=-296,故D正确 典型例题2D解析：由(a-1)a,=(n+1)a,得8一= a-1n-18= a2.5…:=2x2×2x…x0 a1 X行n(n+1)(n≥2)a4 4×(4+1)=20 变式训练4B解折：因为炉=2n,所以+0=2n(c21-)。 a21-a 1-22(-2,得受所以 ains ain aiu ain2 ainain 器尝器片 ×子×广1=25.因为a,>0,所以 a13=15. 变式训练5D解析：由a1a,=2,a2a1=2…,得2=2，有 =22=2… ,=2,=2=2,所以4=2×2=2，则 'a2a-4 a21=2-1,故a4=4,a=2,故a4-43=2,an=2a2-1,la2是等比数 列，a2-1ta2n=2-1+2=3×2-1,故ABC正确，D错误 变式训练6ACD解析：令y=1,则+D./=2x因 x+1 即r(10=2+10x但对于A.令y=1.可fa)=4, 所以W(2)=8,放A正确：对于B(3)=2×3x2=24(4)=2x4× 2 f(3=64/5)=2x5xf4=160,所以f(3)f(4)y5)=248,放 3 4 B错误：对于C,由f(x+1)=2(+1)×f国知，当=n(aeN)时。 则有得”得婴所以智 f(n) f(8) /(102x/9)-2x10x2x9 5,故C正确：对于D,当n≥2且neN f(9)f(8)9 时，由aD.2(a+,得/2024)= (2024)f(2023) f(n) n (2023)了(2022) 得得*1a=mx(传器盟）8=× 3 2024×8=2024×2,故D正确. 2 典型例题3C解析：因为5=-n2+8n,所以当n=1时，a1=5,=-12+ 8×1=7,当n≥2时，a.=S。-S.-1=(-n2+8n)-[-(n-1)2+8(n- 1)]=-2n+9,经检验，1=7满足上式，所以a.=-2n+9(meN),令 a.=-2m+9≥0→n≤4,4n=-2n+9≤0→n≥5，设数列|1an1}的前n项 和为T.,则数列1a,11的前4项和为T,=S=-42+8×4=16,数列 {1a。I川的前12项和为Ta=a11+la2+…+la21=a1+a+a+a4-a5- a6--a12=2S,-S2=2x16-(-122+8×12)=80. 变式训练7.A解析：Sn+S。=S4n中，令m=1,即S1-S。=S1=@1=2, 所以a10=S0-Sg=2 变式训练8.C解析：数列1a.|中，由at=2S。+1,得S1-S,= 2S+1,整理得S1=（S。+1),则√S1=√S。+1,故数列 {尽。是以√S=√@=1为首项，1为公差的等差数列，于是√S,= n曰a1=2n+1,即S,=m2,a,=2n-1(n≥2)，而a1=1满足上式，因 此S,=n2,a.=2n-1,ay=9,S100=10000,ABD错误，C正确. 变式训练9.D解析：数列a,的前n项和是S.,若5。=(-1)a,+ n(n≥2)，neN”,则当n≥2时，S.-1=(-1)“a1+n-1,两式相诚可得 a,=(-1)1a,-(-1)”a-1+1(n≥2)，当n=2027时，a2m7=a+ 题·数学·09 42m6+1,解得420%=-1，当n=2026时，a2m6三-426-a2ms+1,解得 40s=3 典型例题4.D解析：令n=1,得3a1=2S1+1=2a1+1,得a1=1,由 3n,=25,+1,当n≥2时，3.1=251+1，两式相减，得3a。-3a1= 2(S.-5)=24,即4，=3a1,即=3，所以数列1a,是以a1=1为 do-1 首项，3为公比的等比数列，所以3，=1X-3).121 1-3 变式训练10.C解析：因为a1=2a。-3,所以a+1-3=2(a,-3).因为 a1-3=1,所以数列1a,-3引是首项为1，公比为2的等比数列，所以a。 3=21,所以a.=21+3,故a21=220+3 变式训练1.ABD解析：由a1-38,1,得1。-3，所以 体n+i体n 数列侣}是以-3为公差的等龙数到，面士2x(-9).6,日 a)ai 所以=14，得4=，放A正确；所以士+(-3)(a-)=17- 1 3n,得a,7n放B正确：令分7-3n=0,解得a号对于6 a。 17-3na,aa,4,a为正数，且依次递增：6a,,4,为负数，且 1,11 依次递增，所以a,≥a6,故C错误50=@1+a2++a1o=4i81 11 1111111111111 3+2147034+8+22了8i 古-0，放D正确 变式训练12.C解析：因为51-25。=2n+1,所以S1+2(n+1)+3= 2(5.+2n+3),所以数列1S+2m+3引是首项为6，公比为2的等比数列， 所以8+2m+3=6x2,即3.=3x2”-2n-3,所以.=36 a5,-5446 变式训练13.8，=3-21解析：由1=2，a1=3a,+21,neN”,可 得a1+2=3(@.+2-l),所以1an+2-1|是以3为首项，3为公比的等 比数列，所以4n+21=3,则an=3"-2. 1 变式训练14，产解析：由a2aeN期 28+1,又41o7则2==2故 anta。+l 02 1 2 数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，即二=2+(n-1)× aatl 1=n+1,则有=n。 “2=n-1,…,1=2,且n≥3，故1×2×…× da-l an da-l =,即8日=(a≥3)，显然n=1,2时均演是，故 d.=ml' 变式训练15.(1)证明：由各项都为正数的数列{a,}满足5a2+4a1 6,=0,得+0a=(01+a,).即2子，所以数列 a。taa+1 a,+a,是公比为与的等比数列 (2)解：因为a=5=方所以a1a=名，由(1)知数列a,+a 是首项为容公比为兮的等比数列，所以。01会（兮）广 兴女点于是（兮）广”-【-（兮）门汉周为4 50,所以a-(兮）广=0，即a-(兮 一学霸高考·黑 方法总结 模型一：a-a,=n)一黑加法 (1)当f八n)=c(常数)时，{an|为等差数列. (2)当)=知+b时，累加后等号右边为等差数列求和 (3)当f代n)=g时，累加后等号右边为等比数列求和。 (4)当八n)=分式型时，黑加后等号右边可裂项求和 模型二：。 1=n)一系来法 模型三：a1=Aa,+B(A≠1，A≠0，B≠0)—特定系数法 若a,满足此模型，则|a,+A川是等北数列，且公比g=4,其中入= A-1 模型四：a1=Aa,+Bn+C(A≠1，A≠0，B≠0)—特定系数法 若1an}满足此模型，则1an+km+A}是等比数列，且公比q=A,其 中k B 模型五：41=Aa,+Bg(指殷型)一—待定系数法 (1)若A≠g,别1a,+是等比数列，公比g=A (2)者4g则周边同对降以有之日此时合 {是等差 数列，且公差daB 模型六：a1Ban+C —倒数法 者0，}满足此模型，则有1S.L,B “a1Aa。A 模型七：a1=ma(a,>0,m>0,k>0且k1)一对数法 着{an}满足此模型，测有ga1=lga.+lgm 专题2数列的求和 典型例题1158解折：因为。，=41+宁号+…+ neN,所以 nn+1 n+l n 46N,即侣}是常数数列又4方所以片号茹即6，分 因为fx)=(x-2)3+2(x-2)+2,所以f(4-x)=(4-x-2)3+2(4-x 2)+2=-(x-23-2(x-2)+2,所以f)4-)=4又a.=20所以 a(品）ieN,厮以a)=f(知)+（品）+ (器)（器）即a)=(器）（器）+…+（品） (品)所以21()·（知（器）) (品)（器）)+…+(（器）(0)）=4×9，所以 茗a2x9=158 变式训练1,675解析：由题意知八x)=1-*),所以财"(x)=了'(1-x),即 了")1-)=Q又因为g(x)=f'()+子，所以g()+g(1-x)= 2 f"(x)+f"(1-x)+ 3 3 2 3 2025 (2026+82026卡+g(2026 ①，41+a+ay++a2ms= 2025 2024 2023 1 (2026)*g(2026)g(2026 ++g（2026】 ②，将①②两 2025× 式相加可得a1+a2+a3++a2西= 32025 2 3 =675. 题 ·数学·10