第一章 专题4 三角形“四心”问题-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

D,设-市，由题意可知市衣花，由于a,CD三 A 点共线，可得大=1，则m=A,则an的最大值即A=办的最 IADI 大值，由于Ad为定值，放A1最小时，m+m取得最大值.因为AD=AO+ OD,所以当OD⊥BC时，OD最小，1Ad1取得最小值，此时AB=AC, △M8C为等边三角形，所以A=而2 IADI 3 0 变式训练5.A解析：连接AB,依题意可知三角形O4B是等边三角形， 以0为原点建立知图所示的平面直角坐标系，则4（兮，浮）】 B(1,0),设C(cas0,in0),0°<0<60°.因为0d=xO+yOi,所以 (cos 0,sin 0)= ()小()（）所以 1 「2 2, x -sin 0. 解得 3 1 所以u=x+Ay= 2 im0=2, y=c0s 8- sin 0, Am0A0=2n0+Am0=2如(0+p),其中 5 3 3 mp22-入由于0°<60,0<g<360,0°<0+e<420°，要使u有 A3A 5 3A、53 最大值，则存在0+p=90,则30°<g<90,所以m92-入2了·2- 1费0 2->0(4-2)(2-A>0eA<2故选A 1 变式训练6.子 解析：如图，作BC的平行线与圆相交于点P,与直 线AB相交于点E,与直线AC相交于点F,设A市=A店+uA市，则A+= 1,等边三角形边长为2，则外接周率轻为2当点P为细点时。 c设瓷-花则e,号]，当点P为 AE=AF=8 切点时，长有最大值号店=成，：长花办A店产： 花=，y山2x+2=2A知)k=2≤号即2+名的最大值 为号放答案为号 一学霸高考·黑 典型例题2.D解析：依题意建立平面直角坐标系，则C(0,0), 43.0),B0,4),AB的中点坐标为M(}2）直线AB的方程为 4+12=Q由极化恒等式可知时·市=成-亦=成草因 为P心=1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运流CW:子，昌 ≤PW≤子，所以≤PW≤子，所以，e-4,6 变式训练7.B解析：如图，取CD的中点E,连接PE,则P心+P币= 2P成，P元-P币=Dt=2成，两式分别平方再相诚得P心.P币=P-D= P呢2-4，设AB中点为0，连接OE交圆弧于点H,则当P与H重合时， PE最小，最小值为2，当P与A或B重合时，PE最大，最大值为 +2=25,所以P元.Pi∈[22-4，(25)2-4]=[0,16]. 变式训练8.B解析：设AD=m,BD=n,B成.C=(励+D)·(C市 i)=励.市+励.成+动.成+亦应 4 =4=m2-2同理 亦.d:(励+耐·(+=市-亦=)m2-n2=-1,所以联立 得管号所u成在（励(@亦 变式训练9.A解析：MF·MF=(Md+0)·(M心+OF)=(Md+ 0F)·(Mi-0F)=1Mi2-10F2=1Md12-1.1M的最小值为0 点到直线1的距离，所以Md1= 0+0-4-25,故W·M的最小 √2+12 值为7.故迹A. 变式训练1O.B解析：根据题意，取AB中点F,连接EF,DF,作图 如下， 正成=，= (）赤脉1，在 三角形ADF中，由余弦定理可得DF2■4-25c%30°■1，即DF=1,则 ∠FDA=∠FAD=30°，故∠FDE=75°，显然当且仅当FE⊥DC时，1E1 取得最小值，故1=n75×DP.6+2,-1的最小值为 4 y6+w2)2 4 八1子只正.正的最小值为子县做选8 24 专题4三角形“四心”间题 典型例题1.A解析：设1BC=4a,1A川1=b,以H为原点，分别以心， 方向为x轴、y轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，丽= 3元，÷BH1=3a,HC1=a,则H(0,0),B(-3a,0),C(a,0),A(0,b), 则成=(4e0设P(,,则=(，-b,:市.成=-×恋 题·数学·05一 4a=×(4如)2，即=a,即点P的轨迹方程为：=-a而直线= -a平分线段BC,即点P的轨迹为线段BC的垂直平分线，根据三角形 外心的性质可得点P的轨迹一定过△ABC的外心.故选A. 47 变式训练1.B解析：若D为BC中点，由题设市=O亦-Oi=A(成+ A心=2AAi,如图所示，易知直线AP是△ABC的一条中线，所以直 线AP-一定通过△ABC的重心 变式训练2B解析：根据题意，2A存·d=应12，即2A存.A币= 21A·1Ad1·es(应，Ad)=市2，所以1Ad1·cs(A店，Ad)= 士1，则向量动在向盘上的投影为的一半，所以点0在 边AB的中垂线上，同理，点0在边AC的中垂线上，所以点O为该三角 形的外心故选B. 变式训练3.C解析：市=A1·A花+花·A成，A亦=A1 衣·（昌花】店），根据平行四边形法则知昌花+ \IACI IABL IACI 】花表示的向量在角A的平分线上，而向量市与】花+】店 A A衣A面 共线，一直线AP一定经过△ABC的内心故选C. 变式训练4.C解析：因为O· ABA元 a花 J=0,所以可.亦 店 `商o(m-∠0MB)=1a. 含一即-。 lac cos ∠OAC),即可得∠OAB=∠OAC,即AO是∠BAC的平分线.同理可得 B0是∠ABC的平分线，C0是∠ACB的平分线，所以点O为△ABC三 条角平分线的交点，即点O是△ABC的内心.故选C. 变式训练5.B解析：以B为坐标原点，BC的方向为x轴正方向建立平 面直角坐标系，则B(0,0).设C(c,0),A(a,b),P(x,y),则=P+ P+P心=(x-a)2+(yb)2+x2+y2+(x-c)2+y2=3x2-2(a+c)x+ (a+e)2 3,所以当x= 3y- 时，：取得最小值所以P为△ABC的重 3 心.故选B. 变式训练6.BCD解析：在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,P为△ABC内 的一点，建立如图所示的平面直角坐标系， B 0 则A(0,4),B(-3,0),C(3,0),对于选项A:若P为△ABC的重心，则 3.0n“90子则r(o,号)所以市(0，号） 3 3 A=(-3,-4),A花=(3，-4)，若币=x店+y花，由平面向量基本定理可 女：手每得y兮所似子故运须人不正商 -3x+3y=0, 得《 一学霸高考·黑 对于选项B:若P为△ABC的外心，其必在直线A0上，所以P币·B配 (P+O,武=P.B武+0成，t=-18,故选项B正确； 对于选项C:若P为△ABC的垂心，其必在A0上，设P(0,m),则C 应=(-3，m）·(~3-4)=9-4m=0解得m=号，此时市 (0,子）应=(-3.4花=(3.-4)若-破y花，曲平面向 量基本定理可得 有：子得产员所烈石傲迹项 -3x+3y=0. 7 7 C正确： 对于选项D:若P为△MBC的内心，设内切圆半径为，则2×6x4 之x(55+6),得=子则P(0）此时市=(0，之）应 (-3,-4),花=(3，-4)，若币=x店+y花，由平面向量基本定理可得 -3x+3y=0, 5 555 解得xy严6，所以x+y产6+6g,即选项D 4x-4y=-2 正确. 重难点拨 由△ABC的“四心”，可知 (1)重心0为中线的交点，划Oi+0+0元=0： (2)内心0为角平分线的交点、内切圆图心，划BC,O+AC: OB+AB·O元=0： (3)外心0为垂直平分线的交点、外接圆圆心，划01=10市1=0元1： (4)垂心0为高线的交点，划Oi,戒=0i.A花=0t.应=0， 变式训练7.ABC解析：对于A,如图①，连接OAOB,OC,因为PA= PB=PC,PO⊥平面ABC,垂足为O,易得Rt△PAO≌RL△PBO≌ Rt△PC0,则有AO=B0=C0,故点O为△ABC的外心，因为∠ACB= 90°，可得点0为AB边的中点，枚A正确： 2 对于B,如图②，过点P分别作PD⊥AC,PE⊥BC,PF⊥AB,垂足分别为 D,E,F,连接OD,OE,OF,则OD=OE=OF,因P0⊥平面ABC,OD,OE, OFC平面ABC,则P0⊥OD,P0⊥0OE,P0⊥OF,易得R△POD≌ Rt△POE≌Rt△POF,则OD=OE=OF,又由PO⊥平面ABC,ACC平 面ABC,则P0⊥AC,又因为PD∩PO=P,PD,P0C平面POD,故AC⊥ 平面POD,因为ODC平面POD,故AC⊥OD,同理可得BC⊥OE,AB⊥ OF,故点O是△ABC的内心，即B正确： 对于C,如图③，连接C0并延长交AB于点H,连接B0并延长交AC于 点I,连接AO并延长交BC于点G因为PA⊥PB,PC⊥PA,且PB∩PC= P,PB,PCC平面PBC,则PA⊥平面PBC,因为BCC平面PBC,则PAI BC,因为BC⊥PO,PAnP0=P,PA,P0C平面PAO,则BC⊥平面PA0 因为AOC平面PAO,故得BC⊥AO,同理AB⊥C0,AC⊥BO,即点O是 △ABC的垂心，故C正确： 题·数学·06一 对于D,如图④，连接C0并延长交AB于点H,连接B0并延长交AC于 点I,连接AO并延长交BC于点G.因为P0⊥平面ABC,则AO.B0,CO 分别是PA,PB,PC在平面ABC上的射影，则∠PAO,∠PBO,∠PC0分 别是PA,PB,PC与平面ABC所成的角，由∠PAO=∠PBO=∠PCO,易 得△PAO≌△PBO≌△PC0,即得AO=B0=C0故点O为△ABC的外 心，故D错误 典型例题2.D解析：如图，D是BC边的中点， 则A,P,D三点共线且AP=2PD,P市+P元=币+ D成+Pi+D元=2Pi=-P.所以P+P+P元=0， D正确，由于选项A,B,C均不能保证P,.P心 的系数相等，故不正确故选D. 变式训练8.D解析：延长AG交BC于D.因为点G是△ABC的重心， 所以D为c的中点，所以花：号市=子×分（店+衣） 号（花.周为成花-成，所以花.成号（花）·（衣 =号（衣-萨）=号×(10-4)=2 变式训练9.C解析：由点G是△ABC的重心，=x店不=y花，得 花d兮（仁成）成成由6M三 之2层，当且收当资即1时等号 成立故选C 变式训练10.B解析：根据题意画图，如图.：H是 △ABC的垂心，AH⊥BC,Ai.B成=O.D是BC的 中点A0为中线市=应衣，故成，成 (-动·武-市.成之花（花 蓟=恋花)号 变式训练11，B解析：在△ABC中，G,0分别为△ABC的重心和外心， 取BC的中点D,连接AD0D,0G(图客)，则0D1BC,GD=号A0 成-励成市=(*d,且成.成=5（励+·成 成.武石花)·成=5，即石(+花)·（花-）=5， 则衣-=-30.又BC=5,则有112=1花+6成12>2+ B成1？，由余弦定理可得csC<0,即C为纯角，△ABC为钝角三角 形故选B 变式训练12B解析：在△MBC中，取B的中点D,连接HD,则+ 成=2币，如图： 由2+2丽+3配=0，得子（成+丽）=号励，于是动=子励， d-市+成：？币+成，戒=币+成币-成，由H是△MBC的垂心， 得成1D,市1则币.=0，丽.=0，因此d.= (仔成）小（励-成子励-亦0，即1牙励，显 一学霸高考·黑 然m乙AD-之BD=LAHD,令直线B即交AC于P, 1H心 交BC于E,在△MCE,△MF中，∠ACB+∠CE=受=∠AF+ ∠CAE,即∠ACB=∠AHF,则tn∠ACB=an(T-2∠AHD)= 2tan∠AHD 3 -tam(2∠AlD)=- 1-tan2∠AHD √团，所以mC的 3 值为 变式调临aB解折：者需包品衣衣应 动+m后（成-a动）=mi:40a=2uG,Lc=22. 是-i.a成台成-i成m.d急诚. 成-成+台成.成-)n,是(m0 sin B 1)合·(cm2B-0-m,由二倍角公式可得需1 sin B 2sim2c-1）+coC（1-2sim2B-1)=-m,即-2snCc%B+(-2snB: sin B C)=m,放血CasB+血BC=受，故血(B+C)=受，故 营血人停教mA:品会写且+1，可 得-名由于角人为能角，所以血4即=2加4 变式训练14ABD解折：L因为0成=成，所以O=}成因为G 为重心，所以c+G成+c武=0，所以0i-0元+0成-0心+0元-0成=0，所以 0成=(@i+oi0d所以}i号(oi+0i+od,所以o耐：oi o成+0成，所以该选项正确。 BSAe×BCXM1,SAwc=子×BCX,由于C是重心，所以 1 1 1 3t,所以Saac=3Sac,同现Saac=3Saic,Sa4ac=3Sac, 所以S△M既=S△BCo=S△tcG,所以该选项正确。 C.Ai=AG+C=2G+2Od=2(Od+G)=20,所以该选项错模 n.3成所以证=号功兮应，所以威：子成号成所以 店花26成6（号成：成）4成42成，所以该选项 正确 变式训练15.53解析：设△ABC的外接圆的圆心为0，则圆的半径 为2×}=5，+0成+0d=0,放+pi+2P元=4p币+0元又14pd+ *2 2 0元i2=51+8P0.0元≤51+24=75. 放P+P市+2P心1≤55，当P,0心何向共线时取最大值 变式调练16[号2解析：不纺设△48C三边，BC,Ca的中 点分别为D,E,F因为三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，所以 有材=（2+成)=2办=2， 同理动.花(}花可)花号衣：士，于是成.动 题·数学·07一 (成-商动20 又c2=26-62>0,所以be(0,2),代人①得 武成商亦宁-冰)=(（号）广 2 子再由一元二次函数的图象和性质得成，市=（之）' [÷2） 典型例题3.B解析：方法一：根据结论可得S△C:S△Aoc:S△os= 1:1:2,所以心△概-1+之24 方法二：以OA,OB为邻边作平行四边形OAEB,OE∩AB=D,则D是AB 的中点，由0+0成+20元=0得2Ci=Oi+0成=0成，所以0在CE上且是 D的中点，所以5ax宁5a宁宁5c=子5uc,厚aMC 1 的面积与△AOC的面积的比值是4 变式训练17D解桥：方法一：由市：店：号花变形可得可： (成-+武-成，整理可得+3市42成：0，根据结论可 得55e5m132二号微越n 方法二：延长AP交BC于点D,设市=A市，则=A店+A花因为 2 8,CD共线，所以宁分1，解得A号所以亦名应，应 号号花.则5w名55w一名5由市-号： 5 花得而-=号成-动.即励成所u0 5 、SA4即.2，所以AM心=6=子故选D. 变式调练18A解析：方法一：由办：武-号瓜，变形可得可- 3 元根累物念可器位兮即5 1:3 方法二：如图，在线段AB上取点D使AD=子AB,则市=-子威，过 点A作直线1使1/BC,在1上取点E使店=？成，过点D作1的平行 线，过点E作AB的平行线，设交点为P,连接PA,PB,PC,则由平行四 边形法则可得市：？成号成设△PBC底边BC上的高为点，△MBC 底边BC上的高为k,由三角形相似可得h:k=1:3.,:△PBC与△ABC 有公共的底边BC∴△PBC的面积与△ABC的面积的比为1：3. D 变式训练19.日解折：由成成，得成-成}（成-成），整理 得成成子戒=子成，由励=}成，得心=号（成 本，整理得应戒=}成号成整理得可6 9P元=0，根据结论，得SaAc:S△Pe=(4+6+9):4=19:4 变式训练20.D解析：由题意可知d1+入2+入，=1.因为P是△ABC的 一学霸高考·黑 中位线EP上任意一点，且EF∥BC,所以1=子，所以A+M,=子，所 以a≤（他）厂名当且仅当=-时等号成立所以 A2A,取最大值时，P为EF的中点延长AP交BC于点M,则M为BC 的中点，所以PA=W,所以：-p成：之(*P)又因为i:成 y元-0，所以y子，所以3-2放选D 变式训练21B解析：由S。·0成+·0市+3·0元=0，得=8 0品0元由a…成6.0成e.0元=0得d-b0成0元 根据平面向景基本定理可得、。·，、。一二 Ss b S.c 所以。5 延长C0交AB于E,延长BO交AC于F,延长AO交BC于D, 略需受总品 所以CE为∠ACB的平分线，同理可得BF是∠ABC的平分线， 所以O为△ABC的内心，故选B. 变式训练22.1：2解析：方法一：由P+P市+2P元=3A.得P+ Pi+2P元=3(Pi-P,即4P-2Pi+2P元=0. 由结论得S4-2+22,即5ap:SAAc1:2 方法二：由可i+P+2P元=3店，得Pi+P店+2P元=3(Pi-p), 即4P-2P+2P元=0，化简得2P-P+P元=0.即P-P克+P+P元=0， 得店=Pi+P元设AC中点为D,则店=2P币 所以点P在AABC的中位线上.所以=2即S。 1:2. 变式训练23.14解析：方法一：根据结论：0是△4BC平面内的一点， 且xO+y0i+z0=0, 则0Saac:SACO:Sans=1:lyl:kl:②Ac怎王 S△Acx+y+ 3P+4P元=mA店，(m+3)P-mPi+4P元=0 5Am3-m+47:564=8,心5a4c=1 方法二：3P+4P元=m成， ∴戒号(m>0。 7 如图，设D为线段4C上的一点，且市=花， 则成成-市=成Pm/A, SAABP=SAA SAARC=8x- 7 变式训练24. 23 77 解轿：方法一：易求得内切圆半径一37，面 i=t ABI IACI )所以￥=石少=子，另一方面，对上式两边同时 作数量积得币.= (应正)戒易知亦3() AA花) 3，所以号所以号号 3 方法二：联想到结论，将=x店+y心转化为-=x(店-)+y(心 ),整理为(1-x-y)+x厉+y心=0，由结论得(1-x-y):x:y=4 ·数学·08一 4:6,解得=弓号 变式训练25号解析：根据结论，得}：市+7元-0，即心： 2xPi+2yP元，平方得市=4x2P+42P戒+8y·1P市1·P元， eos LBPC.又因为点P是△ABC的外心，所以1P1=IP1=P元I,且 LBPc=2B4C=60,所以24+g=,(P=灯≤ (停）广解鸭0y≤停当且仅当y-停时取等号，所以 6 (x+y）m=3 方法总结 向量与三角形面积的关系在三角形四心中的具体形式： ①0是△ABC的重心S,:Sg:Sc=1:1:1=0i+0成+0元=0. ②0是△ABC的内心=S,:Sa:Sc=a:b:c=a·Oi+b.Oi+e 0t=0. ⑤0是△ABC的外心台s4:Sm:Sc=in2A:sin2Bin2C÷ sin 24 04+sin 2B.O8+sin 2C.0C=0. ④0是△ABC的垂心分S,:Sg:Sc=anA:anB:anC台anA· O+tnB.Oi+tnC.O元=Q. 第二章数列 专题1数列的递推与通项 典型例题1.42产 1 解析：由题得a2=(a-a)+(2-a2-2)+…+ 11 ) （a5-a)ai22rt…+2+(a-1)+4 +(n-1)+ 1 1 4,(n≥2)，当n=1时，n+4-,=1+4-1=4=a符合题意， 4=n+4- 1 所以a-n=n+4)一一n=4, 变式训练1.B解析：由题意得2=3-a1=2因为a,+a1=3n,4-1+ an=3nm-3(m≥2)，所以a1-a1=3(n22),所以41o0=(a10o-ag）+ (aw-a%）+…+(a4-02)+a2=49x3+2=149. 变式训练2B解析：令x=y=0,则f(0)=2/代0)+1，可得f代0)=-1，令 x=y=-1,则-2)=2-1)+3，可得f代-1)=-1，令x=1,y=-1,则 0)=1)+/-1)-1,可得/1)=1，令x=,y=1,neN°，则/八a+1)= 八m)+/(1)+2n+1,可得f八n+1)-f(n)=2n+2,则当n≥2时，f(n)- m-1)=2n,则f(n)=f八n)-f(n-1)+…+f(3)-f(2)+f(2)-f1)+ 1)=2n+2(-1)++2×3+2x2+1=2×anD-1=2+n-1,显然 2 )=1也满足上式，所以f()-m2=m-1,故罗G(m)-m)= 100x(100+）-100=4950. 2 变式训练3.BD解析：因为二阶等差数列1c,1其前6项分别为4,8， 10,10,8,4,从第二项开始，每一项与前一项的差组成新数列的前5项 为4,2,0，-2，-4，易知新数列的公差为-2，即数列{c1-c.|的公差 为-2，故A错误：易知c1-℃是以4为首项，-2为公差的等差数列， 利用等差数列前n项和公式可得营(G1-6=20x4,0(-2) -300,故B正确：由等差数列通项公式可得c+1-C,=4+(n-1)× （-2)=-2n+6,所以c3-01=-2×1+6,6-02=-2×2+6,…,0,-c1= -2(n-1)+6,累加可得c,-c1=-2[1+2+…+(n-1)]+6(n-1)=-2× (n-10[1+(m-1)1+6(a-1)=-2+7m-6,所以c,=-2+7m-6+G= 2 一学霸高考·黑 -7-6447-2-(子）广华利用=次两数经质可起 当n4时，数列1c,}单调递减，且前6项均为正数，易知c1=-2<0,所 以cn>0(1≤m≤6)，c.<0(n≥7)，因此数列1cn的前6项和最大，故 C错误：由cn=-m2+7n-2可得c21=-296,故D正确 典型例题2D解析：由(a-1)a,=(n+1)a,得8一= a-1n-18= a2.5…:=2x2×2x…x0 a1 X行n(n+1)(n≥2)a4 4×(4+1)=20 变式训练4B解折：因为炉=2n,所以+0=2n(c21-)。 a21-a 1-22(-2,得受所以 ains ain aiu ain2 ainain 器尝器片 ×子×广1=25.因为a,>0,所以 a13=15. 变式训练5D解析：由a1a,=2,a2a1=2…,得2=2，有 =22=2… ,=2,=2=2,所以4=2×2=2，则 'a2a-4 a21=2-1,故a4=4,a=2,故a4-43=2,an=2a2-1,la2是等比数 列，a2-1ta2n=2-1+2=3×2-1,故ABC正确，D错误 变式训练6ACD解析：令y=1,则+D./=2x因 x+1 即r(10=2+10x但对于A.令y=1.可fa)=4, 所以W(2)=8,放A正确：对于B(3)=2×3x2=24(4)=2x4× 2 f(3=64/5)=2x5xf4=160,所以f(3)f(4)y5)=248,放 3 4 B错误：对于C,由f(x+1)=2(+1)×f国知，当=n(aeN)时。 则有得”得婴所以智 f(n) f(8) /(102x/9)-2x10x2x9 5,故C正确：对于D,当n≥2且neN f(9)f(8)9 时，由aD.2(a+,得/2024)= (2024)f(2023) f(n) n (2023)了(2022) 得得*1a=mx(传器盟）8=× 3 2024×8=2024×2,故D正确. 2 典型例题3C解析：因为5=-n2+8n,所以当n=1时，a1=5,=-12+ 8×1=7,当n≥2时，a.=S。-S.-1=(-n2+8n)-[-(n-1)2+8(n- 1)]=-2n+9,经检验，1=7满足上式，所以a.=-2n+9(meN),令 a.=-2m+9≥0→n≤4,4n=-2n+9≤0→n≥5，设数列|1an1}的前n项 和为T.,则数列1a,11的前4项和为T,=S=-42+8×4=16,数列 {1a。I川的前12项和为Ta=a11+la2+…+la21=a1+a+a+a4-a5- a6--a12=2S,-S2=2x16-(-122+8×12)=80. 变式训练7.A解析：Sn+S。=S4n中，令m=1,即S1-S。=S1=@1=2, 所以a10=S0-Sg=2 变式训练8.C解析：数列1a.|中，由at=2S。+1,得S1-S,= 2S+1,整理得S1=（S。+1),则√S1=√S。+1,故数列 {尽。是以√S=√@=1为首项，1为公差的等差数列，于是√S,= n曰a1=2n+1,即S,=m2,a,=2n-1(n≥2)，而a1=1满足上式，因 此S,=n2,a.=2n-1,ay=9,S100=10000,ABD错误，C正确. 变式训练9.D解析：数列a,的前n项和是S.,若5。=(-1)a,+ n(n≥2)，neN”,则当n≥2时，S.-1=(-1)“a1+n-1,两式相诚可得 a,=(-1)1a,-(-1)”a-1+1(n≥2)，当n=2027时，a2m7=a+ 题·数学·09学霸高考·黑题数学 专题4三角形“四心”问题 命题密钥 向量可以与几何结合考查，尤其是与三角形的“四心”相结合，主要通过向量的线性组合来 间接考查“四心”，还可以引入三角形面积与向量间的关系来考查“四心”的统一性质这类问题 多以选择题、填空题的形式出现，难度中等，部分题目可达压轴题难度 考点觉醒 0为外心=网=网=2品A “四心” 0为重心一0A+0B+0C=0 的判断 0为垂心⊙0A.0B=0B.0C=0A.0C 三角形“四心”问题 0为内心⊙a0A+b0B+c0C=0 三角形面积与 O为△ABC内一点，则有： 向量间的关系 S△c·0A+SA0c0B+SAA0BOC=0 实战演练 题组。“四心”的判断 典型例题1.(2025·江苏无锡月考)△ABC中，AH为BC边上的高且B丽=3H元，动点P满足AP· B配=}C,则点P的轨迹一定过△AC的 () A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 变式训练1.(2025·重庆南岸区期中)0是平面上一定点，P是△ABC中一动点且满足0P=0A+ A(AB+AC),A>0,则直线AP一定通过△ABC的 A.外心 B.重心 C.内心 D.垂心 变式训练2.(2025·河南南阳月考)已知点0为△ABC所在平面内一点，在△ABC中，满足2AB· A0=1A12,2A元·A0=1AC12,则点0为该三角形的 () A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 变式训练3.已知△ABC所在的平面上的动点P满足AP=A·AC+A元！·A,则直线AP一定经 过△ABC的 () A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 010 第一章三角与向量学霸 变式训练4.已知0是△ABC所在平面内一点，且点0满足OA· AB AC )=0. BA IABI IACI IBAI BC )=0元. CE =0,则点0一定是△ABC的 IBCI ( ICAI ICBI A.外心 B.重心 C.内心 D.垂心 变式训练5.在△ABC所在的平面内有一动点P,若P+P它+P心2=，则当t取得最小值时，P为 △ABC的 A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 变式训练6.（多选）(2025·黑龙江哈尔滨期中)在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,P为△ABC内的 一点，AP=xAB+yA元，则下列说法正确的是 () A.若P为△ABC的重心，则x+y=2 B.若P为△ABC的外心，则PB·BC=-18 C.若P为△ABC的垂心，则x+y=16 D.若P为△ABC的内心，则名 变式训练7.（多选）(2025·广东广州期末)过△ABC所在平面外一点P,作P0⊥平面ABC,垂足为 O,连接PA,PB,PC.下列说法正确的是 A.若PA=PB=PC,∠ACB=90°，则O是AB边的中点 B.若点P到△ABC三条边的距离相等，则点O是△ABC的内心 C.若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的垂心 D.若PA,PB,PC与平面ABC所成的角均相等，则点O是△ABC的重心 题组日“四心”的应用 典型例题2.已知点P是△ABC的重心，则下列结论正确的是 A.sin2A·PA+sin2B.Pi+sin2C.P元=0 B.sin A.PA+sin B.PB+sin C.PC=0 C.tanA·PA+tanB·PB+tanC,PC=0 D.PA+PB+PC=0 变式训练8.已知点G是△ABC的重心，若1AB1=2,1AC1=√10，则AG·BC的值为 A.4 B.1 C.-2 D.2 变式训练9.(2025·江西宜春期中)如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB,AC 两边交于M,N两点，设Ai=xAB,A=yAC,则x+4y的最小值为 () 5 A.9 B.4 C.3 D. 2 o11 学霸高考·黑题数学 变式训练10.在△ABC中，AB=5,AC=6,D是BC的中点，H是△ABC的垂心，则D丽.BC=() A.-11 8号 C.11 1 D.2 变式训练11.在△ABC中，BC=5,G,0分别为△ABC的重心和外心，且O元·B元=5，则△ABC的形 状是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能 变式训练12.(2025·河北衡水模拟)若H是△ABC的垂心，2H瓜+2HB+3H元=0，则anC的值为 () A.5 B. 21 C.22 √10 D. 2 2 变式训练13.(205·南北或汉月考)在镜角△MBC中，mA=5若点0为△1BC的外心，且 cosB+osC元=mAd,实数m的值为 sin C sin B 6 C.√6 D.26 变式训练14.（多选）(2025·山东潍坊月考)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书 中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心 距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O,G,H分别是 △ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则 A.0i=0A+0i+0元 B.SAARG=S△BCe=SAACG C.A=30 D.AB+A元=4Od+2HM 变式训练15.已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点，则1PA+PB+2PC1的最大值 为 变式训练16.设0是△ABC的外心，a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边，满足b2-2b+c2=0, 则B元·AO的取值范围是 题组目向量与三角形面积的关系 典型例题3.设点0在△ABC的内部，且Oi+OB+2O元=0，则△ABC的面积与△A0C的面积的比 值是 A.3 B.4 C.5 D.6 变式训练17.(2025·陕西宝鸡月考)点P是△ABC所在平面上一点，若P=AB+号A花，则△ABP 2 3 与△ACP的面积之比是 3 .2 B.3 D. 3 012 第一章三角与向量学霸 变式调练18(25·江茶盘城中学月考)已知点P是△40C所在平面内-点，若证：配号瓜。 则△PBC与△ABC的面积比为 () A.1:3 B.1:2 C.2:3 D.3:4 变式训练19.如图，已知点A,B,C,P在同一平面内，P=Pi,Q成=Q正，心=RC,则So4c: SAPBC等于 () A.14:3 B.19:4 C.24:5 D.29:6 变式训练20.已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC,实数x,y满足P+xPB+ PC=0,设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S,S,S,记g=, ；=A=A,则 入2入3取最大值时，3x+y的值为 () A号 B.-2 C.1 D.2 变式训练21.平面上有△ABC及其内一点O,若将△OAB,△OBC,△OCA的面积分别记作S。, S。,S。,则有关系式S。·OA+S。·OB+S。·0元=0.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 满足a·OA+b·0i+c·0元=0，则0为△ABC的 () A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 变式训练22.(2025·广东江门月考)已知P是△ABC所在平面内一点，满足PA+PB+2P元=3AB, 则△ABP与△ABC的面积之比是 变式训练23.设P为△ABC所在平面上一点，且满足3PA+4PC=mAB(m>0).若△ABP的面积为 8,则△ABC的面积为 变式训练24.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=b=4,c=6,I是△ABC的内切圆的 圆心，若Ai=xAB+yAC,则x= ,y= 变式训练25.设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC=30°，如图.若△PBC,△PCA,△PAB 的面积分别为)，x,则x+y的最大值是 o13