第一章 专题3 平面向量的应用-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

学霸高考·黑题数学 专题3平面向量的应用 命题密钥 向量是几何与代数的桥梁，也是高考中的热点问题.2025年全国一卷的第6题，给向量提供 了一种新的考查形式.第18题，则是体现了向量在解析几何中简化计算的作用.除了掌握基本 的平面向量概念及运算以外，还需要掌握一些进阶技巧，来帮助我们更快地解答问题 考点觉醒 平面内一组基底Oi,OB及任意向量O币， 0P=20A+ 等和线 uOB(U,:∈R),若点P在直线AB上或在平行于AB的直线 上， 则+=k(定值)，反之亦然 进阶技巧 a.b=4[a+b)2-(a-b].在△4BC中， 设D是△ABC的 极化恒等式 边BC的中点，则AB.AC=AD-BC 实战演练 题组口等和线 典型例题1.（江苏高考）如图，在△ABC中，AB=4,AC=3,∠BAC=90°，D在边BC 上，延长AD到P,使得AP=9,若P=mP丽+(？-m)P心(m为常教)，则CD的长 度是 变式训练1.如图，已知点P在由射线OD、线段OA,线段BA的延长线所围成的平 面区域内（包括边界），且0D与M平行，若O币=x0B+yO,当x=}时，y的取值 范围是 A.[0,1] B c.] 变式训练2.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP= 入AB+地AD,则A+4的最大值为 () A.3 B.22 C.5 D.2 变式训练3.(2025·安徽合肥一中模拟)已知0是△ABC内一点，且0OA+0B+0C=0,点M在△0BC 内（不含边界），若Ai=入AB+μAC,则A+2μ的取值范围是 () ,) B.(1,2) c.( 008 第一章三角与向量学霸 变式训练4已知△4BC的一-内角A=写，0为△ABC所在平面上一点，满足10A1=I0B1=10C1,设 Ad=mAB+nA元，则m+n的最大值为 ( 九号 4 B.1 D.2 变式训练5.(2025·安徽合肥月考)已知扇形04B的圆心角是60°，半径是1，C是弧AB上不与A,B 重合的一点，设O心=xOA+yOB(x,y∈R),若u=x+y存在最大值，则实数入的取值范围为 () A(分2) B.(分) c(3) D.(1,3) 变式训练6.边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O,P为圆0上任一点，若AP=xAB+yAC, 则2x+2y的最大值为 题组日极化恒等式 典型例题2.(2022·北京)在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且 PC=1,则P.P的取值范围是 () A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6] 变式训练7.(2025·广东深圳期中)如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径 的半圆上（正方形ABCD内部，含边界），则PC·PD的取值范围为 () A.(0,16) B.[0,16] C.(0,4) D.[0,4] (变式训练7) (变式训练8) (变式训练10) 变式训练8.(2025·安辙安庆模拟)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等 分点若B.C=4,B示.C示=-1，则B正.C元的值为 A号 7 C.1 D.2 变式训练9已知椭圆C:)8=1的左、右焦点分别为F,F点M在直线1：x+y4=0上运动，则 MF·MF的最小值为 () A.7 B.9 C.13 D.15 变式训练10.(2025·广东广州月考)如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD=30°，∠ABC=75°， ∠ADC=105°，AB=2,AD=√3.若E为线段CD上的动点，则A正·BE的最小值为 A.13 13 1√3 B.- 十 24 24 C.24 D. 1,3 24 0094+2B=受，结合+B=牙解得B=石 6 （2)由()知，血B=-m60,所以号<C<,0<号面血B= -mCam(C号）人所以C=受+B.甲有A号-2B,所以B ce(）所以。 。sin2A+sin2B sin'C cos22B+1-cos-B_(2cosB-1)2+1-cos2B 国s2B eos-B =4es2B+2 -5≥2w8-5= cosB 4-5当仅当o一B=号时取等号，所以的最小值为4厅-5 2 变式训练7.解：(1)由题设及正弦边角关系，有AB+仁.所 sin A sin B+sin C' 以sin Beos A+sin Ceos A=sin Acos B+insC,整理得 sin Bcos A-sin Acos B=sin Acos C-sin Ceos A.sin(B-A)=sin(A-C), 显然B-4-C=B-G=示不合题设则-=4-G所以4：5面4 8C=,可得4=号 、（2)由a=6=6可得6二万上.c=”上所以26+2三 2im28+im2C.2a(3-2s28-om20）,由（1）知B+C=2 3 3 2-2s2-(2] 则263+2 2(3+ 22-3 02h） 3 B<则-号<2-号<，又2+的最大值为6+25，所以 2(学）=6+23，可得a=5(负位会).综上a=8 变式调练&解：(1)根据正弦定理可知加sB+子加B=血4口 4 4 sin CeosB+SinB=in(B+C)→5sinB=in BeosC.因为Be(0,m, 所以inB≠0.所以esG=4 5 (2)庙余弦定理可知mA+2-d_2-4因为+2<4，所 以=40号a4a因为m6=号e(停 ,所以inC= 子名<c<子由正孩定理得品品BC6- sinA 2sin(A+C)2sin Acos C+2sin Ceos A 8 6 sin A sin A f 8 6 4 所以56生g252nA◆20 2]会云（层小 8 名（仁）广温周为名6<号病以4质取 1 的取值范围是[”2 L10025/月 专题3平面向量的应用 典型例题1. 或0解析：“A,D,P三点共线.可设可= 18 一学霸高考·黑 AP成0成=m店+(}m)A市=m成+(m 3 元，即成”防，之、 2、·元若m0且m子，期R.0.C三点共 3 之实得0c 线 3 ∠BAC=90°，∴BC=5.设CD=x,∠CDA=B,则BD=5-x,∠BDA=T-A. 根据余弦定理的推论可得s0=AD+CD-AC。 2MD·CD9 60s(T-8)= AD2+BD2-AB2(5-x)2-7 24D·BD 6(5-)”9+c0s(T-f)=0, E(5-x)2-7 66(5-x) 18 0.解得x= C长度为当m=0时，-元.CD重合，此 5 时D的长度为0，当=时，风=成.B,n重合.此时M=2,不 符合题意，舍去放答案为0政学 变式训练1.D解析：如图，由向量加法的平行四边形法则可知，0P为 平行四边形的对角线，该平行四边形以OA和)B的反向延长线为两邻 边当x= 时，要使点P落在指定区城内，即P点应落在F上 CE=- 201,CF= 04的取值范职为[日，】放选D 变式训练2.A解析：如图所示.建立平面直角坐标系， yt (OB 2 设A(0,1),B(0.0),C(2.0),D(2,1),P(xy).易得圆的半径r= 5 即圆c的方程是（一22=子亦-(1）.应=(0.-.动 2,0,若满妮A红应，期仁人“=宁A=1-.所以A 4=1,设：=立+1，即y+1=0,点P(刊在圆(-22 广=子上，所以圆心(2.0)到直线号-y+1-:=0的距将4≤，即 2解得1≤：≤3，所以：的最大值是3，即A0的最大值是 3,故选A 变式训练3.B解析：因为0是△ABC内一点，且+0丽+0元=0，所以 D为△ABC的重心，M在△OBC内（不含边界），且当M与O重合时. A最小，此时可：A应μ配=子[片（动]号应， 号元，所以A=写=了即A=1:当W与C重合时A2数大。 此时A=A乙，所以A=0=1,即A+2μ=2因为M在△0BC内且不含 边界，所以取开区间，即A+24∈(1,2)，故选B. 变式训练4.A解析：由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，如图所 示，在圆0中，劣风所对的圆周角为号，点B.C为定点，点4为优报 C上的动点，则点A,B,C,0满足题中的已知条件，延长A0交C于点 题·数学·04 D,设动-A应.由题意可知市：动：只亦，只花，由于么.GD三 A61 点共线，可得只1则n=A,则mn的最大雀即水号 的最 A 大值，由于为定值，故1A最小时，m+m取得最大值.因为AD=AO件 OD,所以当OD⊥BC时，OD最小，1A1取得最小值，此时AB=AC, △ABC为等边三角形，所以A2 变式训练5.A解析：连接AB,依题意可知三角形O4B是等边三角形. 以0为原点建立如附所示的平面直角坐标系，斯A(兮浮）。 B(1.0),设G(em日，in8),0°<8<60，因为0元=x0+y0丽.所以 15 cos 8.sin 8)= (小(0（）所以 2 2, t=- sin 8. 解得 3 所以H=x+Ay= sin 2, y■s9- in 0. 3 2-A二+产m(8+p).其中 3 A3A m2A2-由于0<8<60°，0<e<360,0<0*p<420,要使u有 3 最大值，则存在+p=90,则30<4<90，所以mp2-了·2- 33 3A 3-10.h- 1.2 2-A >0(4-2(2-M)>0e2<2放选L 变式训练6.了解析：如图，作C的平行线与圆相交于点P,与直 8 线AB相交于点B,与直线AC相交于点F,设市=A+μ亦则Aμ= 1,等边三角形边长为2，则外接圆半径为2，当点P为切点时。 c设尝6则keb】当点P为 AE=AF=8 切点时，4有最大值子正=应，=长花办=A正：址应+ 丛元=Ay山2+2y=2Ap)k=2长号母2+2的最大值 为弩放答案为子 一学霸高考·黑 典型例题2.D解析：依题意建立平而直角坐标系，则C(0,0), A(3.0),B(0.4).B的中点坐标为(}2)，直线B的方程为 4-2=0由极化面等式可知可，成=亦-}亦=成尊因 4 为PC=1,所以P在以C为圆心，1为率径的上运动C1:, rPW≤，所以≤m≤}所以.本e[-4. 变式训练7.B解析：如图，取CD的中点E,连接PE,则心+P币= 2P尿，P元-P币=D元=2D成，两式分别平方再相减得P心.Pi=P-D= P元2-4，设AB中点为0，连接0E交园弧于点H,则当P与H重合时. PE最小，最小值为2.当P与A或B重合时，PE最大，最大值为 +2=25,所以P元.Pie[22-4,(2w5)2-4]=[0.16]. 变式训练8B解桥：设AD=m,BD=n,Bi.C=(B品+D·(C+ )=励.市+励.成+成，+亦=应 =4=m2-m2问理 4 破，=励+耐（=市-励=，m-2=-1,所以联立 只断u成d(成-脉-亦 得m25 4 7 gm2-28 变式训练9.A解析：F·MF=(Mi+OF)·(M市+0F)=(Mi+ 0示)·(i-0F)=1M2-10F3=1Mi2-1.11的最小值为0 点到直线1的距离，所以1Wd1=040--2w2,故沉·M丽的最小 √个2+12 值为7，故选A 变式训练1O.B解析：根据题意，取AB中点F,连接EF,DF,作图 如下， 正威()广（同-床-床在 三角形ADF中，由余弦定星可得DF2=4-23%30°=1，即DF=1,则 ∠FDA=∠FAD=30°，故∠FDE=75.显然当且仅当FE⊥DC时，1E序 取得最小值，放=血7S×D=64,1的最小值为 4. (八-1：停院硫的最外南停意 24 专题4三角形“四心”问题 典型例题1.A解析：设1BC1=4a,1A=6,以H为原点，分别以元 方向为x轴，y轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系：成= 3H元.1BH1=3a,1Hc=a,则H(0,0),B(-3a,0),C(a,0),A(0.b), 则成=(.0.设P(,则市=(b)市.成-子×恋， 题·数学·05一