第一章 专题2 解三角形-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

怎号。（侣智）即)的一个对称中心为（售0），故 售）0：商号（积号）故)在区向（怎号）上单润，设 质数的最小正周期为7测子>行号号…巴一号0≤子函 数代x)在区 (二一）上恰有2个零点，则号恰好为第一个零点，相 能两个零之同相E率个周期子做子<：号≤7，即子·2二 20 号≤行解得}<0≤结合0<。≤}，可得。的取值范围 为(？] 典型例题3.C解析：八-x)=inl-xl+lsin(-x)l=sin+linx- )代)为偶函数，故①正确当号<x<m时)=2n,它在区 同（受一上单调递减，故②错误当0≤x≤m时）=2am,它有 两个零点0，T:当-T≤x<0时八x)=in(-x)-inx=-2inx,它有一个 零点-π，故八x)在[-π，]上有3个零点-T,0,T,故③错误当xe [2km,2kr+r](kEN")时，f八x)=2sinx:当xe[2kr+T,2km+2m] (keN“)时x)=inx-inx=0,又f(x)为偶函数，f(x)的最大值 为2，故④正确.综上所述，①④正确，放选C 方法总结 判新函数代x)的零点个数的常用方法： (1)直接法：直接解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出 结果： (2)数形结合法：先令f代x)=0,将函数f八x)的零点个数，转化为对应 方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得 出结果 变式训练5.-2解析：由于f(-x)=inl-x+lcos(-x)1-sinl-xl- 1coe(-x)Il=sinxl+Icos xl--Isinlzl-lcos￥|1=f八x),且定义城为R, 所以/代x)=sinlxl-+lcosx|-1 sinlxl--|cosx|l是偶函数，所以只需要研 究x≥0的部分，即f(x)=sinx+1 cos-finx-Icos1,由于fx+ 2)=sin(x+2)+lcos(x+2)1-Isin(x+2)-Icos(x+2)11=sin x+ 1csxl-linx-|c0sx|I■f(x),所以当x≥0时，f(x)=sinx+ 1csx-inx-lcosx1是一个周期为2m的函数，则只需要研究一个 周期xe[0,2m]的最小值，以下分类讨论：则当0≤x≤平时，(x)= sinx+cosx-Isin x-cosx|■inx+c0sx+inx-cosx=2ginx,此时最小值 为0)=0，当牙≤x≤号时，()=m+om-1ng一m 血+o如+m=2m,此时最小值为灯（行）-0，则当号≤ m-2m,此时最小值为（受）-0，当要≤：≤受时.） si血-cos-lsin+cosx=sinx-cosx+sinx+cosx=2sinx,此时最小值 为灯（货）-2，当受≤≤2m时）=如+o-1m-em1= 2 如血-0=2a如，此时最小值为（受）-2，综上最小 值为-2 专题2解三角形 典型例题1.解：()在△MBC中，因为D为BC中点，LADC=号，AD= 151 DCsinL.ADC 复解特a-4在△m中，∠D8:由余弦定理得C:即 A02-2D·ALA0B,即2=4+1-2x2x1x(）-7,解得e= 一学霸高考·黑 4,所以mB=血A5 √2 cos B 5 (2)方法一：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 0+1-2x7ax1xcm(LADC), xxxADC. 整理得子。2+2=+已，而 62+c2=8,则4=25，又Sae三乞×5×1×血LADC=2,解得 血LA0C=l,而0<LAC<,于是LAC=受，所以6=e √AD+CD=2 方法二：在△ABC中，因为D为BC中点，所以2市=A店+A花，又C A-A,于是4A市+C=(A成+A花)2+(A丽-A)2=2(62+2)=16,即 4+a2=16,解得a=25,又SAc=】x3x1×sin LADC=号，解得 sinLADC=1,面0<LADC<m,于是∠ADC=受，所以b=e= √AD+CD2=2 变式训练1.解：(1)由(sinB-inC)2=sin2(B+C)-sin Bsin C,可 得sin2B-2 sin Bsin C+sin2C=in2(m-A)-sin Bsin C,所以sin2B- sin Bsin C+sin2C=in2A,所以sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,由正弦定 理司得2-。k,由农弦定理可得mA“一号因为 2bc Ae(0,),所以A=号 (2)因为△M8c的面积为2,5，所以宁a血4=宁如血号-25，所以 k=8,由动-2心可得励=子成=子（花-），所以心-=+励 号花-=号+子花所以亦函+号花+ 3 9 2 市≥当组仅当=，即6=2=4时取等号.所以A0的 最小值为 变式训练2解：(1)在△ABC中，由bsin C+√3 ceos B=√3a及正弦定理 得sin Bsin C+w3 sin Ceos B=√3sinA=√3sin(B+C)=√3 sin Beos C+ 3 eos Bsin C,即sin Bsin C=3 sin Beos C.因为B,C∈(0，m),则sinB> 0,即inC=5m60,可得mC=5,放c=号 (2)由正弦定理可得“ i通A"sin B"sin C- 2=46,所以6 sin3 sin Asin B· sin2C =4,在△ABC中，由余弦定理可得e2=8=a2+b2- 2 abeos C=a2+b2-ab=a2+b2-4,所以a2+b2=12.因为CT为AB边上的 中线，所以：(a成+d,所以亦：(d成+d2=(a本+ 2bomc))(2 4)=4,故1C=2,因此，AB边上的中线CT的长为2. 典型例题22解析：记AB=c,AC=b,BC=a,由余弦定理可得，22+ 62-2×2xb×C0s60°=6.因为b>0,解得6=1+√5，由S△Ac=S△AD+ 5aam,可得宁X2Xx血60-号×2 Dn30+×40x6Xn30. 题·数学·02一 解得A0=V3=25(1+=2 b 1* 3+/3 变式训练3.解：(1)因为b+c=a(cosC+√3sinC),由正弦定理得 sin B+sin C=sin A(cos C+3sin C),sin(A+C)+sin C=sin A(cos C+ √3sinC),即co%Asin C+$inC=√3$in Csin A.因为C∈(0，r).所以 血G0,所以，5血有m4=1.即m(人号）产宁又因为Ae (0,),所以4=号 （2)图为A0平分∠8C,所以子22，即c=24,由质积相等得之× 3.2h·in62 。红·6·26·血，解得6=30 2 所烈35唐余弦定理得心-（停）广(3)2-2293厅， 9 变式训练4.解：(1)因为inC=3inB,由正弦定理得e=3站，在△ABD 中，玉袋定理得物8RD在A4CD中.由正弦定第相 BD inLADCinCAD因为AD平分∠BMC,所以∠AD=LCMD,因为 AC DC 上0B+LADC=m,所以曲LADB=血LADC,所以格-把图为e 36,DC=2,所以2-3，得D=6,所以BC=8 (2②)因为5ac=5am+Sac,设∠B4D=∠CD=6,所以7AB· ACm20=宁B·AD0+宁4C·ADnQ因为c=3动，4D=4C,所以 3AC·AC·2 sin Bcos8=3AC·kACsin 0+AC·kACsin 8.因为sin8≠0，所 以6a9=4,所以k=2sa因为0e(0,受），所以m8e(0,1), 3 所以e(o,） (3)由余弦定理得BC2=c2+62-2e·bc0%LBMC=262(5-3cos∠BAC).因 为5u号所宁29：子因为=，所以c所 3 2 CiBAG (5-3cm LBAC)=2-BC,BC=2. 5-3c0s205-3(2cos20-1)8-6c0s208sin28+8cos20-6c0s20 = sin 20 sin dcos 8 in0es日 sin dcos 8n02ea08028m+2.28,当且仅当8m92 sin 0cos 0 tan 助g即 an0=】时等号成立，故此时cos9=),即=35 5 典型例题3.解：(1)方法一：正弦定理+平方关系 在AD中，由正致定理得船·代人数位并新得 AB 血LADB=三又因为BD>AB,所以∠LADB,即LADB为锐角，所 5 以cosLADB=y页 5 方法二：余弦定理 在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·ADc0s450,即25=4+AD2-2× 2x4DX三，解得D=万+V25,所以c∠B=4 2AD·BD (2+23)2+25-4.√23 2×(2+√23)×55 方法三：利用平面几何知识 过点B作BE⊥AD,垂足为E,在Rt△AEB中，因为∠A=45°，AB=2,所 以AE=BE=2.在Rt△BED中，因为BD=5,所以DE=√BD-BE= 一学霸高考·黑 √S-(2=V2区所以ms∠ADB=V23 5 (2)方法一：余弦定理 南()得mLA08=石则血LAB=号在△BCD中，BC=D DC2-2BD·DC·co%(90°-LADB)=52+(22)2-2×5× 2w2in∠ADB=25,所以BC=5. 方法二：利用平面几何知识 作BF⊥DC,垂足为F,易求得BF=√23，FC=√反，由勾股定理得 BC=5. 变式训练5.解：(1)因为(2ac+4c2)c0B=a2-2-c2,由余弦定理a2= b2+e2-2bccos A,(2ac+4c2)cos B=-2bccos A,(a+2c)cos B= -bcos A,由正弦定理可得sin Acos B+2 sin Ceos B=-sin Bcos A, 即sin Acos B+-sin Beos A+2 sin Coos B=0,所以sinC+2 sin Coos B=0. 义Ge(0,m),所以血C>0,所以1+20asB=0,即csB=-2,又Be (0,),所以B=2知 3 (2)在△AGD和△ABC中，由正弦定理可得GD AC sin 30"sin ZADC' 血LC4Bin120,设LACB=0,0°<0<60，则LACD=120°-0， BC AC ∠ADC=30°+0，∠CMB=60°-8，故两式相除可得2C0sin(60°-)。 2 3 2 3 n(30°+0，即cD=2sn(30+9sim(60-0图此cD √3 (30+0)-(60-0)]-os[(30+0)+(60-9)7cos(20-30°7故 当20-30°=0°时，即0=15时，此时co8(20-30°)取最大值1，故CD取 最小值5. 变式训练6.解：(1)在△ACD中，由余弦定理AC2=AD2+CD2-2AD, CD·c0sa=1+4-2×1×2×csT=3,所以AC=万，则AD2+4C2=CD2, 3 所以∠DMC=受又因为△ABC为等边三角形，所以AB=AC=5,且 ∠BD=LBMC+∠DMC=g,所以Sa=宁AB·AD:血∠BD 1 宁×X仪m名-怎则△a0的面积为 (2)在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CD·eoa=1+ 4+2x1x2xama5-o,所以5w94c停（6-4ao Sa40m2×1x2aima=ma,所以四边形ABGD的而积S=Sa4am+ 3 S△AC=4 -(5-4cos a)+sin a=sin a-/3 cos a+ 5=2m(e号）f 4 又因为ae(侵)所以。-号e(）所以 即四边形A8CD的面积的取值范周为(1,55,24551】 42+4 sin 2B 224 2 典型例题4.解：(1 1+im"1+2B A +n2 A 2sin Bcos B 1-am2 0622=amB,. =tan B, 2cos2B A A A cos 2+sin 2 1+am2 m(行）m民，结合正切函数的单调性，号- TA =B,则 题·数学·03 A+2B=号，结合A+8=号，解得B= 6 (2)由(1)知，血B=-mC>0,所以受<C<,0<B<受，雨血B= omC=m(C受），所以C=受+B,即有A=受-2，所以Be (0）c。(侵)所以.- 2 sin2C coB+1-oB(2co1)ocoB 5≥2w8-5= cos2B eos2B c082B 4-5当且仅当om8=号时取等号.所以的最小值为4厅-5 2 变式测练7据：()曲题设及正孩边角关系，有二二8二二所 以sin Bcos A+sin Ccos A=sin Acos B+sin Acos C,整理得 sin Bcos A-sin Acos B=sin Acos C-sin Ceos A,sin(B-A)=sin(A-C), 显然B-A+A-C=B-C=行不合题设，则B-A=A-C,所以A=2,而中 B+C=,可得A=号 （2)油亡后立c可得6：信e2信C所以22 3 5 62an20.2a3-20-m20,由(1)知，B+c-2 3 3 23-2a28-m(2)] 则262+c2= 3 2235 3 B<则-号<2B-号<，又2+的最大值为6+28，所以 20(:号)=6+23，可得a=5(负值合)，综上，a=5 变式训练息解：(1)根报正弦定理可知nCmB+子血B=血A口 4 4 i血CooeB+了inB=i血(B+C)→s sin B=inBoC.因为Be(0,m）, 所以sinB0,所以oasC=4 5 (2)由余弦定理可知oA=心=因为2+2<4，所 以s40,号mAa图为=G-宁（停9）所以血c 号君<c行由正孩定理粉BC6~ b sinA 2sin(A+C)2sin Acos C+2sin Ccos A 8 6 sin A sin A …m 8 6 4 引品]会云（品 .8 云（日）温因为君心子所以4行所以m45l, 12 的索值范调是品号） 专题3平面向量的应用 典型例题1. 警成0解析：4，D,P三点共线可设减 一学霸高考·黑 A0.:成m+(3m)屁=m成+(}m 3 成，即成=”成， 女成者m0且m受则B,0C三点共 3 3 线人+A=1,即A之P=9D=3AB=4,AC=3, ∠BAC=90°，BC=5.设CD=x,∠CDA=0,则BD=5-x,∠BDA=m-A. 根据余弦定理的推论可得co9=AD+CD2-AC. 2A0D·cD= 6,c0s(T-0)= AD2+BD2-AB2(5-x)2-7 ￥(5-x)2-7 2AD·BD =65-司m0+os(m-0)=0,6+65- 18 0,解得x= ,CD的长度为当m=0时，可成=2元，C,D重合，此 5 时CD的长度为0：当m2时，成：2应，B,D重合，此时PA=2,不 符合题意，合去放答案为0成号 变式训练1.D解析：如图，由向量加法的平行四边形法则可知，OP为 平行四边形的对角线，该平行四边形以OA和OB的反向延长线为两邻 二当x2时，要使点P落在指定区域内，即P点应落在EF上) CE=- 0，CP:04y的取值意围为 131 22 故选D D E 变式训练2A解析：如图所示，建立平面直角坐标系 yt 2 设A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1),P(x,y),易得圆的半径r= 5 即圆C的方程是（一2P4=子办：(，=(0，-1，市 （2,0),若满是A应，则社A“=受A1-,所以 71,设=7+1，即受y1=0,点P(,)在圆（-22+ 广：子上，所以圆心(2.0)到直线专-y+1-:=0的距离4≤，回 12-≤2，解得1≤≤3，所以：的最大值是3，即A加的最大值是 3,故选A 变式训练3.B解析：因为0是△ABC内一点，且O+O成+O元=0，所以 O为△ABC的重心，M在△OBC内（不含边界），且当M与O重合时， A+最小此时应=A应花=子×[}（西]号硒 号定，所议A=了=宁即A4=1:当M与C重合时A+24最大 1 此时M=A花，所以A=0,4=1,即A+24=2因为M在△0BC内且不含 边界，所以取开区间，即A+24■(1,2).故选B. 变式训练4.A解析：由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，如图所 示，在圆0中，劣弧C所对的圆网角为于，点B,C为定点，点A为优弧 C上的动点，则点A,B,C,0满足题中的已知条件，延长A0交BC于点 题·数学·04一第一章三角与向量学丽 专题2.解三角形 命题密钥 解三角形是高中数学重点学习的内容，也是高考重点考查的内容，在近些年的高考中，多是 以中等难度的题型出现，主要考查正余弦定理，三角形面积公式，和差角公式，诱导公式，同角基 本关系，三角形有关角的函数值等内容 考点觉醒 寻找介之间的关系，∠ADC+∠ADB=π 方法一：多次 得到余弦偵问的关系，cs∠ADC=-Cos∠ADB 使H余弦定理 解含有等分 分别使州余弦定理得到等式， 点的三角形 AD2+CD2-AC2 AD2+BD2-AB2 2AD.CD 2AD-BD 利用向量得到等式，2AD=AB+AG (D为BC中点) 方法二：向量化 两边同时平方可得，4D=4B+1C+21B·AC 寻找面积间的关系，SAm=SAm+SAm 方法一：等 解含有布平分 面积转化 利用面积关系列出等式 线的一角形 利用面积比例关系或者正弦 方法二：角 D 平分线定理 定理， 得出等式AB=BC (BD为∠ABC AD CD 的平分线) 分析已知条件和待求结论 寻找恰当的三角形 三角形内角和定理 解平面儿何问题 三角形外角等于与其不相邻内角的和 寻找角之间的关系并转化 两角和与差之间的关系 结合止余弦定理求解 其他的角之间的关系 003 学霸高考·黑题数学 实战演练 题组解含有等分点的三角形 典型例题1.(2023·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面 积为3，D为BC中点，且AD=1. （)若∠A0C-号求mB: (2)若b2+e2=8,求b,c. 变式训练1.(2025·四川成都模拟)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，(sinB- sinC)2=sin2(B+C)-sin Bsin C,且△ABC的面积为2√3. (1)求A: (2)若BD=2DC,求AD的最小值 变式训练2.(2025·河北石家庄三模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+ 3ccos B=3a. (1)求角C的大小： (2)若AB=2,2,且sin Asin B=求AB边上中线cT的长 004 第一章三角与向量学丽 题组日解含有角平分线的三角形 典型例题2.(2023·全国甲理)在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2,BC=6,∠BAC的平分线交BC于 D,则AD= 变式训练3.(2025·江苏苏州期末)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b+c= a(cosC+3sinC),D为边BC上一点，BD=2DC,AD=3. (1)求A: (2)若AD平分∠BAC,求a. 变式训练4.(2025·湖北宜昌模拟)如图所示，在△ABC中，sinC=3sinB,AD平分∠BAC,且 AD=kAC. (1)若DC=2,求BC的长度； (2)求k的取值范围： 3 (3)若S△c=2,求k为何值时，BC最短 005 学霸高考·黑题数学 题组目解平面几何问题 典型例题3.（全国高考）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB: (2)若DC=2√2，求BC的长 变式训练5.(2025·重庆一中月考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,(2ac+ 4c2)cos B=a2-b2-c2. (1)求角B: (2)若D为△ABC外一点，在四边形ABCD中，边长BC=2,∠DCB=∠B,∠CAD=30°，求边CD的最 小值 变式训练6.(2025·山东济南模拟)如图，在平面四边形ABCD中，已知AD=1,CD=2,△ABC为等 边三角形，记∠ADC=a. (1)若= 3,求△ABD的面积： (2)若ae(分，m),求四边形ABCD面积的取值范围。 006 第一章三角与向量学丽 题组四最值与范围问题 典型例题4.(2022·新高考全国I)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cos A sin 2B 1+sin A 1+cos 2B 2T (1)若C=3,求B: 2求” 一的最小值， 变式训练7.(2025·四川泸州一模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 cos A cos B+cos C b+c (1)求A: (2)若2b+c2的最大值为6+23，求a的值 变式训练8.(2025·山东济南期末)在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ceos B+ -a 4 (1)求cosC: (2)若=2，且+2<4，求b+c2的取值范围 59 007