第一章 专题1 三角函数图象与性质-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

第一章三角与向量学丽 第一章三角与向量 专题1三角函数图象与性质 命题密钥 三角函数图象与性质在高考中属于必考考，点，常见题型为根据图象确定三角函数解析式并 探究其性质，多以选择题与填空题的形式进行考查2025年全国一卷第4题，全国二卷第15题， 都考查到了这一知识点. 考点觉醒 正余弦及正切函数在一个周期内的性质 核心知识 正弦型函数y=Asin(ax+p)+B的性质 角函数图象与性质 解法思路 观察图象中的特殊点、特殊值；借助平 面几何知识；整体法代换；分段讨论 实战演练 题组■根据图象确定解析式 典型例题1.(2023·新课标全国Ⅱ)已知函数x)=sin(x+p),如图，A,B是直线y=)与曲线 y=)的两个交点，若14B1=石则m)归 (典型例题1)》 (变式训练1) 变式训练1.(2025·江苏常州月考)如图，函数x)=Asin(ox+p)(4>0,w>0,lp1≤7)的图象与 x轴的其中两个交点分别为A,B,与y轴交于点C,D为线段BC的中点，IOB1=√31OC1,1OA1= 2,1AD1=2 3 ,则下列说法正确的是 A.f(x)的最小正周期为12如 B.f(x)的图象关于直线x=8对称 C.f八2)=f(-4) D.f八-x+2)为偶函数 001 学霸高考·黑题数学 变式训练2.（多选）(2025·陕西西安期中)函数f(x)=Asin(wx+e)(A>0,w>0,0<p<π)的部分图 象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M,N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是 A函数)在(，)上单调递增 B.函数)的图象关于点(0)成中心对称 C,函数八)的图象向右平移受个单位后关于直线x成轴对称 12 D.若圆半径为 则函数)的解析式为到=信血(2r+号》 12 题组口w的计算 典型例题2(2025·天津=im(p)(o>0.-<p<m),在-证]上单调递增，且x=号 为它的一条对称轴， (写，0)是它的一个对称中心，当xe【o,]时x)的最小值为 3 A. B.- C.1 D.0 2 2 变式训练3.(2025，辽宁沈阳三模)已知函数)=2sim(ax牙)(o>0)在区间(？，云)上有且仅 有一个零点，当ω最大时，(x)的图象的一条对称轴方程为 A.&17 7 23 23 分 B.x=14 C.x 10 D.x= 8分 变式训练4(2025·济南车对接拟)商数=S血rp(o>0且eeR)在（阳，2）上单调，且 f(質)+/()=0，若)在，π)上恰有2个零点，则。的取值最准确的范围是 题组目三角函数图象与绝对值变换 典型例题3.（全国高考）关于函数f代x)=sinlxl+|sinx有下述四个结论： ①x)是偶函数：②x)在区间(？，m)上单调递增：③x)在[-T,m]上有4个零点：④x)的最大 值为2.其中所有正确结论的序号是 A.①2②④ B.②④ C.①④ D.①③ 变式训练5.(2025·四川攀枝花三模)函数f(x)=sinlx1+|cosx|-|sinlx1-1cosx|1的最小值 为学霸高考 第一章三角与向量 专题1三角函数图象与性质 典型例级1- 解折：设4(），8(，宁)由11=行 可得石由血可知=名2或：2eZ,由 到知p偶9名君-行即)停所4 因对（仔）小血(-）小-0，所以号pk,即g号+a， ez所以)=血（多）小血（子），所以 血(a号=）或血（子）又因为0)<0，所 以血（子）所e加血（子）- 方法总结 已知fx)=Ain(ax+p)(A>0,u>0)的部分图象求其解析式时，求A 比较容易，看图即可得出，困难的是求待定系数仙和甲，常用如下两 种方法： ()由。受甲可家出心：确定？时，者意求出离原点最近的右侧围 象上升（我下降）的“零点”横坐标0，尉令0+p=0(或a0+p= ),即可求出单， (2)代入点的坐标，利用一绝已知点（最高点、最低点或“案点”）坐标 代入解析式，再结合图象解出仙和甲，若对A,山的符号或对p的范围 有要求，则可用锈导公式变换使其符合妥求」 变式训练1.C解析：由题意可知，A(2,0),B(2+”,0）, c0恤p则D(品空）有51仙1=2+日 (2pa1012(亿2.把 4 6(负值会去)u=石血（行p）=0,由1p≤受解得g= 子m(号）川=8，解得4=总f() =(合号）是然其周期7=空=12，收A错误：当：=8时。 6 名号=m,1)=0,放B错溪/(2)=5血0=0，f-4) (-0放c正确，t2)=苧n日2)-号] 的一（名），显然是奇活敌放D错误 重难点拔 利用三角函数的图象与性质含参表示各点坐标，再根器线段关系解 参数求出函数解析式，针对选项利用三角函数性质一一判定即可。 变式训练2BD解析：由题图易得点C的横坐标为号，所以爪)的周 期T,所以。2，财（后）0，所以=子因此(） 一学霸高考·黑 黑题答案 de工所以流数在(：合号）e2上#调迷 地2+号2 12ke乙，所以函 数)在（品侣），eZ上单洞遥减则函数）在 (合，品）上单调适减.所以选项人不正魂由2么号- 乙得=受-后，e2,离数)的图象的对称中心为 (仔。0)小eZ,所以西)的图象关于点(0成中心对 称，故选项B正确函数)的图象向右平移西个单位得到 12 -Aco%2x的图象，直线x= 不是此时的对称轴，故选项C不正确若圆 6 2 2 6 ”,函数f八x)的解 折式为m(2+号），故选D 6 典型例题2.A解析：设∫(x)的最小正周期为T,根据题意有 +2 (m,k∈Z),由正弦函数的对称性可知年-T 3-12 3w+9=m行 2a7ae2,每受-2u=a+2aez.又e)在 4 [侣]上单满增，则子>()吕>号40 w≤2，仙=2，则{ 3 +2k, (m,keZ).p∈(-百，m）,∴k=0,m= 3 1=行)=m(（2+号）当se[0,]时，2x+号e [仔智]，由正孩活数的华满性可知心)。血行。号 变式拥车3B舞折：当号ca时，且>0，了-子m子m 号，由f()=0可得血（m号）=0，所以 13k+1≤仙<3k+4 k∈Z,解得 44 .7k∈Z,若 k+0r<w号≤(42， 也无，期3站4号或了<1，部得长我6子由于o心 3 1≤w<4, （-2≤u<1, 0且仙存在，故k=0或k=-1,即{4一7或14则有 3w33w≤ 3 号<0≤号或写<u<1,故。的最大值为子，此时f() 2(停号)等号宁maz.可得行宁(a ),当m=2时，函数()的一条对称轴方程为=4 17 变式训练4. (3] 解析：因为函数fx)=in(ax+p)(u>0,pe 5知 R)在区向（行胥）上单润且满起财（行）（钙）商 题·数学·01一 怎号。（侣智）即)的一个对称中心为（售0），故 售）0：商号（积号）故)在区向（怎号）上单润，设 质数的最小正周期为7测子>行号号…巴一号0≤子函 数代x)在区 (二一）上恰有2个零点，则号恰好为第一个零点，相 能两个零之同相E率个周期子做子<：号≤7，即子·2二 20 号≤行解得}<0≤结合0<。≤}，可得。的取值范围 为(？] 典型例题3.C解析：八-x)=inl-xl+lsin(-x)l=sin+linx- )代)为偶函数，故①正确当号<x<m时)=2n,它在区 同（受一上单调递减，故②错误当0≤x≤m时）=2am,它有 两个零点0，T:当-T≤x<0时八x)=in(-x)-inx=-2inx,它有一个 零点-π，故八x)在[-π，]上有3个零点-T,0,T,故③错误当xe [2km,2kr+r](kEN")时，f八x)=2sinx:当xe[2kr+T,2km+2m] (keN“)时x)=inx-inx=0,又f(x)为偶函数，f(x)的最大值 为2，故④正确.综上所述，①④正确，放选C 方法总结 判新函数代x)的零点个数的常用方法： (1)直接法：直接解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出 结果： (2)数形结合法：先令f代x)=0,将函数f八x)的零点个数，转化为对应 方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得 出结果 变式训练5.-2解析：由于f(-x)=inl-x+lcos(-x)1-sinl-xl- 1coe(-x)Il=sinxl+Icos xl--Isinlzl-lcos￥|1=f八x),且定义城为R, 所以/代x)=sinlxl-+lcosx|-1 sinlxl--|cosx|l是偶函数，所以只需要研 究x≥0的部分，即f(x)=sinx+1 cos-finx-Icos1,由于fx+ 2)=sin(x+2)+lcos(x+2)1-Isin(x+2)-Icos(x+2)11=sin x+ 1csxl-linx-|c0sx|I■f(x),所以当x≥0时，f(x)=sinx+ 1csx-inx-lcosx1是一个周期为2m的函数，则只需要研究一个 周期xe[0,2m]的最小值，以下分类讨论：则当0≤x≤平时，(x)= sinx+cosx-Isin x-cosx|■inx+c0sx+inx-cosx=2ginx,此时最小值 为0)=0，当牙≤x≤号时，()=m+om-1ng一m 血+o如+m=2m,此时最小值为灯（行）-0，则当号≤ m-2m,此时最小值为（受）-0，当要≤：≤受时.） si血-cos-lsin+cosx=sinx-cosx+sinx+cosx=2sinx,此时最小值 为灯（货）-2，当受≤≤2m时）=如+o-1m-em1= 2 如血-0=2a如，此时最小值为（受）-2，综上最小 值为-2 专题2解三角形 典型例题1.解：()在△MBC中，因为D为BC中点，LADC=号，AD= 151 DCsinL.ADC 复解特a-4在△m中，∠D8:由余弦定理得C:即 A02-2D·ALA0B,即2=4+1-2x2x1x(）-7,解得e= 一学霸高考·黑 4,所以mB=血A5 √2 cos B 5 (2)方法一：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 0+1-2x7ax1xcm(LADC), xxxADC. 整理得子。2+2=+已，而 62+c2=8,则4=25，又Sae三乞×5×1×血LADC=2,解得 血LA0C=l,而0<LAC<,于是LAC=受，所以6=e √AD+CD=2 方法二：在△ABC中，因为D为BC中点，所以2市=A店+A花，又C A-A,于是4A市+C=(A成+A花)2+(A丽-A)2=2(62+2)=16,即 4+a2=16,解得a=25,又SAc=】x3x1×sin LADC=号，解得 sinLADC=1,面0<LADC<m,于是∠ADC=受，所以b=e= √AD+CD2=2 变式训练1.解：(1)由(sinB-inC)2=sin2(B+C)-sin Bsin C,可 得sin2B-2 sin Bsin C+sin2C=in2(m-A)-sin Bsin C,所以sin2B- sin Bsin C+sin2C=in2A,所以sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,由正弦定 理司得2-。k,由农弦定理可得mA“一号因为 2bc Ae(0,),所以A=号 (2)因为△M8c的面积为2,5，所以宁a血4=宁如血号-25，所以 k=8,由动-2心可得励=子成=子（花-），所以心-=+励 号花-=号+子花所以亦函+号花+ 3 9 2 市≥当组仅当=，即6=2=4时取等号.所以A0的 最小值为 变式训练2解：(1)在△ABC中，由bsin C+√3 ceos B=√3a及正弦定理 得sin Bsin C+w3 sin Ceos B=√3sinA=√3sin(B+C)=√3 sin Beos C+ 3 eos Bsin C,即sin Bsin C=3 sin Beos C.因为B,C∈(0，m),则sinB> 0,即inC=5m60,可得mC=5,放c=号 (2)由正弦定理可得“ i通A"sin B"sin C- 2=46,所以6 sin3 sin Asin B· sin2C =4,在△ABC中，由余弦定理可得e2=8=a2+b2- 2 abeos C=a2+b2-ab=a2+b2-4,所以a2+b2=12.因为CT为AB边上的 中线，所以：(a成+d,所以亦：(d成+d2=(a本+ 2bomc))(2 4)=4,故1C=2,因此，AB边上的中线CT的长为2. 典型例题22解析：记AB=c,AC=b,BC=a,由余弦定理可得，22+ 62-2×2xb×C0s60°=6.因为b>0,解得6=1+√5，由S△Ac=S△AD+ 5aam,可得宁X2Xx血60-号×2 Dn30+×40x6Xn30. 题·数学·02一