中考专题复习：三角函数的应用2024-2025学年北师大版九年级下册

中考专题复习：三角函数的应用 1．为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．如图1所示的是一辆自行车的实物图，车架档与垂直且，，座杆的长为，点A、C、E在同一条直线上，且，，如图2． (1)求车架档的长； (2)求车座点E到车架档的距离．（结果保留根号，参考数据：，，） 2．图1是某型号挖掘机的实物图，该挖掘机是由基座，主臂和伸展臂构成的．图2是该挖掘机在某种工作状态下的侧面结构示意图，基座的高，主臂长为5，是伸展臂，，，主臂伸展角．（参考数据：，，） (1)求点到的距离； (2)若此时，求伸展臂的长． 3．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，． (1)求的长； (2)若米，求、两点的距离． 4．辽宁盘锦辽河国家湿地公园适宜鸟类栖息，拥有众多鸟类种类，是候鸟停歇的重要地点．小亮同学计划周末从家中（图中点）骑自行车去湿地公园（图中点）观鸟，现在有两条路线可供他选择： 路线一：从家中出发，先沿北偏东方向的公路骑行到点，再沿正东方向的公路骑行到达湿地公园； 路线二：从家中出发，先沿正东方向的公路骑行到点，再沿北偏东方向的公路骑行到达湿地公园； (1)求点到公路的距离； (2)请帮助小亮计算出路线一、路线二哪条路线的路程更短． （结果精确到，参考数据：） 5．如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：，，，） (1)求B处距离小岛C的距离（精确到海里）； (2)为安全起见，渔船在B处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？ 6．某商场为了方便顾客购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图，已知原阶梯式自动扶梯长为，坡角，设计改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，点在同一水平地面上． (1)求扶梯的高度．（参考数据：） (2)为保证顾客安全，扶梯的正前方至少应该留有空旷且没有阻挡的区域，已知原扶梯的前方有空地，空地的长为，这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：） 7．如图1，是台式桌面化妆镜，由镜面和底座组成，镜面可以绕两固定点转动，如图2，是其侧面示意图，，可绕点O旋转，O是的中点，测得厘米． (1)正常放置时，，求此时点A到的距离； (2)如图3，绕点O逆时针旋转到的位置，此时，求点A在竖直方向上升的高度（结果精确0.1厘米）．（参考数据：，，） 8．如图1所示为一铝合金手机桌面支架．将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，手机固定板可绕滚轴中心点C转动．已知，支架后背，手机固定板．（参考数据；） (1)求滚轴中心点C到底座的距离． (2)调整手机固定板，当时，求点D到支架底座的距离． （结果用根号表示） 9．图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货厢侧面是一个矩形，米，米，为货车挡板，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为米．卸货时货厢在千斤顶的作用下绕着点A旋转． (1)当侧面绕着点A旋转时，求点B离地面的距离； (2)如图2，已知该货车的安全轴距为米．当挡板还未打开时，货厢对角线的交点G是货厢侧面的重心.在卸货过程中，如果支点A到货厢重力方向（以点G为端点竖直向下的射线）所在直线的距离小于安全轴距，则车辆会发生倾覆安全事故．当侧面绕着点A旋转且挡板还未打开时，该货车会发生倾覆安全事故吗？请说明你的理由．（本题中载满货物的货厢可看作一个质地均匀的物体，在实际问题中我们可以仅从平面的角度进行研究）（参考值：，，，） 10．遮阳伞的主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，同时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而变化，“笃学”小组对遮阳伞下的影子展开了项目式学习活动，下表是项目化学习报告． 项目主题 遮阳伞下的影子 活动内容 背景 如图，某款遮阳伞的立柱垂直于地面，，，分别为悬托支杆，C点为可旋转伞体的接头，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为，，为伞体支架，且，测量得到， 示意图    资料 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角参照表： 时刻 太阳光线与地面的夹角/度 90 85 70 65 40 25 参考数据：，，，，， 项目结果 中午时，太阳光线与地面垂直时，将可旋转接头C点进行适当调整，使，此时，点E刚好落在上；遮阳效果最佳 下午时，通过调整旋转接头C点使伞体倾斜，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳 下午时，… 请根据此项目实施的相关材料完成以下任务． (1)如图1，当中午太阳光线与地面垂直时，地面影子的长约为______． (2)如图2，请你求出下午时伞体在地面上留下的影子的长．（注意：任务（1）、（2）的计算结果均精确到） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中考专题复习：三角函数的应用 1．为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．如图1所示的是一辆自行车的实物图，车架档与垂直且，，座杆的长为，点A、C、E在同一条直线上，且，，如图2． (1)求车架档的长； (2)求车座点E到车架档的距离．（结果保留根号，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． （1）在中，根据，可得，再利用勾股定理解答即可； （2）过E作于点F，在中，利用锐角三角函数解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即车架档的长为． （2）解：过E作于点F，如图． 在中，，，， ∴， ∴车座点E到车架档的距离为． 2．图1是某型号挖掘机的实物图，该挖掘机是由基座，主臂和伸展臂构成的．图2是该挖掘机在某种工作状态下的侧面结构示意图，基座的高，主臂长为5，是伸展臂，，，主臂伸展角．（参考数据：，，） (1)求点到的距离； (2)若此时，求伸展臂的长． 【答案】(1)点到的距离约为5 (2)伸展臂的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题的关键． （1）过点作，垂足为，延长交于点，则四边形是矩形，再利用锐角三角函数，求出，再求； （2）根据同角的余角相等，得到，再利用锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）如图，过点作，垂足为，延长交于点， ， ， ， ， ， ， 由，可得四边形是矩形． ，． 在中，，， ． ． 答：点到的距离约为5． （2）， ． ， ， ， ． 在中，，， ． 答：伸展臂的长约为． 3．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，． (1)求的长； (2)若米，求、两点的距离． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，解题关键是熟练运用勾股定理以及含度角的直角三角形的性质． （1）过点B作于点E，从而可求得，然后根据，可求得； （2）过点N作的延长线于点F，然后根据，可求得，最后利用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：过点作于点， 四边形是矩形， （米） （米）， ， （米）． （2）过点作于点， ， ， （米）， （米）， （米）． 4．辽宁盘锦辽河国家湿地公园适宜鸟类栖息，拥有众多鸟类种类，是候鸟停歇的重要地点．小亮同学计划周末从家中（图中点）骑自行车去湿地公园（图中点）观鸟，现在有两条路线可供他选择： 路线一：从家中出发，先沿北偏东方向的公路骑行到点，再沿正东方向的公路骑行到达湿地公园； 路线二：从家中出发，先沿正东方向的公路骑行到点，再沿北偏东方向的公路骑行到达湿地公园； (1)求点到公路的距离； (2)请帮助小亮计算出路线一、路线二哪条路线的路程更短． （结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)点到公路的距离约为 (2)路线二的路程更短 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用三角函数的定义构造直角三角形求解，将实际路线转化为数学的几何三角问题，熟练掌握三角函数的概念和性质由已知边和角来求解未知边是解决本题的关键． （1）根据中，并结合三角函数即可求解； （2）根据的正切值和正弦值可求解和的长度，比较路线一和路线二总长度，即可得解． 【详解】（1）解：如图①，过点作，交的延长线于点， 在中，， ， ∴点到公路的距离约为； （2）解：如图②，过点作，交的延长线于点， 由题意易得，， 在中，， ， ， 在中，， ， 路线一的总路程为； 路线二的总路程为； ， ， 路线二的路程更短． 5．如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：，，，） (1)求B处距离小岛C的距离（精确到海里）； (2)为安全起见，渔船在B处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？ 【答案】(1)B处距离小岛C的距离约为海里； (2)安全，说明见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据题意，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）如图，过点作于，根据题意求出，利用和锐角三角函数，分别表示出：，再利用，求出，然后求出即可； （2）如图，过点作于，求出的长度，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 由题意得， ，， 海里， ∵， ∴， 在中， ∵ ， ∴， ∵， 即：， 解得， 在中，（海里） ， 答：B处距离小岛C的距离约为海里； （2）解：如图，过点作于， 在中，，， ∴ (海里)， ∵， ∴能安全通过， 答：能安全通过． 6．某商场为了方便顾客购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图，已知原阶梯式自动扶梯长为，坡角，设计改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，点在同一水平地面上． (1)求扶梯的高度．（参考数据：） (2)为保证顾客安全，扶梯的正前方至少应该留有空旷且没有阻挡的区域，已知原扶梯的前方有空地，空地的长为，这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这样改造不可行，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，特别是锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的运用，解题的关键是从实际问题中抽象出两个直角三角形和利用公共边建立联系，再通过相应的锐角三角函数求出所需边长，进而判断改造是否可行． （1）在中，利用的正弦函数对边斜边结合已知长和的近似值，求出的长度； （2）先在中，利用的余弦函数邻边斜边求出的长度；再在中，利用的正切函数对边邻边求出的长度；进而计算结合的长度求出最后通过比较与的大小，判断改造是否可行． 【详解】（1）在中， ∴（）， 答：扶梯的高度约为； （2）这样改造不可行，理由如下： 在中， ∴（m）， 在中， ∵， ∴这样改造不可行． 7．如图1，是台式桌面化妆镜，由镜面和底座组成，镜面可以绕两固定点转动，如图2，是其侧面示意图，，可绕点O旋转，O是的中点，测得厘米． (1)正常放置时，，求此时点A到的距离； (2)如图3，绕点O逆时针旋转到的位置，此时，求点A在竖直方向上升的高度（结果精确0.1厘米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)厘米 (2)2.1厘米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）作于点D，根据已知易得：（厘米），然后在中，利用锐角三角函数求出的长； （2）作于点E，根据在中，可求（厘米），然后在中，（厘米），即可解答． 【详解】（1）解：作于点D， ∴， 由题意可得：（厘米）， 在中，，， ∵， ∴（厘米）， 即点A到的距离为厘米； （2）解：作于点E， ∴， 在中，，， ∵， 又∵， ∴（厘米）， 在中， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米）． 答：点A在竖直方向上升的高度约为2.1厘米． 8．如图1所示为一铝合金手机桌面支架．将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，手机固定板可绕滚轴中心点C转动．已知，支架后背，手机固定板．（参考数据；）    (1)求滚轴中心点C到底座的距离． (2)调整手机固定板，当时，求点D到支架底座的距离． （结果用根号表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形应用．熟练掌握解直角三角形相关计算是解题的关键． （1）过点C作于点E，利用三角函数解答即可； （2）过点D作于点F，于点G，利用直角三角形的解法解答即可． 【详解】（1）解：过点C作于点E， 则， ∵， ∴；    （2）解：过点D作于点F，于点G． 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴点D到底座的距离为 9．图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货厢侧面是一个矩形，米，米，为货车挡板，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为米．卸货时货厢在千斤顶的作用下绕着点A旋转． (1)当侧面绕着点A旋转时，求点B离地面的距离； (2)如图2，已知该货车的安全轴距为米．当挡板还未打开时，货厢对角线的交点G是货厢侧面的重心.在卸货过程中，如果支点A到货厢重力方向（以点G为端点竖直向下的射线）所在直线的距离小于安全轴距，则车辆会发生倾覆安全事故．当侧面绕着点A旋转且挡板还未打开时，该货车会发生倾覆安全事故吗？请说明你的理由．（本题中载满货物的货厢可看作一个质地均匀的物体，在实际问题中我们可以仅从平面的角度进行研究）（参考值：，，，） 【答案】(1)米 (2)不会发生安全事故，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角和，然后进行计算即可； （2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q， 则四边形为矩形， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 答：车厢最高点C离地面的距离是米； （2）解：不会发生安全事故， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K， 则四边形为矩形， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 不会发生安全事故． 10．遮阳伞的主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，同时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而变化，“笃学”小组对遮阳伞下的影子展开了项目式学习活动，下表是项目化学习报告． 项目主题 遮阳伞下的影子 活动内容 背景 如图，某款遮阳伞的立柱垂直于地面，，，分别为悬托支杆，C点为可旋转伞体的接头，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为，，为伞体支架，且，测量得到， 示意图    资料 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角参照表： 时刻 太阳光线与地面的夹角/度 90 85 70 65 40 25 参考数据：，，，，， 项目结果 中午时，太阳光线与地面垂直时，将可旋转接头C点进行适当调整，使，此时，点E刚好落在上；遮阳效果最佳 下午时，通过调整旋转接头C点使伞体倾斜，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳 下午时，… 请根据此项目实施的相关材料完成以下任务． (1)如图1，当中午太阳光线与地面垂直时，地面影子的长约为______． (2)如图2，请你求出下午时伞体在地面上留下的影子的长．（注意：任务（1）、（2）的计算结果均精确到） 【答案】(1) (2)约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）先根据矩形的判定与性质可得，再设经过点的太阳光线与交于点，解直角三角形可得的长，然后根据等腰三角形的性质可得的长，由此即可得； （2）过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，，再在中，解直角三角形即可得． 【详解】（1）解：当中午太阳光线与地面垂直时，则， ∵垂直于地面，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，设经过点的太阳光线与交于点，      则， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图，过点作于点，    由题意可知，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳， ∴四边形是矩形， ∴，， 由（1）已得：， ∴， 在中，， 所以下午时伞体在地面上留下的影子的长约为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$