精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

2023-2024学年度第一学期高二开学考试 一、单选题 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中，正确的是（ ） A. 若∥，∥，则∥ B. 若，，则 C. 若，∥，且，则 D. 若，，且，则 3. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A. 623 B. 328 C. 253 D. 530 4. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，点是的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 移动支付技术的进步给人们的生活带来了巨大的便利，很多人出门已经习惯了不带现金，达到“一机在手，天下我有”的境界.某超市某日采用手机支付的老､中､青三个年龄段的顾客共1250人，其比例如图所示，则估计该超市该日采用手机支付的青年人的人数约为（ ） A. 375 B. 680 C. 688 D. 698 6. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的第80百分位数为（ ） A. 91 B. 92 C. 93 D. 93.5 8. 在中，内角A，，的对边分别为，，，已知，，且，则的面积为（ ） A. B. C. 或 D. 二、多选题 9. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（ ）． A. ； B. ； C. 与是异面直线； D. 与成60°角． 10. 某产品售后服务中心选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）： 63 38 25 42 56 48 53 39 28 47 45 52 59 48 41 62 48 50 52 27 则这组数据的（ ） A. 众数是48 B. 中位数是48 C. 极差是37 D. 5%分位数是25 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（ ） A. ， ， B. ，， C. ，， D. ，， 12. 已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（ ） A. 棱台的高为 B. 棱台的表面积为 C. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 三、填空题 13. 已知，，，则实数k＝______． 14. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从40只“冰墩墩”，30只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为__________． 15. 已知一组数，，…，的方差是4，则，，…，的方差是________． 16. 如图，在直三棱柱中，，则此直三棱柱的外接球的体积是___________. 四、解答题 17. 已知是关于x的方程的一个根，其中为虚数单位． （1）求的值； （2）记复数，求复数的模． 18. （1）已知平面向量与的夹角为，，，求的值. （2）已知，，且向量与向量的夹角，求向量在向量上的投影向量． 19. 在①(b－c)cos A=acosC ，②sin(B+C)=－1+2sin2 ， ③acosC=b－c ，这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题． 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知______________． （1）求角 A 的大小； （2）若 a=2 ，且△ ABC 的面积为 2，求 b+c ． 20. 如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 21. 2021年开始，广西将推行全新的高考制度，采用“”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理、历史中自选一门（2选1），在政治、地理、化学、生物4门科目中自选两门参加考试（4选2）．由于受疫情影响多地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：，画出频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）根据频率分布直方图求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数； （3）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 22. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，，点E是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求以为棱，与为面的二面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第一学期高二开学考试 一、单选题 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：A 2. 已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中，正确的是（ ） A. 若∥，∥，则∥ B. 若，，则 C. 若，∥，且，则 D. 若，，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行，面面平行，线面垂直和面面垂直的性质与判定定理分析判断即可 【详解】若∥，∥，则∥，或m与n相交或异面，故A不正确． 若，，则∥，故B不正确． 若，∥，且，则有可能∥，不一定，故C不正确． 若，，且，可以判断，故D正确． 故选：D 3. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A. 623 B. 328 C. 253 D. 530 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机数表的规则进行求解即可. 【详解】因为从表中第5行第6列开始向右读取数据，剔除不合要求（大于700或重复）的编号， 所以依次得到的编号为：， 所以得到的第6个样本编号是， 故选：A 4. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，点是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把向量，作为基底，利用平面向量基本定理和向量的加减法法则求解. 【详解】解：因为是的中点，所以， 因为点是边的中点，所以， 所以, , , , , 故选：B 【点睛】此题考查了平面向量基本定理和向量的加减法法则，利用了数形结合的思想，属于基础题. 5. 移动支付技术的进步给人们的生活带来了巨大的便利，很多人出门已经习惯了不带现金，达到“一机在手，天下我有”的境界.某超市某日采用手机支付的老､中､青三个年龄段的顾客共1250人，其比例如图所示，则估计该超市该日采用手机支付的青年人的人数约为（ ） A. 375 B. 680 C. 688 D. 698 【答案】C 【解析】 【分析】先由扇形统计图求出采用手机支付的青年人所占的比例，从而可求出人数 【详解】解：由扇形统计图可知采用手机支付的青年人所占的比例为， 因为采用手机支付的老､中､青三个年龄段的顾客共1250人， 所以该日采用手机支付的青年人的人数约为人， 故选：C 6. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由垂直向量求出m的值，利用坐标表示向量的减法运算即可. 【详解】由条件，，所以，从而. 故选：D 7. 某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的第80百分位数为（ ） A. 91 B. 92 C. 93 D. 93.5 【答案】D 【解析】 【分析】将数据从小到大排序，应用百分位数的求法求第80百分位数. 【详解】数据从小到大为，而， 所以第80百分位数为. 故选：D 8. 在中，内角A，，的对边分别为，，，已知，，且，则的面积为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，结合正弦定理求得，再利用余弦定理求得变a，最后利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】解：因为，所以， 由正弦定理得，则，即， 则，又， 所以，则， 又由余弦定理可得，所以解得或， 当时，，又，求得，，所以不符合题意舍去； 当时，. 故选：A. 二、多选题 9. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（ ）． A. ； B. ； C. 与是异面直线； D. 与成60°角． 【答案】BC 【解析】 【分析】先将正方体还原，观察即得解. 【详解】解：将正方体还原，如图所示： 由图可知，A不正确；B正确；C正确； D．与平行，所以与成60°角不正确． 故选：BC． 10. 某产品售后服务中心选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）： 63 38 25 42 56 48 53 39 28 47 45 52 59 48 41 62 48 50 52 27 则这组数据的（ ） A. 众数是48 B. 中位数是48 C. 极差是37 D. 5%分位数是25 【答案】AB 【解析】 【分析】利用众数，中位数，极差和百分位数的定义进行判断即可. 【详解】这组数据中48出现了3次，出现次数最多，因此众数是48，A正确； 从小到大排列20个数据分别为25，27，28，38，39，41，42，45，47， 48，48，48，50，52，52，53，56，59，62，63，第10位和第11位均为48， 两者的平均数也是48，因此中位数是48，B正确； 最大值为63，最小值为25，因此极差为，C错误； 是整数，分位数应取第1位与第2位的平均值，即25与27的平均值26，D错误． 故选：AB． 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（ ） A. ， ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理的知识确定正确选项. 【详解】A选项，，， 所以有两个解，A选项正确. B选项，为锐角， ，， ，所以有两个解，B选项正确. C选项，由余弦定理得， 所以有唯一解. D选项，， ，所以有唯一解. 故选：AB 12. 已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（ ） A. 棱台的高为 B. 棱台的表面积为 C. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意，在正三棱台中，在平面中，由点向作垂线，垂足为，取线段的中点，连接，在平面中，由点向作垂线，垂足为，连接，根据正三棱台的性质求出侧面的高与棱台的高，再根据线面角与二面角的定义即可求解． 【详解】解：由题意，在正三棱台中，，，，在平面中，由点向作垂线，垂足为，取线段的中点，连接，在平面中，由点向作垂线，垂足为，连接， 在等腰梯形中，，，，则，， 所以棱台的表面积为，故选项B正确； 又三棱台为正三棱台，所以为正三棱台的高， 所以，由，所以平面，， 在中，， 在中，， 所以棱台的高为，故选项A错误； 棱台的侧棱与底面所成角为，，故选项C错误； 棱台的侧面与底面所成二面角为，，故选项D正确. 故选：BD． 三、填空题 13. 已知，，，则实数k＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】由平面向量平行的坐标公式计算即可． 【详解】因为， 所以，解得， 故答案为：3． 14. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从40只“冰墩墩”，30只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用分层抽样中的比例列出方程，即可求出答案. 【详解】，解得：. 故答案为： 15. 已知一组数，，…，的方差是4，则，，…，的方差是________． 【答案】16 【解析】 【分析】利用方差计算公式，将所求方差用已知方差表示. 【详解】设的平均数为，则， 且， 所以的平均数为， 方差为 故答案为：16. 16. 如图，在直三棱柱中，，则此直三棱柱的外接球的体积是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件把直三棱柱补形成正方体，利用它们有相同的外接球，求出正方体的体对角线长即可得解. 【详解】直三棱柱共点于的三条棱两两垂直， 则以为相邻三条棱可作正方体，该正方体与直三棱柱有相同的外接球， 外接球的直径2R即为正方体体对角线长，即， 此球的体积为， 故答案为：. 四、解答题 17. 已知是关于x的方程的一个根，其中为虚数单位． （1）求的值； （2）记复数，求复数的模． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件可得，然后结合复数相等的条件得到方程组，解方程组即可求出结果； （2）由（1）可以求出复数，然后结合复数的除法运算以及模长公式即可求出结果. 【详解】（1）根据条件可将代入方程，整理得，所以，解得 （2）由（1）可知， 所以 于是， 因此复数的模为. 18. （1）已知平面向量与的夹角为，，，求的值. （2）已知，，且向量与向量的夹角，求向量在向量上的投影向量． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先求解，进而得到的值； （2）先计算出向量在向量上的投影长度，进而求出投影向量. 【详解】（1）因为，，与的夹角为， ， 所以. （2）设与向量方向相同的单位向量为，则． 向量在向量上的投影长度为：， 所以向量在向量上的投影向量为 19. 在①(b－c)cos A=acosC ，②sin(B+C)=－1+2sin2 ， ③acosC=b－c ，这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题． 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知______________． （1）求角 A 的大小； （2）若 a=2 ，且△ ABC 的面积为 2，求 b+c ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①：化边为角化简求出cos； 选②：利用倍角公式将sin() = − 1 + 2sin2化简为sin = −cos,再利用辅助角公式求解即可； 选③：化边为角化简运算求解 （2）利用面积公式求得，再利用余弦定理可得，计算即可. 【小问1详解】 选①∵ ∴sincos= sinCcos+ sincosC= sin(+ C) = sin ∴cos ∵ ∈ ,∴ = 选②∵sin() = − 1 + 2sin2 ,∴sin = −cos ∴sin( + A) = 1 ∵A ∈∴A = 选③∵ ∴ ∴ ∵A ∈ ,∴A = 【小问2详解】 ∵ ,∴ 又∵ ∴ 即 20. 如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）连接交于，进而根据中位线定理得，进而证明结论； （2）根据题意证明平面，进而根据锥体体积计算即可. 【详解】解：（1）证明：如图，连接交于，连接， ∵四边形是平行四边形． ∴点为的中点． ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴． ∵平面，平面， ∴平面． （2）∵侧棱底面， ∴，即， 又，， ∴平面， ∵为的中点， ∴点到平面的距离为1， 又， ∴. 【点睛】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理()，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理()；(4)利用面面平行的性质()． 21. 2021年开始，广西将推行全新的高考制度，采用“”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理、历史中自选一门（2选1），在政治、地理、化学、生物4门科目中自选两门参加考试（4选2）．由于受疫情影响多地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：，画出频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）根据频率分布直方图求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数； （3）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】（1）； （2）中位数为224； （3）225.6. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1即可求． （2）先估算出中位数在第几组数据，再列方程即可求解． （3）直接计算即可. 【小问1详解】 解：由，得． 【小问2详解】 解：因为， 所以中位数在，设中位数为x， 所以，解得， 所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为224． 【小问3详解】 解：这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为. 22. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，，点E是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求以为棱，与为面的二面角的正切值． 【答案】（1）在菱形中，，， ∴是等边三角形， 又，故菱形边长为， 在中，，则， 同理， 又面，， ∴平面， 连结交于，连接. 在菱形中，为中点，又是线段的中点， 所以， ∵面，面， ∴面； （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到是等边三角形，根据勾股定理得到，，再根据线面垂直的判定即可证明平面；根据三角形中位线即可得到，再根据线面平行的判定即可证明平面； （2）作交于，作于，连接，说明即为二面角的平面角，再求二面角平面角的大小 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作交于， 由平面知平面， 作于，连接， 则，所以即为二面角的平面角． 因为是的中点，所以是的中点， 所以， 所以以为棱，与为面的二面角的正切值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $