精品解析：广东省佛山市顺德区德胜学校2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

2023-2024学年广东省佛山市顺德区德胜中学八年级（下）第一次段考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上表示不等式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，垂直平分边，若的周长为，，则的长为( ) A. B. C. D. 5. 将某图形的各点的横坐标加上2，纵坐标保持不变，可将该图形（　　） A. 横向向右平移2个单位 B. 横向向左平移2个单位 C 纵向向上平移2个单位 D. 纵向向下平移2个单位 6. 如图，在△ABC中，BC=5，∠A=85°，∠B=35°，将△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF=3，则下列结论错误的是（ ） A. BE=3 B. ∠F=60° C. ABDE D. DF=5 7. 如图，在中，，点为内一点，连接、、，，求证：，用反证法证明时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 9. 如图，把沿直线折叠，使点A恰好落在边上的点处，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系内，点的坐标分别为，将沿x轴向左平移，当点落在直线上时，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式的解集是______． 12. 已知点在第四象限，则的取值范围是______． 13. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 14. 写出命题“内错角相等，两直线平行”逆命题：________________． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠ABC＝30º，AC＝1．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为______． 16. 已知直线，，，若无论取何值，总是取，，中的最小值，则的最大值是______． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组，并在数轴上表示其解集． 18. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 19. 【教材呈现】 数学课上，胡老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册页完成角平分线的作法，方法如下： 【试一试】 如图，为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出的平分线； 第一步：在射线、上，分别截取、，使； 第二步：分别以点和点为圆心、适当长（大于线段长的一半）为半径作圆弧，在内，两弧交于点； 第三步：作射线； 射线就是所要求作的的平分线． 【问题1】胡老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ． 【问题2】小萱同学发现只利用直角三角板也可以作的角平分线，方法如下（如图）： 步骤：利用三角板上的刻度，在、上分别截取、，使； 分别过点、作、的垂线，交于点 作射线，则为的平分线； （1）请写出小萱同学作法的完整证明过程； （2）当时，量得，则的面积是 ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、，， （1）将以点为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应； （2）将向下平移个单位长度，画出； （3）在轴上有一点使得的值最小，直接写出点的坐标为______． 21. 某商店出售普通练习本和精装练习本，3本普通练习本和2本精装练习本销售总额为29元；4本普通练习本和1本精装练习本销售总额为22元． （1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ （2）该商店计划再次购进50本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本m个，获得的利润为w元； ①求w关于m的函数关系式； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 22. 先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． （1）的解集为______，的解集为______； （2）不等式的解集是______． （3）若对任意的x都成立，则a的取值范围是______． 23. 如图，是等边三角形，，点是的平分线上一动点，将线段绕点顺时针方向旋转得到，连接、． （1）尺规作图：在的上方找点，使得且； （2）在（1）的条件下，连接、． ①求证：是等边三角形； ②当是等腰三角形时，求长度？（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年广东省佛山市顺德区德胜中学八年级（下）第一次段考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D、轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 在数轴上表示不等式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解题的关键． 把不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵， ∴在数轴上表示为： 故选：C． 3. 下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，当时，，，据此可判断A、C；根据不等式的性质由，可得，据此可判断B；当时，，据此可判断D． 【详解】解：A、当时，，原不等式此时不成立，不符合题意； B、由，可得，原不等式一定成立，符合题意； C、当时，，原不等式此时不成立，不符合题意； D、当时，，原不等式此时不成立，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在中，垂直平分边，若的周长为，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得出,再进行等量代换后计算即可. 【详解】∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键. 5. 将某图形各点的横坐标加上2，纵坐标保持不变，可将该图形（　　） A. 横向向右平移2个单位 B. 横向向左平移2个单位 C. 纵向向上平移2个单位 D. 纵向向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】纵坐标不变，图形左右平移，横坐标加2，是向右平移2个单位． 【详解】解：某图形的各点的横坐标加上2，纵坐标保持不变，可将该图形向右平移2个单位． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形上点的平移，掌握“纵坐标不变，图形左右平移”是解答本题的关键． 6. 如图，在△ABC中，BC=5，∠A=85°，∠B=35°，将△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF=3，则下列结论错误的是（ ） A. BE=3 B. ∠F=60° C. ABDE D. DF=5 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】解：∵把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，BC=5，∠A=85°，∠B=35°， ∴EF=BC=5，∠F=∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣85°﹣35°=60°，AB∥DE， ∵CF=3， ∴EC=5-3=2，BE=5-2=3， ∴A、B、C结论正确，D结论错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键． 7. 如图，在中，，点为内一点，连接、、，，求证：，用反证法证明时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】假设结论PB≠PC不成立，即PB=PC成立. 【详解】解：假设PB=PC， 在△APB和△APC中， AB=AC，PB=PC，AP=AP， ∴△APB≌△APC， ∴∠APB=∠APC， 与已知∠APB≠∠APC相矛盾， 假设结论不成立， ∴PB≠PC成立. ∴用反证法证明时，第一步应假设B成立． 故选B． 【点睛】本题主要考查了反证法，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤． 8. 如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵平分，，， ， ， ∴的面积为：， 故选：A． 9. 如图，把沿直线折叠，使点A恰好落在边上的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得，，再根据等腰三角形性质和三角形的外角性质得，然后根据三角形内角和定理求出，即可得解． 【详解】解：把沿直线折叠，使点A恰好落在边上的点处， ，， ， ， ， ， ， 故选C． 【点睛】此题考查了折叠的性质、等腰三角形性质、三角形内角与外角的性质等知识，熟练掌握这些性质是解答此题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系内，点的坐标分别为，将沿x轴向左平移，当点落在直线上时，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点B的平移规律，根据平移规律求出点A平移后的坐标即可． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及坐标与图形变化，熟练掌握平移的性质是关键． 【详解】解：在函数中，当时，， ∴点平移后的坐标为，即点向左平移了个单位， ∵向左平移个单位， ∴平移后点的坐标为， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】不等式两边同时除以即可求解． 本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意乘除负数要改变符号这一点而出错． 解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 【详解】解：不等式两边同时除以得：，  故答案为：． 12. 已知点在第四象限，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由点在第四象限，得，移项可得答案． 本题主要考查解一元一次不等式、点的坐标，解题的关键是根据点的坐标符号特点列出关于m的不等式． 【详解】解：点在第四象限， ， 则， 故答案为：． 13. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 14. 写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：________________． 【答案】两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】考查了命题与与逆命题，熟练掌握知识点是解题关键． 交换原命题的特设与结论即可写出逆命题． 【详解】解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：两直线平行，内错角相等， 故答案为：两直线平行，内错角相等． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠ABC＝30º，AC＝1．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1， ∴A′C=AC=1，AB=2，BC=． ∵∠A=60°， ∴△AA′C是等边三角形． ∴AA′=AB=1． ∴A′C=A′B．∴∠A′CB=∠A′BC=30°． ∵△A′B′C是△ABC旋转而成， ∴∠A′CB′=90°，BC=B′C． ∴∠B′CB=90°－30°=60°． ∴△BCB′是等边三角形． ∴BB′=BC=． 故答案为：． 16. 已知直线，，，若无论取何值，总是取，，中的最小值，则的最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了直线相交的问题，一次函数的性质，利用数形结合的思想更形象直观．解题的关键在于画出函数图像，找到公共部分． 根据无论取何值，总取、、中的最小值，画出三个函数的公共部分，最大值即求三个函数的公共部分的最大值． 【详解】解：如图，的最大值在三条直线的公共部分所在的区域， ∵与的交点最高， ∴，的交点的值最大， 联立得， 解得， ∴的最大值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组，并在数轴上表示其解集． 【答案】，数轴上表示见详解 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解； 掌握不等式组的解法，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆点是解题的关键． 【详解】解：由①得，， 由②得，， 原不等式组的解集为； 解集在数轴上表示为： 18. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 【答案】（1）是从村庄C到河边的最近路，说明见解析 （2）原来的路线的长为千米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理的内容是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：是，理由如下： 在中，，，， ，，， ， ， 是从村庄到河边的最近路； 【小问2详解】 解：设，则， ， 在中，， ， 解得：， 即的长为千米． 19. 【教材呈现】 数学课上，胡老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册页完成角平分线的作法，方法如下： 【试一试】 如图，为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出的平分线； 第一步：在射线、上，分别截取、，使； 第二步：分别以点和点为圆心、适当长（大于线段长的一半）为半径作圆弧，在内，两弧交于点； 第三步：作射线； 射线就是所要求作的的平分线． 【问题1】胡老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ． 【问题2】小萱同学发现只利用直角三角板也可以作的角平分线，方法如下（如图）： 步骤：利用三角板上的刻度，在、上分别截取、，使； 分别过点、作、的垂线，交于点 作射线，则为的平分线； （1）请写出小萱同学作法的完整证明过程； （2）当时，量得，则的面积是 ． 【答案】【问题1】；【问题2】（）证明过程见解析；（）． 【解析】 【问题1】根据题意作法即可求解 【问题2】（）证明，根据全等三角形的性质证明； （）根据等边三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质、勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案； 本题考查了全等三角形的应用及基本作图的知识，解题的关键是理解作角平分线的方法，熟练掌全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定和勾股定理得应用． 【详解】【问题1详解】胡老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是， 故答案为：； 【问题2详解】 （）在和中， ， ∴， ∴， ∴为的平分线； （）如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，为平分线， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、，， （1）将以点为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； （2）将向下平移个单位长度，画出； （3）在轴上有一点使得的值最小，直接写出点的坐标为______． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，进而可得答案． 本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求， 由图可得，点的坐标为， 故答案为：． 21. 某商店出售普通练习本和精装练习本，3本普通练习本和2本精装练习本销售总额为29元；4本普通练习本和1本精装练习本销售总额为22元． （1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ （2）该商店计划再次购进50本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本m个，获得的利润为w元； ①求w关于m的函数关系式； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）普通练习本和精装练习本的销售单价分别是3元和10元； （2）①（且m为整数）；②该商店应购进38本普通练习本和12本精装练习本才能使销售总利润最大，最大利润是74元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数及二元一次方程组的应用，正确求出一次函数关系式和二元一次方程组是解题的关键． （1）分别设普通练习本和精装练习本的销售单价为未知数，根据题意列二元一次方程并求解即可； （2）①根据“获得的利润=普通练习本每本的利润普通练习本的数量+精装练习本每本的利润精装练习本的数量”求解即可，并根据题目的条件求出x的取值范围； ②根据w随m的增减情况及x的取值范围，确定当x为何值时w取最大值，并将m的值代入函数关系式求出W的最大值即可． 【小问1详解】 解：设普通练习本和精装练习本的销售单价分别是x元和y元． 根据题意，得，解得， 答：普通练习本和精装练习本的销售单价分别是3元和10元． 【小问2详解】 解：①根据题意，得购买精装练习本本， ， ， ， 关于x的函数关系式为（且m为整数）； ②，， 随m的减小而增大， ∴当时，w取最大值，此时， （本）， ∴该商店应购进38本普通练习本和12本精装练习本才能使销售总利润最大，最大利润是74元． 22. 先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． （1）的解集为______，的解集为______； （2）不等式的解集是______． （3）若对任意的x都成立，则a的取值范围是______． 【答案】（1）；或； （2）或 （3）． 【解析】 【分析】（1）依据题意，由，从而，由，则或，即可判断得解； （2）依据题意，从数轴上看，当时，取最小值为4，故当或时，，即可判断得解； （3）依据题意，方程的解，即到3的距离和到的距离之差为a的点对应的数，从而的解集分三种情况：在左侧，在和3之间，在3右侧的取值范围，再分、和三种情形讨论，即可判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，， ， ， 或， 故答案为：；或； 【小问2详解】 解：由题意，从数轴上看，当时，取最小值为4， 当或时，， 不等式 的解集是或， 故答案为：或． 【小问3详解】 解：方程的解，即到3的距离与到的距离之差为a的点对应的数， 则的解集分三种情况：在左侧，在和3之间，在3右侧的取值范围， ①当时，， ②当时，， 又，， ∴， ③当时，， 综上，， 故答案为：． 23. 如图，是等边三角形，，点是的平分线上一动点，将线段绕点顺时针方向旋转得到，连接、． （1）尺规作图：在的上方找点，使得且； （2）在（1）的条件下，连接、． ①求证：是等边三角形； ②当是等腰三角形时，求长度？（直接写出答案）． 【答案】（1）见解析； （2）①证明见解析；②的长度为或，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作垂线的方法，过作，在直线上取即可； （2）①连接，可得是等边三角形，从而证明，有，，而直线是的对称轴，知，，故，可得，是等边三角形； ②分三种情况：当时，可得；当时，不满足题意；当时，． 【小问1详解】 解：过作，在直线上取即可，如图1： ∴点即为所求的点； 【小问2详解】 ①证明：连接，如图2： ∵线段绕点顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ， ， 平分， ， ， ， ∴， ，，即， ， ∵是等边三角形，平分， 直线是的对称轴，即，在线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， 是等边三角形； ②解：的长度为或或，理由如下： 当时，如图3： ，， ， ， ， ， ； 当时，如图4： 由（2）可知，是等边三角形，，且， ∵， ∴， ∴点与点重合，且， ∴点是的中点，即点共线， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 此时不在上方，舍去； 当时，如图5： ， ； 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形判定与性质，等腰三角形性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $