专题3.2 平面直角坐标系（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题3.2 平面直角坐标系（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、平面直角坐标系的概念 1. 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称坐标系。 2. 构成要素： x轴（横轴）：水平方向的数轴，取向右为正方向 y轴（纵轴）：铅直方向的数轴，取向上为正方向 原点：x轴与y轴的公共交点，坐标为(0,0) 二、点的坐标表示 1. 坐标的定义： 过点P作x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数a叫做点P的横坐标 过点P作y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数b叫做点P的纵坐标 点P的坐标表示为P(a,b)，其中a是横坐标，b是纵坐标 有序数对(a,b)叫做点P的坐标 2. 坐标的几何意义： 坐标(a,b)中，a表示点到y轴的距离，b表示点到x轴的距离 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系 三、象限的划分及坐标特征 1. 象限的划分： 两条坐标轴将坐标平面分成四个区域，称为象限 按逆时针方向依次称为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限 坐标轴上的点不属于任何象限 2. 各象限内点的坐标特征： 第一象限：横坐标>0，纵坐标>0，即(+,+) 第二象限：横坐标<0，纵坐标>0，即(-,+) 第三象限：横坐标<0，纵坐标<0，即(-,-) 第四象限：横坐标>0，纵坐标<0，即(+,-) 四、特殊位置点的坐标特征 1. 坐标轴上的点： x轴上：纵坐标为0，表示为(x,0) y轴上：横坐标为0，表示为(0,y) 原点：坐标为(0,0) 2. 平行于坐标轴的直线上的点： 平行于x轴的直线：直线上所有点的纵坐标相同 平行于y轴的直线：直线上所有点的横坐标相同 五、典型例题解析 例1：判断点所在象限 点P(m,1-2m)的横坐标与纵坐标互为相反数，求点P所在象限。 解： ∵横坐标与纵坐标互为相反数 ∴m + (1-2m) = 0 解得m = 1 ∴点P坐标为(1,-1)，在第四象限 六、易错点解析 1. 常见错误： 误认为平面内两条互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系（忽略了"公共原点"这一条件） 混淆坐标的顺序，将纵坐标写在前面 认为坐标轴上的点属于某个象限 2. 正确理解： 平面直角坐标系必须满足：两条数轴互相垂直、有公共原点 坐标书写必须横坐标在前，纵坐标在后 坐标轴是象限的分界线，其上的点不属于任何象限 七、数学史知识 笛卡尔：法国哲学家、数学家，1637年发表《几何学》，创立了直角坐标系 直角坐标系的创立将几何问题转化为代数问题，是"数形结合"思想的典型应用 这一发明架起了几何与代数之间的桥梁，对数学发展产生了深远影响 培优练习 一、选择题 1．在平面直角坐标系中，点 所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】【解答】解：∵4﹥0，﹣2﹤0， ∴点 所在的象限是第四象限， 故答案为：D. 【分析】根据各象限内的点坐标的符号特征：（+，﹣）在第四象限即可解答. 2．如果点A（3，）在x轴上，那么点B（，）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】【解答】解：∵A（3，m+2）在x轴上， ∴m+2=0， ∴m=-2 ∴m+1=-1，m-3=-5， ∴B（m+1，m-3）所在的象限是第三象限. 故答案为：C. 【分析】由于x轴上纵坐标为0，可求出m值，即可求出B坐标，进而根据各个象限点的坐标的符号特点：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），再判断即可. 3．在平面直角坐标系中，将点 向左平移3个单位后得到的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】【解答】解：将点 向左平移3个单位后得到的点为 ， ∴平移后的点在第二象限. 故答案为：B. 【分析】若A（m，n），当m>0，n>0时，点A在第一象限；当m<0，n>0时，点A在第二象限；当m<0，n<0时，点A在第三象限；当m>0，n<0时，点A在第四象限；点（m，n）向左平移a个单位长度为（m-a，n），向右平移a个单位长度可得（m+a，n）. 4．如图，在平面直角坐标系中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是（ ） A． B．（3，－4） C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：如图所示， 被墨水覆盖住的点位于第三象限，且第三象限的特征是x轴坐标为负，y轴坐标为负， 则： A.（3，4）x轴坐标为正，y轴坐标为正，位于第一象限，故A不符合题意； B.（3，-4）x轴坐标为正，y轴坐标为负，位于第四象限，故B不符合题意； C.（-3，4）x轴坐标为负，y轴坐标为正，位于第二象限，故C不符合题意； D.（-3，-4）x轴坐标为负，y轴坐标为负，位于第三象限，故D符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据四个象限及各象限的坐标特征：第一象限(x>0， y>0)，第二象限(x<0， y>0)，第三象限(x<0， y<0)，第四象限(x>0， y<0)，再根据图形中点的位置，判断其可能的坐标，从而选择正确答案. 5．在直角坐标系中，把点先向左平移个单位，再向上平移个单位，恰好与原点重合，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：把点先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的点的坐标为， ∵平移后的点恰好与原点重合， ∴， ∴， 故答案为：A． 【分析】根据平面内点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”，确定平移后点的坐标，进而再根据平移后的点恰好与原点重合，可得平移后点的横纵坐标都为零，据此列出方程，求解即可. 6．如图，在平面直角坐标系中， ，点 的坐标分别为 ，则点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， 由条件可知BC= 10，BC∥y轴， ∵AB=AC=13， ∴BD=CD=BC=5， ∴D(，)，即D(7，7)， ∴AD∥x轴，即点A的纵坐标为7， ∴AD ==＝12， ∴点A的横坐标为：7-12=-5， ∴点A的坐标为(-5，7)； 故答案为：B. 【分析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可得DB的长度，进而确定点D的坐标，再根据勾股定理得出AD的长度，然后确定点A的坐标即可. 7．如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴，． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，． ∵点的坐标为，点的坐标是， ∴，，， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：C. 【分析】先求出，再利用AAS证明，最后根据全等三角形的性质和点的坐标计算求解即可。 8．如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第2025次运动到的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解： ∵， ∴点在第四象限， 观察图象点的坐标特征，可知点的坐标是. 故答案为：A． 【分析】通过观察可知右下标是（除A1外）：数字4的倍数的点在第三象限，4的倍数余1的点在第四象限，4的倍数余2的点在第一象限，4的倍数余3的点在第二象限，得出点A2025在第四象限，由此判断即可． 二、填空题 9．点(3，-3)在平面直角坐标系中第　 　象限． 【答案】四 【解析】【解答】解：∵所给点的横坐标是3为正数，纵坐标是-3为负数， ∴点（3，-3）在第四象限. 故答案为：四. 【分析】若A（m，n），当m>0，n>0时，点A在第一象限；当m<0，n>0时，点A在第二象限；当m<0，n<0时，点A在第三象限；当m>0，n<0时，点A在第四象限. 10．如图，平面上的25个点组成一个的点阵，同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等，在点阵中建立平面直角坐标系，若，，则点的坐标为　 　. 【答案】（-2，4） 【解析】【解答】解：∵，， ∴建立坐标系如图所示： ∴点A的坐标是 （-2，4） 故答案为： （-2，4） 【分析】根据点B和点C的坐标建立坐标系，进而直接读出点A的坐标即可求解。 11． 如图， 在一次“寻宝”游戏中， 寻宝人找到了两个标志点A（-2，-1）， C（2，-2）， 则“宝藏”点 B 的坐标是　 　. 【答案】（0，1） 【解析】【解答】解：如图所示：“宝藏”点B的坐标是（0，1）． 故答案为：（0，1）． 【分析】先利用点A、C的坐标建立平面直角坐标系，再结合平面直角坐标系直接求出点B的坐标即可. 12．如图是一个围棋棋盘（局部），把这个围棋棋盘放在平面直角坐标系中，白棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵白棋①的坐标是（-2，2），白棋③的坐标是（-1，0）， ∴黑棋②的坐标是（1，1）， 故答案为：（1，1）. 【分析】先结合白棋①和白棋③的坐标建立坐标系，再直接求出黑棋②的坐标即可. 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-1，2)，B(-1，-1)，设P(x，y)为线段AB上任意一点，则x，y满足的条件为　 　. 【答案】x=-1，-1≤y≤2. 【解析】【解答】解：∵点 A(-1，2)，B(-1，-1)， ∴AB∥y轴， ∵ P(x，y)为线段AB上任意一点 ， ∴x=-1，-1＜x＜2. 故答案为：x=-1​​​​​​​，-1＜x＜2. 【分析】因为P点在线段AB上，所以点P的横坐标与点A、点Ｂ的横坐标一样，纵坐标在点A与点B的纵坐标之间. 14．如图，用方向和距离表示火车站相对于仓库的位置是　 　，若火车站的位置用表示，则仓库的位置表示为　 　． 【答案】北偏东方向，处； 【解析】【解答】解：由图像可得， 火车站位于仓库的北偏东方向，处， ∵火车站的位置用表示， 仓库在其下方2个单位，左侧5个单位， ∴仓库的位置表示为：， 故答空1为：北偏东方向，处，答空2为：. 【分析】根据上北下南左西右东及角度关系即可得到答空1，结合平面直角坐标系的坐标关系找到上下距离及左右距离即可得到答空2答案 三、解答题 15．已知平面直角坐标系中有一点． （1）存在点，当平行于轴时，求点的坐标； （2）当点在轴上方，且到轴的距离是到轴距离的两倍时，求点的坐标． 【答案】（1）解：平行于轴， ， 解得：， 则， ； （2）解：点在轴上方， ； 即； 点到轴的距离是，点到轴距离是； 点到轴的距离是到轴距离的两倍， ， 解得：或， 或． 【解析】【分析】（1）根据点N的坐标及MN//y轴，可得3-2m=2，求出m的值，再求出点M的坐标即可； （2）先求出点到轴的距离是，点到轴距离是，再结合“ 点到轴的距离是到轴距离的两倍 ”列出方程，求出m的值，即可得到点M的坐标. 16．已知：在平面直角坐标系中，，，． （1）求的面积； （2）设点P在x轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】（1）解：过点C作轴，轴，垂足分别为D、E． ， 所以的面积为4. （2）解：设点P的坐标为，则． 因为与的面积相等， 所以． 解得：或． 所以点P的坐标为或． 【解析】【分析】（1）过点向、轴作垂线，垂足分别为、，然后依据求解即可． （2）设点的坐标为，于是得到，然后根据已知条件和三角形的面积公式（底乘以高除以2）求解即可． （1）过点C作轴，轴，垂足分别为D、E． ． （2）设点P的坐标为，则． 与的面积相等， ． 解得：或． 所以点P的坐标为或． 17．如图，平面直角坐标系中，三个点为． （1）判断的形状，说明理由； （2）画出与关于y轴对称的，并求四边形的面积． 【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下；∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：由轴对称的性质作图，如图1，即为所作； 如图1，连接，， ∴， ∴四边形的面积为． 【解析】【分析】（1）由题意知，可得为直角三角形； （2）根据轴对称的性质作图，然后根据梯形的面积公式计算即可． （1）解：是直角三角形，理由如下； ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：由轴对称的性质作图，如图1，即为所作； 如图1，连接，， ∴， ∴四边形的面积为． 18．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（1，0），点B（0，3）， （1）如图①，三角形AOB的面积为　 　； （2）如图①，在x轴上是否存在点C，使三角形ABC的面积等于6，若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图②，将线段AB向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到线段A1B1，求三角形OA1B1的面积． 【答案】（1） （2）解：存在， 设点C的坐标为（a，0），， 若点C在x轴的正半轴上，则， 三角形ABC的面积， 解得， ∴点C的坐标为（5，0）； 若点C在x轴的负半轴上，则， 三角形ABC的面积， 解得， ∴点C的坐标为（-3，0）； ∴点C的坐标为（5，0）或（-3，0）； （3）解：由平移可知点A1（4，2）、B1（3，5）， 过点A1作x轴的垂线，垂足为C，过点B1作y轴的垂线，垂足为D，两条垂线相交于点E， 则， ∴三角形OA1B1的面积 【解析】【解答】解：（1）∵点A（1，0），点B（0，3）， ∴OA=1，OB=3， ∴S△AOB=·OA·OB=， 故答案为：； 【分析】（1）先求出OA，OB的长，再根据三角形的面积公式进行 计算，即可得出答案； （2）设点C的坐标为（a，0），分两种情况讨论： 当点C在x轴的正半轴上时， 当点C在x轴的负半轴上时， 分别根据三角形面积公式列出方程，解方程求出a的值， 即可得出答案； （3）根据平移的规律先求出点A1（4，2）、B1（3，5）， 过点A1作x轴的垂线，垂足为C，过点B1作y轴的垂线，垂足为D，两条垂线相交于点E，从而得出OC、OD、A1C、A1E、B1D、B1E的长，再利用三角形OA1B1的面积=矩形的面积-周围三个三角形的面积，列式进行计算，即可得出答案. 19．如图用点A(3，1)表示放置3个胡萝卜、1棵青菜，点B(2，3)表示放置2个胡萝卜、3棵青菜． （1）请你写出其他各点C，D，E，F所表示的意义； （2）若一只兔子从A到达B(顺着方格线走)，有以下几条路可以选择：①A→C→D→B；②A→F→D→B；③A→F→E→B，帮可爱的小白兔选一条路，使它吃到的食物最多． 【答案】（1）解：C(2，1)表示放置2个胡萝卜、1棵青菜；D(2，2)表示放置2个胡萝卜、2棵青菜；E(3，3)表示放置3个胡萝卜、3棵青菜；F(3，2)表示放置3个胡萝卜、2棵青菜． （2）解：走①有9个胡萝卜、7棵青菜；走②有10个胡萝卜、8棵青菜；走③有11个胡萝卜、9棵青菜．故小白兔走③吃到的胡萝卜、青菜都最多． 【解析】【分析】（1）根据点A的坐标所表示的意义，可得出C，D，E，F所表示的意义。 （2）先根据点所表示的意义，求出每一条线路吃到的胡萝卜和青菜的数量，再作出判断。 20．有一张图纸被损坏，但上面有如图的两个标志点A（-3，1），B（-3，-3）可认，而主要建筑C（3，2）破损. （1）建立直角坐标系； （2）标出图中C点的位置； （3）求出线段AC的长. 【答案】（1）解：建立直角坐标系如下图所示， （2）解：图中C点的位置如下图所示， （3）解：如下图， ∵在Rt△ACF中，∠AFC=90°，CF=1，FA=6， ∴， 【解析】【分析】（1）利用点A，B的坐标，建立平面直角坐标系. （2）点C（3，2）在第一象限，画出点C. （3）利用勾股定理求出AC的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 平面直角坐标系（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、平面直角坐标系的概念 1. 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称坐标系。 2. 构成要素： x轴（横轴）：水平方向的数轴，取向右为正方向 y轴（纵轴）：铅直方向的数轴，取向上为正方向 原点：x轴与y轴的公共交点，坐标为(0,0) 二、点的坐标表示 1. 坐标的定义： 过点P作x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数a叫做点P的横坐标 过点P作y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数b叫做点P的纵坐标 点P的坐标表示为P(a,b)，其中a是横坐标，b是纵坐标 有序数对(a,b)叫做点P的坐标 2. 坐标的几何意义： 坐标(a,b)中，a表示点到y轴的距离，b表示点到x轴的距离 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系 三、象限的划分及坐标特征 1. 象限的划分： 两条坐标轴将坐标平面分成四个区域，称为象限 按逆时针方向依次称为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限 坐标轴上的点不属于任何象限 2. 各象限内点的坐标特征： 第一象限：横坐标>0，纵坐标>0，即(+,+) 第二象限：横坐标<0，纵坐标>0，即(-,+) 第三象限：横坐标<0，纵坐标<0，即(-,-) 第四象限：横坐标>0，纵坐标<0，即(+,-) 四、特殊位置点的坐标特征 1. 坐标轴上的点： x轴上：纵坐标为0，表示为(x,0) y轴上：横坐标为0，表示为(0,y) 原点：坐标为(0,0) 2. 平行于坐标轴的直线上的点： 平行于x轴的直线：直线上所有点的纵坐标相同 平行于y轴的直线：直线上所有点的横坐标相同 五、典型例题解析 例1：判断点所在象限 点P(m,1-2m)的横坐标与纵坐标互为相反数，求点P所在象限。 解： ∵横坐标与纵坐标互为相反数 ∴m + (1-2m) = 0 解得m = 1 ∴点P坐标为(1,-1)，在第四象限 六、易错点解析 1. 常见错误： 误认为平面内两条互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系（忽略了"公共原点"这一条件） 混淆坐标的顺序，将纵坐标写在前面 认为坐标轴上的点属于某个象限 2. 正确理解： 平面直角坐标系必须满足：两条数轴互相垂直、有公共原点 坐标书写必须横坐标在前，纵坐标在后 坐标轴是象限的分界线，其上的点不属于任何象限 七、数学史知识 笛卡尔：法国哲学家、数学家，1637年发表《几何学》，创立了直角坐标系 直角坐标系的创立将几何问题转化为代数问题，是"数形结合"思想的典型应用 这一发明架起了几何与代数之间的桥梁，对数学发展产生了深远影响 培优练习 一、选择题 1．在平面直角坐标系中，点 所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如果点A（3，）在x轴上，那么点B（，）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在平面直角坐标系中，将点 向左平移3个单位后得到的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．如图，在平面直角坐标系中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是（ ） A． B．（3，－4） C． D． 5．在直角坐标系中，把点先向左平移个单位，再向上平移个单位，恰好与原点重合，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中， ，点 的坐标分别为 ，则点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第2025次运动到的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．点(3，-3)在平面直角坐标系中第　 　象限． 10．如图，平面上的25个点组成一个的点阵，同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等，在点阵中建立平面直角坐标系，若，，则点的坐标为　 　. 11． 如图， 在一次“寻宝”游戏中， 寻宝人找到了两个标志点A（-2，-1）， C（2，-2）， 则“宝藏”点 B 的坐标是　 　. 12．如图是一个围棋棋盘（局部），把这个围棋棋盘放在平面直角坐标系中，白棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是　 　． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-1，2)，B(-1，-1)，设P(x，y)为线段AB上任意一点，则x，y满足的条件为　 　. 14．如图，用方向和距离表示火车站相对于仓库的位置是　 　，若火车站的位置用表示，则仓库的位置表示为　 　． 三、解答题 15．已知平面直角坐标系中有一点． （1）存在点，当平行于轴时，求点的坐标； （2）当点在轴上方，且到轴的距离是到轴距离的两倍时，求点的坐标． 16．已知：在平面直角坐标系中，，，． （1）求的面积； （2）设点P在x轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 17．如图，平面直角坐标系中，三个点为． （1）判断的形状，说明理由； （2）画出与关于y轴对称的，并求四边形的面积． 18．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（1，0），点B（0，3）， （1）如图①，三角形AOB的面积为　 　； （2）如图①，在x轴上是否存在点C，使三角形ABC的面积等于6，若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图②，将线段AB向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到线段A1B1，求三角形OA1B1的面积． 19．如图用点A(3，1)表示放置3个胡萝卜、1棵青菜，点B(2，3)表示放置2个胡萝卜、3棵青菜． （1）请你写出其他各点C，D，E，F所表示的意义； （2）若一只兔子从A到达B(顺着方格线走)，有以下几条路可以选择：①A→C→D→B；②A→F→D→B；③A→F→E→B，帮可爱的小白兔选一条路，使它吃到的食物最多． 20．有一张图纸被损坏，但上面有如图的两个标志点A（-3，1），B（-3，-3）可认，而主要建筑C（3，2）破损. （1）建立直角坐标系； （2）标出图中C点的位置； （3）求出线段AC的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$