专题3.3 轴对称与坐标变化（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题3.3 轴对称与坐标变化（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、基本概念 1. 轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线称为对称轴。 2. 平面直角坐标系：在平面内，由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成，其中水平方向的数轴称为x轴，竖直方向的数轴称为y轴。点的坐标用(a,b)表示，a为横坐标，b为纵坐标。 二、关于坐标轴对称的点的坐标特征 1. 关于x轴对称 规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数。 数学表达：点P(x,y)关于x轴对称的点P'的坐标为(x,-y)。 示例：点(3,4)关于x轴对称的点为(3,-4)。 2. 关于y轴对称 规律：纵坐标相同，横坐标互为相反数。 数学表达：点P(x,y)关于y轴对称的点P'的坐标为(-x,y)。 示例：点(3,4)关于y轴对称的点为(-3,4)。 三、坐标系中图形的轴对称变换步骤 1. 找关键点：确定原图形的顶点或关键转折点。 2. 求对称点坐标：根据对称轴类型（x轴或y轴），计算各关键点的对称点坐标。 3. 描点连线：在坐标系中描出所有对称点，按原图形顺序连接各点，得到轴对称图形。 四、典型例题解析 例题1：求对称点坐标 已知点A(2,-5)，求： 关于x轴对称的点A'的坐标； 关于y轴对称的点A''的坐标。 解答： A'的坐标为(2,5)（横坐标不变，纵坐标取相反数）； A''的坐标为(-2,-5)（纵坐标不变，横坐标取相反数）。 五、学习重点与难点 重点：掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，能根据坐标变化判断图形变换。 难点：由坐标变化推导图形的轴对称关系，理解数形结合思想。 六、易错点提示 1. 混淆x轴和y轴对称的坐标变化规律，记住口诀："关于x轴对称，横不变纵相反；关于y轴对称，纵不变横相反"。 2. 绘制对称图形时，忘记按原图形顺序连接对称点，导致图形变形。 培优练习 一、选择题 1． 点A的坐标是(-3，2)，点A´的坐标是(-3，-2)，则点A与点A´满足(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．AA´∥x轴 D．AA´ Ly轴 【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可知 点A与点A´的横坐标相同，纵坐标互为相反数，则点A与点A´关于x轴对称。 故答案为：A 【分析】根据点A与点A´的横坐标相同，纵坐标互为相反数，则点A与点A´关于x轴对称。 2．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】【解答】解：点与点关于轴对称， ，． 故选：B． 【分析】利用关于轴对称点的特征“横坐标互为相反数，纵坐标不变”得出答案． 3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移2个单位长度，得到，那么点B的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意：作图如下， ∴点B的对应点的坐标为． 故答案为：C． 【分析】先根据轴对称的性质作图，再利用平移的性质作图，根据点B'的位置写出坐标即可. 4．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC关于直线y＝1对称，已知点A的坐标是（3，4），则点B的坐标是（　　） A．（3，﹣4） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣2，4） 【答案】C 【解析】【解答】解：∵△ABC关于直线y＝1对称， ∴点A和点B是关于直线y=1对称的对应点，它们到y=1的距离相等是3个单位长度， ∵点A的坐标是（3，4）， ∴B（3，﹣2）， 故答案为：C． 【分析】先求出点A和点B是关于直线y=1对称的对应点，再根据点A的坐标是（3，4），求出点B的坐标即可。 5．如图，OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，且AC=2，已知点A到y轴的距离是3，那么点A关于x轴对称的点的坐标为（　　） A．(2，3) B．(3，2) C．(-2，-3) D．(-3，-2) 【答案】D 【解析】【解答】解：∵点A到y轴的距离是3， ∴点A横坐标为-3， 过点A作AE⊥OD，垂足为E， ∵∠DAO=∠CAO，AC⊥OB，AC=2， ∴AE=2， ∴点A的纵坐标为2， ∴点A的坐标为（-3，2）， ∴点A关于x轴对称的点的坐标为（-3，-2）， 故答案为：D． 【分析】过点A作AE⊥OD，垂足为E，利用角平分线的性质证明AE=2，从而求出点A的坐标，最后根据关于x轴对称的点的坐标特征判断即可。 6．已知图形A在y轴的右侧，如果将图形A上的所有点的横坐标都乘﹣1，纵坐标不变得到图形B，则（　　） A．两个图形关于x轴对称 B．两个图形关于y轴对称 C．两个图形重合 D．两个图形不关于任何一条直线对称 【答案】B 【解析】【解答】解：∵将图形A上的所有点的横坐标乘以-1，纵坐标不变， ∴横坐标变为相反数，纵坐标不变， ∴得到的图形B与A关于y轴对称， 故答案为：B． 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特征判断即可。 7．如图，在平面直角坐标系中，关于直线m（直线m上各点的坐标都为1）对称，点C的坐标为，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称， ∴C，B关于直线m对称，即关于直线x=1对称， ∵点C的坐标为（4，1）， ∴设B（x，1）则，解得x=-2 则点B的坐标为：（-2，1）． 故答案为：B． 【分析】由△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，可得C，B关于直线x=1对称，设B（x，1）可得，求出x值即可. 8．随着“双十二”的临近，各平台进行各种抽奖活动.某数学兴趣小组将如图所示的红包放入坐标系中，现将红包上点A的横坐标不变、纵坐标乘以-1，则得到的新点与点A的位置关系是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y 轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 【答案】A 【解析】【解答】解：∵点A的横坐标不变，纵坐标乘-1， ∴点A与新点关于x轴对称. 故答案为：A. 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y）关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），点A的横坐标不变，纵坐标乘-1，就是纵坐标变成相反数，据此即可得出答案. 二、填空题 9．在直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标是　 　． 【答案】（-3，-4） 【解析】【解答】解：点M（-3，4）关于x轴对称的点的坐标是：（-3，-4）； 故答案为：(-3，-4). 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得解. 10．在平面直角坐标系中，点，点，点，点C在x轴上．若，则点C的坐标为 　 　． 【答案】或 【解析】【解答】∵点，点， ∴点B关于直线的对称点为， 连接，则， ∵点，点， ∴点A、D关于y轴对称， ∴点B、点E关于y轴的对称点为或， ∴点C为或时，． 故答案为：或． 【分析】本题考查对称计算．先根据对称的性质求出点B关于直线的对称点点E的坐标，根据题意可推出点A、D关于y轴对称，再利用关于y轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数点B、点E关于y轴的对称点的坐标，进而可求出答案. 11．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标， ， ， ． 故答案为：． 【分析】利用关于y轴对称的点纵坐标相同，可得，即可求出答案． 12．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为2，则点C关于x轴的对称点的坐标是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：过点C作轴 ∵等边三角形的边长为2，轴， ∴，OC=2， ∴， ∴， ∴ ∴点C关于x轴的对称点的坐标为： 【分析】过点C作轴，先求出∠OCD=30°，再求出，利用勾股定理求出CD的长，即可得到点C的坐标，再根据关于x轴对称的点坐标的特征求解即可。 13．如图，已知直线l经过点（0，-1）并且垂直于y轴，若点P（-3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，则a+b＝　 　． 【答案】-7 【解析】【解答】解：∵点P（-3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称， ∴a=-3，b=-4，Q（-2，-4）， ∴a+b=-3-4=-7． 故答案为：-7． 【分析】根据轴对称的性质可得的a=-3，b=-4，再将a、b的值代入a+b计算即可。 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（4，2），若点P在x轴下方，且以O，A，P为顶点的三角形与OAB全等，则满足条件的P点的坐标是　 　． 【答案】或 【解析】【解答】解：如图， ①作关于的对称的点，连接 B（4，2），则 ②作关于（）对称的点，连接， 则 又 则点 故答案为：或 【分析】先根据题意和全等三角形的判定画出符合的图形，再求出P点坐标即可。 三、解答题 15．变换M：在平面直角坐标系中，先将点A向左平移5个单位，再将所得的点作关于y轴对称点.若点A经过变换M后得到的点A'与点A重合，我们称点A为不动点。 （1）判断点A（2，-5），A，（2.5，0）是否为不动点 （2）已知点A（a，3）为不动点，求a的值. 【答案】（1）解：∵点A1 (2，-5)向左平移5个单位后得到的点是(-3，-5)，(-3，-5)关于y轴的对 称点是(3，-5)， ∴A1 (2，-5)经过变换M 后得到的点是(3，-5)， ∴A1 (2，-5)不是不动点. ∵点A2 (2.5，0)向左平移5个单位后得到的点是(-2.5，0)，(-2.5，0)关于y轴的对称点是 (2.5，0)， ∴A2 (2.5，0)经过变换M 后得到的点是(2.5，0)， ∴A2 (2.5，0)是不动点. （2）解：∵A(a，3)向左平移5个单位后得到的点是(a-5，3)，(a-5，3)关于y轴的对称点是(5 a，3)， ∴A(a，3)经过变换M 后得到的点是(5-a，3). ∵点A为不动点， ∴a=5-a， 解得a=2.5 【解析】【分析】(1)根据不动点的定义，先求出点A向左平移5个单位再将所得的点作关于y轴的对称点 再与点A比较即可判断； (2)根据不动点的定义，先求出点A向左平移5个单位再将所得的点作关于y轴的对称点 再根据点A(a， 3)为不动点，即可求出a的值. 16．四盏灯笼悬挂点的位置如图。已知点A，C，B，D的坐标分别是(-4，b)，(-2.7，b)，(-2，b)，(2，b)，问：平移哪一盏灯，可使得y轴两边的灯笼对称? 【答案】解：由题意知点A，C，B，D的坐标分别是(-4，b)，(-2.7，b)，(-2，b)，(2，b) ， 所以四个点在同一条平行于x轴的直线上，点B与点D关于y轴， 结合灯笼上的文字，可知将点C向右平移6.7个单位即可. 【解析】【分析】结合图形可知，A，B，C，D四点均在平行于x轴的直线上，又因为点B与点D关于y轴对称，要使y轴两边的灯笼对称，再结合灯笼上的文字即可确定. 17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）请画出关于y轴的对称图形； （2）直接写出，，三点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）解：作出点A、B、C关于y轴的对称点，，，顺次连接，则即为所求作的三角形，如图所示： （2），， （3）解： 【解析】【分析】（1）作出点A、B、C关于y轴的对称点，，，顺次连接即可得出； （2）根据图像直接写出点的坐标即可； （3）用割补法求出的面积即可． （1）解：作出点A、B、C关于y轴的对称点，，，顺次连接，则即为所求作的三角形，如图所示： （2）解：，，三点的坐标分别为：，，． （3）解：． 18．如图，已知，，． （1）请在图中作出关于轴对称的； （2）写出、的坐标________，______； （3）若与全等，则的坐标为______． 【答案】（1）如下图所示： （2）， （3）或或 【解析】【解答】解（1）∵，， ∴由关于y轴对称的点的坐标特点得：，， 故答案为：，， （2）由（1）可知：， 故答案为：， （3）若与全等，分三种情况，如图所示： 由图形可知：，，为公共边 ∴ ∴点D的坐标为或或 故答案为：或或. 【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换、全等三角形的判定；关键是找出对称点的坐标，掌握关于轴对称的点的坐标变化特点：纵坐标不变，横坐标变相反数． （1）根据关于轴对称的点的坐标变化特点可得、的坐标，再连接即可； （2）根据（1）所得图形坐标即可得答案； （3）由全等三角形的判定方法画出所有图形，即可得出结果，需要注意题目要求了BC为公共边，不能改变． （1）解：∵，，， ∴由关于y轴对称的点的坐标特点得：，，， 连接各点如图所示： （2）解：由（1）可知：，， 故答案为：， （3）解：若与全等，分三种情况，如图所示： 由图形可知：，，为公共边， ∴， ∴点D的坐标为或或． 故答案为：或或 19．在平面直角坐标系中，直线l过点M(3，0)，且平行于y轴. （1）已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2，0)，B(-1，0)，C(-1，2)，△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2三个顶点的坐标. （2）已知点P(-a，0)，其中a>0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长. 【答案】（1）解：∵ △ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1， ∴A1，B1，C1的坐标分别为：A1（2，0），B1（1，0），C1（1，2） ∵ △A1B1C1关于直线l的对称图形是 △A2B2C2 ， ∴A2，B2，C2的坐标分别为：A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2） （2）解：由点P（-a，0）与P1关于y轴对称，得P1（a，0）． 又∵P1与P2关于直线x=3对称， 设P2（x，0），可得 即x=6－a， ∴P2（6－a，0）． 则 【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变可得A1，B1，C1的坐标，再根据关于平行于y轴的直线对称的点的纵坐标不变，横坐标之和为对称轴所过点M的横坐标的2倍，可得A2，B2，C2的坐标； （2）求出点P1的坐标，设P2（x，0），根据（1）的方法得 求解可得x的值，P和P2的横坐标相减，即可得 PP2的长. 20．居委会要在街道旁修建一个奶站，向居民区提供牛奶．奶站应建在什么地方，才能使从到它的距离之和最短？ 小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得点的坐标为点的坐标为． （1）小聪利用轴对称图形的性质找到奶站．你在图中标出奶站的位置（不写作法，保留作图迹） （2）求出两点到奶站的最小距离． 【答案】（1）解：作点关于轴的对称点 连结交轴于点，连接. 则点应为奶站的地方. （2）解：∵点A坐标（0，3），点A和点A'关于x轴对称， ∴的坐标为， ∵点与关于轴对称，P点为x轴上一点， ， ∵到它的距离之和最短 ， ∴所求最短距离即线段的长， ∵点的坐标是， 点的坐标是， ， 即从两点到奶站的距离之和最小值是. 【解析】【分析】（1）在坐标轴中轴是街道所在直线，故作点关于轴的对称点连结交轴于点P，连结，则AP+BP=A'P+BP≥A'B，当B，P，A'共线时，取得最小值，此时的点即为奶站的地方； （2）最短距离为的长度，由点是关于轴的对称点可知从而根据两点之间线段最短验证了的长即为最短距离； 根据两点距离公式即可得出的长，进而得出问题的答案. （1）作点关于轴的对称点 连结.交轴于点，连接.则点应为奶站的地方. （2）由图可知，的坐标为， ∵点与关于轴对称， ， ∴是的垂直平分线， ， ， ∴所求最短距离即线段的长， ∵点的坐标是， 点的坐标是， ， 即从两点到奶站的距离之和最小值是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 轴对称与坐标变化（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、基本概念 1. 轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线称为对称轴。 2. 平面直角坐标系：在平面内，由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成，其中水平方向的数轴称为x轴，竖直方向的数轴称为y轴。点的坐标用(a,b)表示，a为横坐标，b为纵坐标。 二、关于坐标轴对称的点的坐标特征 1. 关于x轴对称 规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数。 数学表达：点P(x,y)关于x轴对称的点P'的坐标为(x,-y)。 示例：点(3,4)关于x轴对称的点为(3,-4)。 2. 关于y轴对称 规律：纵坐标相同，横坐标互为相反数。 数学表达：点P(x,y)关于y轴对称的点P'的坐标为(-x,y)。 示例：点(3,4)关于y轴对称的点为(-3,4)。 三、坐标系中图形的轴对称变换步骤 1. 找关键点：确定原图形的顶点或关键转折点。 2. 求对称点坐标：根据对称轴类型（x轴或y轴），计算各关键点的对称点坐标。 3. 描点连线：在坐标系中描出所有对称点，按原图形顺序连接各点，得到轴对称图形。 四、典型例题解析 例题1：求对称点坐标 已知点A(2,-5)，求： 关于x轴对称的点A'的坐标； 关于y轴对称的点A''的坐标。 解答： A'的坐标为(2,5)（横坐标不变，纵坐标取相反数）； A''的坐标为(-2,-5)（纵坐标不变，横坐标取相反数）。 五、学习重点与难点 重点：掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，能根据坐标变化判断图形变换。 难点：由坐标变化推导图形的轴对称关系，理解数形结合思想。 六、易错点提示 1. 混淆x轴和y轴对称的坐标变化规律，记住口诀："关于x轴对称，横不变纵相反；关于y轴对称，纵不变横相反"。 2. 绘制对称图形时，忘记按原图形顺序连接对称点，导致图形变形。 培优练习 一、选择题 1． 点A的坐标是(-3，2)，点A´的坐标是(-3，-2)，则点A与点A´满足(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．AA´∥x轴 D．AA´ Ly轴 2．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（　　） A．， B．， C．， D．， 3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移2个单位长度，得到，那么点B的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC关于直线y＝1对称，已知点A的坐标是（3，4），则点B的坐标是（　　） A．（3，﹣4） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣2，4） 5．如图，OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，且AC=2，已知点A到y轴的距离是3，那么点A关于x轴对称的点的坐标为（　　） A．(2，3) B．(3，2) C．(-2，-3) D．(-3，-2) 6．已知图形A在y轴的右侧，如果将图形A上的所有点的横坐标都乘﹣1，纵坐标不变得到图形B，则（　　） A．两个图形关于x轴对称 B．两个图形关于y轴对称 C．两个图形重合 D．两个图形不关于任何一条直线对称 7．如图，在平面直角坐标系中，关于直线m（直线m上各点的坐标都为1）对称，点C的坐标为，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．随着“双十二”的临近，各平台进行各种抽奖活动.某数学兴趣小组将如图所示的红包放入坐标系中，现将红包上点A的横坐标不变、纵坐标乘以-1，则得到的新点与点A的位置关系是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y 轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 二、填空题 9．在直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标是　 　． 10．在平面直角坐标系中，点，点，点，点C在x轴上．若，则点C的坐标为 　 　． 11．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标，则　 　． 12．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为2，则点C关于x轴的对称点的坐标是　 　． 13．如图，已知直线l经过点（0，-1）并且垂直于y轴，若点P（-3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，则a+b＝　 　． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（4，2），若点P在x轴下方，且以O，A，P为顶点的三角形与OAB全等，则满足条件的P点的坐标是　 　． 三、解答题 15．变换M：在平面直角坐标系中，先将点A向左平移5个单位，再将所得的点作关于y轴对称点.若点A经过变换M后得到的点A'与点A重合，我们称点A为不动点。 （1）判断点A（2，-5），A，（2.5，0）是否为不动点 （2）已知点A（a，3）为不动点，求a的值. 16．四盏灯笼悬挂点的位置如图。已知点A，C，B，D的坐标分别是(-4，b)，(-2.7，b)，(-2，b)，(2，b)，问：平移哪一盏灯，可使得y轴两边的灯笼对称? 17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）请画出关于y轴的对称图形； （2）直接写出，，三点的坐标； （3）求的面积． 18．如图，已知，，． （1）请在图中作出关于轴对称的； （2）写出、的坐标________，______； （3）若与全等，则的坐标为______． 19．在平面直角坐标系中，直线l过点M(3，0)，且平行于y轴. （1）已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2，0)，B(-1，0)，C(-1，2)，△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2三个顶点的坐标. （2）已知点P(-a，0)，其中a>0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长. 20．居委会要在街道旁修建一个奶站，向居民区提供牛奶．奶站应建在什么地方，才能使从到它的距离之和最短？ 小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得点的坐标为点的坐标为． （1）小聪利用轴对称图形的性质找到奶站．你在图中标出奶站的位置（不写作法，保留作图迹） （2）求出两点到奶站的最小距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$