第十一章 实数和二次根式（单元测试·提升卷）数学北京版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十一章 实数和二次根式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25八年级下·北京大兴·期中）下列各式化简错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、，A选项运算正确，不符合题意； B、，B选项运算正确，不符合题意； C、，C选项运算正确，不符合题意； D、，D选项运算错误，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·北京海淀·期中）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法估算出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵，即， ∴， 故选C． 3．（24-25八年级下·北京·期末）已知，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，关键是掌握：非负数之和等于时，各项都等于． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴； 故选：B ． 4．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数、算术平方根的应用，关键是结合题意求出． 由题意可知，面积为7的正方形边长为，所以，而，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵， ∴， ∵A点表示的数为1， ∴E点表示的数为， 故选：D． 5．（24-25七年级下·北京大兴·期末）观察下面表格，结论不正确的是（　　） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的算术平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根的定义，乘方的计算，根据表格数据逐一验证选项的正确性，重点分析平方根的范围及函数单调性． 【详解】解：A、当时，，正确； B、由表格可知，，，因，故，原结论错误； C、，故5.76的算术平方根为2.4，正确； D、表格中x从2.1到2.9时，依次递增，正确， 故选：B． 6．（2025·北京·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据单项式排列的规律，求未知单项式，解题的关键是找出变化规律，然后把这种变化规律用代数式的序号表示出来．通过观察排列的单项式可以看出，其系数都是连续奇数的算术平方根；字母指数都是连续的偶数，根据此规律可以得出第个代数式． 【详解】解:由题意知，第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为，…， 第个代数式为． 故选：B． 7．（24-25八年级上·北京海淀·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断的符号，将还原成，再化简即可． 【详解】解：， ， ， 原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质和有意义的条件是本题解题关键． 8．（24-25七年级下·北京·期中）已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题分别计算的x值，找到满足条件的x值即可． 【详解】解：当时，，，不合题意； 当时，，当时，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25七年级下·北京·期中）比较大小： （1）4 ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键． （1）根据可得，由此即可得； （2）根据可得，则可得，再根据即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·北京·阶段练习）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件． 根据二次根式有意义、分式有意义的条件得出，即可求解． 【详解】解：若二次根式在实数范围内有意义， 则 解得 即的取值范围是 故答案为：． 11．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）若的整数部分为，的小数部分为，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法可得，进而可得，，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的整数部分为，的小数部分为， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·北京昌平·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质等知识，先根据数轴得出，则，然后根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 13．（24-25八年级下·北京·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的性质． 直接利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：∵两个小正方形面积为12和27， ∴大正方形边长为：， ∴大正方形面积为， ∴留下的阴影部分面积和为： 故答案为：36． 14．（24-25八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 【答案】或或 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． 15．（24-25七年级下·北京·期中）用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表： x 16 17 2 根据表中的信息判断下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①的平方根是 ；②； ③265的算术平方根比大；④只有4个正整数满足 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，无理数的估算，求一个数的平方根等等，根据一个正数的两个平方根互为相反数，结合即可判断①；根据被开方数小数点向右（向左）每移到两位，则开方的结果的小数点向右（向左）移动一位，据此可判断②；根据，即可判断③；根据即可判断④． 【详解】解：∵， ∴的平方根是，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴265的算术平方根比小，故③错误； ∵， ∴满足的正整数有共4个，故④正确； 故答案为：①②④． 16．（24-25七年级下·北京海淀·期中）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是 ． 【答案】 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：∵， ， ， …， ， ∴ ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数类的规律探寻，正确找到规律是解题的关键． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级上·北京·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式加法运算、二次根式减法运算、二次根式乘法运算、二次根式除法运算、有理数减法运算等知识，熟记二次根式性质、二次根式加减乘除运算法则求解是解决问题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算合并同类二次根式求解即可得到答案； （2）先由二次根式除法运算法则和乘法运算法则求解，再由二次根式性质化简，最后由有理数减法运算计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（5分）（24-25七年级下·北京·期中）求出下列等式中x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴或 ∴或． 19．（6分）（24-25七年级下·北京大兴·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小兴同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明． 【答案】小兴同学的想法不可行，理由见解析． 【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义以及估算无理数大小的方法是解题的关键．根据题意，首先需要确定长方形的长和宽，再计算所需圆形的直径，比较长方形的宽与圆形直径的大小以判断是否可行． 【详解】解：设长方形的长为厘米，则宽为厘米， 由题意得：， 解得：或 (舍去)， 长方形的宽为， ， 又，半径为的圆形画纸其直径为， 不能裁出半径为的圆形画纸，小兴同学的想法不可行． 20．（6分）（24-25八年级下·北京海淀·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算,分式的求值，完全平方公式的变形应用． （1）把变形为，利用整体代入求值即可； （2）把变为，利用整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵，， ∴ ． 21．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）为助力北京“西山永定河文化带”生态保护宣传，某中学“京华墨韵”社团计划制作以“燕京八景”为主题的手工团扇挂件，赠予环保志愿者．扇面选用圆形和正方形两种风景画造型，面积均为300平方厘米．为传承“京作”裱糊技艺，需用苏绣缎带沿扇面边缘进行掐丝包边．（接口处长度忽略不计）（注：为简化计算，取3） (1)圆形团扇的半径为________厘米，正方形团扇的边长为________厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)10， (2)圆包边较短 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）分别根据圆和正方形的面积公式解答即可； （2）根据圆和正方形的周长公式解答即可． 【详解】（1）解：由题意得： 圆形团扇的半径为：厘米， 正方形团扇的边长为：厘米， 故答案为：10，； （2）解：∵圆形团扇的半径为10厘米， ∴圆形团扇的周长为：厘米， ∵正方形团扇的边长为厘米， ∴正方形团扇的周长为：厘米， ∵， ∴圆形团扇所用的包边长度更短． 22．（8分）（24-25七年级下·北京·期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法： ∵，设， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． （上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用） 问题： （1）请你依照小明的方法，估算 （结果保留两位小数）； （2）请结合上述实例，概括出估算的公式．已知非负整数、、，若，则 （用含、的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提，理解题目中所提供的方法是解决问题的关键． （1）仿照提供的解法进行解答即可； （2）根据题目中提供的方法用含有a、m的代数式表示即可． 【详解】解：（1）∵， 设， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； 故答案为：8.25 （2）∵， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（8分）（24-25八年级下·北京·期中）我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，． 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：__________； (2)比较大小：______；（用“＞”、“=”或“＜”填空） (3)设有理数、满足：，则________； (4)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)3 (4)4 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （2）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （3）先利用有理化因式的定义化简，根据化简结果列一元二次方程组求解即可； （4）设，，根据有理化因式的定义计算出的值，根据的值得出的值，即是结果． 【详解】（1）解：的有理化因式是， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ， 而， ∴， ∵和都是大于0的数， ∴， 故答案为：． （3）解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． （4）解：设，， 则， ∵， ∴，即． 24．（8分）（24-25八年级上·北京·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)2， (2)4 【分析】本题主要考查了无理数的整数部分、小数部分、二次根式的混合运算等知识点，掌握求无理数的取值范围是解题的关键． （1）先求出的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分即可； （2）先求出的取值范围，进而确定的取值部分，然后确定的整数部分a和小数部分b，然后代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2，小数部分是． （2）解：， ，即， 的整数部分是， 小数部分是． ． 25．（10分）（24-25八年级上·北京海淀·阶段练习）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4)①；②18 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）①解： ． ②， ， ， ． 26．（10分）（24-25八年级下·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数，， 称为，这两个数的算术平均数， 称为，这两个数的几何平均数， 称为，这两个数的平方平均数 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则；________；_______； (2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：        如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形： ②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是： ___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）； ③若．则的最小值为________． 【答案】(1)； (2)①见详解②③ 【分析】（1）将，分别代入求值即可得； （2）①分别求出，，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论；③由，可知当时，取最小值，此时，结合已知条件可得，即可确定的最小值． 【详解】（1）解：当，时， ， ． 故答案为：；； （2）①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：   ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：    ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， ∵都是正数， ∴都是正数， ∴． 故答案为：； ③∵， ∴当时，取最小值， 此时，即， 整理，可得， ∴， ∵， ∴， 此时， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十一章 实数和二次根式·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B D B B B C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10． 11．/ 12．3 13．36 14．或或 15．①②④ 16． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式加法运算、二次根式减法运算、二次根式乘法运算、二次根式除法运算、有理数减法运算等知识，熟记二次根式性质、二次根式加减乘除运算法则求解是解决问题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算合并同类二次根式求解即可得到答案； （2）先由二次根式除法运算法则和乘法运算法则求解，再由二次根式性质化简，最后由有理数减法运算计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ；········································2分 （2）解： ．·······································5分 18．（5分） 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴；·······································2分 （2）解：∵ ∴ ∴或 ∴或．·······································5分 19．（6分） 【答案】小兴同学的想法不可行，理由见解析． 【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义以及估算无理数大小的方法是解题的关键．根据题意，首先需要确定长方形的长和宽，再计算所需圆形的直径，比较长方形的宽与圆形直径的大小以判断是否可行． 【详解】解：设长方形的长为厘米，则宽为厘米， 由题意得：， 解得：或 (舍去)， 长方形的宽为，·······································3分 ， 又，半径为的圆形画纸其直径为， 不能裁出半径为的圆形画纸，小兴同学的想法不可行．··································6分 20．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算,分式的求值，完全平方公式的变形应用． （1）把变形为，利用整体代入求值即可； （2）把变为，利用整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴；·······································3分 （2）∵，， ∴ ．·······································6分 21．（6分） 【答案】(1)10， (2)圆包边较短 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）分别根据圆和正方形的面积公式解答即可； （2）根据圆和正方形的周长公式解答即可． 【详解】（1）解：由题意得： 圆形团扇的半径为：厘米， 正方形团扇的边长为：厘米， 故答案为：10，；·······································2分 （2）解：∵圆形团扇的半径为10厘米， ∴圆形团扇的周长为：厘米， ∵正方形团扇的边长为厘米， ∴正方形团扇的周长为：厘米， ∵， ∴圆形团扇所用的包边长度更短．·······································6分 22．（8分） 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提，理解题目中所提供的方法是解决问题的关键． （1）仿照提供的解法进行解答即可； （2）根据题目中提供的方法用含有a、m的代数式表示即可． 【详解】解：（1）∵， 设， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； 故答案为：8.25·······································3分 （2）∵， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．·······································8分 23．（8分） 【答案】(1) (2) (3)3 (4)4 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （2）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （3）先利用有理化因式的定义化简，根据化简结果列一元二次方程组求解即可； （4）设，，根据有理化因式的定义计算出的值，根据的值得出的值，即是结果． 【详解】（1）解：的有理化因式是， ∴， 故答案为：．·······································1分 （2）解：∵， ， 而， ∴， ∵和都是大于0的数， ∴， 故答案为：．·······································3分 （3）解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：．·······································5分 （4）解：设，， 则， ∵， ∴，即．·······································8分 24．（8分） 【答案】(1)2， (2)4 【分析】本题主要考查了无理数的整数部分、小数部分、二次根式的混合运算等知识点，掌握求无理数的取值范围是解题的关键． （1）先求出的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分即可； （2）先求出的取值范围，进而确定的取值部分，然后确定的整数部分a和小数部分b，然后代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2，小数部分是．·······································4分 （2）解：， ，即， 的整数部分是， 小数部分是． ．·······································8分 25．（10分） 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4)①；②18 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：；·······································2分 （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：；·······································4分 （3）解：， 等式左边等式右边；·······································6分 （4）①解： ．·······································8分 ②， ， ， ．·······································10分 26．（10分） 【答案】(1)； (2)①见详解②③ 【分析】（1）将，分别代入求值即可得； （2）①分别求出，，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论；③由，可知当时，取最小值，此时，结合已知条件可得，即可确定的最小值． 【详解】（1）解：当，时， ， ． 故答案为：；；·······································2分 （2）①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：   ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：   ·······································4分 ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， ∵都是正数， ∴都是正数， ∴． 故答案为：；·······································6分 ③∵， ∴当时，取最小值， 此时，即， 整理，可得， ∴， ∵， ∴，·······································8分 此时， ∴的最小值为． 故答案为：．·······································10分 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十一章 实数和二次根式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25八年级下·北京大兴·期中）下列各式化简错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京海淀·期中）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 3．（24-25八年级下·北京·期末）已知，那么的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京大兴·期末）观察下面表格，结论不正确的是（　　） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的算术平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 6．（2025·北京·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·北京海淀·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·北京·期中）已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25七年级下·北京·期中）比较大小： （1）4 ； （2） ． 10．（24-25九年级下·北京·阶段练习）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 11．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）若的整数部分为，的小数部分为，则 ． 12．（24-25八年级上·北京昌平·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 13．（24-25八年级下·北京·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为 ． 14．（24-25八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 15．（24-25七年级下·北京·期中）用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表： x 16 17 2 根据表中的信息判断下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①的平方根是 ；②； ③265的算术平方根比大；④只有4个正整数满足 16．（24-25七年级下·北京海淀·期中）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级上·北京·期末）计算 (1)； (2)． 18．（5分）（24-25七年级下·北京·期中）求出下列等式中x的值： (1) (2) 19．（6分）（24-25七年级下·北京大兴·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小兴同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明． 20．（6分）（24-25八年级下·北京海淀·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 21．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）为助力北京“西山永定河文化带”生态保护宣传，某中学“京华墨韵”社团计划制作以“燕京八景”为主题的手工团扇挂件，赠予环保志愿者．扇面选用圆形和正方形两种风景画造型，面积均为300平方厘米．为传承“京作”裱糊技艺，需用苏绣缎带沿扇面边缘进行掐丝包边．（接口处长度忽略不计）（注：为简化计算，取3） (1)圆形团扇的半径为________厘米，正方形团扇的边长为________厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 22．（8分）（24-25七年级下·北京·期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法： ∵，设， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． （上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用） 问题： （1）请你依照小明的方法，估算 （结果保留两位小数）； （2）请结合上述实例，概括出估算的公式．已知非负整数、、，若，则 （用含、的代数式表示）． 23．（8分）（24-25八年级下·北京·期中）我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，． 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：__________； (2)比较大小：______；（用“＞”、“=”或“＜”填空） (3)设有理数、满足：，则________； (4)已知，求的值． 24．（8分）（24-25八年级上·北京·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 25．（10分）（24-25八年级上·北京海淀·阶段练习）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 26．（10分）（24-25八年级下·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数，， 称为，这两个数的算术平均数， 称为，这两个数的几何平均数， 称为，这两个数的平方平均数 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则；________；_______； (2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：        如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形： ②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是： ___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）； ③若．则的最小值为________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十一章 实数和二次根式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25八年级下·北京大兴·期中）下列各式化简错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京海淀·期中）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 3．（24-25八年级下·北京·期末）已知，那么的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京大兴·期末）观察下面表格，结论不正确的是（　　） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的算术平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 6．（2025·北京·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·北京海淀·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·北京·期中）已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25七年级下·北京·期中）比较大小： （1）4 ； （2） ． 10．（24-25九年级下·北京·阶段练习）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 11．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）若的整数部分为，的小数部分为，则 ． 12．（24-25八年级上·北京昌平·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 13．（24-25八年级下·北京·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为 ． 14．（24-25八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 15．（24-25七年级下·北京·期中）用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表： x 16 17 2 根据表中的信息判断下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①的平方根是 ；②； ③265的算术平方根比大；④只有4个正整数满足 16．（24-25七年级下·北京海淀·期中）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级上·北京·期末）计算 (1)； (2)． 18．（5分）（24-25七年级下·北京·期中）求出下列等式中x的值： (1) (2) 19．（6分）（24-25七年级下·北京大兴·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小兴同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明． 20．（6分）（24-25八年级下·北京海淀·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 21．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）为助力北京“西山永定河文化带”生态保护宣传，某中学“京华墨韵”社团计划制作以“燕京八景”为主题的手工团扇挂件，赠予环保志愿者．扇面选用圆形和正方形两种风景画造型，面积均为300平方厘米．为传承“京作”裱糊技艺，需用苏绣缎带沿扇面边缘进行掐丝包边．（接口处长度忽略不计）（注：为简化计算，取3） (1)圆形团扇的半径为________厘米，正方形团扇的边长为________厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 22．（8分）（24-25七年级下·北京·期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法： ∵，设， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． （上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用） 问题： （1）请你依照小明的方法，估算 （结果保留两位小数）； （2）请结合上述实例，概括出估算的公式．已知非负整数、、，若，则 （用含、的代数式表示）． 23．（8分）（24-25八年级下·北京·期中）我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，． 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：__________； (2)比较大小：______；（用“＞”、“=”或“＜”填空） (3)设有理数、满足：，则________； (4)已知，求的值． 24．（8分）（24-25八年级上·北京·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 25．（10分）（24-25八年级上·北京海淀·阶段练习）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 26．（10分）（24-25八年级下·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数，， 称为，这两个数的算术平均数， 称为，这两个数的几何平均数， 称为，这两个数的平方平均数 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则；________；_______； (2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：        如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形： ②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是： ___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）； ③若．则的最小值为________． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$