精品解析：湖南省永兴县树德初级中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

树德中学2025年上期八年级第一次月考数学试题卷 一、单选题（共30分） 1. 下列几组数是勾股数的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. 2. 下列四个图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（ ） A 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 5. 如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（ ） A. 始终不变 B. 不断变小 C. 不断变大 D. 先变小后变大 6. 如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则为（　　） A. 6 B. 8 C. 24 D. 12 8. 如图，点D是内一点，且，连接．若点分别为线段的中点，且，，，则图中阴影部分的周长为（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 9. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④；⑤其中正确的是（    ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④⑤ 二、填空题（共24分） 11. 如图，在中，，，，平分交于点，则点到的距离是______． 12. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，则的度数是_____． 13. 如图，已知中，，分别是的角平分线．经过点，且，分别交于于，则的周长为______． 14. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝__________． 15. 如图所示，一只小鸟在一棵高20米的大树树梢上觅食，它的伙伴在离该树12米，高4米的一棵小树树梢上发出叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向它的伙伴，那么这只水上鸟________秒后能与它的伙伴在一起. 16. 如图，，，，点在线段上，以每秒2cm的速度从点出发向运动，到点停止运动，点在射线上运动，且，当点的运动时间为______秒时，才能和全等． 17. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，则的最小值为 __． 18. 如图，CE、BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF＝6，BC＝10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为_____． 三、解答题（共66分） 19. 如图，已知，线段上，相交于点，且．求证：． 20. 已知：如图，平分，C，D分别在上，若，求证：． 21. 如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 22. 如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点B作于点E，若，求的度数． 23. 如图，在中，对角线与相交于点O，，过点C作交延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求长． 24. 项目化学习 项目主题：测量风筝离地面的垂直高度． 项目背景：风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．某校综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开项目化学习． 研究步骤： 1．抽象模型．该小组画出了如图1所示的示意图，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 2．测量数据．小组成员测量了相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题解决：根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）在图1中，根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． （2）如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 25. 在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进行探究．已知是边长为2的等边三角形． （1）【动手操作】如图1，若为线段上靠近点三等分点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长为________； （2）【探究应用】如图为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．请求出点在运动过程中，的周长的最小值． 26. 已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． （1）如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数； （2）如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形； （3）如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学2025年上期八年级第一次月考数学试题卷 一、单选题（共30分） 1. 下列几组数是勾股数的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，如果三个正整数、、满足，那么这三个数是勾股数，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：，，，、、不是勾股数，故A选项不符合题意； B选项：，，，、、是勾股数，故B选项符合题意； C选项：、、不是正整数，不是勾股数，故C选项不符合题意； D选项：、不是正整数，不是勾股数，故D选项不符合题意； 故选：B ． 2. 下列四个图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的定义，中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键；根据轴对称的定义，中心对称图形的定义依次判断即可求解； 【详解】解： A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B 3. 将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，直角三角形两锐角互余，理解图示，掌握角的和差计算是解题的关键． 根据题意，，中，，根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图所示，， 根据题意，， 中，， ∴， 故选：C ． 4. 如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．任何多边形的外角和是，内角和等于外角和的2倍则内角和是．n边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【详解】解：根据题意得， ， 解得， 故选：D． 5. 如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（ ） A. 始终不变 B. 不断变小 C. 不断变大 D. 先变小后变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可解决问题． 【详解】解：∵，且点P为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 6. 如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积，勾股定理的逆定理，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案：A． 7. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则为（　　） A. 6 B. 8 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识，由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，由菱形对角线的性质可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴菱形的面积． 故选：C． 8. 如图，点D是内一点，且，连接．若点分别为线段的中点，且，，，则图中阴影部分的周长为（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵， ， 由勾股定理得：， ∵点分别为线段的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴阴影部分的周长为：， 故选：A． 9. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 设，则．先根据折叠的性质和平行线的性质，得，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则． 根据折叠的性质，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 解得． 故选：C． 10. 如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④；⑤其中正确的是（    ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，首先根据等腰直角三角形的性质可以得到，，根据同角的余角相等可证，从而可证，所以结论③成立；根据全等三角形对应边相等可得，所以结论①成立；因为，，所以，所以结论②成立；根据三角形两边之和大于第三边可证，从而可得，所以可知结论④错误；当时，可得，即得到，得到，由与不一定垂直，可得不一定等于，故可知⑤错误，据此即可求解，解题的关键是根据等腰直角三角形的性质找到相等的角和边，再根据边和角之间的关系证明三角形全等，最后根据全等三角形的性质判断各项结论是否正确． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 在和中 ， ， ∴，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ 故④错误； ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当时，， 则， 即， ∵与不一定垂直， ∴不一定等于，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②③， 故选：. 二、填空题（共24分） 11. 如图，在中，，，，平分交于点，则点到的距离是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等角对等边，角所对的直角边等于斜边的一半，过点作于，由可得，由平分可得，即可得，进而得到，再根据角所对的直角边等于斜边的一半可解． 【详解】解：如图，过点作于，则， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ∴点到的距离是 2 ， 故答案为：2． 12. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用；先计算，，可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为： 13. 如图，已知中，，分别是的角平分线．经过点，且，分别交于于，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键． 由角平分线，平行线的性质，可得，，则，然后求周长即可． 【详解】∵分别是的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 14. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝__________． 【答案】540° 【解析】 【分析】连接ED，由三角形内角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论． 【详解】连接ED， ∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE， ∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE， ∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2) ×180°=540°， 即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°， ∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°． 故答案为：540°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和公式，以及多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(n-2)×180°是解答本题的关键． 15. 如图所示，一只小鸟在一棵高20米的大树树梢上觅食，它的伙伴在离该树12米，高4米的一棵小树树梢上发出叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向它的伙伴，那么这只水上鸟________秒后能与它的伙伴在一起. 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意画出图形，只需求得AB的长．根据已知条件，得BC=12，AC=20-4=16，再根据勾股定理就可求解． 【详解】如图所示，根据题意，得 AC=20−4=16，BC=12. 根据勾股定理，得 AB=20. 则小鸟所用的时间是20÷4=5(s). 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于画出图形，只需求得AB的长． 16. 如图，，，，点在线段上，以每秒2cm的速度从点出发向运动，到点停止运动，点在射线上运动，且，当点的运动时间为______秒时，才能和全等． 【答案】或 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定条件（），分两种情况讨论：当时和当时，结合点的运动速度求出运动时间．本题考查了直角三角形全等的判定（），即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；分情况讨论与、与分别相等的两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：， ， 当时，， ∴， ∴秒． 当时，， ∴ ∴秒． 故答案为：或 ． 17. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，则的最小值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，即得到最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， ，分别为、的中点， 是的中位线， ， 当时，则，最小，即得到最小值， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线． 18. 如图，CE、BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF＝6，BC＝10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为_____． 【答案】4． 【解析】 【分析】连接EG、FG，根据直角三角形的性质得到EG＝FG＝BC＝5，根据等腰三角形的性质求出ED，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：连接EG、FG， ∵CE，BF分别是△ABC的高线， ∴∠BEC＝90°，∠BFC＝90°， ∵G是BC的中点， ∴EG＝FG＝BC＝5， ∵D是EF的中点， ∴ED＝EF＝3，GD⊥EF， 由勾股定理得，， 故答案为：4． 【点睛】在直角三角形中，直角边与斜边中点的连线等于斜边的一半，这条性质容易遗忘，需要注重注意下.如题干中出现直角三角形，辅助线可考虑去斜边的中点与直角的顶点相连接. 三、解答题（共66分） 19. 如图，已知，在线段上，相交于点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．由，得到，即可证明． 【详解】证明： ， ， ， 又，， ． 20. 已知：如图，平分，C，D分别在上，若，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】如图，作辅助线，证明△PMC≌△PND，得到PM=PN，即可解决问题． 【详解】证明：过P作PE⊥OA于点E，过P作PF⊥OB于点F， 则∠PEO=∠PFO=∠PFD=90°， ∵OP平分∠AOB， ∴∠1=∠2， 在△POE和△POF中 ， ≌， ∴PE=PF， ∵∠PCO+∠PDO=180°，∠PCO+∠PCE=180°， ∴∠PCE=∠PDF， 在△PCE和△PDF中， ∴△PEC≌△PFD， ∴PC=PD． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线；牢固掌握定理是灵活运用、解题的基础和关键． 21. 如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意的即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 22. 如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． （1）求证：四边形矩形； （2）过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． 小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在中，对角线与相交于点O，，过点C作交延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）9.6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）证，得是菱形，再由菱形的性质即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，则，然后由菱形面积即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴是菱形， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 项目化学习 项目主题：测量风筝离地面的垂直高度． 项目背景：风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．某校综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开项目化学习． 研究步骤： 1．抽象模型．该小组画出了如图1所示的示意图，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 2．测量数据．小组成员测量了相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题解决：根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）在图1中，根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． （2）如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【答案】（1）此时风筝离地面的垂直高度为8.5米 （2）他应该朝射线方向前进4米 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【小问1详解】 解：中， 米， 米． 答：此时风筝离地面的垂直高度为8.5米． 【小问2详解】 解：米 由题意可得：米 中， 米， 米． 答：他应该朝射线方向前进4米． 25. 在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进行探究．已知是边长为2的等边三角形． （1）【动手操作】如图1，若为线段上靠近点的三等分点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长为________； （2）【探究应用】如图为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．请求出点在运动过程中，的周长的最小值． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转性质，得，结合等边三角形的性质，得，证明，结合为线段上靠近点的三等分点和是边长为2的等边三角形等条件，即可作答． （2）证明，可得，故，从而平分； （3）由，得，可得的周长，而，知的最小时，的周长最小，此时，即可求得答案． 【小问1详解】 解： ∵将线段绕点A逆时针旋转60°得到 ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴； ∵为线段上靠近点的三等分点，且是边长为2的等边三角形 ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转60°得到 ∴ ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴平分 【小问3详解】 解：当点D在线段上时，的周长存在最小值，如图： ∵， ∴， ∴的周长， ∴当点D在线段上时，的周长， ∵为等边三角形， ∴， ∴的最小时，的周长最小，此时， ∴， ∴的周长的最小值为． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，旋转性质、涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 26. 已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． （1）如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数； （2）如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形； （3）如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 【答案】（1） （2）秒或秒或秒 （3）8 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案； （3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ， ． 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，， ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形； 故答案为：秒或秒或秒； 【小问3详解】 如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $