第3章 对圆的进一步认识（知识清单）数学青岛版九年级上册

第3章 对圆的进一步认识 1、圆是轴对称图形，每一条_______________________都是它的对称轴。 2、圆是中心对称图形，___________是它的对称中心。 3、顶点在圆心的角叫做________________，圆心角的度数与它___________________________相等。 4、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、______________、__________________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 5、垂径定理： ___________________________________________________________。 6、不在同一条直线上的______________确定一个圆。 7、三角形三个顶点确定一个圆，经过三角形三个顶点的圆叫做_______________________，外接圆的圆心叫做三角形的_____________，这个三角形叫做这个圆的____________________。 8、锐角三角形外接圆的圆心在它的____________；直角三角形外接圆的圆心在___________________；钝角三角形外接圆的圆心在它的_____________。 9、反证法 先提出与命题的结论相反的假设，____________________，____________________________，这种证明方法叫做反证法。 10、反证法的步骤 （1）否定结论——______________________________________； （2）______________——从假设出发，根据已知条件，经过推理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等矛盾的结果； （3）_______________——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论准确。 11、顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫做__________________。 12、圆周角定理：______________________________________________________ 推论1：圆周角的度数等于____________________________________。 推论2：同弧或等弧上的圆周角_____________；在同圆或等圆中，_____________________________所对的弧相等。 推论3：直径所对的圆周角是__________，的圆周角所对的弦是______________。 13、所有顶点都在一个圆上的多边形就叫做_________________________，这个圆叫做这个___________________________。 14、如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做________________________，这个圆就是__________________________。 15、圆内接四边形的_______________________。 16、直线与圆的位置关系 当直线与有两个公共点时，叫做直线l与相交，直线叫做的________，两个公共点叫做交点。 当直线与有唯一一个公共点时，叫做直线l与相切，直线叫做的_________，两个公共点叫做____________。 当直线与没有公共点时，叫做直线与______________。 17、点根据r与d的大小关系，判定与的位置关系 1）当直线与相交时;反之，当_____________时，直线与相交。 2）当直线与相切时;反之，当_____________时，直线与相切。 3）当直线与相离时;反之，当_____________时，直线与相离。 18、切线的判定定理：__________________________________________________________________ 19、切线的性质定理：_________________________________________________________ 20、切线长定义：_______________________________________________________________________________________ 21、切线长定理：_____________________________________________________ 22、与三角形各边都相切的圆叫做___________________________，内切圆的圆心叫做三角形的_____________，这个三角形叫做____________________________________。 23、表示弧长，表示这段弧所对圆心角度数值；表示该弧所在圆的半径，则弧长公式为________________________ 24、表示扇形圆心角度数值；表示半径，则扇形面积公式为______________________________________。 25、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有___________条对称轴。正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的___________________，到各边的距离也相等。任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是_________________，圆心是_______________________________。 26、正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做__________________________。外接圆的半径叫做正多边形的半径。内切圆的半径叫做正多边形的___________________。 27、正多边形各边所对的外接圆的圆心都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做___________________________________，正边形的每个中心角都等于__________________。 28、正n边形的n条半径把正n边形分成了n个全等的________________________，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的_______________________。 易错点1 忽略隐含条件 错误：题目为指明位置时，未考虑优弧或劣弧的选择。 注意：题目为指明位置时，需要考虑优弧或劣弧两侧的情况，分别计算角度。 例题1 已知弦把圆周分成两部分，则弦所对圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 易错点2 混淆内心、外心、重心的概念 错误：由于对概念的理解错误，导致错误的解题结果。 注意：明确概念，可用特殊形状辅助记忆，如：等边三角形。 例题2 两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（ ） A．2 B． C． D． 易错点3 混淆内切圆半径与内接圆半径 错误：混淆内切圆半径与内接圆半径，错误使用中心角公式。 注意：明确概念，可以将图形放入一个单位圆内分析。 例题3 如图，内接于，，，则的半径为（   ） A．4 B． C． D． 1．已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 2．如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 3．下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．外心和重心重合的三角形是等边三角形 C．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 D．过三点一定可以画一个圆 4．在半径为的中，弦分别是，则的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 5．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 6．如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 7．如图，内接于，是的直径，，点D是劣弧上一点，连结，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．如图，是等边三角形且边长为1，点，，分别在边的延长线上，，连接，．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②； ③的面积为； ④的外心与的外心重合． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 9．如图，在中，，，I为的内心，过点I作直线分别交，于点M，N，且，则的周长为（    ） A．11 B．16 C．18 D．22 10．如图，锐角内接于，其中，M为锐角的内心，连并延长与相交于点D，若，则锐角的内切圆半径为（    ）（参考数据：，，结果保留2位小数） A．0.65 B．0.66 C．0.67 D．0.68 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 对圆的进一步认识 1、圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 3、顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 4、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 5、垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧。 6、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 7、三角形三个顶点确定一个圆，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 8、锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部。 9、反证法 先提出与命题的结论相反的假设，推出矛盾，从而证明命题成立，这种证明方法叫做反证法。 10、反证法的步骤 （1）否定结论——假设命题的结论不成立； （2）推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等矛盾的结果； （3）肯定结论——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论准确。 11、顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫做圆周角。 12、圆周角定理： 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。 推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 推论2：同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论3：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 13、所有顶点都在一个圆上的多边形就叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 14、如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做圆内接四边形，这个圆就是四边形的外接圆。 15、圆内接四边形的对角互补。 16、直线与圆的位置关系 当直线与有两个公共点时，叫做直线l与相交，直线叫做的割线，两个公共点叫做交点。 当直线与有唯一一个公共点时，叫做直线l与相切，直线叫做的切线，两个公共点叫做切点。 当直线与没有公共点时，叫做直线与相离。 17、点根据r与d的大小关系，判定与的位置关系 1）当直线与相交时;反之，当d<r时，直线与相交。 2）当直线与相切时;反之，当d=r时，直线与相切。 3）当直线与相离时;反之，当d>r时，直线与相离。 18、切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 19、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切线的半径。 20、切线长定义：经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 21、切线长定理：从圆外一点所画的圆的两条切线长相等。 22、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 23、表示弧长，表示这段弧所对圆心角度数值；表示该弧所在圆的半径，则弧长公式为 24、表示扇形圆心角度数值；表示半径，则扇形面积公式为。 25、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴。正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等。任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点。 26、正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心。外接圆的半径叫做正多边形的半径。内切圆的半径叫做正多边形的边心距。 27、正多边形各边所对的外接圆的圆心都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正边形的每个中心角都等于。 28、正n边形的n条半径把正n边形分成了n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。 易错点1 忽略隐含条件 错误：题目为指明位置时，未考虑优弧或劣弧的选择。 注意：题目为指明位置时，需要考虑优弧或劣弧两侧的情况，分别计算角度。 例题1 已知弦把圆周分成两部分，则弦所对圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】解：∵弦把圆周分成两部分， ∴劣弧的度数为：，即：劣弧所对的圆周角的度数为， 优弧的度数为：，即：优弧所对的圆周角的度数为， ∴弦所对圆周角的度数为或； 故选：D． 【答案】D 【解析】解：如图所示：的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，    设，， ∴， ∵的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点， ∴，， 根据三角形的面积可得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴内心与外心的距离为， 故选：D． 【答案】A 【解析】解：如图，在弦所对优弧上取一点，连接，，，作于， ， ， ， ，， ， ， 的半径为4． 故选：A． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴是直角三角形， 设的内切圆半径和外接圆半径分别为， 则， 解得：； ∵直角三角形外接圆圆心为斜边的中点， ∴ 故选：B 【答案】C 【解析】解：∵是的外接圆， ∴点O是的外心． 故选：C． 【答案】B 【解析】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心为三角形三边的中垂线的交点，重心为三条中线的交点，当外心和重心重合时，三条中线也是三边的中垂线，则该三角形为等边三角形，原说法正确，符合题意； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，原说法错误，不符合题意； D、过不在同一直线上的三个点可以画一个圆，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【答案】B 【解析】连结AO并延长交于D，连结OB，CD， 当B、C在AD同侧时， AO=OB=1，， ∴∠AOB=90º， ∴∠BAO=45º， ∵AD为直径， ∴∠C=90º， ∴cos∠CAD=， ∴∠CAD=30°， ∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=45º-30º=15º， 当B、C在AD两侧时， ∴∠BAO=45º， ∴∠CAD=30°， ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45º+30º=75º， 则的度数为15º或75º， 故选择：B． 【点睛】本题考查圆周角问题，勾股定理，三角函数，掌握求两弦夹圆周角的方法，注意分类考虑两弦在直径的同侧和两侧求圆周角是解题关键． 【答案】A 【解析】解：由题意画图如下，则为等边三角形，且内接于，   ，． 过点作于点，则， 连接，，则， ， ． ， ， ∴， 在中，，， ∴， ． 故选：A． 【答案】B 【解析】解：∵中，，，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键． 【答案】C 【解析】 【答案】B 【解析】解：∵是等边三角形且边长为1， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确； ∵，， ∴， ∴，即，故②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 设的外心为， ∵是等边三角形， ∴点也是的内心，作于点，于点， ∴，， ∴， ∴， ∴，同理，则， ∴的外心与的外心重合，故④正确． 综上，正确的有①②④， 故选：B． 【答案】D 【解析】解：如图，过点I作，分别交于点D，E，连接， ∴， ∵， ∴， ∵I为的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长即为的周长； 连接， ∵I为的内心， ∴为的平分线，为的平分线， ∴，． 又∵， ∴，． ∴，， ∴， 同理，， ∴的周长为 ， 即的周长为22． 故选：D． 【答案】B 【解析】解：如图，连接，，，，连接交于，过作于，设锐角的内切圆半径为， ∵M为锐角的内心， ∴点到三边距离为，，，是的角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴中，，， 中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 易错点2 混淆内心、外心、重心的概念 错误：由于对概念的理解错误，导致错误的解题结果。 注意：明确概念，可用特殊形状辅助记忆，如：等边三角形。 例题2 两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（ ） A．2 B． C． D． 易错点3 混淆内切圆半径与内接圆半径 错误：混淆内切圆半径与内接圆半径，错误使用中心角公式。 注意：明确概念，可以将图形放入一个单位圆内分析。 例题3 如图，内接于，，，则的半径为（   ） A．4 B． C． D． 1．已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 2．如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 3．下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．外心和重心重合的三角形是等边三角形 C．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 D．过三点一定可以画一个圆 4．在半径为的中，弦分别是，则的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 5．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 6．如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 7．如图，内接于，是的直径，，点D是劣弧上一点，连结，则的度数是（　　） A． B． C． D． 解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8．如图，是等边三角形且边长为1，点，，分别在边的延长线上，，连接，．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②； ③的面积为； ④的外心与的外心重合． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 9．如图，在中，，，I为的内心，过点I作直线分别交，于点M，N，且，则的周长为（    ） A．11 B．16 C．18 D．22 10．如图，锐角内接于，其中，M为锐角的内心，连并延长与相交于点D，若，则锐角的内切圆半径为（    ）（参考数据：，，结果保留2位小数） A．0.65 B．0.66 C．0.67 D．0.68 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$