第3章 对圆的进一步认识（复习讲义）数学青岛版九年级上册

第3章 对圆的进一步认识（复习讲义） 1．理解并掌握核心定义与定理。 ① 明确“圆的对称性”，掌握垂径定理及其推论；②理解圆周角与圆心角的关系；③ 归纳直线与圆的三种位置关系及其判断标准。 2．能用圆的相关知识进行证明和计算。 ①能够根据已知条件灵活选用已学知识求解弦长、拱高、距离等问题；②熟练运用代数法解决几何问题，例如建立坐标系求圆心坐标或验证点是否在圆上；③规范书写步骤：涉及切线证明时，必须体现“连半径→证垂直”的逻辑链条。 3．理解并利用圆的相关知识解决实际问题。 ①能够将实际物体抽象为圆形模型，解释其数学原理；②能够利用圆的相关知识解决生活中的实际问题；③能够综合运用圆的性质解决动态几何问题（如定值问题、最值优化）。 --- 知识点01：圆的对称性 1）圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 3）顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 4）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点02：垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧。 1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 知识点03：三角形的外接圆 1）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 2）三角形三个顶点确定一个圆，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部。 4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。 5) 过同一直线上的三点不能作圆。 知识点04：反证法 1） 先提出与命题的结论相反的假设，推出矛盾，从而证明命题成立，这种证明方法叫做反证法。 2） 反证法的步骤：（1）否定结论——假设命题的结论不成立； （2）推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等矛盾的结果； （3）肯定结论——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论准确。 知识点05：圆周角 1) 顶点在圆上，并且它的两边在院内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫做圆心角。 2）圆周角定理： 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。 3）推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 4）推论2：同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 5）推论3：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 知识点06：圆内接四边形 1） 定义：所有顶点都在一个圆上的多边形就叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 2） 定义：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做圆内接四边形，这个圆就是四边形的外接圆。 3) 圆内接四边形的对角互补。 知识点07：直线与圆的位置关系 1) 当直线与有两个公共点时，叫做直线l与相交，直线叫做的割线，两个公共点叫做交点。 2) 当直线与有唯一一个公共点时，叫做直线l与相切，直线叫做的切线，两个公共点叫做切点。 3) 当直线与没有公共点时，叫做直线与相离。 知识点08：点根据r与d的大小关系，判定与的位置关系 1）当直线与相交时;反之，当d<r时，直线与相交。 2）当直线与相切时;反之，当d=r时，直线与相切。 3）当直线与相离时;反之，当d>r时，直线与相离。 知识点09：切线的性质和判定 1）切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切线的半径。 3）切线长定义：经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 4）切线长定理：从圆外一点所画的圆的两条切线长相等。 知识点10：三角形的内切圆 定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 知识点11：弧长及扇形面积的计算 1）弧长公式：（表示弧长，表示这段弧所对圆心角度数值；表示该弧所在圆的半径）。 2）扇形面积公式：（表示扇形圆心角度数值；表示半径）。 知识点12：正多边形与圆 1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴。 2）正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等。 3）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点。 4）正多边形的中心：正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心。 5）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 6）正多边形的边心距：内切圆的半径叫做正多边形的边心距。 7）正多边形的中心角：正多边形各边所对的外接圆的圆心都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正边形的每个中心角都等于。 8）正n边形的n条半径把正n边形分成了n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。 题型一 利用垂径定理求值 【例1】如图，是的直径，弦于，若，，则的半径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：连接， ∵，， ∴， 设的半径为，则， 在中， ， 即， 解得：． 故选：D ． 【变式1-1】图2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意图是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中， ， ， ， ， 即的半径为． 故选：A． 【变式1-2】如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【解析】解：连接，如图： ∵为直径，且，， ∴， 在中，，根据勾股定理得： ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)的直径是 【解析】（1）证明：∵，且过圆心O ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的直径是． 题型二 利用弦、弧、圆心角的关系求解 【例2】如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于 ． 【答案】/72度 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式2-1】如图，已知：是的直径，弦于点E，G是上的一点，、的延长线交于点．若，的度数为，求的度数． 【答案】 【解析】解：如图，连接， 的度数为， ， ， ， ， ． 【变式2-2】如图，，已知是的直径，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-3】如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）解：连接，如图， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的度数是， 的度数是； （2）证明：， ， ， ． 题型三 利用弦、弧、圆心角的关系求证 【例3】如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∴，即，故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式3-1】如图，在中，已知弦．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：， ， ． ， ． 【变式3-2】如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：； 【答案】证明见解析 【解析】证明：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-3】如图，已知点A，B，C，D是上四个点，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 题型四 判定确定三角形外接圆的圆心位置 【例4】如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】A 【解析】解：如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 【变式4-1】如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为 ． 【答案】3 【解析】解：∵是的平分线， ∴， ∴垂直平分， ∵是的垂直平分线，交于点O， ∴点即为外接圆的圆心， ∵， ∴外接圆的半径为3； 故答案为：3． 【变式4-2】在中，，，，则其外接圆的直径为 ． 【答案】5 【解析】解：在中， ∵，，， ∴， ∵直角三角形的外心为斜边中点， ∴的外接圆的直径为5． 故答案为：5． 【变式4-3】如图，以已知线段为弦作⊙O，使其经过已知点C．利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不必写出作法）． 【答案】见详解 【解析】解：如图， 为所求作的图形． 题型五 同弧或等弧所对的圆周角相等 【例5】如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式5-1】如图，是的直径，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由， 得， 根据， 得， 故选：C． 【变5-2】如图，是的直径，C、D是上的点，且，分别与相交于点E、F，有下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有 ． 【答案】①③④ 【解析】解：①∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵在中，是外角， ， 在中，是外角，， 又∵， ， ∴不可能是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴，故②不正确； ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为圆心， ∴，故③正确； ∵， ∵点为中点， ∴是的中位线， ∴，故④正确； 综上可知：其中一定成立的有①③④. 故答案为①③④． 【变式5-3】如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则 ． 【答案】 【解析】解：如图，连接， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六 已知圆的内接四边形求角度 【例6】21．如图，在中，若圆周角，则圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：作所对的圆周角，如图， 四边形为的内接四边形， ， ， ． 故选：D． 【变式6-1】如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ， ∵所对圆周角是，所对圆心角是， ． 故选：B． 【变式6-2】如图，四边形是的内接四边形，为的直径，连结．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 故选：D． 【变式6-3】如图，已知四边形内接于，是直径，，，则弦 ． 【答案】 【解析】解：四边形内接于， ， 是直径， ，则 ， 故答案为：． 题型七 判断直线与圆的位置关系 【例7】已知的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与的位置关系是（　　） A．无法确定 B．相切 C． 相交 D．相离 【答案】C 【解析】解：∵的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，且， ∴直线l与的位置关系是相交， 故选：C． 【变式7-1】如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：A． 【变式7-2】已知圆的半径为，如果这个圆的圆心到直线l的距离为，那么直线l和这个圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【解析】解：已知圆的半径，圆心到直线l的距离， ∵， ∴圆心到直线的距离大于圆的半径， ∴直线l与圆相离． 故选A． 【变式7-3】半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】A 【解析】解：∵的半径为2，圆心到直线的距离为3，且， ∴直线与相离． 故选：A． 题型八 证明某直线是切线 【例8】29．如图，为的直径，，为上不同于，的两点，且位于异侧，，过点作交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：过点作的垂线段， ，， ,， ， ， ，即点到的距离为． 【变式8-1】如图，在中，，点E在上，以为直径的半圆O交于点D，点F在上，且． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，，，求半圆O的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）解：（1）连接，如图1． ∵中， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴． ∵是半径， ∴是半圆O的切线． （2）（2）连接，，如图2，在中，． ∵，， ∴． 设半圆的半径为r，则． ∵， ∴，．   在中，根据勾股定理可得： ,   在中，根据勾股定理可得： ,           ∵， ∴，解得， ∴半圆O的半径长为． 【变式8-2】如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为E，，，在的延长线上取一点F，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）解：连接 是直径， ，， ， 又， ∴， ∴ ∴ 又是半径， 是的切线 （2）解：连接 ， 在中， 设，则， ∵ ∴ 在中， 即 故 【变式8-3】如图，在中，，以为直径作，交边于点D，点E是边的中点，直线交于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：连接，则， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴线段的长度是． 题型九 切线长定理的应用 【例9】如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：、分别与相切于点、， ，， ， ， ， 是的直径， ， ， 故选：C． 【变式9-1】如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ， ∴， ∴． 故选：C． 【变式9-2】如图，切于点A、B，，切于点E，交于C、D两点，则的周长是 ． 【答案】20 【解析】解：∵、切于点A、B，切于点E， ∴，，， ∴的周长 ． 故答案为：20． 【变式9-3】如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，长为半径的圆与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【解析】（1）证明：过点作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的半径，， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴与相切， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴，， 在中，设， 则，即， 解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 题型十 直角三角形的周长、面积与内切圆半径的关系 【例10】在中，，，，则的内切圆的半径为 ． 【答案】1 【解析】解：∵，，， ∴， 设的内切圆与三边的切点分别为，内切圆的半径为，如图， 则：四边形为正方形，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【变式10-1】如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如下图所示，过点作、、， 又， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， 是的内切圆， 设，， 则有，，， ， ， 解得：， ， 在中，， ， 解得：， ，， ，， ． 故选：A ． 【变式10-2】如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点、、，若，，则内切圆的半径长度为 ． 【答案】1 【解析】解：设内切圆的圆心为，连接， 则：，， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；即：内切圆的半径长度为1． 故答案为：1． 【变式10-3】如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ． 【答案】 【解析】解：如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接， ∵弦， ∴，， ∴小是的内切圆，四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，， 设， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴设， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 题型十一 三角形内心有关应用 【例11】如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接， ∵点I是的内心，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式11-1】如图，是的内切圆，分别切，，于点，，，，是上一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，连接， ∵是的内切圆，，是切点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式11-2】如图，I是的内心，，则 ． 【答案】/115度 【解析】解：， ， 点I是的内心， 平分，平分， ， ， 故答案为：． 【变式11-3】如图，⊙是的内切圆，，则 ． 【答案】 【解析】解：∵是的内切圆， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 题型十二 弧长及扇形面积的计算 【例12】如图，的半径为2，直径、互相垂直，则弧的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵直径、互相垂直， ∴， ∴的长是， 故选：C． 【变式12-1】如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为 【答案】 【解析】解：如图，连接， ∵是的直径，弦， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积； 故答案为：． 【变式12-2】图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，则图中摆盘的面积是 ．    【答案】27π 【解析】解：观察图可知， 图中有个扇形，整个圆盘可看作是一个完整的圆，则每个扇形的圆心角． ∴    ∵，， ∴， ∵ ， ， ； 故答案为：． 【变式12-3】如图，扇形的圆心角是，弧的长度是厘米，的长度是15厘米．求阴影部分的面积（取） 【答案】 【解析】解：设扇形的半径为r厘米（即则扇形的半径厘米． 已知扇形和扇形的圆心角均为（因点O、C、A共线，圆心角相同）． 根据弧长公式（其中l为弧长，n为圆心角，r为半径），弧的长度为厘米，代入得： 化简求解： 即 ∴ 即厘米． 厘米 阴影部分面积=扇形的面积-扇形的面积． 根据扇形面积公式，代入数据： 扇形的面积：平方厘米 扇形的面积：平方厘米 阴影部分面积：平方厘米 答：阴影部分的面积是平方厘米． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图，设三边内切于点，连接， 设的半径为， ，，， ， ， ， ， ， ， 故选：A ． 2．如图， 四边形内接于，，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图所示，是以为直径的半圆的三等分点，若阴影部分的面积为，则图中的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，连接，，，设半圆的半径为r， ∵C，D是以为直径的半圆上的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴和是等边三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍）， ∴的长度为， 故选：C． 4．如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设半径为R， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得． 故选：A． 5．如图1是圆形干果盘，其示意图如图2所示，四条隔板，，， 长度相等，横纵隔板互相垂直交于隔板的三等分点，测得，则该干果盘的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图，过点O作于点K，连接， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 则该干果盘的半径为． 故选∶A． 二、填空题 6．在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，那么轴与的位置关系是 ． 【答案】相交 【解析】解：∵的圆心坐标为， ∴到y轴的距离d为3， ∵， ∴y轴与相交， 故答案为：相交． 7．如图，在扇形中，点C为的中点，，交于点D，则图中阴影部分面积 （结果保留）． 【答案】 【解析】解：连接，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴， ∴， 则， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 8．如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】解：过点作交于点，连接． ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 即， 故答案为：． 9．如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知的半径为，，则的长为 ． 【答案】 【解析】解：如图，连接， ∵， ∴为直径，即点在上， ∵的半径为，， ∴，， ∴， ∴， 即的长为． 故答案为：． 10．如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ． 【答案】8 【解析】解：如图， ∵的外切四边形， ∴， ∴， ∵， ∴设、、，则，即， ∵四边形的周长为32， ∴，解得：， ∴． 故答案为：8． 三、解答题 11．某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 【答案】修理工人应准备直径为的管道 【解析】解：如图，过点O作于D，连接， 则． 设半径为，则，． 在中，， 即， 解得：， ． 故修理工人应准备直径为的管道． 12．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，求的长． 【答案】 【解析】解：∵的内切圆与分别相切于点、、， ， 设，则． 根据题意得． 解得；． ∴， ∴． 13．如图，是的直径，是上一点，过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，． (1)求证：是切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【解析】（1）证明：连接，，如图所示， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是切线； （2）解：连接，如图所示， 由（）得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 14．已知三点在圆上，点在圆内，． (1)请用“尺规作图”作出圆心的位置（保留作图痕迹）； (2)求出圆半径的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）解：如图所示，点O为所求： （2）解：由（1）作图，设线段的中垂线与的延长线交于点，的延长线并交于圆于点，线段的中为，连接， 则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴圆半径． 15．如图，四边形内接于，连接，，点E在的延长线上，且， (1)若，求的度数； (2)若，， ①请用含a，b的代数式表示的余弦值； ②请用含a，b的代数式表示． 【答案】(1) (2)①   ② 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，，， ∴，， ∴， 过点A作于点F，如图， 则， 又∵， ∴； ②过点D作于点G，作于点H，如图， 则， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 2．如图，是的直径，点在上，点是弧的中点，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，是以为直径的半圆的一条弦，且，，设的面积为，阴影部分面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接、，过点作于点，设的半径为． ， ， ，， ， ，， ； ， 与同底等高， ， ， ． 故选：C． 4．如图，在中，，，，D是上一动点，于E，交于点F，则的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，取的中点O，连接，，延长交于T．    ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴E在上， ∵， ∴， ∴点E在以O为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴当与相切时，的值最大， ∵直线，直线都是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B． 5．如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接，过点E作于F，过点A作于H，如图所示： ∵内接于，为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．如图，滑轮圆心为，半径为，若在力F作用下滑轮上一点A绕点O顺时针旋转，则图中物块上升 cm．（结果保留） 【答案】 【解析】解：物块上升的高度为， 故答案为：． 7．如图，在中，弦的长为4，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，点D在边上，过的内心I作于点E．若，，则的长为 ． 【答案】7 【解析】解：如图，过点作,画出内切圆， 根据切线长定理得，， 又∵， ∴， 即， 假设，则,， ∴， 解得， ， 故答案为：7． 9．如图，、切于、，是直径，连结、．若，则下列结论中，一定正确的是 ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【解析】解：∵、切于、， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴ ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，故②正确； 由得， ∴， 又∵， ∴，故③正确； ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，故④错误． ∴一定正确的有①②③． 故答案为：①②③． 10．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】6 【解析】解：设交于E，如图： ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：6 三、解答题 11．如图，有一个圆形花园，圆心处为一观光亭，是一条横穿圆形花园的小路，与圆形花园的外围栅栏交于、两点，且两端点、与观光亭距离相等．现在要从观光亭向小路修一条小路，使垂直于，与小路交于点，与外围栅栏交于点． (1)试说明； (2)若量得花园内的小路长米，米，求花园的半径． 【答案】(1)见解析 (2)花园的半径为50米 【解析】（1）证明：在中，，， ∴，， ∴，即； （2）解：连接， 设的半径为r，则米，米， ∵， ∴米， 在中，， 解得，即花园的半径为50米． 12．如图，是的直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的半径． 【答案】(1)，理由见解析 (2)10 【解析】（1）解：，理由如下： 如图所示，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，是的直径， ∴， 设的半径为，则， ∴在中，， ∴， ∴， ∴的半径为10． 13．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 14．如图，已知是的直径，点为上一点，点为延长线上一点，若，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：连接． ∵（同圆半径相等）， ∴（等腰三角形两底角相等）． ∵， ∴． ∵ ∴（等腰三角形两底角相等）． 在中，． ∴，即． ∵是的半径， ∴是的切线（切线的判定定理）． （2）解：∵的半径为3， ∴． 由（1）知， 在中，． ∴的长为 答：的长为． 15．如图，内接于，，，垂足为，为外一点，，，交于点，交于点． (1)求证：是的直径； (2)求的度数； (3)若的半径为，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）证明：如图，连接交于点， ∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴是的直径； （2）解：如（1）题图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （3）如图，延长，交的延长线于点， ∵的半径为，，是的直径， 又∵，， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， 在和中， ，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴的值为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 对圆的进一步认识（复习讲义） 1．理解并掌握核心定义与定理。 ① 明确“圆的对称性”，掌握垂径定理及其推论；②理解圆周角与圆心角的关系；③ 归纳直线与圆的三种位置关系及其判断标准。 2．能用圆的相关知识进行证明和计算。 ①能够根据已知条件灵活选用已学知识求解弦长、拱高、距离等问题；②熟练运用代数法解决几何问题，例如建立坐标系求圆心坐标或验证点是否在圆上；③规范书写步骤：涉及切线证明时，必须体现“连半径→证垂直”的逻辑链条。 3．理解并利用圆的相关知识解决实际问题。 ①能够将实际物体抽象为圆形模型，解释其数学原理；②能够利用圆的相关知识解决生活中的实际问题；③能够综合运用圆的性质解决动态几何问题（如定值问题、最值优化）。 --- 知识点01：圆的对称性 1）圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 3）顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 4）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点02：垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧。 1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 知识点03：三角形的外接圆 1）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 2）三角形三个顶点确定一个圆，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部。 4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。 5) 过同一直线上的三点不能作圆。 知识点04：反证法 1） 先提出与命题的结论相反的假设，推出矛盾，从而证明命题成立，这种证明方法叫做反证法。 2） 反证法的步骤：（1）否定结论——假设命题的结论不成立； （2）推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等矛盾的结果； （3）肯定结论——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论准确。 知识点05：圆周角 1) 顶点在圆上，并且它的两边在院内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫做圆心角。 2）圆周角定理： 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。 3）推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 4）推论2：同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 5）推论3：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 知识点06：圆内接四边形 1） 定义：所有顶点都在一个圆上的多边形就叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 2） 定义：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做圆内接四边形，这个圆就是四边形的外接圆。 3) 圆内接四边形的对角互补。 知识点07：直线与圆的位置关系 1) 当直线与有两个公共点时，叫做直线l与相交，直线叫做的割线，两个公共点叫做交点。 2) 当直线与有唯一一个公共点时，叫做直线l与相切，直线叫做的切线，两个公共点叫做切点。 3) 当直线与没有公共点时，叫做直线与相离。 知识点08：点根据r与d的大小关系，判定与的位置关系 1）当直线与相交时;反之，当d<r时，直线与相交。 2）当直线与相切时;反之，当d=r时，直线与相切。 3）当直线与相离时;反之，当d>r时，直线与相离。 知识点09：切线的性质和判定 1）切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切线的半径。 3）切线长定义：经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 4）切线长定理：从圆外一点所画的圆的两条切线长相等。 知识点10：三角形的内切圆 定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 知识点11：弧长及扇形面积的计算 1）弧长公式：（表示弧长，表示这段弧所对圆心角度数值；表示该弧所在圆的半径）。 2）扇形面积公式：（表示扇形圆心角度数值；表示半径）。 知识点12：正多边形与圆 1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴。 2）正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等。 3）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点。 4）正多边形的中心：正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心。 5）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 6）正多边形的边心距：内切圆的半径叫做正多边形的边心距。 7）正多边形的中心角：正多边形各边所对的外接圆的圆心都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正边形的每个中心角都等于。 8）正n边形的n条半径把正n边形分成了n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。 题型一 利用垂径定理求值 【例1】如图，是的直径，弦于，若，，则的半径长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】图2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意图是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ． 【变式1-3】如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 题型二 利用弦、弧、圆心角的关系求解 【例2】如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于 ． 【变式2-1】如图，已知：是的直径，弦于点E，G是上的一点，、的延长线交于点．若，的度数为，求的度数． 【变式2-2】如图，，已知是的直径，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 题型三 利用弦、弧、圆心角的关系求证 【例3】如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，已知弦．求证：． 【变式3-2】如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：； 【变式3-3】如图，已知点A，B，C，D是上四个点，． 求证：． 题型四 判定确定三角形外接圆的圆心位置 【例4】如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式4-1】如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为 ． 【变式4-2】在中，，，，则其外接圆的直径为 ． 【变式4-3】如图，以已知线段为弦作⊙O，使其经过已知点C．利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不必写出作法）． 题型五 同弧或等弧所对的圆周角相等 【例5】如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，是的直径，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变5-2】如图，是的直径，C、D是上的点，且，分别与相交于点E、F，有下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有 ． 【变式5-3】如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则 ． 题型六 已知圆的内接四边形求角度 【例6】21．如图，在中，若圆周角，则圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，四边形是的内接四边形，为的直径，连结．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，已知四边形内接于，是直径，，，则弦 ． 题型七 判断直线与圆的位置关系 【例7】已知的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与的位置关系是（　　） A．无法确定 B．相切 C． 相交 D．相离 【变式7-1】如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式7-2】已知圆的半径为，如果这个圆的圆心到直线l的距离为，那么直线l和这个圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【变式7-3】半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 题型八 证明某直线是切线 【例8】29．如图，为的直径，，为上不同于，的两点，且位于异侧，，过点作交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求点到的距离． 【变式8-1】如图，在中，，点E在上，以为直径的半圆O交于点D，点F在上，且． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，，，求半圆O的半径长． 【变式8-2】如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为E，，，在的延长线上取一点F，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【变式8-3】如图，在中，，以为直径作，交边于点D，点E是边的中点，直线交于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求线段的长度． 题型九 切线长定理的应用 【例9】如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式9-2】如图，切于点A、B，，切于点E，交于C、D两点，则的周长是 ． 【变式9-3】如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，长为半径的圆与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型十 直角三角形的周长、面积与内切圆半径的关系 【例10】在中，，，，则的内切圆的半径为 ． 【变式10-1】如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点、、，若，，则内切圆的半径长度为 ． 【变式10-3】如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ． 题型十一 三角形内心有关应用 【例11】如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，是的内切圆，分别切，，于点，，，，是上一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，I是的内心，，则 ． 【变式11-3】如图，⊙是的内切圆，，则 ． 题型十二 弧长及扇形面积的计算 【例12】如图，的半径为2，直径、互相垂直，则弧的长是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为 【变式12-2】图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，则图中摆盘的面积是 ．    【变式12-3】如图，扇形的圆心角是，弧的长度是厘米，的长度是15厘米．求阴影部分的面积（取） 基础巩固通关测 1、 单选题 1．如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为（   ） A． B． C． D． 2．如图， 四边形内接于，，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．如图所示，是以为直径的半圆的三等分点，若阴影部分的面积为，则图中的长度为（　　） A． B． C． D． 4．如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 5．如图1是圆形干果盘，其示意图如图2所示，四条隔板，，， 长度相等，横纵隔板互相垂直交于隔板的三等分点，测得，则该干果盘的半径为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，那么轴与的位置关系是 ． 7．如图，在扇形中，点C为的中点，，交于点D，则图中阴影部分面积 （结果保留）． 8．如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 9．如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知的半径为，，则的长为 ． 10．如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ． 三、解答题 11．某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 12．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，求的长． 13．如图，是的直径，是上一点，过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，． (1)求证：是切线； (2)若，，求的长． 14．已知三点在圆上，点在圆内，． (1)请用“尺规作图”作出圆心的位置（保留作图痕迹）； (2)求出圆半径的大小． 15．如图，四边形内接于，连接，，点E在的延长线上，且， (1)若，求的度数； (2)若，， ①请用含a，b的代数式表示的余弦值； ②请用含a，b的代数式表示． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点在上，点是弧的中点，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是以为直径的半圆的一条弦，且，，设的面积为，阴影部分面积为，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，D是上一动点，于E，交于点F，则的最大值是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，滑轮圆心为，半径为，若在力F作用下滑轮上一点A绕点O顺时针旋转，则图中物块上升 cm．（结果保留） 7．如图，在中，弦的长为4，，则的度数为 ． 8．如图，在中，点D在边上，过的内心I作于点E．若，，则的长为 ． 9．如图，、切于、，是直径，连结、．若，则下列结论中，一定正确的是 ①；②；③；④． 10．如图，在中，，，，则的长为 ． 三、解答题 11．如图，有一个圆形花园，圆心处为一观光亭，是一条横穿圆形花园的小路，与圆形花园的外围栅栏交于、两点，且两端点、与观光亭距离相等．现在要从观光亭向小路修一条小路，使垂直于，与小路交于点，与外围栅栏交于点． (1)试说明； (2)若量得花园内的小路长米，米，求花园的半径． 12．如图，是的直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的半径． 13．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 14．如图，已知是的直径，点为上一点，点为延长线上一点，若，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，求的长． 15．如图，内接于，，，垂足为，为外一点，，，交于点，交于点． (1)求证：是的直径； (2)求的度数； (3)若的半径为，，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$