第一章 勾股定理《问题的解决策略——反思》课件 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

问题的解决策略 反思 北师大数学八年级（上） 1 教学目标 知识与技能 掌握圆柱侧面最短路径问题的解决流程：理解、计划、实施、反思； 理解 “化曲为平” 的转化思想；全面、深入地进行问题解决后的反思及方法迁移。 过程与方法 圆柱侧面最短路径的求解方法（化曲为平 ）；将曲面最短路径转化为平面问题，运用勾股定理求解。 情感态度 解决问题后反思的维度与方法，通过反思，深化解决几何体表面最短路径问题的策略 如图，圆柱高12cm，底面圆周长18cm，下底点A处蚂蚁去上底相对点B，求沿侧面爬行最短路程。 呈现问题 想一想：可以连接A、B两点吗？如果不能，要怎样解决这个问题？ （1)在这个问题中，已知条件有哪些？你认为已知条件足够解决这个问题吗？ 理解问题——分析已知条件 因为圆柱是一个立体图形，不便于解决问题，所以我们需要将其展开为平面图形。已知圆柱高12cm（即侧面展开长方形的宽 ）、底面周长18cm（即侧面展开长方形的另一条边的长），这些条件足够，因为可通过化曲为平，用勾股定理解决问题。 （2）沿侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短？请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下。 理解问题——可能路线及最短情况 沿侧面爬行路线是曲面曲线，将圆柱侧面展开成平面长方形，两点之间线段最短，所以展开后A、B间线段为最短路线。因此可通过化曲为平，利用“两点之间，线段最短”来解决问题。 以前学过平面上两点之间线段最短（如直线、多边形边上最短路径 ），此问题不同在路径在曲面，需转化为平面。 拟订计划 —— 关联旧知 方法：平面最短路径直接找线段；曲面要先展开成平面，再找线段. 如何化曲为平？圆柱侧面展开是长方形，长方形的长是底面圆周长，宽是圆柱的高。展开后，点B在长方形的对应位置（上底相对点，即展开图长方形上边的中点，结合底面周长18cm，展开后A在长方形下边一端，B在上边中点 ）。 拟订计划 —— 问题转化 （1）如图，将圆柱侧面剪开，确定展开图的形状，以及与圆柱的对应关系。 实施计划 —— 展开圆柱侧面 圆柱侧面展开图是长方形，长方形的长=底面圆周长=18cm，宽=圆柱的高= 12cm 。 . （2）在图中标出点B的位置。 实施计划 —— 展开圆柱侧面 B · 因为B是上底面与A相对的点，底面圆周长18cm，所以展开后，B在长方形上边的中点处（距离长方形上边一9cm，即在展开图中，B的水平位置是长方形长的一半，垂直位置是长方形的宽12cm。 . （3）在图中确定A，B两点之间最短的路线，并计算它的长度。 实施计划 —— 计算最短路径 B · 构造直角三角形，如图.根据题意，AC= =9，BC=12. 由勾股定理得AB2 = AC2+BC2 =92+122=225 ∴AB=15(cm). 因此蚂蚁沿侧面爬行最短路程为15cm . . C （1）在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验？与同伴进行交流。 回顾反思 —— 经验总结 B · 在拟订和实施计划中，获得的经验有：遇到曲面最短路径，要转化为平面（化曲为平思想 ）；利用圆柱侧面展开图是长方形的特点，找到对应点位置；借助勾股定理计算。 . C （2）这个问题中，影响结果的量有哪些？如果改变有关的量，你还能求解吗？例如，改变圆柱的形状，改变A，B两点的位置，改为沿着圆柱表面爬行……这时又会有哪些新的问题？选择部分问题进行研究，并与同伴进行交流。 回顾反思 —— 影响结果的量 影响结果的量有圆柱的高、底面周长（决定展开图长方形的长和宽 ），以及A、B两点的位置。 . （3）解决这个问题的经验，还可以运用到哪些问题中？例如，能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题？ 回顾反思 —— 经验迁移 解决圆柱最短路径的经验（化曲为平、勾股定理 ）可迁移到正方体、长方体表面最短路径。举例：正方体棱长a，求表面上A到对角顶点B的最短路径，需展开不同面，计算三种展开方式的对角线，取最小。 . （4）生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离？举几个实例，并思考解决问题的方案。 回顾反思 —— 生活实例 生活中涉及几何体表面最短距离的实例： ① 快递员沿长方体纸箱表面贴胶带，从一端到对角端最短胶带长度。 ② 虫子在圆柱形水管表面从一端到另一端的最短爬行路线。 ③ 工人在长方体柱子表面刷漆，从底部一点到顶部对角点的最短刷漆路径。 . （5）对于解决问题之后的回顾反思，你有哪些体会？与同伴进行交流。 回顾反思 —— 反思体会 解决问题后反思，能发现解题过程的不足，优化方法；深化对转化思想的理解；学会举一反三，解决更多同类或拓展问题。 . ① 过程反思：是否清晰，有无卡顿，卡顿点咋解决。 ② 方法反思：方法是否最优，有无其他方法（一题多解 ）。 ③ 思想反思：转化思想、建模思想（勾股定理模型 ）如何体现。 ④ 拓展反思：改变条件，问题咋变，咋解决（一题多变 ）。 反思的维度总结 思考：圆柱侧面最短路径，除了展开成 “长方形长为底面周长” 的方式，还有其他展开吗？（实际只有一种侧面展开方式，但可引导学生想：若沿不同母线剪开，展开图长方形位置变，但计算结果一样 ） 结论：不管沿哪条母线剪开，展开图都是长为底面周长、宽为高的长方形，最短路径计算结果相同，体现方法的一致性。 迁移训练——一题多解 如图，长方体长5cm，宽4cm，高3cm，求表面上从顶点A到对角顶点B（不在同一面 ）的最短路径。 迁移训练——一法多用 变式 1：圆柱高不变12cm，底面周长变为24cm，求最短路径。 变式 2：圆柱底面周长不变18cm，高变为10cm，求最短路径。 迁移训练——一题多变 典例精析 例1.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为13cm，底面周长为10cm，在杯内壁离杯底3cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm，且与蜂蜜相对的点B处，求蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程（杯壁厚度不计）. 典例精析 解：如右图，将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B，连接BA，则BA即为最短距离， 由题意得：DB＝12cm，AD＝5（cm）， ∴， ∴. . 课堂小结 问题的解决策略——反思。 课后巩固 完成相关作业． 谢谢观赏 结束新课 $$