精品解析：辽宁省盘锦市双台子区第一中学2024-2025学年八年级下学期阶段测试数学试卷

2024～2025学年度第二学期学业水平跟踪（一） 八年级（数学） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的自变量取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 正比例函数的图象是（ ） A. B. C. D. 4. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（ ） A. 65平方里 B. 60平方里 C. 325平方里 D. 30平方里 5. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 6. 如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 给出以下三种情境： （1）小明开车去电影院看电影，在途中遇到了交通堵塞，原地停留了一段时间后，为了赶时间以更快的速度匀速行驶，小明行驶的路程和时间的关系； （2）向如图①所示的容器中匀速注水，注满为止，容器中水的深度与注水时间的关系； （3）如图②，在平行四边形中，点从点出发，沿在平行四边形的边上匀速运动至点，点的运动时间与面积的关系． 则右侧给出的三个图象与上述三种情境（）（）（）依次吻合最好的顺序为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形中，，，，连接，的角平分线分别交，于点，，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点，连接，若，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，，分别为上两点，且，作，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③当时，的面积为；④ 的最小值是．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知函数是正比例函数，则_____________． 12. 如图，点P是内一点，，，，点D，E，F，G分别是的中点，若四边形的周长为28，则长为______． 13. 已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，分别表示甲、乙两人离开A地的距离与时间之间的关系，根据图象，下列结论：①乙先出发1小时后，甲才出发；②乙出发1.5小时后两人相遇，这时他们离A地；③甲到达B地后乙到达B地；④甲的速度为，乙的速度为．其中正确的有_________．（填序号） 14. 如图，菱形的边长为6，对角线交于点O，E是边上一动点，过点E分别作于点，于点，连接，当取得最小值时，菱形两条对角线的和为_________． 15. 若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点P的坐标为___________． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） ； （2） ． 17. 如图所示，已知和，且点，，，在同一条直线上．求证：． 18. “清明节”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． （1）求汽车行驶路程x（千米）与剩余油量y（升）之间的函数关系式； （2）当汽车行驶280千米时，求油箱中还剩多少升油？ （3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 19. 数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 20. 如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，，，将沿着的方向以每秒的速度运动得到（如图②），连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，设运动时间为秒，当为何值时， 是菱形？请说明你的理由． 21. 为了研究特殊四边形之间的关系，老师制作了一个教具（如图①），用钉子将四根木条钉成一个正方形框架，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条，左手向右推动框架得到四边形（如图②）． （1）如图②，连接，，若正方形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，则之间的数量关系为 ； （2）如图③，过作且，连接．求证：四边形是矩形． 22. 阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图象与性质之间的关系：图象与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数的图象与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下： 任务： （1）上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_____________；②_____________；③_____________；④_____________． （2）如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图象．请你帮他写出该函数图象的两条几何特征，及相应函数的数量特征． 图象 图象的几何特征 函数的数量特征 23. 【操作发现】 （1）如图1，正方形纸片，点E是边上一点，将沿翻折，点A的对应点F落在正方形内部，延长交边于点G，连接，易知； 【深入探究】 （2）如图2，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为，再把纸片展平，然后继续进行（1）中的操作，将沿翻折，点A的对应点F恰好落在折痕上，其它条件不变，把纸片展开，连接，求的度数； 【类比迁移】 （3）①如图3，将矩形纸片对折，使与重合，折痕为，再把纸片展平，点E在线段上，把沿折叠，点A的对应点F刚好落在直线上，，求的长； ②若点E在线段的延长线上，①中其它条件不变，直接写出的长； 【拓展应用】 （4）如图4，在菱形中，，边长为10，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的边上，且，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期学业水平跟踪（一） 八年级（数学） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的自变量取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量，二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点．熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据二次根式的定义，被开方数必须非负即可解答． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故选 ：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算判断即可； 【详解】解：，选项A正确； ，选项B错误； 无法合并，选项C错误； ，选项D错误； 故选A． 3. 正比例函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题目主要考查了正比例函数的图象和性质，关键理解正比例函数的定义，正比例函数的一般形式．斜率的正负对函数图象的影响；当时，函数图象是一条经过原点且从左下到右上的直线；当时，函数图象是一条经过原点且从左上到右下的直线；函数图象经过的点的确定，即可解答． 【详解】解：∵函数，即， ∵， ∴函数图象是一条从左上到右下的直线， ∵函数经过原点， ∴当时，， 即：点也在函数图象上， ∴函数的图象是一条从左上到右下的直线，经过原点和点， 观察选项，选项D符合这个描述． 故选：D． 4. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（ ） A. 65平方里 B. 60平方里 C. 325平方里 D. 30平方里 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用．直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：（平方里）． 故选：D． 5. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形和等边三角形的性质得，进而得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，灵活利用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 7. 给出以下三种情境： （1）小明开车去电影院看电影，在途中遇到了交通堵塞，原地停留了一段时间后，为了赶时间以更快的速度匀速行驶，小明行驶的路程和时间的关系； （2）向如图①所示的容器中匀速注水，注满为止，容器中水的深度与注水时间的关系； （3）如图②，在平行四边形中，点从点出发，沿在平行四边形的边上匀速运动至点，点的运动时间与面积的关系． 则右侧给出的三个图象与上述三种情境（）（）（）依次吻合最好的顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查运用图象获取信息的能力，根据三种变化中两个变量间的关系，可分别判断每种变化对应的图象．关键是能准确理解相关知识与读图． 【详解】解：（）交通堵塞开始前小明行驶的路程随时间的增大而增大，被交通堵塞耽误的时候，小明行驶的路程不变，交通堵塞结束后小明行驶的路程随时间的增大而增大，故符合图象． （）容器的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽，所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢，故符合图象． （）点从点运动到点的过程中，的面积逐渐增大；点从点运动到点的过程中，的面积不变：点从点运动到点的过程中，的面积逐渐减小，故对应的是图象． 故选：C． 8. 如图，四边形中，，，，连接，的角平分线分别交，于点，，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点包括平行四边形的性质与判定、菱形的性质与判定、角平分线的性质、勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质．由勾股定理在直角三角形中，利用勾股定理求得；由和 平分，得出四边形是平行四边形；结合，进一步判定四边形是菱形；在直角三角形中，由勾股定理得,直角三角形斜边中线性质，，即可解答． 【详解】如图，连接 ∵，，， ∴. ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴在中， 故选：A． 9. 如图，矩形中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点，连接，若，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图知，垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，可判定正确；根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，可判定正确；先证出得，根据勾股定理得到，，得到，于是得到，可判定错误，由矩形的性质得，可判定正确． 【详解】解：A、由作图知，垂直平分， ， 故正确，不符合题意； B、四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故正确，不符合题意； C、如图， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故错误，符合题意； D、四边形为矩形， ， 故正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了作图-基本作图、全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 10. 如图，正方形的边长为，，分别为上两点，且，作，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③当时，的面积为；④ 的最小值是．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又：， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，即①正确； 如图：延长到，使， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为，即③正确； 如图：取的中点，连接，， ∵， ∴， 在中，， 在中，，当三点共线时， 有最小值，，即④错误． 则正确的有①②③． 故选：B． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知函数是正比例函数，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 根据正比例函数的定义列出方程求解即可． 【详解】解：是正比例函数， 且， 解得：； 故答案为：． 12. 如图，点P是内一点，，，，点D，E，F，G分别是的中点，若四边形的周长为28，则长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．同时也考查了中点四边形和直角三角形斜边上的中线．由三角形中位线的性质可得，，由四边形周长求得，再由勾股定理求得即可． 【详解】解：由题意得：分别为的中位线， ∴，， ∵四边形的周长为28， ∴． ∵， ∴． 中，， ∴． 故答案为：8． 13. 已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，分别表示甲、乙两人离开A地的距离与时间之间的关系，根据图象，下列结论：①乙先出发1小时后，甲才出发；②乙出发1.5小时后两人相遇，这时他们离A地；③甲到达B地后乙到达B地；④甲的速度为，乙的速度为．其中正确的有_________．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象逐一判断即可，正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：根据图象可得乙先出发1小时后，甲才出发，故①正确，符合题意； 根据图象可得在乙出发1.5小时后两人相遇，这时他们离地，故②正确，符合题意； 根据图象可得乙的速度为，则乙走到B地的时间为，，故甲到达地后乙到达地，故③正确，符合题意； 甲的速度为，故④错误，不符合题意， 故答案为：①②③． 14. 如图，菱形的边长为6，对角线交于点O，E是边上一动点，过点E分别作于点，于点，连接，当取得最小值时，菱形两条对角线的和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，由菱形的性质得，可证四边形为矩形，连接，则，当时，最短，由勾股定理结合面积法求得，，，再利用完全平方公式变形计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵于点，于点， ∴四边形是矩形， 连接，则，当时，的值最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴(负值已舍)， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴菱形两条对角线的和为． 故答案为：． 15. 若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点P的坐标为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 利用正方形的性质得到，进而得到中点D的坐标为，再分当点P在上时、当点P在上时、当点P在上时三种情况，分别利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，点B的坐标是， ∴， ∴中点D的坐标为， 如图所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴，解得． ∴点P的坐标为． 如图2所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为， 如图3所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） ； （2） ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键． （1）先计算括号里，再计算除法； （2）先运用平方差公式和完全平方公式，再相加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图所示，已知和，且点，，，在同一条直线上．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．利用四边形和是平行四边形，证明，，，则可得，继而证得结论． 【详解】略 18. “清明节”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． （1）求汽车行驶路程x（千米）与剩余油量y（升）之间的函数关系式； （2）当汽车行驶280千米时，求油箱中还剩多少升油？ （3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 【答案】（1） （2）17升 （3） 他们能在汽车报警前回到家，理由如下： ， ∴他们能在汽车报警前回到家． 【解析】 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，有理数除法的实际应用，根据数量关系列出关系式是解题的关键． （1）根据单位耗油量耗油量行驶里程，剩余油量油箱内油的升数行驶路程的耗油量即可解答； （2）把千米代入剩余油量公式，计算即可； （3）计算出升油能行驶的距离，与来回400千米比较大小即可得． 【小问1详解】 解：（升/千米）， 关系式为； 【小问2详解】 解：当时，（升）， 答：油箱中还剩17升油； 【小问3详解】 略 19. 数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【答案】（1）12米 （2）7米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出，即可得解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意知：米，， 在中， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度12米； 【小问2详解】 解：由（1）知，米，则米， 米， 米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 20. 如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，，，将沿着的方向以每秒的速度运动得到（如图②），连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，设运动时间为秒，当为何值时， 是菱形？请说明你的理由． 【答案】（1） 证明：由题意可得， ∴， 根据平移的性质得到：， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）时，是菱形，理由： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和判定，平移的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形，矩形和菱形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平移和全等三角形的性质可得，，即可得出，再根据全等三角形的性质易得，，即可证明四边形是平行四边形； （2）当秒时，根据等边三角形的性质和判定，即可得出四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 为了研究特殊四边形之间的关系，老师制作了一个教具（如图①），用钉子将四根木条钉成一个正方形框架，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条，左手向右推动框架得到四边形（如图②）． （1）如图②，连接，，若正方形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，则之间的数量关系为 ； （2）如图③，过作且，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】（1） （2） 证明：∵四边形是正方形， ， ∴四边形是菱形， ，， ， ． ， ∴四边形是平行四边形． 又， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）过点分别作于点F，延长交于点E，证明四边形是矩形，可得，再利用四边形的面积公式计算即可； （2）证得四边形是菱形，根据菱形的性质可得，再根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定证明即可． 【小问1详解】 解：， 如图，过点作于点F，延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． 22. 阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图象与性质之间的关系：图象与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数的图象与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下： 任务： （1）上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_____________；②_____________；③_____________；④_____________． （2）如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图象．请你帮他写出该函数图象的两条几何特征，及相应函数的数量特征． 图象 图象的几何特征 函数的数量特征 【答案】（1）①原点（或）；②一、三；③；④增大 （2） 如表所示： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征 图象经过原点 由表达式可知，当时，； 图象经过第三、四象限 ∵，当，， 当时，， 即当时，始终为负数． 在第三象限，图象从左往右是上升趋势 设点，是该函数图象上的两点，其中， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的值随值的增大而增大． 在第四象限，图象从左往右是下降趋势 设点，是该函数图象上的两点，其中， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 即， ∴， ∴的值随值的增大而减小． 图象关于轴对称 设点，是该函数图象上的两点，其中， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴，即． 【解析】 【分析】本题主要考查正比例一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的图象即可确定函数的性质，填空即可； （2）利用数形结合思想，得出函数的性质和特征即可． 【小问1详解】 解：如表所示： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征 图象经过原点 由表达式可知，当时，； 图象经过第一、三象限 ∵，且， ∴当时，，当时，， 即当时，，同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中）， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值随值的增大而增大． …… …… 故答案为：原点（或）；一、三；；增大； 【小问2详解】 略 23. 【操作发现】 （1）如图1，正方形纸片，点E是边上一点，将沿翻折，点A的对应点F落在正方形内部，延长交边于点G，连接，易知； 【深入探究】 （2）如图2，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为，再把纸片展平，然后继续进行（1）中的操作，将沿翻折，点A的对应点F恰好落在折痕上，其它条件不变，把纸片展开，连接，求的度数； 【类比迁移】 （3）①如图3，将矩形纸片对折，使与重合，折痕为，再把纸片展平，点E在线段上，把沿折叠，点A的对应点F刚好落在直线上，，求的长； ②若点E在线段的延长线上，①中其它条件不变，直接写出的长； 【拓展应用】 （4）如图4，在菱形中，，边长为10，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的边上，且，直接写出的长． 【答案】 （1）证明：四边形是正方形， ，， 由折叠的性质得 ， ，， ∵， ∴； （2）； （3）①；②10； （4）或 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形，推出，，由折叠的性质得，利用即可证明； （2）连接，证明为等边三角形，同理（1）得，即可解答； （3）①根据题意得点在线段的垂直平分线上，求出，，由折叠的性质得：，，在中，由勾股定理求得，易证四边形为矩形，求出，设，则，利用勾股定理即可求解；②根据题意画出示意图，同理①即可解答； （4）根据题意分两种情况讨论，①当点落在边上时，②当点落在边上时，利用菱形的性质结合折叠的性质，解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）连接， 由折叠的性质得 垂直平分，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 四边形是正方形， ， ∴， 同理（1）得， ∴； （3）①点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质得 ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图， 同理得，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （4）①当点落在边上时，如图，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴； ②当点落在边上时，如图，过点作于点，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 由翻折得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得： ， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了翻折变换的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $