专题3.4 实数的运算（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年七年级数学上册（浙教版 2024）

专题3.4 实数的运算 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识储备： 1 学前巩固： 1 知识点:实数的运算 2 【题型1】实数的运算（基础巩固） 2 【题型2】实数的运算（综合提升） 2 【题型3】实数的运算（数轴上的运算） 2 【题型4】实数的运算（规律探索） 3 【题型5】实数的运算（实际应用） 4 二．同步练习 5 【基础巩固（18题）】 5 【能力提升（15题）】 7 【中考真题6题】 9 一．知识梳理与题型分类精析 知识储备： 1. 熟悉平方和立方值： 11至25的平方： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； . 10以内的立方： ； ； ； ； ； ； ； ； ； . 学前巩固： 【例】（24-25七年级下·福建厦门·期中）直接写出结果： （1）的平方根是 ；            （2）的立方根是 ； （3）的相反数是 ；        （4）的绝对值是 ； （5） ；            （6）写出一个小于的无理数： ． 知识点:实数的运算 实数运算的顺序是：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。 【题型1】实数的运算（基础巩固） 【例题1】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 【题型2】实数的运算（综合提升） 【例题2】（24-25七年级下·天津·阶段练习）计算： （1） （2）． 【变式1】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）计算： （1） （2） 【变式2】（23-24七年级下·河南漯河·阶段练习）计算 （1） （2） 【题型3】实数的运算（数轴上的运算） 【例题3】（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． （1）实数的值是___________； （2）求的值． 【变式1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点关于点的对称点为．点表示的数为． （1）求的值； （2）化简：； 【变式2】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）数轴上、两点所对应的实数分别是，，点为轴上一点，若、、中有一点是中点，则点所表示的实数是 ． 【题型4】实数的运算（规律探索） 【例题4】（21-22八年级下·湖北黄冈·期中）小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 【变式1】（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． （1）完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； （2）计算的值． 【变式2】19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）________________________________；（用“>”“<”或“=”填空） （2）由（1）可知： ①________； ②________； ③________；（结果保留根号） （3）计算：．（结果保留根号） 【题型5】实数的运算（实际应用） 【例题5】（20-21七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． （1）A类正方形的边长是___________； （2）分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； （3）求长方形邀请函的长和宽． 【变式2】（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）阅读下列材料：，即的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后，解答下面的问题： （1）如果介于连续的两个整数和之间，且，求a，b的值． （2）如果是的小数部分，是的整数部分，求的值． （3）求的算术平方根． 二．同步练习​ 【基础巩固（18题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）已知实数a，b满足关系式，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西玉林·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川广安·阶段练习）数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·天津河北·期末）如图，数轴上点与点表示的数互为相反数，若点表示的数是，用圆规以点为圆心，长为半径在数轴上确定一点，则点对应的实数是（   ）． A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·湖南永州·期中）实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 6．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C．2 D．6 二、填空题 7．（2025·江苏无锡·模拟预测）计算： ． 8．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）若m，n都是无理数，且，请写出一组满足条件的m，n的值： ． 9．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知的小数部分为，的小数部分为，则 ． 10．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为和，则这个长方形的面积为 ． 11．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知和计算的值 ．（结果精确到） 12．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，数轴上有三点，表示和的点分别为，点到点的距离与点到原点的距离相等．设三点表示的三个数之和p= ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： （1）； （2）． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）． 15．（24-25七年级下·云南昆明·期末）【阅读理解】设m，n是有理数，满足，求m，n的值． 解：∵． ∴， ∴， ∵m、n是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴． 【类比应用】 （1）已知，求a的值； （2）在（1）的条件下，设x，y是有理数，满足，求的值． 16．（24-25七年级下·湖南张家界·期中）规定无理数m的整数部分记为[m]，小数部分记为{m}，例如：，． （1）＝_________；＝_________． （2）求的值． 17．（24-25七年级下·河南漯河·期末）已知正数a的两个平方根分别是和，的立方根为2， （1）求a，b，c的值． （2）求 的平方根． 18．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）请阅读材料：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记作（即），如，3叫做9的算术平方根． （1）计算下列各式的值：________，________，________． （2）观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？ （3）由（2）猜想：_________（，）． （4）根据（3）计算： ①； ②． 【能力提升（15题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则（   ） A．，都是有理数 B．的结果必定为无理数 C．，都是无理数 D．的结果可能为有理数 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算的值是（   ）． A．8 B．10 C．12 D．16 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（   ） A．0.8 B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是 ． 7．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图，正方形边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，画出了如图所示的四叶幸运草，则四叶幸运草的周长是 ．（不含正方形边长） 8．（24-25七年级下·天津·期中）若为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 9．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）若，则 ． 10．（23-24八年级上·重庆九龙坡·开学考试）计算： ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）计算： （1） （2） 12．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算： （1）； （2）． 13．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）我们知道，是一个介于和之间的无限不循环小数．其整数部分是，我们可以用来表示的小数部分，请解答下列问题： （1）填空：的小数部分为___________；的整数部分为___________； （2）已知的小数部分为， 的小数部分为，求的值． 14．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B． （1）点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，线段的长度为 ． （2）一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C，设点C表示的数为c， ①实数c的值为 ； ②若与互为相反数，求的值． 15．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图1，这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为． （1）求出这个魔方的棱长；（用含有的式子表示） （2）若，图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． （3）如图2，在（2）的条件下，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，将正方形沿着数轴顺时针滚动一周，即边再次回到数轴上时，那么点在数轴上表示的数是多少？ 【中考真题6题】 1．（2023·江苏苏州·中考真题）计算：． 2．（2023·浙江台州·中考真题）计算：． 3．（2023·湖南·中考真题）计算： 4．（2025·江苏苏州·中考真题）计算：． 5．（2023·浙江湖州·中考真题）计算：． 6．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 实数的运算 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识储备： 1 学前巩固： 1 知识点:实数的运算 2 【题型1】实数的运算（基础巩固） 2 【题型2】实数的运算（综合提升） 4 【题型3】实数的运算（数轴上的运算） 6 【题型4】实数的运算（规律探索） 7 【题型5】实数的运算（实际应用） 10 二．同步练习 12 【基础巩固（18题）】 12 【能力提升（15题）】 21 【中考真题6题】 29 一．知识梳理与题型分类精析 知识储备： 1. 熟悉平方和立方值： 11至25的平方： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； . 10以内的立方： ； ； ； ； ； ； ； ； ； . 学前巩固： 【例】（24-25七年级下·福建厦门·期中）直接写出结果： （1）的平方根是 ；            （2）的立方根是 ； （3）的相反数是 ；        （4）的绝对值是 ； （5） ；            （6）写出一个小于的无理数： ． 【答案】 / （答案不唯一） 【分析】本题考查了实数的性质，分类以及实数的混合运算，立方根，算术平方根； （1）根据平方根的定义，进行计算即可求解； （2）根据立方根的定义，计算即可求解； （3）根据相反数的定义，即可求解； （4）根据立方根的定义以及绝对值的意义，即可求解； （5）根据实数的加法进行计算即可求解． （6）根据题意写出一个小于的无理，即可求解． 解：（1）的平方根是；   故答案为：． （2）的立方根是； 故答案为：． （3）的相反数是； 故答案为：． （4）的绝对值是； 故答案为：． （5）； 故答案为：．             （6）写出一个小于的无理数：． 故答案为：（答案不唯一）． 知识点:实数的运算 实数运算的顺序是：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。 【题型1】实数的运算（基础巩固） 【例题1】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查的是实数的混合运算； （1）先计算立方根，算术平方根，再合并即可； （2）先计算绝对值，再合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方根、立方根及绝对值的值，解题的关键是掌握以上运算法则． 分别计算平方根、立方根及绝对值的值，再合并结果． 解： ． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 【答案】 【分析】本题考查求平方根，求立方根，实数的运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据平方根求解即可； （2）根据立方根求解即可； （3）根据实数的运算求解即可； （4）根据绝对值求解即可． 解：（1）∵， ∴． 故答案为： （2）∵， ∴． 故答案为： （3）． 故答案为： （4）． 故答案为： 【题型2】实数的运算（综合提升） 【例题2】（24-25七年级下·天津·阶段练习）计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘方、立方根、算术平方根，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算绝对值、算术平方根、立方根、乘方，再计算乘法，最后计算加减即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是实数的混合运算； （1）先计算算术平方根，乘方运算，立方根，绝对值，再合并即可； （2）先计算乘方，算术平方根，立方根，再计算乘法，最后合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（23-24七年级下·河南漯河·阶段练习）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，立方根，绝对值，乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用算术平方根，立方根，绝对值，乘方进行化简，再进行加减即可； （2）利用绝对值，乘方，立方根进行化简，再进行加减即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型3】实数的运算（数轴上的运算） 【例题3】（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． （1）实数的值是___________； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、实数的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上点平移的性质即可得解； （2）将，代入代数式，根据绝对值的性质化简即可得解． 解：（1）解：∵，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为， ∴实数m的值是； 故答案为：． （2） ． 【变式1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点关于点的对称点为．点表示的数为． （1）求的值； （2）化简：； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的知识点是实数和数轴，实数的混合运算，数形结合是解题的关键； （1）根据是的中点，列出式子求解即可； （2）把的值代入，根据绝对值、整数指数幂分别求出每一部分的值，即可求解． 解：（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）， 【变式2】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）数轴上、两点所对应的实数分别是，，点为轴上一点，若、、中有一点是中点，则点所表示的实数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了数轴与实数，解题的关键是会用数轴上的实数表示点到点的距离． 根据题意进行分类讨论，用实数表示点到点的距离，计算即可． 解：设点所表示的实数是， ∵数轴上、两点所对应的实数分别是，，点为轴上一点， ∴当点是点和点的中点时，，解得，， 当点是点和点的中点时，，解得，， 当点是点和点的中点时，，解得，， ∴点所表示的实数是或或， 故答案为：或或． 【题型4】实数的运算（规律探索） 【例题4】（21-22八年级下·湖北黄冈·期中）小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 【答案】73 【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：73． 【变式1】（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． （1）完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； （2）计算的值． 【答案】（1）；；； ；互为相反数；（2） 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握立方根的性质，是解题的关键： （1）根据给出的等式，结合立方根的定义，进行求解即可； （2）先求出立方根再进行加法计算即可． 解：（1）解： ，， ． ． 故互为相反数的两个数的立方根的关系为互为相反数； 故答案为：；；； ；互为相反数． （2） ． 【变式2】19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）________________________________；（用“>”“<”或“=”填空） （2）由（1）可知： ①________； ②________； ③________；（结果保留根号） （3）计算：．（结果保留根号） 【答案】（1）<；<；<；<；（2）①；②；③；（3） 【分析】本题考查比较实数大小，化简绝对值，实数的运算． （1）平方法比较大小即可； （2）利用（1）中的大小关系，结合绝对值的意义，化简即可； （3）先化简再计算即可． 解：（1）∵， ∴， 故答案为：<；<；<；<； （2）∵， ∴，，， ∴①； ②； ③， 故答案为：①；②；③； （3） ． 【题型5】实数的运算（实际应用） 【例题5】（20-21七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点拨】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． （1）A类正方形的边长是___________； （2）分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； （3）求长方形邀请函的长和宽． 【答案】（1）；（2）A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为；（3）长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 解：（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 【变式2】（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）阅读下列材料：，即的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后，解答下面的问题： （1）如果介于连续的两个整数和之间，且，求a，b的值． （2）如果是的小数部分，是的整数部分，求的值． （3）求的算术平方根． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的估算、实数的运算，熟练掌握无理数的估算是解题关键． （1）根据可得，由此即可得； （2）先求出，，由此即可得； （3）先代入计算的值，再计算算术平方根即可得． 解：（1）解：，即， ∵介于连续的两个整数和之间，且， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵是的小数部分，是的整数部分， ∴，． （3）解：由（2）已得：， ∴， ∴的算术平方根为． 二．同步练习​ 【基础巩固（18题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）已知实数a，b满足关系式，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方和绝对值的非负性以及求一个数的平方．根据非负数的性质，每个非负数都必须为0，从而求出和的值，然后计算的次方即可． 解：由题意得，， 解得，， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·广西玉林·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根的概念及实数的运算．根据算术平方根、平方根、立方根以及实数的加法逐项分析即可． 解：A．符号表示算术平方根，结果非负，故，而非，选项A错误． B．，选项B正确． C．表示正负两个结果，即，但等式右边仅写为2，未包含负值，选项C错误． D．根号表示立方根．若，则需满足，显然不成立，选项D错误． 故选B． 3．（24-25八年级下·四川广安·阶段练习）数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上对称点表示的数的关系，实数的运算，正确掌握数轴上对称点表示的数的计算方法是解题的关键．先计算的长，再根据对称的性质得到，即可求得点C表示的数． 解：∵数轴上A，B两点表示的数分别是2和， ∴， ∵点B关于点A的对称点为点C， ∴， ∴点C表示的数是， 故选：B． 4．（24-25七年级下·天津河北·期末）如图，数轴上点与点表示的数互为相反数，若点表示的数是，用圆规以点为圆心，长为半径在数轴上确定一点，则点对应的实数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据相反数的定义可得点B表示的数为，据此可求出，由作图方法可得，则由数轴上两点距离计算公式可得答案． 解：∵数轴上点与点表示的数互为相反数，点表示的数是， ∴点B表示的数为， ∴， 由作图方法可得， ∴点对应的实数是， 故选：C． 5．（24-25七年级下·湖南永州·期中）实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得，则，据此计算算术平方根和绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 解：由数轴可得， ∴， ∴， 故选：A． 6．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】此题考查实数的混合运算，掌握规定的运算方法是解决问题的关键．根据给出的运算方法把式子转化为实数的混合运算，进一步计算得出答案即可． 解：∵， ∴． 故选B． 二、填空题 7．（2025·江苏无锡·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算， 先算，再算减法即可. 解：原式， 故答案为： 8．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）若m，n都是无理数，且，请写出一组满足条件的m，n的值： ． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的含义，实数的混合运算，根据m，n都是无理数，且，结合互为相反数的两数和为0，可得答案. 解：∵m，n都是无理数，且， ∴（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 9．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知的小数部分为，的小数部分为，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及不等式的性质，得到，，是解答本题的关键．由，可得，，则m和n的值可求，则问题得解． 解：∵， ∴， ∴，， ∴小数部分为，的小数部分为， ∴，， ∴． 故答案为：1． 10．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为和，则这个长方形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根，利用数形结合的思想解决问题是关键． 根据正方形的面积求出边长，即可得到边的长，然后根据面积公式求解即可． 解：长方形内两个正方形的面积分别为和， 两个正方形的边长分别为，， 边的长为， ∴这个长方形的面积为 故答案为：． 11．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知和计算的值 ．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了近似数、实数的运算，取、近似值，然后计算． 解： 故答案为：． 12．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，数轴上有三点，表示和的点分别为，点到点的距离与点到原点的距离相等．设三点表示的三个数之和p= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握应用两点间的距离公式．利用两点间的距离公式求出，再利用两点间的距离公式求出点表示的数，从而求出即可； 解：由题意，得． 因为点在原点左侧， 所以点表示的数为， 所以． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是实数的混合运算； （1）先计算算术平方根，立方根，乘方，再合并即可； （2）先计算乘方，算术平方根，绝对值，再合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）0 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算开方和绝对值，再算加减即可； （2）先算开方，再算加减． 解：（1）解：原式． （2）解：原式． 15．（24-25七年级下·云南昆明·期末）【阅读理解】设m，n是有理数，满足，求m，n的值． 解：∵． ∴， ∴， ∵m、n是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴． 【类比应用】 （1）已知，求a的值； （2）在（1）的条件下，设x，y是有理数，满足，求的值． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，理解题意并进行正确地计算是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义计算即可； （2）由题意可得，则，解得x的值后代入原式计算即可． 解：（1）解：； （2）解：∵x，y是有理数，满足， ∴， ∴， 解得：， 当时，， 当时，， 综上，原式的值为． 16．（24-25七年级下·湖南张家界·期中）规定无理数m的整数部分记为[m]，小数部分记为{m}，例如：，． （1）＝_________；＝_________． （2）求的值． 【答案】（1）3，；（2）1． 【分析】本题考查了估算无理数的大小，求一个数的平方根．解题的关键是理解题意，掌握估算无理数大小的方法，正确计算． （1）先根据无理数的大小估算办法估算即可； （2）先根据无理数的大小估算办法估算，然后再计算实数的混合运算． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3，； （2）∵， ∴，， ∴， ， ∴． 17．（24-25七年级下·河南漯河·期末）已知正数a的两个平方根分别是和，的立方根为2， （1）求a，b，c的值． （2）求 的平方根． 【答案】（1）25，，；（2） 【分析】题目主要考查平方根和立方根的计算，求代数式的值，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意，利用平方根及立方根的性质，求解即可； （2）根据（1）中结果，代入计算即可． 解：（1）解：根据题意，得， 解得． 所以 由的立方根为2，得，解得． 所以a，b，c的值分别为25，，． （2）把 代 入 ，得． 所以的平方根是∶ ． 18．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）请阅读材料：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记作（即），如，3叫做9的算术平方根． （1）计算下列各式的值：________，________，________． （2）观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？ （3）由（2）猜想：_________（，）． （4）根据（3）计算： ①； ②． 【答案】（1）2，6，12；（2）；（3）；（4）①；② 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，实数的运算，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （）根据算术平方根的定义即可求解； （）根据（）的结果即可求解； （）根据（）所得的关系即可求解； （）根据（）所得猜想计算即可； 解：（1）解：∵，，， ∴，，， 故答案为：2，6，12； （2）解：由（）的结果可得，； （3）解：由（）猜想：， 故答案为：； （4）解：①； ②． 【能力提升（15题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根与算术平方根，实数的运算，熟练掌握会求一个数的平方根与算术平方根是解题的关键． 根据实数的运算法则，以及平方根与算术平方根定义逐项计算判断即可． 解：A、，计算正确，故此选项符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则（   ） A．，都是有理数 B．的结果必定为无理数 C．，都是无理数 D．的结果可能为有理数 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键． 根据实数的运算法则，逐项进行判断分析即可． 解：A、当时，，是有理数，是无理数，故A错误； B、当，那么，所以B错误； C、当时，是有理数，故选项C错误； D、当，那么，所以选项正确，D正确． 故选：D． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算的值是（   ）． A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，乘方运算，有理数的混合运算等知识点，先进行立方根，乘方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后加减运算即可得解，熟练掌握其运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 解： ， 故选：C． 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键． 利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（   ） A．0.8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，求出点，之间的距离，即的长，再根据题意求得的长，即可得出点对应的数． 解：∵点，在数轴上表示的数分别是2，， ∴， ∵， ∴， ∴点可以看成点向左移动， ∴点对应的数为， ∴点表示的数， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是 ． 【答案】2或64 【分析】本题主要考查了求立方根，求算术平方根，无理数的定义，根据题意可得只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是；当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则；当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数，若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为，则可推出x的值；若第三次取算术平方根的结果为时，可推出第一次取立方根的结果为，符合题意，据此可得答案． 解： 若取立方根后所得的结果为无理数，那么输出的结果不可能为， ∴只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是； 当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则； 当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数， 若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为， ∴第一次取算术平方根的结果为， ∴； 若第三次取算术平方根的结果为时，则第二次取立方根的结果为， ∴第二次取算术平方根的结果为，则第一次取立方根的结果为，不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：2或64． 7．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图，正方形边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，画出了如图所示的四叶幸运草，则四叶幸运草的周长是 ．（不含正方形边长） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长计算，四叶幸运草的周长为个半圆的弧长个圆的周长，由圆的周长公式即可得出结果，由题意得出四叶幸运草的周长个圆的周长是解题的关键． 解：由题意得，四叶幸运草的周长为个半圆的弧长个圆的周长， ∴四叶幸运草的周长， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·天津·期中）若为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 【答案】 3 0 【分析】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到的整数部分，小数部分，代入求值即可． 解：∵， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：， 9．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】根据三个非负数的和为0，必须每个数都为0，就能得出三个一元一次方程，即可求出的值． 解：， ， ，，， ． 故答案为： 【点拨】本题考查了对非负数的性质，立方根，算术平方根的性质等知识点的运用，主要考查学生能否熟练地运用这些性质和法则进行计算． 10．（23-24八年级上·重庆九龙坡·开学考试）计算： ． 【答案】 【分析】先计算算术平方根，乘方，立方根，绝对值，再利用加减法法则进行计算． 解： ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握数的开方运算和乘方运算，绝对值的定义． 三、解答题 11．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是实数的混合运算； （1）先计算立方根和算术平方根，再合并即可； （2）先计算算术平方根，立方根，化简绝对值和乘方，再加减解答即可． 解：（1）解： ； （2）解： 12．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． （1）首先计算乘方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． （2）首先计算乘方、开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 解：（1）解：； （2）解： 13．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）我们知道，是一个介于和之间的无限不循环小数．其整数部分是，我们可以用来表示的小数部分，请解答下列问题： （1）填空：的小数部分为___________；的整数部分为___________； （2）已知的小数部分为， 的小数部分为，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查估算无理数的大小，实数的混合运算，理解题意是解题的关键． （1）估算的大小，即可得出小数部分和整数部分； （2）估算，得出，，进而求得的值，代入代数式，即可求解． 解：（1）解：∵ ∴的小数部分为 ∵ ∴的整数部分为 故答案为：，． （2）解：∵ ∴， ∵的小数部分为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵的小数部分为， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B． （1）点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，线段的长度为 ． （2）一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C，设点C表示的数为c， ①实数c的值为 ； ②若与互为相反数，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②或 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的实际应用，实数的混合运算： （1）求出边长，即可得出结果，根据两点间的距离公式求出线段的长度即可； （2）①根据数轴上点的移动规则，进行计算即可；②利用非负性进行求解即可． 解：（1）解：由题意，得：， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，线段的长度为； （2）①由题意，得：实数c的值为； ②∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴或． 15．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图1，这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为． （1）求出这个魔方的棱长；（用含有的式子表示） （2）若，图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． （3）如图2，在（2）的条件下，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，将正方形沿着数轴顺时针滚动一周，即边再次回到数轴上时，那么点在数轴上表示的数是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，算术平方根，实数的运算，实数与数轴，熟知立方根和算术平方根的求解方法是解题的关键． （1）正方体的体积等于棱长的立方，据此求解即可； （2）根据（1）所求求出魔方的棱长，进而求出每个小立方体的边长，再利用割补法求出对应的面积即可； （3）根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，即可得到的长，进而得到滚动前点D表示的数，再求出滚动一周的距离即可得到答案． 解：（1）解：由题意得，这个魔方的棱长为； （2）解：当时，， ∴每个小立方体的边长为1， ∴； （3）解：∵正方形的面积为5， ∴正方形的边长为， ∴， ∴点D表示的数为， ∵，将正方形沿着数轴顺时针滚动一周，滚动的距离为， ∴边再次回到数轴上时，点在数轴上表示的数是． 【中考真题6题】 1．（2023·江苏苏州·中考真题）计算：． 【答案】9 【分析】先计算绝对值，算术平方根，乘方运算，再合并即可． 解： ． 【点拨】本题考查的是实数的混合运算，熟记算术平方根的含义，乘方与绝对值的含义是解本题的关键． 2．（2023·浙江台州·中考真题）计算：． 【答案】2 【分析】根据绝对值的性质和算术平方根分别进行化简，再按照有理数加减混合运算即可求出答案． 解： ． 【点拨】本题考查了实数的运算，解题的关键在于熟练掌握绝对值的性质、算术平方根，乘方的相关运算． 3．（2023·湖南·中考真题）计算： 【答案】 【分析】根据求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法进行计算即可求解． 解： 【点拨】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法是解题的关键． 4．（2025·江苏苏州·中考真题）计算：． 【答案】10 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先去绝对值，进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可． 解：原式． 5．（2023·浙江湖州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】根据实数的运算顺序进行计算即可． 解：原式 ． 【点拨】本题考查实数的运算，掌握二次根式的性质是解题的关键． 6．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$