3.4 实数的运算 教学设计 -2025-2026学年浙教版数学七年级·上册

该初中数学教学设计聚焦“实数的运算”，通过苹果自由下落情境引入，回顾有理数运算法则与顺序，借助变式题从有理数过渡到含开方、无理数的运算，构建知识迁移支架。 以情境化探究为主线，生活实例培养数学眼光（抽象能力），变式训练发展推理意识与运算能力，计算器视频演示强化应用意识。助力学生夯实基础，教师易上手，提升教学实效。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 七年级 学期 秋季 课题 实数的运算 教学目标 1. 回顾有理数的运算法则和运算律‌。 2. 了解有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用‌。 3. 掌握实数的运算法则和运算顺序‌。 4. 会用计算器进行简单的实数运算，并解决一些简单的实际问题。 教学内容 教学重点： 掌握实数运算的法则和顺序。 教学难点： 例1在实数范围内运用运算法则和运算律较复杂，是本节课教学的难点。 教学过程 （一）呈现情境，提出问题 活动1：问题:一个苹果从5米的高度自由下落,你可知道该苹果每经过1米需多少时间吗？ 据经验估计:一个物体自由下落时,它所经过的距离h(米)和时间t(秒)之间的关系式为： 学生活动：根据所给情境得出苹果自由下落时所需的时间分别为其中，我们可以进行开方运算，得到，为有理数，而剩下的几个数，均为开方开不尽的无理数。 【设计意图】通过情境引入，让学生经历一个实际的情境，使学生在实际情境中体验、感受和理解实数的意义，由于实数的有关概念本身具有抽象性，但所反映的内容又十分现实，与人们的生活、生产又有十分密切的联系，学生在学习过程中有了现实背景感受，体验有关的知识能形成数感、符号感，认识数学与生活的密切关系，引发对实数如何进行运算的思考，从而引出实数的运算。 （二）任务驱动，尝试探究 活动2：，对于这个题，你是如何计算的呢？ 学生活动：回顾有理数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序计算；若遇到括号，则先进行括号里的运算。并对本题进行计算。 活动3：（变式1）将题中的改为，本题变为，运算顺序是否一致呢？ 学生活动：回顾乘方和开方运算，并进行计算。 开方 【设计意图】通过变式，让同学们更直观地感受到加入开方运算后，由于乘方和开方互为逆运算，类比加法和减法，乘法和除法，可知乘方和开方属于同级运算，均为第三级运算，因此加入开方运算后，有理数的法则和运算顺序仍然适用。 活动4：（变式2）将题中的2改为，本题变为此时，又该如何计算呢？数从有理数扩展到实数后，有理数的运算法则和运算顺序在实数范围内同样适用吗？ 学生活动：合作探究，参于计算，类比有理数的运算，得出结论，归纳实数的运算顺序为：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序计算；若遇到括号，则先进行括号里的运算，并进行计算。 【设计意图】继续通过变式讨论实数的运算，在加入无理数后，引发学生思考，引导学生理解实数的运算，由于仍属于开方运算，就和变式1的本质相同，当开方开得尽时，可直接计算，当开方开不尽的时候，以根号的形式直接参与运算。实数运算和有理数运算相比较，增加了新的运算，那就是开方，由此得到实数的运算顺序是：先算乘方和开方，再进行其他运算，开方和乘方是同级运算。培养学生的运算能力和数学思维能力‌。 活动5：在本题的计算当中，还运用了加法交换律，对于其他运算律，在实数范围内是否也适用？ 学生活动： 回顾有理数的运算律：1.交换律：加法a+b=b+a 乘法a×b=b×a 2.结合律: 加法（a+b)+c=a+(b+c) 乘法（a×b）×c=a×（b×c） 3.分配律：乘法 a×(b+c)= a×b+a×c 活动6：（变式3）改变无理数的位置，得到例1：，对于这道题，你又是如何思考的呢？ 学生活动：类比有理数的运算，在有理数的计算中，通过运算律来改变运算顺序，从而得到结果。本题中运用乘法分配律来进行计算，有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用。 （三）类比归纳，总结提升 学生活动：总结归纳 1.实数运算的顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。如果遇到括号，则先进行括号里的运算。 2.数从有理数扩展到实数后，有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用。 【设计意图】通过改变无理数的位置，当遇到对于括号内的计算无法直接计算时，引导学生类比有理数的运算，我们通常通过利用运算律改变运算顺序，让学生感受运算律在实数范围内仍然适用。学生讨论总结，归纳提升。 （四）运用新知，巩固练习 学生活动：练习： 【设计意图】通过练习来巩固所学知识，回顾实数的运算顺序，运算法则以及运算律。 （五）实践操作，新知探究 例2 用计算器计算： （1） - （精确到0.001） （2） -2 (精确到0.01) 活动7：计算前再来认识一下计算器。 【设计意图】在用计算器计算时，先认识一下新的按键。在本节课使用的计算器当中，需要先启动第二功能键才能启动算术平方根键和立方键。注意：不同的计算器按键顺序不同。 活动8：播放视频1和2，观察并学习计算器的按键顺序。 【设计意图】通过视频更直观地展现按键的顺序，同学们可以跟着视频一起操作，利用计算器进行实数的运算也是本节课的重点之一。 （六）解决问题，提升本质 学生活动：练一练：计算（精确到0.01），其中.414，.732。 【设计意图】通过学生练习，得出两种不同的解决方法。第一种方法是将无理数取近似值转化成有理数的运算.但是在运算中间取近似值时,要注意需比预定精确度多取1位，防止误差过大；另一种方法是先化简，让学生明白如能化简，则应先化简，最后按要求取近似值，则可以有效避免误差问题。 学生活动：对于取近似值，要注意哪些要点？进行总结归纳。 1.观察式子中有哪些运算，明确运算顺序。 2.如能化简，则应先化简，最后按要求取近似值。 3.运算中间取近似值时，需比预定精确度多取1位。 （七）解决问题，内化迁移 活动9：例3 俗话说，登高望远。从理论上说，当人站在距地面h千米高处时，能看到的最远距离约为d=112千米。位于上海中心大厦第118层的“上海之巅”观光厅高546米,人在观光厅里最多能看多远？（精确到0.1千米） 学生活动：列式计算，并用计算器得到结果。 【设计意图】本题目的设计的目的是说明实数运算在生产实际中有着广泛的应用。再利用计算器进行练习，从而得到结果。 拓展： 1. 的整数部分是______,小数部分是______。 2.判断下面的说法是否正确,并举例说明。 （1）两个无理数的和一定是无理数。 （2）两个无理数的积一定是无理数。 【设计意图】对于实数运算再进行深一步的研究，第2题是对两个无理数进行“和”或“积”的运算后呈现结果的相应概念的深入辨析，通过此题让学生明白，两个无理数的和与积并不一定是无理数。 （八）分享感悟，小结提升 活动10：请同学们分享收获。 学生活动：谈自己的收获和疑问。 学生活动：学生独立思考，小组展示交流，师生梳理完善知识结构。 【设计意图】通过回顾本节课的知识点，梳理完善知识结构，让学生对本节课的知识目标和体系有一个更高层次的理解。 （九）目标检测，内化提升 1. 用计算器计算(结果精确到0.01): 2.计算: 3. 已知一个立方体的体积为100cm³，求它的表面积(精确到 4.数轴上两点A，B分别表示实数 和 求A，B两点之间的距离。 5.计算: (结果精确到0.001) 6.用计算器探究： 将2连续开平方，按键顺序如下： ①2ndF2= 1.414213562 ② 2ndF2ndF ANS = 1.89207115 ③= 1.090507733 继续按 =…你发现了什么? 再用5，14，23等大于1的数试一试。 答案： 1. (1) —1.01;(2) 11.47;(3) 1.78； 2. (1) 4; (2) 2 6.ANS键的作用是调出答案储存器中的内容(详见计算器说明书)。经过这些步骤，可以发现：大于1的数连续开平方的次数越多，所得结果越小，但始终大于1，且越来越接近1。 【设计意图】第1-5题检测学生对实数的运算的掌握情况以及实际问题的应用能力；第6题的“探究活动”不是要求学生知道极限的意义，而是为了使学生进一步体验计算器在探索数学规律方面的应用，体验怎样判断事物的发展趋势。该问题中之所以只提出一些大于1的正数，一是为了简单起见，二是希望有学生能提出对于小于1的正数结论是否也成立，并自己进行实验，找出规律，也就是说给学生自己发现问题和提出问题留有空间。 五、教学评价 “实数的运算”核心内容与水平层次 核心内容 测试题 水平层次（水平一、二、三分别赋分1分、2分、3分） 学科网（北京）股份有限公司 $