第08讲 立方根与实数的混合运算（3个模块4个知识点6个考点）-【暑假预习】讲义2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第08讲 立方根与实数的运算 模块导航 模块一 立方根 模块二 实数的运算 模块三 课后作业 模块一 立方根 知识点1 立方根 1.概念及表示 一般地,一个数的立方等于a,这个数就叫作a的 立方根 ,也叫作a的 三次方根 ,记作 。其中a是被开方数,3是根指数,符号“ ”读作 三次根号 。如:因为=-8,所以-2是-8的立方根;0的立方根是0。 2.性质 (1)每个数a 有且只有一个 立方根,其中a可正可负可为0。 (2)正数的立方根是 正数 ;负数的立方根是 负数 ;0的立方根是 0 。 注意:中的根指数3不能省略,要写在根号的左上角。 方法:判断一个数x是否为a的立方根,只需检验x3是否等于a即可。 知识点2 平方根和立方根分区别 被开方数 平方根 立方根 正数 有两个,互为相反数 有一个,是正数 负数 无平方根 有一个,是负数 0 0 0 注意:(1)平方根的被开方数必须为非负数,立方根的被开方数为任意数。 (2)立方根是它本身的数有1,-1,0平方根是它本身的数只有 0。 知识点3 开立方 求一个数的立方根的运算,叫作 开立方 。 开立方与立方是互逆运算,正如开平方与平方互为逆运算一样,在开立方时,往往通过立方运算去完成。 注意:,。例如:,。 考点专训 考点1 立方根的概念 【例1】下列语句正确的是( ) A.负数没有立方根 B.的立方根是 C.立方根等于本身的数只有 D. 【变式1】下列说法正确的是( ) A.的立方根是 B.没有立方根 C.立方根等于本身的数是和 D. 【变式2】若,则( ) A.0.6 B.0.06 C.0.006 D.0.0006 【变式3】下列说法正确的是( ) A.一个数的立方根有两个,它们互为相反数 B.负数没有立方根 C.一个数有立方根,那么它的立方根一定为正数 D.一个数的立方根与这个数同号 【变式4】要使有意义,则a的取值范围( ) A. B. C. D.a是一切实数 【变式5】立方根等于它本身的数是 【变式6】若,则的平方根是 . 考点2 求一个数的立方根 【例1】计算: . 【变式1】若,,,则 (用、、来表示) 【变式2】求下列各式的值: (1) = ; (2) = ; (3) = ; (4) = ; (5) = ; (6) = ; (7) = ; (8) = . (9) = ;(10) = ; (11) = ; 考点3 利用立方根的定义求值 【例1】已知的立方根4,则的平方根是( ) A.5 B. C. D. 【例2】若,,则约为( ) A.3260 B.32600 C.326000 D.0.326 【例3】求下列各式中的x. (1); (2). 【变式1】若的值为4,则的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【变式2】已知,,则a的值约为( ) A.0.525 B.0.0525 C. D.0.000525 【变式3】若,则的值为 . 【变式4】求出下列各式中的值: (1); (2); (3); (4) 考点4 立方根的应用 【例1】如图所示,有一个正方体集装箱,体积为,现准备将其改造(形状仍为正方体),以便盛放更多的货物,为使其体积达到,棱长应变为原来的( ) A.倍 B.倍 C. D. 【变式1】如图1为一种球形容器(注:球的体积计算公式为),它受力均匀,承载能力强,且制作材料较为节省,在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎,图2为其示意图.现要生产两种容积分别为和的球形容器,则这两种容器的半径差(容器的厚度可忽略)为( ) A. B. C. D. 【变式2】小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒,已知小美制作的正方体礼盒的表面积为,而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大,则小丽制作的正方体礼盒的表面积为( ) A. B. C. D. 【变式3】某商店的李师傅制作的正方体水果礼盒的体积为,则李师傅制作的正方体水果礼盒的表面积为 . 【变式4】如图1,这是由8个同样大小的立方体组成的魔方,体积为64. (1)这个魔方的棱长为_; (2)图中四边形为正方形,求出此正方形的面积及其边长; (3)如图2把正方形放到数轴上,使得与重合,那么在数轴上表示的数为_. 模块二 实数的运算 知识点 实数的运算 1.实数运算的顺序:先算 乘方和开方 ,再算 乘除 ,最后算 加减 ;同级运算按照从 左到右 的顺序进行;如果遇到括号,则先进行括号里的运算。 2.数从有理数扩展到实数后,有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用。 注意:含根号的无理数的运算,只有被开方数相同且开相同次方的数才能相加减。 拓展:正数a的算术平方根与被开方数a的变化规律 当被开方数a的小数点向左或向右移动两位时,它的算术平方根的小数点相应地向左或向右移动一位。当a扩大到原来的100倍(或缩小到原来的)时,a的算术平方根相应地扩大到原来的10倍(或缩小到原来的) 考点专训 考点1 实数的运算 【例1】计算: (1); (2). 【变式1】计算: (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8)。 考点2 实数的运用 【例1】定义运算:.例如:.若,则的值是( ) A.3 B. C. D.9 【变式1】定义新运算:,例如:,.若,则的值为 . 【变式2】小明编写了一个程序,如图,若输入,则输出的值为 . 【变式3】如图,有一个数值转化器,当输入的x运行3次后,输出的y是,则输入的数x为 . 【变式4】小明是一个电脑爱好者,他设计了一个程序,如图,当输入的值是时,输出的值是 .分析发现,当输入一个可以使程序运行的实数时,该程序无法输出值,则的值为 . 模块三 课后作业 1.下列说法正确的是( ) A.0没有立方根 B.负数没有立方根 C.一个正数有一个负的立方根 D.一个正数只有一个立方根 2.定义为不超过x的最大整数,如,,,对于任意实数x,下列式子中正确的是( ) A. B. C. D. 3.一个正方体的体积为,则它的棱长a的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.下列式子计算正确的是( ) A. B. C. D. 5.如图,在做浮力实验时,小华用一根细线将一个正方体铁块拴住,完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中,并用一个量筒量得溢出的体积为,由此可估计该正方体铁块的棱长介于( ) A.和之间 B.和之间 C.和之间 D.和之间 6.已知一个小正方体的体积是,一个大正方体的体积是这个小正方体体积的3倍,则大正方体的表面积是( ) A. B. C. D. 7.125的立方根为 ,的平方根为 . 8.小明是一个电脑爱好者,他设计了一个程序.如图,当输入x的值是64时,输出的y值是 . 9.若,则x的值为 . 10.已知与互为相反数,求的平方根. 11.求下列各数的立方根: (1)512 = ; (2)0.064= . 12.计算:(1); (2) 13.计算: (1); (2); (3),求的值; (4),求的值. 14.计算: (1); (2) (3); (4). 15.如图所示为一个数值转换器. (1)当输入的的值为49时,输出的的值是_; (2)若输入有效的值后,始终无法输出的值,请写出所有满足要求的的值:_; (3)若输出的值是,请写出两个满足要求的的值:_. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 第08讲 立方根与实数的运算 模块导航 · 模块一 立方根 · 模块二 实数的运算 · 模块三 课后作业 模块一 立方根 知识点1 立方根 1.概念及表示 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫作a的 立方根 ，也叫作a的 三次方根 ，记作 。其中a是被开方数，3是根指数，符号“ ”读作 三次根号 。如：因为=-8，所以-2是-8的立方根；0的立方根是0。 2.性质 （1）每个数a 有且只有一个 立方根，其中a可正可负可为0。 （2）正数的立方根是 正数 ；负数的立方根是 负数 ；0的立方根是 0 。 注意：中的根指数3不能省略，要写在根号的左上角。 方法：判断一个数x是否为a的立方根，只需检验x3是否等于a即可。 知识点2 平方根和立方根分区别 被开方数 平方根 立方根 正数 有两个，互为相反数 有一个，是正数 负数 无平方根 有一个，是负数 0 0 0 注意：(1)平方根的被开方数必须为非负数，立方根的被开方数为任意数。 (2)立方根是它本身的数有1，-1，0平方根是它本身的数只有 0。 知识点3 开立方 求一个数的立方根的运算，叫作 开立方 。 开立方与立方是互逆运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，在开立方时，往往通过立方运算去完成。 注意：，。例如：，。 考点专训 考点1 立方根的概念 【例1】下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可． 【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根， ∴选项A不符合题意； ∵64的立方根是4， ∴选项B不符合题意； ∵立方根等于本身的数有和0， ∴选项C不符合题意； ∴， ∴选项D符合题意， 故选：D． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是和 D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是正确理解一个正数有一个正的立方根、的立方根是，一个负数有一个负的立方根． 利用立方根的定义及求法逐项判断即可． 【详解】解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、有立方根，为，原选项说法错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是，和，原选项说法错误，不符合题意； 、，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 【变式2】若，则（   ） A．0.6 B．0.06 C．0.006 D．0.0006 【答案】A 【分析】本题考查立方根，理解一个数缩小1000倍，则它的立方根缩小10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，一个数缩小1000倍，则它的立方根就缩小10倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选A 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．一个数有立方根，那么它的立方根一定为正数 D．一个数的立方根与这个数同号 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 利用立方根的定义判断即可得到结果． 【详解】A、一个数的立方根只有一个，错误； B、负数有立方根，错误； C、一个数有立方根，那么它的立方根不一定为正数，错误； D、一个数的立方根与这个数同号，正确． 故选：D． 【变式4】要使有意义，则a的取值范围（   ） A． B． C． D．a是一切实数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义即可得解，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：要使有意义，则a的取值范围是一切实数， 故选：D． 【变式5】立方根等于它本身的数是 【答案】0，1， 【分析】本题考查了立方根，利用立方根的意义是解题关键．根据立方根的意义，可得答案． 【详解】解：立方根等于它本身的数是0，1，， 故答案为：0，1，． 【变式6】若，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根及平方根的定义，掌握立方根及平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解： ， ， 解得：， 的平方根是， 故答案为：． 考点2 求一个数的立方根 【例1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，理解立方根的含义是解本题的关键．根据立方根的含义求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】若，，，则 （用、、来表示） 【答案】 【分析】本题考查立方根的性质，根据被开方数的小数点每向左平移3位，立方根的小数点向左平移1位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【变式2】求下列各式的值： (1) = ；(2) = ；(3) = ；(4) = ； (5) = ；(6) = ；(7) = ；(8) = ． (9) = ；(10) = ；(11) = ； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)6；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）因为，所以； （6）因为，所以； （7）因为，所以； （8）因为，所以． （9）解：； （10）解： ； （11）解：． 考点3 利用立方根的定义求值 【例1】已知的立方根4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，首先根据的立方根4，可以求出，把代入，可得：，根据平方根的定义求出的平方根即可． 【详解】解：的立方根是， ， 解得：， ， ． 故选：B． 【例2】若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 【答案】C 【分析】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【例3】求下列各式中的x． (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题主要考查了用平方根和立方根解方程，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． （1）把方程化为，再利用立方根的含义解方程即可； （2）根据等式的性质，可得立方的形式，根据开立方，可得答案． 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴． 【变式1】若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义，得出与被开方数，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，则． 故选：C． 【变式2】已知，，则a的值约为（    ） A．0.525 B．0.0525 C． D．0.000525 【答案】C 【分析】根据立方根的性质：被开方数的小数点每向一个方向移动3位，则立方根的小数点一定向相同的方向移动1位．本题考查了立方根的性质，正确理解小数点移动的关系是关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选C． 【变式3】若，则的值为 ． 【答案】2或或 【分析】本题考查立方根的性质，解题的关键是根据立方根等于它本身的数的特点来建立方程求解． 利用立方根等于它本身的数有这一性质，分别令等于，然后求解的值． 【详解】因为立方根等于它本身的数只有，已知， 所以分以下三种情况讨论： 情况一：当时，解得； 情况二：当时，解得； 情况三：当时，解得； 综上，的值为2或或． 故答案为：2或或． 【变式4】求出下列各式中的值： (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ 解得． （4）解：∵，， ∴， ∴． 考点4 立方根的应用 【例1】如图所示，有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其改造（形状仍为正方体），以便盛放更多的货物，为使其体积达到，棱长应变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论．掌握立方根的意义是解题的关键． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又∵， ∴棱长应变为原来的倍． 故选：A． 【变式1】如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 【变式2】小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键． 先根据正方体的表面积公式求出小美制作的正方体礼盒的棱长和体积，进而求出小丽制作的正方体礼盒的体积和棱长，即可得解． 【详解】解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 【变式3】某商店的李师傅制作的正方体水果礼盒的体积为，则李师傅制作的正方体水果礼盒的表面积为 ． 【答案】150 【分析】本题主要考查了正方体，立方根的应用．根据正方体的体积是，立方根的定义，得到正方体的棱长为，根据正方体表面积等于它6个面的面积和，计算即可得解． 【详解】解：∵正方体的体积是， ∴正方体的棱长为， ∴它的表面积为． 故答案为：150． 【变式4】如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)这个魔方的棱长为________； (2)图中四边形为正方形，求出此正方形的面积及其边长； (3)如图2把正方形放到数轴上，使得与重合，那么在数轴上表示的数为________． 【答案】(1)4 (2)正方形的面积是8，边长是； (3) 【分析】本题考查的是立方根、算术平方根在实际生活中的运用，实数与数轴，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长． （1）根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长； （2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长； （3）根据两点间的距离公式可得出D在数轴上表示的数． 【详解】（1）解：由题意得，这个魔方的棱长为． 故答案为：4； （2）解：∵魔方的棱长为4， ∴小立方体的棱长为2， ∴正方形的面积为：， 边长为：， 答：正方形的面积是8，边长是； （3）解：∵A与重合，， ∴D在数轴上表示的数为． 故答案为：． 模块二 实数的运算 知识点 实数的运算 1.实数运算的顺序：先算 乘方和开方 ,再算 乘除 ,最后算 加减 ；同级运算按照从 左到右 的顺序进行；如果遇到括号，则先进行括号里的运算。 2.数从有理数扩展到实数后，有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用。 注意：含根号的无理数的运算，只有被开方数相同且开相同次方的数才能相加减。 拓展：正数a的算术平方根与被开方数a的变化规律 当被开方数a的小数点向左或向右移动两位时，它的算术平方根的小数点相应地向左或向右移动一位。当a扩大到原来的100倍(或缩小到原来的)时，a的算术平方根相应地扩大到原来的10倍(或缩小到原来的) 考点专训 考点1 实数的运算 【例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据，依据法则计算即可； （2）根据，计算解答即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，绝对值的化简，有理数的乘方，混合运算，熟练掌握定义和运算法则是解题的关键． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)。 【答案】(1)1；(2)；(3)9；(4)；(5)；(6)；(7)1；(8) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解： ； （4）解： ． （5）解： ； （6）解： ． （7）解： ； （8）解： ． 考点2 实数的运用 【例1】定义运算：．例如：．若，则的值是（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，平方根的性质，正确理解题意是解题的关键． 首先根据定义的运算法则得到，然后整理得到，然后利用平方根的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 【变式1】定义新运算：，例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可得当时，，当时，，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴当时，，解得； 当时，，解得； 故答案为：或． 【变式2】小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数运算与流程图，涉及立方根、算术平方根、有理数的乘方、倒数等内容，看懂流程图并掌握相关运算法则是解答的关键．根据流程图和实数运算法则求解即可． 【详解】解：输入，则，然后，然后得到，然后得到， ∴输出的数为， 故答案为：． 【变式3】如图，有一个数值转化器，当输入的x运行3次后，输出的y是，则输入的数x为 ． 【答案】81 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，流程图和无理数，根据题意，逆推，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：81． 【变式4】小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的值是时，输出的值是 ．分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为 ． 【答案】 或或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）根据最后都是无理数输出，可得的值为或或负数． 【详解】（1）当值为时，取算术平方根得，取立方根得，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为； （2）因为按照计算流程发现最后都是无理数输出，所以取或时该程序无法输出值， 因为负数没有算术平方根，所以取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． 模块三 课后作业 1．下列说法正确的是（   ） A．0没有立方根 B．负数没有立方根 C．一个正数有一个负的立方根 D．一个正数只有一个立方根 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．利用立方根的定义判断即可得到结果． 【详解】解：A、0有立方根，错误； B、负数有立方根，错误； C、一个数的立方根只有一个，且一个数的立方根与这个数同号，错误； D、一个正数只有一个立方根，正确． 故选：D． 2．定义为不超过x的最大整数，如，，，对于任意实数x，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是实数的性质，以及算术平方根．根据的定义进行计算即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 3．一个正方体的体积为，则它的棱长a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，正确的估算的大小是解题的关键．根据题意可得，进而估算的值即可求解． 【详解】解：∵一个正方体的体积为，它的棱长a ∴， ， ， ， ， 即， 故选：B． 4．下列式子计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，算术平方根及立方根的概念，主要考查学生的计算能力．根据平方根、算术平方根及立方根的定义求出每个式子的结果，再判断即可． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 5．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【详解】解：设该正方体铁块的棱长为， 由题意得：， 解得， ， ， 即该正方体铁块的棱长介于和之间， 故选A． 6．已知一个小正方体的体积是，一个大正方体的体积是这个小正方体体积的3倍，则大正方体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的应用，先得出一个大正方体的体积，再结合体积公式得出一个大正方体的边长为，最后由表面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个小正方体的体积是，一个大正方体的体积是这个小正方体体积的3倍， ∴一个大正方体的体积为， ∴ ∴一个大正方体的边长为， ∴一个大正方体的表面积是， 故选：A． 7．125的立方根为 ，的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，平方根，解题的关键是熟记立方根和平方根的定义．根据立方根，平方根的定义进行解答即可得． 【详解】解：∵， ∴125的立方根为：， ∵， 又∵， ∴， 故答案为：；． 8．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序．如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的计算及无理数的判断；根据程序进行计算判断即可． 【详解】解：是有理数，是有理数，是无理数，输出结果为； 故答案为：． 9．若，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义．根据立方根的定义，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 10．已知与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根的含义，求解一个数的平方根，相反数的含义，先由相反数的定义可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 解得， ∴． ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 11．求下列各数的立方根： (1)512 = ； (2)0.064= ． 【答案】(1)8；(2) 【详解】（1）因为888=512，所以，． （2）因为（-0.4）（-0.4）（-0.4）=0.064，所以，． 12．计算：(1)； (2) 【答案】(1)；(2)5； 【分析】本题考查的是实数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算算术平方根，乘方，立方根，化简绝对值，再合并即可； （2）先计算算术平方根的平方，算术平方根，立方根，乘方运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．计算： (1)； (2)； (3)，求的值； (4)，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)或； 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，绝对值. （1）先计算算术平方根，立方根，绝对值，再计算加减即可； （2）先计算算术平方根，立方根，再计算加减即可； （3）先移项，再开立方，最后求解即可； （4）先移项，再开平方，最后求解即可； 【详解】（1）原式 （2）原式 （3） （4） 解得或 14．计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)； 【分析】本题考查了实数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求算术平方根、立方根、乘方，再计算加减即可； （2先求算术平方根、立方根，再计算加减即可； （3）先乘方、求算术平方根、化简绝对值，再计算加减即可； （4）先乘方、求立方根、化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 15．如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1)；(2)0和1；(3)5，25（5的偶次方都对）； 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的y值为； （2）解：因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； 所以当，1时，始终输不出y值． （3）解：的算术平方根为25， 的算术平方根5， 5的算术平方根为， ∴或或（5的偶次方）都满足要求． 学科网（北京）股份有限公司 $$