专题 1.7 三角形（全章常考点梳理 + 题型精析+同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

专题 1.7 三角形（全章常考点梳理 + 题型精析 +同步练习） 目录 一.常考点梳理与题型分类精析 1 【考点1】三角形三边关系 1 【考点2】三角形中线 3 【考点3】三角形的高 5 【考点4】全等三角形的性质与判定——“边边边” 7 【考点5】全等三角形的性质与判定——“边角边” 9 【考点6】全等三角形的性质与判定——“角边角”或“角角边” 12 【考点7】全等三角形的性质与判定——“斜边+直角边” 14 【考点8】添加条件使三角形全等 17 【考点9】全等三角形的判定综合 19 【考点10】全等三角形+尺规作图 22 【考点11】全等三角形几何模型——一线三等角 24 【考点12】全等三角形几何模型——手拉手 28 【考点13】全等三角形几何模型——截长补短 30 【考点13】线段垂直平分线性质与判定 34 【考点14】角平分线的性质与判定 37 【考点15】等腰三形性质——“等边对等角+三线合一” 40 【考点16】等腰三形判定——“等角对等边” 42 【考点17】等腰三形性质与判定综合 46 【考点18】边三角形性质与判定综合 48 【考点19】含30度的直角三角形 51 【考点20】直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 54 【考点21】直角三角形性质与判定 56 二.同步练习 59 基础巩固（24题） 59 能力提升（24题） 76 一.常考点梳理与题型分类精析 【考点1】三角形三边关系 【例题1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，已知中，． （1）尺规作图：作的中线，（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，若，，试用含的式子表示的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查作图基本作图，列代数式，三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线垂足为，连接即可； （2）根据的面积的面积求解． 解：（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：，， 的面积的面积． 【变式1】（24-25七年级下·江苏·期末）三角形的两边长分别是2和3，则第三边的边长可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，即构成三角形的条件—“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值． 解：设这个三角形的第三边长为， 根据三角形的三边关系定理，得：， 解得， 在四个选项的数值中，只有数值3符合， 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知的三边长、、都是正整数，且满足，则的周长是 ； 【答案】7 【分析】将已知等式变形成零加零的形式求得的值，再根据题意及三边关系求得，即可求解 解： 、、都是正整数 的周长 故答案为:7 【点拨】本题考查了非负数之和为0，三角形三边关系，求解不等式组的正整数解，完全平方公式，熟悉以上知识点是解题的关键． 【考点2】三角形中线 【例题2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，于点E，于点F． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）18 【分析】（1）D是的中点，得，于是，结合，即可得证； （2）根据题意，结合． 本题考查了三角形中线的性质，三角形面积的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 解：（1）证明：∵D是的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：由，， 得， 故． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，为的中线，将沿翻折，使点B落在点E处，与边交于点F．记的面积为，的面积为，要想求的值，只要知道（   ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．四边形的面积 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线性质、折叠的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 由中线的性质得，再由折叠的性质得出，即可得出结果． 解：∵为的中线， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴想求的值，只要知道的面积即可， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形面积的求法，三角形中线的性质等知识点，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解答本题的关键．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答． 解：∵在中，是上的中线， 根据中线的性质可得：， 同理， ， ∵的面积是 48 ， ， 故答案为： 12 ． 【考点3】三角形的高 【例题3】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）在下列各图形中，线段是的边上高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点A作，垂足为D，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 解：根据三角形高的画法知： A、线段是的边上高，故选项A不符合题意； B、线段是的边上高，故选项B符合题意； C、线段不是的边上高，故选项C不符合题意； D、线段是的边上高，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式1】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵， ∴，D说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知的高与的夹角分别是和，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查三角形的高的特征．分两种情况讨论求解即可：①当D在线段上时，②当D在线段的延长线上时． 解：①当D在线段上时，如图1，； ②当D在线段的延长线上时，如图2，． 故答案为：或． 【考点4】全等三角形的性质与判定——“边边边” 【例题4】（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）（1）将下面证明中每一步的理由写在括号内． 已知：如图，．求证：． 证明：如图，连接． 在和中， （ ） （ ） （ ） （2）将不等式化成或的形式，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）公共边；；全等三角形的对应角相等  （2），数轴表示见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解不等式并在数轴上表示解集； （1）利用证明，即可得到结论； （2）根据不等式的基本性质3，求出x的取值范围，并在数轴上表示解集即可． 解：证明：如图，连接． 在和中， ， ， （公共边）， （全等三角形的对应角相等）； 故答案为：公共边；；全等三角形的对应角相等； （2）解：两边同时乘以得：， 在数轴上表示为： 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（    ） A．边边边 B．边角边 C．角角边 D．角边角 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判断和性质的应用，掌握全等的判定定理和性质定理是解答此题的关键. 根据题中条件证出和全等,利用全等三角形的性质即可说明. 解：在和中， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴就是的平分线. 故选：A 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知点在直线外，按以下步骤作图：①在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点，连接；②以点为圆心，以的长为半径作弧；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点，作直线．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键；由作图可得：，，可证明，得到对应角相等，再根据平行线的判定，即可求解． 解：连接，由作图可得：，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴ 故答案为：． 【考点5】全等三角形的性质与判定——“边角边” 【例题5】（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，已知是的边和上的高，Q为的延长线上一点，P为上一点，且，．请写出与的关系，并说明理由． 【答案】、，理由见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意可知，因此可得出，进而证明，从而得到，通过等量代换得，即可得出结论． 解：，，理由如下： 由题意得， ， 在和中， ， ， ， ， 即， ， 综上所述：与的数量关系为，位置关系为． 【变式1】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，得到三角形全等是解题的关键． 证明，得到，推出为直角三角形，利用的面积等于，进行求解即可． 解：∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积等于； 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，是它的高，点E是外一点，连接，，，在上截取，使得，连接．若，，则的面积为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意先证明，进一步推得，再证明，求出的长，即可利用三角形面积公式求出答案． 解：，是高， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ∴， ∵， ． 故答案为：． 【考点6】全等三角形的性质与判定——“角边角”或“角角边” 【例题6】（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是关键． （1）证明，结合已知条件即可证明； （2）证明，则，即可证明结论． 解：（1）证明：∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ （2）∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ 【变式1】（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，分别是边上的点，相交于点，若，，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 利用线段的和差可判断A，证明，可判断B，证明，可判断D，选项C无法判断． 解：A、由，得，即，故本选项不符合题意； B、由，得，可得，故本选项不符合题意； C、根据题中条件，无法推出，故本选项符合题意； D、由可得，又， 可得，所以，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 解：∵点是边的中点，， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点7】全等三角形的性质与判定——“斜边+直角边” 【例题7】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，于点E，于点F，若，，且，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理）及全等三角形的性质，解题的关键是通过证明两组直角三角形全等，得到线段之间的等量关系，进而推导出的长度． 利用定理证明得到再用定理证明得到结合已知线段长度和等量代换，推导出与、、的关系，计算出的长． 解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（   ）． A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，由线段的和差关系得到的长，即可得到的长，进而可得的长． 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，点分别在直线和上，点在上，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质．先判定，从而得出，则． 解：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 【考点8】添加条件使三角形全等 【例题8】（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在中，点D在上，点E在上，且． （1）请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 【答案】（1），（答案不唯一）；（2），理由见分析 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 （1）根据已知条件，在和中，已有一组对角和一组对边相等，仅需再添加一组对角相等即可（也可添加）； （2）由得，，进而可得，即可证明． 解：（1）解：添加的条件是，依据是； 在和中， ； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： ， ，， ， ，即， 在和中， ． 【变式1】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，点B在上；点D在上，，添加的条件不能证明，，的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；具体选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．先根据题意得到， ，然后根据全等三角形的判定方法对各选项逐项分析判断即可． 解：∵， ， ∴添加，可利用证明， 添加，可利用可以证明， 添加，或，可利用证明， 故答案为C． 【变式2】（24-25七年级下·河南平顶山·阶段练习）如图，，相交于点O，，试添加一个条件使得，你添加的条件是 （只需写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．添加的条件是，理由：先求出，再根据对顶角相等可得，然后根据定理即可得． 解：添加的条件是，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【考点9】全等三角形的判定综合 【例题9】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，已知四边形中，． （1）求证：； （2）请直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】（1）见分析；（2）、、 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）由得到，结合，得到，从而，即可证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的判定及性质求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （2）解：在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴． 由（1）有， 综上，图中全等三角形有：、、． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·期末）下列选项中，可以判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，直角三角形全等还有． 解：如下图：和， A．三个角对应相等，不能判定，故该选项不符合题意； B．，，，只满足，不符合全等三角形的判定定理，故该选项不符合题意； C．不是对应角，不能判定，故该选项不符合题意； D．，，，满足，符合全等三角形的判定定理，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，则图中共有 对全等三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，再利用全等三角形的判定与性质证明即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， 综上所述，图中共有对全等三角形， 故答案为：． 【考点10】全等三角形+尺规作图 【例题10】（24-25九年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与，交于点，，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，与交于点，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的周长． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的作法以及三角形周长的计算．熟练掌握全等三角形的判定定理（如）和角平分线的性质是解题的关键． （1）要证明，可根据全等三角形的判定定理，结合已知条件中角平分线的作法得到角相等，再利用角平分线的性质和公共边来证明全等． （2）先根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而得到线段之间的关系，再通过等量代换将的周长转化为的形式，最后代入已知边长计算． 解：（1）解：由作图可知是的平分线， ∴． 在和中： ∴． （2）解：∵， ∴． ∵的周长， 将代入可得， 又∵， ∴． 由作图可知，， ∵． ∴，，， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期末）数学课上，小王同学用尺规在黑板上作的角平分线，先以点为圆心，适当长度为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则就是的平分线．根据全等知识我们知道，则所用到的判定定理是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线作图和全等三角形的判定，准确分析证明是解题的关键． 解：尺规作图中，，， 即，利用即可判定， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）角平分线的作法（尺规作图） ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于、两点； ②分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③过点作射线，射线即为所求． 作角平分线的作法依据的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的作图方法与作图原理，解题的关键是要理解作图过程得出，，． 连接、，由作图可证，则，而证明的条件就是作图的依据． 解：如图④所示：连接、 在与中，由作图可知： 故答案为：． 【考点11】全等三角形几何模型——一线三等角 【例题11】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边上，且，于点F，于点D．求证：； （2）如图②，点B、C分别在的边上，点E、F都在内部的射线上．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为20，求与的面积之和． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）5 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据证明三角形全等即可． （2）根据证明即可证明结论． （3）根据证明，得出，即可求出结论． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：的面积为20，， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中白色部分的面积为（   ） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，如图，延长交于M，证明出，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 解：如图，延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 【答案】4.1 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算即可，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 解：，，， ， ， ∵， ， ∵， ， ，， ， 故答案为：4.1． 【考点12】全等三角形几何模型——手拉手 【例题12】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，．延长至点D，使，连结，以为直角边作等腰三角形，其中，连结．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先由等腰三角形得到 ，再由得到，最后结合即可证明． 解：证明：在等腰三角形中， ， ， ． 即． 又， ． 【变式1】（24-25八年级上·河南鹤壁·阶段练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，分别是底边，连接．求证：； （2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断线段之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． （1）先判断出，进而利用判断出，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出，得出，，最后利用等腰直角三角形的性质，即可得出结论． 解：（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，， 理由如下：由（1）的方法得，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【考点13】全等三角形几何模型——截长补短 【例题13】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【答案】见分析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，然后问题可解． 解：证明：如图，在上截取，连接． 的平分线交边于点， ， 在与中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ∵， ． 【变式1】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，与的平分线，交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 解：（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见分析 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 解：证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 【考点13】线段垂直平分线性质与判定 【例题13】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上； （2）已知，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 解：（1）证明：如图所示，连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 设，， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，等腰三角形的性质，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得，由的周长得到答案． 解：由作图的过程可知，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）如图， 于点D，D为的中点，连接的平分线交于点O，连接，若，则 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及垂直平分线的判定与性质，等边对等角，以及角平分线的定义，先由三角形的外角性质得，因为，D为的中点，所以是的垂直平分线，则，因为是的角平分线，则是的角平分线，即可作答． 解：，， ∴， ∵，D为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：． 【考点14】角平分线的性质与判定 【例题14】（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． （1）证明：平分； （2）若，，，且，求的面积． 【答案】（1）详见分析；（2）32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 解：（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，于点E，于点F．则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合角平分线的性质得，再证明，故，根据，，得出是的垂直平分线，即可作答． 解：∵是的平分线，于点E，于点F． ∴ 故B选项正确，不符合题意； ∵是的平分线，于点E，于点F． ∴ ∵ ∴ ∴， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴ 故A选项正确，不符合题意； 无法得出 故D选项不正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，已知点是内一点，且点到、的距离，，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的判定与性质，由三角形内角和定理得出，再由角平分线的判定定理得出平分，最后由角平分线的定义即可得出答案． 解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵点到、的距离， ∴平分， ∴， 故答案为：． 【考点15】等腰三形性质——“等边对等角+三线合一” 【例题15】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】此题考查角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，等腰三角形的性质： （1）根据角平分线及平行线推出，即可得到． （2）根据平行线的性质求出，再利用等腰三角形的性质求出的度数． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴． 【变式1】（2025·云南昆明·三模）如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定等知识，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定依次判断即可． 解：A、∵，， ∴， ∴，选项正确，不符合题意； B、∵，平分， ∴，选项正确，不符合题意； C、根据题意得：，选项错误，符合题意； D、平分， ， ∵， ，选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，,，在上取一点，延长到点，使得；连接，再在上取一点，延长到点，使得；连接，按此作法进行下去，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，理解题意、找到数字规律是解题关键． 根据等腰三角形的性质，得，根据三角形外角的性质，得，依此类推，可得、、，则得． 解：在中，，， ， ，是的一个外角， ，， 同理可得：，， ，， ……， 依次类推，． 故答案为：． 【考点16】等腰三形判定——“等角对等边” 【例题16】（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）（1）如图，中，若，求边上的中线的取值范围． （2）如图，是的中线，交于E，交于F，且，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定及等腰三角形的判定及性质，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． （1）根据倍长中线法将延长至，使，再证，根据三角形的三边关系即可求出的取值范围，从而求出的取值范围； （2）由（1）中结论：，即可得到：，，再根据等腰三角形的性质和判定即可得到． 解：（1）解：将延长至，使，连接，如下图所示： 在和中 ， ， 在中 ． （2）证明：将延长至，使，连接，如下图所示： 由（1）中结论： ， 又， ， ， 即． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交AB于点，交AC于点，若，，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质．根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，再根据三角形周长公式解答即可． 解：∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴的周长为． 故选：C 【变式2】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，解题的关键是熟练掌握以上性质． 延长，使，连接，证明，得到，根据等角对等边得出，然后利用线段的和差进行求解即可． 解：如图，延长，使，连接， ∵为边的中线， ∴, 在和中， ， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点17】等腰三形性质与判定综合 【例题17】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G． （1）吗？请说明你的理由； （2）试说明． 【答案】（1），见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明是等腰直角三角形，得出，再证明，即可得证； （2）证明得出，由（1）得，即可得解． 解：（1）解：∵，， ∴是等腰直角三角形． ． 在和中，，， 又， ． ，， ∴． ． （2）解：在和中， 平分， ． ，， ． ． 由（1）得， ． 【变式1】（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质． 根据等腰三角形的性质可得的度数，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据求解即可． 解：，， ， ， 垂直平分AC， ， ， ． 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．由平行线的性质、角平分线的性质推知，则，同理可得，即可得到答案． 解：， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， . 故答案为：14． 【考点18】边三角形性质与判定综合 【例题18】（24-25八年级下·四川成都·期中）已知为三边的长，若，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，对原式进行整理，得出，得到，因此三角形是等边三角形． 解：因为， 即， 即， 得：， 所以， 所以， 所以的形状为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【变式1】（23-24八年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，由等边三角形的性质推出垂直平分是解题的关键．由等边三角形的性质推出，，由线段垂直平分线的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数． 解： 是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点，分别在边，上，且，平分，过点作于点，作于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明过程见分析；（2）的长为 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）由角平分线的性质可得线段长度相等，结合已知可证得，对应角相等，即可证得结论； （2）在边上截取，可证得，对应边相等，结合已知可得等边三角形，等量代换，代入已知条件计算即可． 解：（1）证明：∵，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，在边上取一点，使得． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． ∴． 【考点19】含30度的直角三角形 【例题19】（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】（1）根据垂直平分得，再根据，得，由此即可得出结论； （2）先根据垂直平分得出．再证明，然后根据等边三角形与直角三角形的性质即可得出结论． 解：（1）证明：垂直平分， ， ，， ， 为等边三角形； （2）解：，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴在直角中，， ∴， ∴. 【点拨】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，，点在的延长线上．若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质，作于点E，由三线合一可得，再证，由30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得，进而即可求解． 解：如图，作于点E， 中，，， ，即， ，， ， ， ， ， 故选C． 【变式2】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，， 垂直平分，分别交 、 于点D、E，平分，， ，则 的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，中垂线的性质，等腰三角形的性质，根据中垂线的性质，得到，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长即可． 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【考点20】直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 【例题20】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在等腰直角中，点是斜边的中点，以点为顶点的直角的两边分别与边，交于点，，连结．试说明是等腰三角形． 【答案】见分析 【分析】连接，利用等腰直角三角形“三线合一”性质得到、角的关系，再结合已知直角条件推出 ，最后用证明，从而得出 ． 本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形“三线合一”性质及全等三角形判定（）是解题的关键． 解：连结， 点是等腰直角边的中点，即是底边上的中线， （三线合一） 是等腰直角三角形，即， ． 是直角， ，即． 在和中， ． ． 是等腰三角形． 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形斜边的中线的性质、等边三角形的判定与性质、含有角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据三角形内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质及含有角的直角三角形的性质进行计算，可得答案． 解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是根据计算结果发现规律进行求解. 根据已知分别求出，，，发现变化规律即可. 解：在中，点为中点，， ∴， 在中，点为中点，， ∴， 同理 …， ∴ 当时， 故答案为: . 【考点21】直角三角形性质与判定 【例题21】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，四边形中，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．过点作于点，根据等角对等边得到，再由得到，，推出，再通过证明得到，再利用直角三角形的性质即可求出的度数． 解：如图，过点作于点， ， ， 又， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形中线的性质．根据与互余求得，根据三角形的面积公式求出的面积，再根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 解：∵与互余，即， ∴， ∴． ∵点D、E、F分别为边、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：阴影部分的面积为3． 故答案为：3 二.同步练习 基础巩固（24题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·北京东城·阶段练习）分别用下列各组的三根细棒来围三角形，能围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，根据三角形的三边关系判断即可． 解：A、∵，∴长为的三根细棒不能围成三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴长为的三根细棒能围成三角形，故本选项符合题意； C、∵，∴长为的三根细棒不能围成三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴长为的三根细棒不能围成三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键 根据三角形具有稳定性判断． 解：A、平行四边形是四边形不具有稳定性，不符合题意； B、三角形具有稳定性，符合题意； C、五边形不具有稳定性，不符合题意； D、六边形不具有稳定性，不符合题意． 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是三角形中线的性质，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形的面积．根据三角形中线平分三角形的面积即可得． 解： ，分别为，的中点， 即是的中线，是的中线， ， ． 故选：B 4．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知五边形中，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．16 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算．可延长至F，使，利用可证明，连接，再利用证明，可将五边形的面积转化为两个的面积，进而求解即可． 解：延长至F，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴五边形的面积是：． 故选：B． 5．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来相同的三角形玻璃（    ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定定理即可． 解：1、2、3块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第4块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，符合题意． 故选：D． 6．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）已知一个等腰三角形的两条边长分别是3和7，则它的周长是（    ） A．13 B．17 C．13或17 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：当为腰时，，不符合三角形三边关系， 当为腰时，等腰三角形的三边为：，可以构成三角形， ∴等腰三角形的周长为：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，连接交于点，若，则的长为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图．直接利用基本作图方法得出即可． 解：由基本作图方法可得：， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8．（24-25八年级下·天津·阶段练习）如图，中，是斜边上的高，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键． 根据题意易得：，然后根据角的直角三角形的性质先在中求出，再在中即可求出，即可求出答案． 解：中， ∵， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ 故选：D 9．（24-25九年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．先利用平行线的性质求出，再利用等边对等角即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等角对等边．根据等角对等边求得，再根据三角形的周长公式求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为， 故选：B． 二、填空题 11．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和与差，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的对应边相等推出，即可求出的长． 解：， ， ． 故答案为：． 12．（2025·福建·模拟预测）在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，延长到E，使得，连接，可证明，得到，根据三角形三边的关系可求出的取值范围，进而可得的取值范围． 解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·河南郑州·期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明 【答案】 【分析】本题考查了作图－基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键． 由作法易得，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 解：由作图方法可知， 在与中， ， ， ， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知的周长是，，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 【答案】21 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形面积公式，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，，由题意可得，再由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图，连接，作于，于， ， ∵，分别平分和，于D，且， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的角平分线，于点，的面积是，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质， 过D作于F，根据角平分线的性质得出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 解：过D作于F， 又是的角平分线，，， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， 故答案为：6． 16．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，，垂直平分线段于点D，的平分线交于点E，连接，则的度数是 ． 【答案】/115度 【分析】此题主要考查了垂直平分线的性质、等边对等角、直角三角形的性质、角平分线的定义等知识．由角平分线的定义得到，垂直平分线段于点D，则，，由直角三角形两锐角互余得到，由邻补角即可得到的度数． 解：∵的平分线交于点E，， ∴， ∵垂直平分线段于点D， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度直角三角形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由已知易得为等腰直角三角形，则有；再由含30度直角三角形的性质即可求解． 解：∵， ∴为等腰直角三角形，且； 在中，， ∴． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，工人在某施工现场作业，地面上有一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子底端与地面的交点为C，梯子与墙面的交点为M，此时梯子的倾斜角为（即），如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子与墙面的交点为N，此时梯子的倾斜角为（即），若连接，那么的长是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 证明三角形为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 解：根据题意，米， ， ， ∴为等边三角形， 米， 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25七年级下·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长度． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）利用等面积法计算的长． 解：（1）证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． 20．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，点A，B，D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．利用平行线的性质求得，再利用证明，即可求证． 解：证明：， ， 在和中， ， ， ． 21．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，于D，上有一点F，满足． （1）求证； （2），点E为的中点，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）2 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，求得，再利用证明即可推出； （2）先求得，利用直角三角形的性质求得，再利用斜边中线的性质求解即可． 解：（1）证明：于D， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 点E为的中点， ． 【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质．掌握上述性质是解题的关键． 22．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，中，，，，垂足是D，平分，交于点E．在上取一点M，使，连接，交于点N，连接．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质． （1）过E作于点G．推出是等腰直角三角形，再求得G是的中点，推出是的垂直平分线，据此即可证明即； （2）推出，再利用证明即可得到． 解：（1）证明：过E作于点G． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即G是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，点B在线段上，点E在线段上，为的高，，． （1）求证：； （2）如图：于F，于G，探究与的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见分析；（2）且，证明见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用证明，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，，再由，可得，再证明，可得，即可解答． 解：（1）证明：∵为的高， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：且，证明如下： ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 综上所述，与的关系为且． 24．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． （1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，请猜想之间有何数量关系？并证明你的猜想． 【答案】（1）见详解；（2），理由见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． （1）首先证明，利用“”证明即可；由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）首先证明，利用“”证明，进而可得，即可证明结论． 解：（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：，证明如下： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 能力提升（24题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·内蒙古乌海·阶段练习）已知是的三条边，化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的化简，利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内表达式的符号，进而化简绝对值即可． 解：a，b，c是的三边长， ，， 则，， ， ， 原式， 故选：B． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质得到，，可知，则，根据对顶角相等得到，进而得到，即可求出的度数． 解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故选：C 3．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，逐项分析即可求解． 解：若添加这个条件， 在与中， ， ∴；故A选项不符合题意； 若添加这个条件， 在与中， ， ∴；故B选项不符合题意； 若添加这个条件， ∵、分别是、的对边， 不能判定，故C选项符合题意； 若添加这个条件， 在与中， ， ∴；故D选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，先求出，根据 “”可证得，推出，然后结合已知条件求出的值，进而可得答案． 解：∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是13，则线段的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再根据题意得到，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是13， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：C． 6．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，证明是解答本题的关键．先证明，即有，再根据“三线合一”的性质即可求解． 解：∵，是底边上的高线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵根据题意有，， ∴， 故选：B． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系．作出图形，延长到E，使，连接，证明，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，即可求解． 解：延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故选：C． 9．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接． 若，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．先根据等腰三角形的三线合一性质求得，然后根据线段垂直平分线的性质及直角三角形两锐角互余，可求得，进一步证明，即可求得答案． 解：如图，连结， ，，, ， 线段的垂直平分， ，， ，， ，，， ， ， ． 故选：C． 10．（24-25八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，含30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，由题意可知平分，求出，，利用直角三角形角的性质以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可． 解：在中，，， ， 由作图可知：平分故①正确， ， ， 点在的垂直平分线上，故②正确， ，故③正确， ， ， ， ，故④正确， 故选：D． 二、填空题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为 ． 【答案】8 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可得a的取值范围，进而得到化简结果． 解：由三角形三边关系定理得， 解得． ∴． 故答案为：8 12．（22-23八年级上·全国·课后作业）如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．也考查了正方形的性质．如图，根据题意得，，，，先判断为等腰直角三角形得到，再证明，得到，则，从而求出的度数． 解：如图， 根据题意得，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知，为的中点，若，，则 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据平行线的性质得出，再根据对顶角相等得到，证明，进而利用全等三角形的判定与性质得出答案． 解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 14．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，过点作，垂足为，，在中，的角平分线与的线段垂直平分线交于点，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据勾股定理及线段的和差求出，根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质求解即可． 解：∵， ， ， ， ， ， ∵的角平分线是， ， ∵垂直平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：1． 15．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键． 根据长方形的性质，折叠的性质得到，根据平行线的性质，直角三角形两锐角互余得到，化简即可求解． 解：∵四边形是长方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三线合一，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 过作交于，由等边三角形的性质及平行线的性质可证得是等边三角形，于是可得，由三线合一可得，利用可证得，于是可得，进而可推出，于是得解． 解：如图，过作交于， 是等边三角形， ， ， ，，， 又， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图所示，在四边形中，，，P为的中点，连接，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】连接并延长交的延长线于点E，证明，构造等腰三角形，利用直角三角形的性质结合等边对等角进行求解即可． 解：连接并延长交的延长线于点E， ∵点P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：53． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 18．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，四边形中，，点E，F分别为对角线的中点，连接．（1） ；（2）的面积为 ． 【答案】 45 1 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形得判定与性质等知识点． 先由直角三角形斜边中线得到，则垂直平分，，证明为等腰直角三角形，再由三线合一即可求解，再由三角形的中线等分面积进行求解，然后由即可求解． 解：连接， ∵，点E，F分别为对角线的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴； ∵为中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45，1． 三、解答题 19．（24-25七年级下·甘肃甘南·阶段练习）如图，在三角形中，点是的中点，作于点于点． （1）三角形和三角形的面积有怎样的关系？为什么？ （2）和有怎样的位置和数量关系？为什么？ 【答案】（1）三角形和三角形的面积相等，见分析；（2）且，见分析． 【分析】本题考查了三角形中线性质，平行线的判定，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，则，然后根据三角形中线性质即可求解； （）由，，则，然后通过等面积法即可求解． 解：（1）解：三角形和三角形的面积相等，理由如下： 如图，过作，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴三角形和三角形的面积相等； （2）解：且，理由如下： ∵，， ∴， 由（）得， ∴． 20．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，幸福小区里有两个长度相同的滑梯和靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，已知，求两个滑梯底部的长度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据证明，得到，即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 解：由题意，得， 在和Rt中， ， ． ， ， ， 两个滑梯底部的长度为． 21．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接． （1）求证：； （2）求证：平分． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的判定是解题的关键． （1）由，，，得，即得． （2）过点作，，证明．得．即得平分． 解：（1）证明：，，， ， ． （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为G，H． 由（1）知，， ，． ， ． ． 平分． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）在等腰直角中，，点P是边上垂直平分线上的一点，连结，交于点M，N是点M关于的对称点，连结并延长交于点D，连结交于点G． （1）如图①，点P在的下方时，①求证：； ②请猜想线段，，三者之间的数量关系，并加以证明； （2）如图②，若点P移动到的内部时，其他条件不变，线段，，三者有什么数量关系，请画出图形，直接写出结果，不必证明． 【答案】（1）①证明见分析②证明见分析；（2），画图见分析 【分析】本题考查了垂直平分线、角平分线、三角形全等等知识，解题的关键是对垂直平分线、三角形全等的运用． （1）①作的平分线交于点Q， 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点，易得，，结合对顶角的知识解答即可；通过证明、，进而解答即可；②由①可得，，运用等量代换，进而解答即可； （2）通过证明、，得到，，运用等量代换，进而解答即可． 解：（1）证明：①如图．作的平分线交于点Q， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，， ． ，， 在与中 ． 在与中 ． ． ， ． ． ． ②，， ，． ， ． （2）证明∶如图．作的平分线交于点K．， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，即． 在和中 ． ，． 在和中 ． ． ， ． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知在等边中，点为上一动点，，连结，为线段上的点，，的延长线交于点． （1）若，如图1，则_________，_________； （2）若，如图2，请猜想的值，并加以证明； （3）若，求的值． 【答案】（1），；（2），证明见分析；（3） 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据推出，从而得到为的平分线，再利用等腰三角形三线合一的性质可得，即可得解；根据等边三角形的性质得出，即可得到； （2）先根据结合等边三角形每一个角都是推出，然后利用“角边角”证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后推出，整理即可得证； （3）用表示出、，然后根据（2）的结论可知，即可得解． 解：（1）解：当时，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵等边中，， ∴， ∴为的平分线， ∴ （等腰三角形三线合一）， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：， ， 又， ． ，， ， ， ， 又， 不妨设，则， ． 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴， 根据（2）的结论，，， ∴． 【点拨】本题考查等腰三角形三线合一的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、“角边角”的性质和全等三角形性质，解题关键在于三线合一的性质得到和． 24．（24-25七年级下·广东河源·期末）【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】（1）是，理由见分析；（2），理由见分析；（3） 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． （1）由角平分线可得，由平行线的性质得，，从而，进而可证是等腰三角形； （2）同理（1）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 解：（1）是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.7 三角形（全章常考点梳理 + 题型精析 +同步练习） 目录 一.常考点梳理与题型分类精析 1 【考点1】三角形三边关系 1 【考点2】三角形中线 2 【考点3】三角形的高 3 【考点4】全等三角形的性质与判定——“边边边” 3 【考点5】全等三角形的性质与判定——“边角边” 4 【考点6】全等三角形的性质与判定——“角边角”或“角角边” 5 【考点7】全等三角形的性质与判定——“斜边+直角边” 6 【考点8】添加条件使三角形全等 7 【考点9】全等三角形的判定综合 8 【考点10】全等三角形+尺规作图 8 【考点11】全等三角形几何模型——一线三等角 9 【考点12】全等三角形几何模型——手拉手 10 【考点13】全等三角形几何模型——截长补短 11 【考点13】线段垂直平分线性质与判定 12 【考点14】角平分线的性质与判定 13 【考点15】等腰三形性质——“等边对等角+三线合一” 14 【考点16】等腰三形判定——“等角对等边” 15 【考点17】等腰三形性质与判定综合 15 【考点18】边三角形性质与判定综合 16 【考点19】含30度的直角三角形 17 【考点20】直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 18 【考点21】直角三角形性质与判定 18 二.同步练习 19 基础巩固（24题） 19 能力提升（24题） 25 一.常考点梳理与题型分类精析 【考点1】三角形三边关系 【例题1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，已知中，． （1）尺规作图：作的中线，（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，若，，试用含的式子表示的面积． 【变式1】（24-25七年级下·江苏·期末）三角形的两边长分别是2和3，则第三边的边长可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【变式2】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知的三边长、、都是正整数，且满足，则的周长是 ； 【考点2】三角形中线 【例题2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，于点E，于点F． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，为的中线，将沿翻折，使点B落在点E处，与边交于点F．记的面积为，的面积为，要想求的值，只要知道（   ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．四边形的面积 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是 ． 【考点3】三角形的高 【例题3】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）在下列各图形中，线段是的边上高的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知的高与的夹角分别是和，则的度数是 ． 【考点4】全等三角形的性质与判定——“边边边” 【例题4】（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）（1）将下面证明中每一步的理由写在括号内． 已知：如图，．求证：． 证明：如图，连接． 在和中， （ ） （ ） （ ） （2）将不等式化成或的形式，并将解集在数轴上表示出来． 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（    ） A．边边边 B．边角边 C．角角边 D．角边角 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知点在直线外，按以下步骤作图：①在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点，连接；②以点为圆心，以的长为半径作弧；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点，作直线．若，则的度数为 ． 【考点5】全等三角形的性质与判定——“边角边” 【例题5】（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，已知是的边和上的高，Q为的延长线上一点，P为上一点，且，．请写出与的关系，并说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，是它的高，点E是外一点，连接，，，在上截取，使得，连接．若，，则的面积为 ． 【考点6】全等三角形的性质与判定——“角边角”或“角角边” 【例题6】（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）求证：． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，分别是边上的点，相交于点，若，，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ． 【考点7】全等三角形的性质与判定——“斜边+直角边” 【例题7】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，于点E，于点F，若，，且，，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（   ）． A．2 B． C．3 D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，点分别在直线和上，点在上，，则 ． 【考点8】添加条件使三角形全等 【例题8】（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在中，点D在上，点E在上，且． （1）请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 【变式1】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，点B在上；点D在上，，添加的条件不能证明，，的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河南平顶山·阶段练习）如图，，相交于点O，，试添加一个条件使得，你添加的条件是 （只需写一个）． 【考点9】全等三角形的判定综合 【例题9】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，已知四边形中，． （1）求证：； （2）请直接写出图中所有的全等三角形． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·期末）下列选项中，可以判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，则图中共有 对全等三角形． 【考点10】全等三角形+尺规作图 【例题10】（24-25九年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与，交于点，，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，与交于点，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的周长． 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期末）数学课上，小王同学用尺规在黑板上作的角平分线，先以点为圆心，适当长度为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则就是的平分线．根据全等知识我们知道，则所用到的判定定理是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）角平分线的作法（尺规作图） ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于、两点； ②分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③过点作射线，射线即为所求． 作角平分线的作法依据的是 ． 【考点11】全等三角形几何模型——一线三等角 【例题11】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边上，且，于点F，于点D．求证：； （2）如图②，点B、C分别在的边上，点E、F都在内部的射线上．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为20，求与的面积之和． 【变式1】（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中白色部分的面积为（   ） A．54 B．60 C．100 D．110 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 【考点12】全等三角形几何模型——手拉手 【例题12】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，．延长至点D，使，连结，以为直角边作等腰三角形，其中，连结． 求证：． 【变式1】（24-25八年级上·河南鹤壁·阶段练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，分别是底边，连接．求证：； （2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断线段之间的数量关系并说明理由． 【考点13】全等三角形几何模型——截长补短 【例题13】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【变式1】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，与的平分线，交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 【变式2】（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【考点13】线段垂直平分线性质与判定 【例题13】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上； （2）已知，求的度数． 【变式1】（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）如图， 于点D，D为的中点，连接的平分线交于点O，连接，若，则 【考点14】角平分线的性质与判定 【例题14】（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． （1）证明：平分； （2）若，，，且，求的面积． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，于点E，于点F．则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，已知点是内一点，且点到、的距离，，则 ． 【考点15】等腰三形性质——“等边对等角+三线合一” 【例题15】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式1】（2025·云南昆明·三模）如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，,，在上取一点，延长到点，使得；连接，再在上取一点，延长到点，使得；连接，按此作法进行下去，的度数为 ． 【考点16】等腰三形判定——“等角对等边” 【例题16】（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）（1）如图，中，若，求边上的中线的取值范围． （2）如图，是的中线，交于E，交于F，且，求证：． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交AB于点，交AC于点，若，，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式2】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为 【考点17】等腰三形性质与判定综合 【例题17】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G． （1）吗？请说明你的理由；（2）试说明． 【变式1】（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为 ． 【考点18】边三角形性质与判定综合 【例题18】（24-25八年级下·四川成都·期中）已知为三边的长，若，则的形状为 ． 【变式1】（23-24八年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点，分别在边，上，且，平分，过点作于点，作于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【考点19】含30度的直角三角形 【例题19】（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【变式1】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，，点在的延长线上．若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，， 垂直平分，分别交 、 于点D、E，平分，， ，则 的长为 ． 【考点20】直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 【例题20】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在等腰直角中，点是斜边的中点，以点为顶点的直角的两边分别与边，交于点，，连结．试说明是等腰三角形． 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【变式2】（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则的长为 ． 【考点21】直角三角形性质与判定 【例题21】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，四边形中，，，，求的度数． 【变式1】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ． 二.同步练习 基础巩固（24题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·北京东城·阶段练习）分别用下列各组的三根细棒来围三角形，能围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知五边形中，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．16 C．12 D．10 5．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来相同的三角形玻璃（    ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 6．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）已知一个等腰三角形的两条边长分别是3和7，则它的周长是（    ） A．13 B．17 C．13或17 D．14 7．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，连接交于点，若，则的长为（　　） A． B．3 C．4 D．5 8．（24-25八年级下·天津·阶段练习）如图，中，是斜边上的高，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 二、填空题 11．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，，，则 ． 12．（2025·福建·模拟预测）在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． 13．（24-25七年级下·河南郑州·期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知的周长是，，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的角平分线，于点，的面积是，，则的长是 ． 16．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，，垂直平分线段于点D，的平分线交于点E，连接，则的度数是 ． 17．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则 ． 18．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，工人在某施工现场作业，地面上有一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子底端与地面的交点为C，梯子与墙面的交点为M，此时梯子的倾斜角为（即），如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子与墙面的交点为N，此时梯子的倾斜角为（即），若连接，那么的长是 米． 三、解答题 19．（24-25七年级下·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长度． 20．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，点A，B，D在同一条直线上，，，．求证：． 21．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，于D，上有一点F，满足． （1）求证；（2），点E为的中点，，求的长． 22．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，中，，，，垂足是D，平分，交于点E．在上取一点M，使，连接，交于点N，连接．求证： （1）； （2）． 23．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，点B在线段上，点E在线段上，为的高，，． （1）求证：； （2）如图：于F，于G，探究与的关系，并证明你的结论． 24．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． （1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，请猜想之间有何数量关系？并证明你的猜想． 能力提升（24题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·内蒙古乌海·阶段练习）已知是的三条边，化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是13，则线段的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接． 若，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为 ． 12．（22-23八年级上·全国·课后作业）如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 13．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知，为的中点，若，，则 ． 14．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，过点作，垂足为，，在中，的角平分线与的线段垂直平分线交于点，若，则的长为 ． 15．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ． 17．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图所示，在四边形中，，，P为的中点，连接，若，则的度数为 °． 18．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，四边形中，，点E，F分别为对角线的中点，连接．（1） ；（2）的面积为 ． 三、解答题 19．（24-25七年级下·甘肃甘南·阶段练习）如图，在三角形中，点是的中点，作于点于点． （1）三角形和三角形的面积有怎样的关系？为什么？ （2）和有怎样的位置和数量关系？为什么？ 20．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，幸福小区里有两个长度相同的滑梯和靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，已知，求两个滑梯底部的长度． 21．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接． （1）求证：； （2）求证：平分． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）在等腰直角中，，点P是边上垂直平分线上的一点，连结，交于点M，N是点M关于的对称点，连结并延长交于点D，连结交于点G． （1）如图①，点P在的下方时，①求证：； ②请猜想线段，，三者之间的数量关系，并加以证明； （2）如图②，若点P移动到的内部时，其他条件不变，线段，，三者有什么数量关系，请画出图形，直接写出结果，不必证明． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知在等边中，点为上一动点，，连结，为线段上的点，，的延长线交于点． （1）若，如图1，则_________，_________； （2）若，如图2，请猜想的值，并加以证明； （3）若，求的值． 24．（24-25七年级下·广东河源·期末）【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$