第一章 直角三角形的边角关系 单元测试 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

北师大版九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 单元测试 一、选择题 1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(2,3)，则tan α的值是(　　) A. B. C. D. 2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，点B(0，－4)，则cos∠OAB的值是(　　) A. B. C. D. 3.如图，一个放置在水平实验台上的锥形瓶，它的俯视图为(　　) A. B. C. D. 4.在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，则BC的长为(　　) A.6 B.7.5 C.8 D.12.5 5.若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y3＜y1 C.y3＜y2＜y1 D.y2＜y1＜y3 6.如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6 m，则这两棵树之间的坡面AB的长为(　　) A.12 m B.3 m C.4 m D.12 m 7.tan 60°的值等于(　　) A. B. C. D. 8.如图所示，该零件的左视图是(　　) A. B. C. D. 9.已知反比例函数y＝，若x≥－2，则函数y的取值范围是(　　) A.y＜－4 B.y＞0 C.y≤－4 D.y≤－4或y＞0 10.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是(　　) A.y1＞y2＞0 B.y1＞0＞y2 C.0＞y1＞y2 D.y2＞0＞y1 11.在湖边高出水面50 m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观其在湖中之像的俯角为60°，则飞艇底部P距离湖面的高度为( )(参考等式：) A.(25＋75)米 B.(50＋50)米 C.(75＋75)米 D.(50＋100)米 12.阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建（如图），使得，，延长使，连接，可得到，所以．类比这种方法，请你计算的值为　　 A. B. C. D. 二、填空题 13.双曲线y＝的图象在第________________象限． 14.∠A和∠B是一直角三角形的两锐角，则tan＝____________. 15.一个由若干相同的小正方形组成的几何体，其左视图和俯视图如图所示，则几何体需要的小正方体个数最多和最少分别是_________． 16.如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边的中点，过D作DE⊥AB，垂足为点E，如果AD＝2，AB＝6，那么cos∠ADE＝           ． 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长斜边AB到点D，使AB＝4BD，连接CD，若，则tan∠BCD＝         ． 三、解答题 18.已知一个长方体的体积是100 m3，它的长是y m，宽是5 m，高为x m，试写出x，y之间的函数关系式，并注明x的取值范围． 19.如图，屋架跨度的一半OP＝5 m，高度OQ＝2.5 m，现在屋顶上开一个天窗，AB在水平位置，且AB＝2.4 m，求天窗高度AC的长． 20.码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y(h)与装载速度x(t/h)之间的函数关系如图． (1)这批货物的质量是多少？写出y与x之间的函数关系式； (2)中午12：00轮船到达目的地后，接到气象部门预报，晚上8：00港口将受到台风影响必须停止卸货，为确保这批货物安全卸货，如果以8 t/h的速度卸货，那么在台风到来之前能否卸完这批货？如果要在台风到来前卸完这批货，那么每小时至少要卸多少吨的货？ 21.如图1是一种可折叠单面A字展架，其主体部分的示意图如图2，由展板BC、支架OA（可绕O点转动）和活动杆DFE（D，E，F均为可转动支点）组成．该展架是通过改变∠DFE的大小使其打开或收拢，在使用该展架时为了防止倾倒，∠AOB不得小于30°．现测得OD＝OE＝60 cm，AD＝BE＝40 cm，DF＝EF＝15 cm． （1）求支架底端A，B张开的最大距离． （2）工作人员转动支点，使FD与OA垂直后并固定（如图3），请你判断此时是否符合规范使用的要求？并说明理由． （参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25） 22.阅读材料解决问题：在锐角△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，，∴AD＝c•sinB，在Rt△ACD中，，∴AD＝b•sinC，即c•sinB＝b•sinC，∴． （1）证明：； （2）如图二，求sin75°（结果保留根号）； （3）如图三，在锐角△ABC中，AC：BC＝7：8，，又CD⊥AB，垂足为D，BD＝8，求AB的长度． 北师大版九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(2,3)，则tan α的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，过点A作AB⊥x轴于点B，∵A(2,3)，∴OB＝2，AB＝3，∴tanα＝＝.故选B. 2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，点B(0，－4)，则cos∠OAB的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意得Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4.由勾股定理可得AB＝5. ∴cos∠OAB＝＝.故选B. 3.如图，一个放置在水平实验台上的锥形瓶，它的俯视图为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】一个放置在水平实验台上的锥形瓶，它的俯视图为两个同心圆． 4.在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，则BC的长为(　　) A.6 B.7.5 C.8 D.12.5 【答案】A 【解析】如图，在Rt△ACB中，∵sinA＝＝，∴BC＝×10＝6.故选A. 5.若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y3＜y1 C.y3＜y2＜y1 D.y2＜y1＜y3 【答案】B 【解析】∵k＝－3＜0，∴在第四象限，y随x的增大而增大，∴y2＜y3＜0，∵y1＞0，∴y2＜y3＜y1，故选B. 6.如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6 m，则这两棵树之间的坡面AB的长为(　　) A.12 m B.3 m C.4 m D.12 m 【答案】C 【解析】如图，∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，AC＝6 m，∴AB＝＝6÷＝4( m)．故选C. 7.tan 60°的值等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】tan 60°＝，故选D. 8.如图所示，该零件的左视图是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】在三视图中，实际存在而被遮挡的线用虚线表示，故选项D符合题意. 9.已知反比例函数y＝，若x≥－2，则函数y的取值范围是(　　) A.y＜－4 B.y＞0 C.y≤－4 D.y≤－4或y＞0 【答案】D 【解析】当x≥－2时，y≤－4或y＞0.故选D. 10.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是(　　) A.y1＞y2＞0 B.y1＞0＞y2 C.0＞y1＞y2 D.y2＞0＞y1 【答案】B 【解析】∵k＝2＞0，∴函数为减函数，又∵x1＞0＞x2，∴A，B两点不在同一象限内，∴y2＜0＜y1；故选B. 11.在湖边高出水面50 m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观其在湖中之像的俯角为60°，则飞艇底部P距离湖面的高度为( )(参考等式：) A.(25＋75)米 B.(50＋50)米 C.(75＋75)米 D.(50＋100)米 【答案】D 【解析】设AE＝x m，在Rt△AEP中∠PAE＝45°，则∠P＝45°，∴PE＝AE＝x，∵山顶A处高出水面50 m，∴OE＝50 m，∴OP′＝OP＝PE＋OE＝x＋50，∵∠P′AE＝60°，∴P′E＝tan 60°·AE＝x，∴OP′＝P′E－OE＝x－50，∴x＋50＝x－50，解得x＝50(＋1)(m)，∴PO＝PE＋OE＝50(＋1)＋50＝(50＋100)(m)，即飞艇离开湖面的高度是(50＋100)m.故选D. 12.阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建（如图），使得，，延长使，连接，可得到，所以．类比这种方法，请你计算的值为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图：在中，，，延长使，连接，，设，则，，在中，，故选：B． 二、填空题 13.双曲线y＝的图象在第________________象限． 【答案】一、三 【解析】∵在y＝中，2＞0，∴双曲线y＝的图象在第一、三象限．故答案是一、三． 14.∠A和∠B是一直角三角形的两锐角，则tan＝____________. 【答案】1 【解析】∵∠A和∠B是一直角三角形的两锐角，∴∠A＋∠B＝90°，∴tan＝tan 45°＝1. 15.一个由若干相同的小正方形组成的几何体，其左视图和俯视图如图所示，则几何体需要的小正方体个数最多和最少分别是_________． 【答案】8；6 【解析】几何体需要的小正方体个数最少分布情况如俯视图1，共需2＋1＋1＋1＋1＝6个； 几何体需要的小正方体个数最多分布情况如俯视图2，共需2＋2＋2＋1＋1＝8个. 16.如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边的中点，过D作DE⊥AB，垂足为点E，如果AD＝2，AB＝6，那么cos∠ADE＝           ． 【答案】 【解析】∵D是AC边的中点，AD＝2， ∴AC＝2AD＝4， ∵∠C＝90°， ∴由勾股定理得， ∴， ∵DE⊥AB， ∴∠A+∠ADE＝90°， 又∵∠A+∠B＝90°， ∴∠ADE＝∠B， ∴， 故答案为：． 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长斜边AB到点D，使AB＝4BD，连接CD，若，则tan∠BCD＝         ． 【答案】 【解析】过点D作CB的垂线，垂足为M， 在Rt△ABC中， 因为tan∠ABC＝， 即， 所以设AC＝3k，BC＝4k， 则AB＝． 因为AB＝4BD， 所以BD＝． 因为∠ACB＝∠DMB，∠CBA＝∠MBD， 所以△ABC∽△DBM， 所以， 则DM＝，BM＝k， 所以CM＝4k+k＝5k． 在Rt△DCM中， tan∠BCD＝． 故答案为：． 三、解答题 18.已知一个长方体的体积是100 m3，它的长是y m，宽是5 m，高为x m，试写出x，y之间的函数关系式，并注明x的取值范围． 【答案】解：因为长方体的长是y m，宽是5 m，高为x m，由题意知，100＝5xy，即y＝.由于长方体的高为非负数，故自变量的取值范围是x＞0. 【解析】 19.如图，屋架跨度的一半OP＝5 m，高度OQ＝2.5 m，现在屋顶上开一个天窗，AB在水平位置，且AB＝2.4 m，求天窗高度AC的长． 【答案】解：∵AB在水平位置， ∴AB∥OP， ∴∠ABC＝∠OPQ， ∴tan∠ABC＝tan∠OPQ， ∴， ∴， ∴AC＝1.2， 即天窗高度AC的长为1.2 m． 【解析】 20.码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y(h)与装载速度x(t/h)之间的函数关系如图． (1)这批货物的质量是多少？写出y与x之间的函数关系式； (2)中午12：00轮船到达目的地后，接到气象部门预报，晚上8：00港口将受到台风影响必须停止卸货，为确保这批货物安全卸货，如果以8 t/h的速度卸货，那么在台风到来之前能否卸完这批货？如果要在台风到来前卸完这批货，那么每小时至少要卸多少吨的货？ 【答案】解：(1)这批货物的质量为50×1.6＝80(t)；设y与x的函数关系式为y＝，当x＝50时，y＝1.6，∴k＝50×1.6＝80，∴y与x的函数式为y＝. (2)设当x＝8时，y＝＝10，∴卸完这批货需要10个小时，因此晚上8：00不能完成卸货任务，∵y＝20－12＝8，∴8＝，解得x＝10，所以每小时至少要卸货10 t． 【解析】 21.如图1是一种可折叠单面A字展架，其主体部分的示意图如图2，由展板BC、支架OA（可绕O点转动）和活动杆DFE（D，E，F均为可转动支点）组成．该展架是通过改变∠DFE的大小使其打开或收拢，在使用该展架时为了防止倾倒，∠AOB不得小于30°．现测得OD＝OE＝60 cm，AD＝BE＝40 cm，DF＝EF＝15 cm． （1）求支架底端A，B张开的最大距离． （2）工作人员转动支点，使FD与OA垂直后并固定（如图3），请你判断此时是否符合规范使用的要求？并说明理由． （参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25） 【答案】解：（1）当D，E，F三点共线时，AB最大，过点O作OH⊥AB，如图： 由等腰三角形的性质可知OH经过点F， ∵OD＝OE＝60 cm，AD＝BE＝40 cm， ∴AD＝OB＝100 cm，AH＝BH， ∴，即， 解得AH＝25， ∴AB＝2AH＝50 cm； （2）不符合要求，连接OF，如图： ∵DF⊥OA， ∴∠ODF＝90°， ∴tan∠DOF＝＝＝0.25， ∴∠DOF＝14°， ∵OD＝OE，DF＝EF， ∴△DOF≌△EOF（SSS）， ∴∠EOF＝∠DOF＝14°， ∴∠AOB＝28°， ∵28°＜30°， ∴此时不符合规范使用的要求． 【解析】 22.阅读材料解决问题：在锐角△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，，∴AD＝c•sinB，在Rt△ACD中，，∴AD＝b•sinC，即c•sinB＝b•sinC，∴． （1）证明：； （2）如图二，求sin75°（结果保留根号）； （3）如图三，在锐角△ABC中，AC：BC＝7：8，，又CD⊥AB，垂足为D，BD＝8，求AB的长度． 【答案】解：（1）如图过点C作CE⊥AB于点E， 在△ACE中，sin∠CAE＝＝， ∴CE＝b•sinA 同理在△BCE中，， ∴CE＝a•sinB 即b•sin A＝asin B； 即 ； （2）根据（1）得 ， ∴， ∴， 如图，过A作 AD⊥BC 于点D， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣45°＝75°， 在 Rt△ABD 中，∠B＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴BD＝1，， 在Rt△ACD中，∠C＝45°， ∴， ∴， 即 , ∴； （3）由AC：BC＝7：8，可设 AC＝7x，则BC＝8x（x＞0）， 依题意， ∴， 又 ， ∴， ∴∠B＝600， 又BD＝8， ∴． ∴BC＝16， ∴AC＝14， ∴AD＝2． ∴AB＝2+8＝10． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$