第一章 直角三角形的边角关系（举一反三单元测试·拔尖卷）数学北师大版九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系·拔尖卷 【北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（3分）（2025·湖南永州·模拟预测）如图，已知，则（　　） A． B． C． D． 3．（3分）（2025·山东济宁·二模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（　　） A． B． C． D．无法确定 4．（3分）（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，，的高与角平分线交于点E，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 6．（3分）（2025·四川绵阳·三模）在中，，，点D为中点，过点D作，与交于点E，连接，且，则的长度是（    ） A． B． C．3 D．4 7．（3分）（24-25九年级上·重庆·期中）如图，正方形中，M是边的中点，N是边的中点，连接，相交于点E，连接并延长，交于点F．若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）（2025·吉林松原·模拟预测）如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两点的俯角α、β分别为和，若该摆绳的长度为，此时点F相对于点E升高了（    ） A． B． C． D． 9．（3分）（2025·广东深圳·二模）如图，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连接装置与水平方向的夹角为，连接装置转动后箱子完全打开，每一根连接装置长（可看作一条线段），当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加（   ）． A． B． C． D． 10．（3分）（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心，以长为半径画弧，交x轴负半轴于点B，连接．分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限交于点C，连接．现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，点分别是的中点，连接．且，，则的长为 ． 12．（3分）（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为 ． 13．（3分）（2025·湖北·一模）小樱一家人周末先去图书城看书，然后去公园游玩．如图，图书城(图中点A处)在她家(图中点B处)的北偏西方向，且距离她家，公园(图中点C处)在她家的北偏东方向和图书城的北偏东方向的交汇处，那么，她家与公园的距离约为 ．（结果精确到.参考数据：） 14．（3分）（2025·广东惠州·三模）如图，在正五边形中，连接，点F为的中点，连接并延长，交边于点G，则的值为 ．（结果精确到．参考数据：） 15．（3分）（2025·山西吕梁·三模）如图，在四边形中，，，平分，与相交于点，若，，则线段的长为 ． 16．（3分）（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，点D在边上运动（不与点A，C重合），以为边作正方形，使点A在正方形内，连接，则： （1）当时， ； （2）点到直线的距离为 ； （3）面积的最大值是 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·北京·期末）如图，在中，，，，平分交边于点． (1)直接写出线段的长： ； (2)过点作于点，补全图形，并求线段的长． 18．（6分）（2025·北京·中考真题）如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 19．（8分）（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，为矩形的对角线，过的中点作的垂线，分别交，于，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的值 20．（8分）（2025·广东佛山·二模）如图，正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，连接． (1)如图1，若，当时，求的值； (2)如图2，若，与的延长线交于点G，E为的中点，求的值； (3)如图3，若，，求的长． 21．（10分）（2025年河北省石家庄外国语教育集团中考数学三模试卷）河北省吴桥县是我国著名的杂技之乡，高空走钢丝是群众喜欢的项目之一如图，、均垂直于地面且高度相同杂技演员所在位置点到所在直线的距离，，此时；如图，当杂技演员走至钢丝中点时，恰好运动过程中绳子总长不变（参考数据：，，）． (1)求的长； (2)求杂技演员从点走到点，下降的高度； (3)在从走向的过程中，是否存在某个位置，使得是直角？如果存在，请求出点到点的距离；如果不存在，请说明理由（结果可保留根号）． 22．（10分）（2025·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，先画将线段绕点A逆时针旋转后的线段，再在上画点E，使； (2)在图2中，先画将线段绕点C顺时针旋转后的线段，再画交于点H． 23．（12分）（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 24．（12分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，，且．动点P从点B出发以的速度沿线段向终点D匀速运动，1秒后动点Q从点D出发以的速度沿线段向终点A匀速运动，设点P运动的时间为t（s）． (1)点Q出发后，设四边形的面积为，求S与t的函数表达式； (2)当时，求t的值； (3)若以、为边作，在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直角三角形的边角关系·拔尖卷 【北师大版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角函数等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据矩形的性质以及折叠的性质确定，再在中，由勾股定理确定的值，进而可得；设，则，在中，由勾股定理确定的值，即，然后由正切的定义，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∵将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，可得，即， 解得，即， ∴在中，． 故选：D． 2．（3分）（2025·湖南永州·模拟预测）如图，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义，掌握知识点的应用是解题的关键．过作，交延长线于点，证明四边形是平行四边形，则，再由勾股定理求出，然后由即可求解． 【详解】解：过作，交延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（3分）（2025·山东济宁·二模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，灵活运用网格特点和证明是解决问题的关键． 连结、，取格点，如图，设小正方形的边长为 1 ，则利用正方形的性质得到 ，则，再根据正切的定义，在中可计算出，在中可计算出 ，所以，然后利用三角形外角性质和角的代换可证明，所以 ． 【详解】解：连结、，取格点，如图，设小正方形的边长为 1 ， 则 ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 故选：B． 4．（3分）（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，，的高与角平分线交于点E，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数的应用，解题的关键是掌握勾股定理、三角函数的定义．利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形的面积公式求出的长，利用勾股定理求出的长，然后利用角平分线的定义，可得到，然后利用锐角三角函数的定义，就可求出与的比值． 【详解】解：在中，， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵平分， ∴， ∴， ∴即， ∴． 故选：A． 5．（3分）（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，，，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 6．（3分）（2025·四川绵阳·三模）在中，，，点D为中点，过点D作，与交于点E，连接，且，则的长度是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】过作于，由，设，则，证明，可得，求解：，，同理可得：，而，可得，进一步可得结论． 【详解】解：过作于， ∵， ∴设，则， ∴， ∵点D为中点，过点D作， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 同理可得：，而， ∴， 解得；， ∴； 故选B 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，直角三角形斜边上的直线的性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 7．（3分）（24-25九年级上·重庆·期中）如图，正方形中，M是边的中点，N是边的中点，连接，相交于点E，连接并延长，交于点F．若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方形性质及中点条件，证明，得出．根据三角函数关系及已知，求出、、、、的长度．由得到，利用相似三角形对应边成比例求出的长度． 【详解】∵四边形是正方形，、分别为边、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用，解题关键是利用正方形性质证明三角形全等与相似，结合相关性质和线段长度关系逐步推导． 8．（3分）（2025·吉林松原·模拟预测）如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两点的俯角α、β分别为和，若该摆绳的长度为，此时点F相对于点E升高了（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作，根据题意，得到，利用三角函数得到，，利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作，由题意，可知：，， ∴， ∴，， ∴， 故选C． 9．（3分）（2025·广东深圳·二模）如图，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连接装置与水平方向的夹角为，连接装置转动后箱子完全打开，每一根连接装置长（可看作一条线段），当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．画出示意图（见解析），利用解直角三角形分别求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图1，连接装置，连接装置与水平方向的夹角，， ∴每一层打开前的高度为， 如图2，连接装置，连接装置与水平方向的夹角（锐角），， ∴每一层打开后的高度为， ∴当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加了 ， 故选：C． 10．（3分）（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心，以长为半径画弧，交x轴负半轴于点B，连接．分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限交于点C，连接．现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形与坐标、旋转性质、解直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 如图：过点A作轴于H，根据三角函数的定义得到，由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，，根据勾股定理得到，再说明，即第一次旋转得到C点的对应点为；依次求得第2次、第3次、第4次发现每4个一个循环，据此求解即可． 【详解】解：如图：过点A作轴于H， ∵， ∴， ∴， 由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴第1次旋转得到C点的对应点为， 依次求得：第2次旋转得到C点的对应点为， 第3次旋转得到C点的对应点为， 第4次旋转得到C点的对应点为， 第5次旋转得到C点的对应点为， ∴发现每4个一个循环， ∵， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，点分别是的中点，连接．且，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 延长相交于点，过点作于点，设，则，证明和全等得，再证明和全等得，则，解得，进而得，然后在中由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：延长相交于点，过点作于点，如图所示： ∵点是的中点， ∴设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（3分）（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】由旋转性质可证明等边三角形，．再证明为的中垂线，则，然后证明为直角三角形，又，，用勾股定理可求的长． 【详解】解：由及旋转性质可知， 为等边三角形． ， ． 又， ， 为的中垂线， ． ， ， 又D为中点， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，牢固掌握这些性质是解题关键． 13．（3分）（2025·湖北·一模）小樱一家人周末先去图书城看书，然后去公园游玩．如图，图书城(图中点A处)在她家(图中点B处)的北偏西方向，且距离她家，公园(图中点C处)在她家的北偏东方向和图书城的北偏东方向的交汇处，那么，她家与公园的距离约为 ．（结果精确到.参考数据：） 【答案】3.3 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点 A 作于点D，则，求出可得． 【详解】如图，过点 A 作于点D，则， 由题意，得 ∴. ∵， ∴， ． 即她家与公园的距离约为． 故答案为：3.3． 14．（3分）（2025·广东惠州·三模）如图，在正五边形中，连接，点F为的中点，连接并延长，交边于点G，则的值为 ．（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【分析】题目主要考查正多边形的性质，解三角形，矩形的判定，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点A作，根据多边形内角和定理及其性质得出，再由矩形的判定和性质得出四边形为矩形，，设，利用正弦函数得出，，即可求解． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵正五边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点F为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（3分）（2025·山西吕梁·三模）如图，在四边形中，，，平分，与相交于点，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 作于点，而，求得，由平分，得，由，得 ，则，求得，则 ，作于点交的延长线于点，则，可证明，得，推导出，由，得，则，可证明，则，由，得 ，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分，与相交于点，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 作于点，交的延长线于点，则， 在和 中， , ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（3分）（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，点D在边上运动（不与点A，C重合），以为边作正方形，使点A在正方形内，连接，则： （1）当时， ； （2）点到直线的距离为 ； （3）面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，锐角三角函数等．（1）利用直角三角形的性质求得，，根据求得，再根据正方形的性质求得；（2）过点F作于G，证明，即可求得；（3）过点E作于H，证明，得到，利用三角函数求出，根据，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形， ∴； 故答案为：； （2）过点F作于G，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即点到直线的距离为； 故答案为：； （3）过点E作于H，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值是． 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·北京·期末）如图，在中，，，，平分交边于点． (1)直接写出线段的长： ； (2)过点作于点，补全图形，并求线段的长． 【答案】(1)6 (2)图形见解析；3 【分析】本题重点考查了锐角三角函数，勾股定理，角平分线的性质，熟练运用相关知识，数形结合，是解题的关键． （1）利用得，设，，再利用勾股定理列方程，解方程求出的值，可得线段的长； （2）利用角平分线的性质，推出，再利用，列方程求解； 【详解】（1）在中，，， ， 设，， 由勾股定理得， ， 解得， ，， 线段的长为6． 故答案为：6． （2）如图所示： ， ， ，平分， ， ，，， ，，， 又， ， ， 线段的长为3． 18．（6分）（2025·北京·中考真题）如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 19．（8分）（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，为矩形的对角线，过的中点作的垂线，分别交，于，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的值 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）证明出，得到，然后结合即可证明四边形为菱形； （2）设，由（1）知：，根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）四边形为矩形， ， ， 为中点， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）四边形为矩形，，， ， 设 由（1）知：， 中，， 即， 解得 ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 20．（8分）（2025·广东佛山·二模）如图，正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，连接． (1)如图1，若，当时，求的值； (2)如图2，若，与的延长线交于点G，E为的中点，求的值； (3)如图3，若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出，证明出，得到，然后利用正切的定义求解即可； （2）设，则，表示出，然后证明出，得到，代入求出，，，如图所示，过点G作交延长线于点H，证明出，得到，然后代入求出，，，然后根据正切的定义求解即可； （3）如图所示，延长，交于点G，过点G作交延长线于点H，首先求出，，设，，证明出，得到，求出，然后证明出，得到，代数求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴设， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得，， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点G作交延长线于点H， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图所示，延长，交于点G，过点G作交延长线于点H， ∵，，， ∴，， ∵， ∴设，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 经检验，是原方程的解． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21．（10分）（2025年河北省石家庄外国语教育集团中考数学三模试卷）河北省吴桥县是我国著名的杂技之乡，高空走钢丝是群众喜欢的项目之一如图，、均垂直于地面且高度相同杂技演员所在位置点到所在直线的距离，，此时；如图，当杂技演员走至钢丝中点时，恰好运动过程中绳子总长不变（参考数据：，，）． (1)求的长； (2)求杂技演员从点走到点，下降的高度； (3)在从走向的过程中，是否存在某个位置，使得是直角？如果存在，请求出点到点的距离；如果不存在，请说明理由（结果可保留根号）． 【答案】(1)的长约为 (2)下降的高度约为 (3)存在，点到点的距离为 【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）过点作，垂足为，先利用（1）的结论和线段中点的定义可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）如图，连接，设，则，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， 的长约为； （2）解：如图，过点作，垂足为， 点为钢丝中点，，， ， 在中，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 下降的高度约为； （3）解：如图，连接， 在中，， ， 设，则， ， ， ， 解得：舍，， 点到点的距离为． 22．（10分）（2025·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，先画将线段绕点A逆时针旋转后的线段，再在上画点E，使； (2)在图2中，先画将线段绕点C顺时针旋转后的线段，再画交于点H． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图所示，取格点D，连接，取与格线的交点P，连接交于E，则线段和点E即为所求； （2）如图所示，取格点T、L、S，连接，连接并延长交于F，连接，取格点M、N连接交于H，连接，则线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，取格点D，连接，取与格线的交点P，连接交于E，则线段和点E即为所求； 可证明，则线段即为所求； 可证明，则，则点E即为所求； （2）解：如图所示，取格点T、L、S，连接，连接并延长交于F，连接，取格点M、N连接交于H，连接，则线段即为所求； 可证明，则， 可证明，则，则线段即为所求； 可证明且直线到直线的距离等于直线到直线的矩形， 则平分，又有平分，则四边形是平行四边形，则． 【点睛】本题主要考查了画旋转图形，解直角三角形，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，熟练掌握格点作图的技巧和方法是解题的关键． 23．（12分）（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)该货车能进入该地下车库，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）由题意得：，，如图：过点作于点，易证四边形是矩形，则、；然后在和中解直角三角形即可解答； （2）由题意得：，再在中解直角三角形可得，如图：过点作于点，根据勾股定理和解直角三角形可得，设，则，则，解得，进而求得，最后与3米比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 如图：过点作于点， ∴ ∴四边形是矩形． ∴， 在中，， ∴  解得：． ∴ 在中，， ∴， ∴． （2）解：由题意得： 在中，，，， ∴， 如图：过点作于点， 在中，，，， 设，则， ∴，解得 ∴， ∵  即该货车能进入该地下车库． 24．（12分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，，且．动点P从点B出发以的速度沿线段向终点D匀速运动，1秒后动点Q从点D出发以的速度沿线段向终点A匀速运动，设点P运动的时间为t（s）． (1)点Q出发后，设四边形的面积为，求S与t的函数表达式； (2)当时，求t的值； (3)若以、为边作，在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）连接，过点作于，于，过点作于，则四边形、四边形都是矩形，得出，，，，则，求出，，，，由题意得，且，则，由，即可得出结果； （2）时，求出，代入、的值即可得出结果； （3）延长交于，过点作于，证明，，，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接，过点作于，于，过点作于，如图所示： 则四边形、四边形都是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ，， 由题意得：，且， ， ； （2）解：若，则， ， ， ， ，， ， 解得：； （3）解：存在，延长交于，过点作于，如图所示： 平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：． 【点睛】本题平行四边形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数定义、三角形面积的计算、分类讨论等知识；熟练掌握三角函数定义是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $