精品解析：河南省郑州市西一中学2024-2025学年八年级下学期第一次学情调研数学试卷

2024-2025学年下学期八年级第一次学情调研 数学 时间：100分钟 满分：120分 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 如果，那么下列各式一定正确的是( ) A. B. C. D. 2. 河南周口市城乡一体化示范区不断完善基础服务设施，着力打造“分钟便民服务圈” 现在有三个小区位置呈三角形，若在该三角形区域内建立一个便民服务中心，使其到三个小区的距离相等，则应建在（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高所在直线的交点 3. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（　　）. A. B. C. D. 4. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 把一些书分给几名同学，如果①_________；如果每人分11本，则②________，若依题意，设有名同学，则可列不等式，那么①，②两处横线的信息可以是（ ） A. ①每人分9本，多分7个人，②不够分 B. ①每人分9本，则剩余7本，②剩余 C. ①每人分7本，则可多分9个人，②有剩余 D. ①每人分7本，剩余9本，②不够分 6. 如图，若要用“”证明，则还需补充条件（ ） A. B. 或 C. D. 以上都不正确 7. 如图，一次函数与的图象相交于点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 关于的方程的解是 D. 关于的不等式的解集是 8. 已知且，则k的取值范围为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（　　）． A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 10. 如图，已知，点，…在射线上，点，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长是（　　） A. 4046 B. 4048 C. D. 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 如果a<b，那么3-2a_______3-2b. 12. 如图，在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点F，则线段的长为__________ 13. 用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设 __________ 14. 若关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是____ 15. 如图，等边三角形中，于点D，点E、F分别是上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ____________________． 三．解答题（共11小题） 16. 解不等式（组），并把解集表示在数轴上： （1）； （2） 17. 下面是小明同学解不等式组 的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．第一步 解得．第二步 由不等式②，得．第三步 移项，得．第四步 解得．第五步 所以，原不等式组的解集是．第六步 （1）小明的解答过程中，第 　　步开始出现错误，错误的具体原因是 　　，得到第三步的根据是 　　 （2）请写出解此不等式组的完整过程． 18. 如图，中，，垂足为D． （1）求作的平分线，分别交于P，Q两点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）判断的形状，并证明． 19. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品千克． （1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用（元）与（千克）之间的函数关系式； （2）若小明快递的物品超过1千克，则他应选择哪家快递公司更省钱？ 20. （1）如图（1），在中，，，是过点A的一条直线，且点，在的异侧，于点，于点．求证：． （2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明． 21. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共用元，且买个甲种笔记本比买个乙种笔记本少花元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）张老师准备购买甲乙两种笔记本共个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 22. 如图，在中，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t． （1）当t为何值时，为等边三角形？ （2）当t为何值时，为直角三角形？ 23. （1）数学活动课上，李老师给出了一个问题，如图1，在中，平分，．求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系． ②如图3，小强同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点E，使，连接，将转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变化并提出了下面问题，请你回答： 如图4，在中，，点D在的延长线上，，过点D作交的延长线于点E．求证：． （3）如图5，在中，，垂足为D，，，，平分交于点E，那么的长为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期八年级第一次学情调研 数学 时间：100分钟 满分：120分 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 如果，那么下列各式一定正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质（不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）成为解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则，故本选项正确，符合题意； B． 由，则，故本选项错误，不符合题意； C． 由，当时，，当时，，故本选项错误，不符合题意； D． 由，则，即，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 2. 河南周口市城乡一体化示范区不断完善基础服务设施，着力打造“分钟便民服务圈” 现在有三个小区位置呈三角形，若在该三角形区域内建立一个便民服务中心，使其到三个小区的距离相等，则应建在（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高所在直线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的实际应用．根据线段垂直平分线的性质即可确定选项，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ∴便民服务中心应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：． 3. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（　　）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：由题意可得，． 故选：C． 4. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，再计算的周长即可． 【详解】解：∵，的垂直平分线分别交于点D，点M， ∴，， ∵， ∴的周长为， 故选：A． 5. 把一些书分给几名同学，如果①_________；如果每人分11本，则②________，若依题意，设有名同学，则可列不等式，那么①，②两处横线的信息可以是（ ） A. ①每人分9本，多分7个人，②不够分 B. ①每人分9本，则剩余7本，②剩余 C. ①每人分7本，则可多分9个人，②有剩余 D. ①每人分7本，剩余9本，②不够分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列不等式，解决问题的关键是熟练掌握不等式表示的实际意义． 根据不等式表示的意义解答即可． 【详解】解：由不等式，可得： 把一些书分给几名同学，若每人分7本，则可多分9个人； 若每人分11本，则有剩余； 故选：C． 6. 如图，若要用“”证明，则还需补充条件（ ） A. B. 或 C. D. 以上都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】图形中已有条件，只缺一对直角边对应相等，因此添加一对直角边对应相等即可． 【详解】解：∵图形中已有条件， ∴若要用“”证明，则还需补充条件或， 故选：B． 【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）． 7. 如图，一次函数与的图象相交于点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 关于的方程的解是 D. 关于的不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查两条直线的交点问题，运用待定系数法可求出交点坐标，和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解，掌握一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，把交点代入一次函数中得， ，解得，， ∴， 把点代入一次函数图象得，， 根据一次函数的图象可得，，故A，B选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项正确，不符合题意； 当时，，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 8. 已知且，则k的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，方程组两方程相加表示出，根据大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可求出k的范围．将方程组两方程相加表示出是解本题的关键． 【详解】解：， 得：，即， 解得：． 故选：D． 9. 如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（　　）． A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、轴对称—路线问题等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图：作于交于，连接，根据等边三角形的判定与性质可得，点C关于的对称点为点B，从而得出当P、B、E在同一直线上且时，的值最小为即可解答． 【详解】解：如图：作于交于，连接， ∵在中，，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴，， ∴点C关于的对称点为点B， ， ， ∴当P、B、E在同一直线上且时，的值最小为， ∴的最小值是6． 故选：B． 10. 如图，已知，点，…在射线上，点，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长是（　　） A. 4046 B. 4048 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，然后找到规律即可得解． 【详解】∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ……， ∴的边长为． 故选：C． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 如果a<b，那么3-2a_______3-2b. 【答案】> 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可求解. 【详解】∵a<b， ∴ ∴3-2a>3-2b. 故答案：>. 【点睛】本题考查不等式性质，关键是掌握不等式两边同时乘以同一个负数时，不等号方向改变. 12. 如图，在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点F，则线段的长为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图、勾股定理和角平分线的性质、全等三角形的判定及性质：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 过点作于点，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着证明得到，所以，设，则，对利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：过点作于点，如图， 由作图痕迹得平分， 而，， ， ∵， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得， 即的长为． 故答案为：． 13. 用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设 __________ 【答案】直角三角形中每个锐角都大于 【解析】 【分析】此题考查了反证法，根据反证法的第一步是否定结论进行解答即可． 【详解】解：用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设直角三角形中每个锐角都大于， 故答案为：直角三角形中每个锐角都大于． 14. 若关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据题意确定不等式的负整数解是解题的关键．先求解不等式得，，结合题意可知负整数解为，，进而列出关于a的不等式，即可求解． 【详解】解：解不等式得，， ∵不等式只有两个负整数解， ∴不等式只有两个负整数解，负整数解为，， ∴， 解得：， ∴a的取值范围是． 故答案为：． 15. 如图，等边三角形中，于点D，点E、F分别是上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】设，则，当时，；当时，，解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解方程，分母有理化，熟练掌握性质和解方程是解题的关键． 【详解】解：∵等边三角形中，于点D， ∴， ， 根据折叠的性质，得， 设，则， 当时， ∴ ∴ ∴， 解得； 当时， ∴ ∴， 解得； 综上所述，当是直角三角形时，的值为或． 三．解答题（共11小题） 16. 解不等式（组），并把解集表示在数轴上： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，熟练掌握求解的方法是解题的关键． （1）先去括号，再移项，然后合并同类项，最后按照不等式的性质化简； （2）先去分母，再去括号，然后移项，最后合并同类项，按照不等式的性质化简； 【小问1详解】 解： 解集在数轴上表示为： 【小问2详解】 解： 解集在数轴上表示为： 17. 下面是小明同学解不等式组 的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．第一步 解得．第二步 由不等式②，得．第三步 移项，得．第四步 解得．第五步 所以，原不等式组的解集是．第六步 （1）小明的解答过程中，第 　　步开始出现错误，错误的具体原因是 　　，得到第三步的根据是 　　 （2）请写出解此不等式组的完整过程． 【答案】（1）五；不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变；不等式的性质2 （2） 由不等式①，得． 解得． 由不等式②，得． 移项，得． 解得 所以，原不等式组的解集是． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）由不等式的性质可知，第五步不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向没有发生改变，据此可得答案； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：小明的解答过程中，第五步开始出现了错误，产生错误的原因是不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变；得到第三步的根据是不等式的性质2 故答案为：五；不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变；不等式的性质2 【小问2详解】 略 18. 如图，中，，垂足为D． （1）求作的平分线，分别交于P，Q两点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）判断的形状，并证明． 【答案】（1） 如图，角平分线即为所求． （2） 解：为等腰三角形，证明如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，作角平分线，余角的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握基本以上知识是解题的关键． （1）根据作已知角的角平分线的作法，画出图形即可； （2）根据角平分线的定义可得，再由余角的性质可得，再由，可得，从而得到，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品千克． （1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用（元）与（千克）之间的函数关系式； （2）若小明快递的物品超过1千克，则他应选择哪家快递公司更省钱？ 【答案】（1），（2）当时，乙省钱，当时，一样省钱，当时，甲省钱 【解析】 【分析】（1）根据甲、乙公司的收费方式结合数量关系，找出y甲、y乙（元）与x（千克）之间的函数关系式； （2）当x＞1，求出y甲=y乙时，x的取值，即可得出结论． 【详解】解：（1）当0＜x≤1时，y甲=22x； 当x＞1时，y甲=22+15（x-1）=15x+7． ∴y甲= ， 由题可得，y乙=16x+3； （2）当x＞1时， 令y甲=y乙，即15x+7=16x+3， 解得x=4； 当x=4，选甲、乙两家快递公司快递费一样多， 故当时，乙省钱，当时，一样省钱，当时，甲省钱． 【点睛】此题考查一次函数的应用，解题的关键是分0＜x≤1和x＞1两种情况，考虑y甲=y乙时x的取值． 20. （1）如图（1），在中，，，是过点A的一条直线，且点，在的异侧，于点，于点．求证：． （2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明． 【答案】 （1）证明：， ， ， ， ； 又，， ， 在和中， ， ； ，； ， ； （2）， 证明：， ， ， ， ； 又， ， 在和中， ， ， ，； ， ． 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质、余角的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题属于几何变换综合题． （1）根据已知条件证明，且根据全等三角形的判定可证明，根据各线段的关系即可得结论； （2）．根据全等三角形的判定可证明，根据各线段的关系即可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 21. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共用元，且买个甲种笔记本比买个乙种笔记本少花元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）张老师准备购买甲乙两种笔记本共个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 【答案】（1）甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元 （2）购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元 【解析】 【分析】（1）设甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元，可得：，即可解得甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元； （2）设购买个甲种笔记本，根据甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，可得，设所需费用为元，，由一次函数性质得购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元． 【小问1详解】 解：设甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得， 甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍， ， 解得， 设所需费用为元， ， ， 随的增大而增大， 时，最小，最小值为元， 此时， 答：购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元． 【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组，不等式及函数关系式． 22. 如图，在中，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t． （1）当t为何值时，为等边三角形？ （2）当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】（1）当t=2时，△PBQ为等边三角形； （2）当t=1.5或t=2.4时，△PBQ为直角三角形． 【解析】 【分析】先用含t的代数式表示出BP、BQ． （1）由于∠B=60°，当BP=BQ时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论； （2）分两种情况进行讨论：①当∠BQP=90°时，②当∠BPQ=90°时．利用直角三角形中，含30°角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论． 【小问1详解】 解：在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∵6÷2=3， ∴0≤t≤3，BP=（6-2t）cm，BQ=t cm． 当BP=BQ时，△PBQ为等边三角形， 即6-2t=t， ∴t=2； 当t=2时，△PBQ为等边三角形； 【小问2详解】 若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP=90°时，BP=2BQ， 即6-2t=2t， ∴t=1.5， ②当∠BPQ=90°时，BQ=2BP， 即t=2（6-2t）， ∴t=2.4． 即当t=1.5或t=2.4时，△PBQ为直角三角形． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，得到关于t的一次方程是解决本题的关键． 23. （1）数学活动课上，李老师给出了一个问题，如图1，在中，平分，．求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系． ②如图3，小强同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点E，使，连接，将转化为与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变化并提出了下面问题，请你回答： 如图4，在中，，点D在的延长线上，，过点D作交的延长线于点E．求证：． （3）如图5，在中，，垂足为D，，，，平分交于点E，那么的长为 【答案】 （1）证明：①平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至F，使，连接， 则， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）①证，得，，再证，则，即可得出结论；②证，再证，得，即可得出结论； （2）延长至F，使，连接，证，再证，得，即可得出结论； （3）延长至F，使，连接，过C作于点H，证，得，，设，则，再由勾股定理求出，则，进而证是等腰直角三角形，得，然后由三角形面积求出，则，最后由勾股定理得，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长至F，使，连接，过C作于点H，如图， 则， ， ， 设，则，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $