3.1　等量关系和方程 课件 2025-2026学年 湘教版（2024）七年级数学上册

第3章　一次方程（组） 3.1　等量关系和方程 情境导入 壹 目 录 课堂小结 肆 当堂达标 叁 新知初探 贰 情境导入 壹 情境导入 老师有这样一个问题，请同学们帮我解答一下：一个妇女在河边洗碗，河官问：“洗多少只碗？有多少客人用餐？”妇女答：“洗65只碗，客人二人共用一只饭碗，三人共用一只汤碗，四人共用一只肉碗.你说有多少客人用餐？” 壹 新知初探 贰 新知初探 探究一 方程的概念 1.甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发，甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km.多长时间后，甲队在途中追上乙队? 大本营 二号 营地 一号 营地 甲的路程 乙的路程 1km 3km 贰 设两队行进的时间为xh，则 大本营 二号 营地 一号 营地 甲的路程 乙的路程 1km 3km 问题1 甲队的行进路程为 km,乙队的行进路程为 km 1.2x 0.8x 问题2 甲队距大本营的路程为 km, 乙队距大本营的路程为 km (1.2x+1) (0.8x+3) 问题3 想一想，甲队追上乙队时，他们距大本营的路程有什么关系？ 甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程 问题4 根据这个关系，你能列出怎样的式子？ 1.2x+1=0.8x+3 2.为进步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛，比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分，若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分. 问题1 设该队胜了x场，则该队输了场； . （14一x） 问题2 该队胜的场数得分 分 ；输的场数得分 分 ； 2x （14一x） 问题3 其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等量美系，列出相应等式？ ①胜的场数得分＋输的场数得分＝总得分. ② . 2x＋（14－x）＝26 问题2 长方体前后两个面的面积 ；左右两个面的面积 ；上下两个面的面积 . 3.图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2m，高为1m，表面积为6.8. 问题1 设包装盒底面的宽是ym，则长方体底面的面积是 ，左侧面的面积 ， 前面的面积是 ； 1.2×y 1×y 1.2×1 相等 相等 相等 问题3 其中蕴含怎样的等量关系？如诃根据等量关系，列出相应等式？ ①（长×宽十宽X高十长×高）×2=表面积. ② （1.2×y＋y×1＋1.2×1）×2＝6.8 先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程. 归纳总结 探究二 一元一次方程的概念 观察下列方程，它们有什么共同点？ 1.2x+1=0.8x+3 12x=16(x-5) 0.52x-(1-0.52x)=80, 问题1 每个方程中，各含有几个未知数？ 问题2 说一说每个方程中未知数的次数. 问题3 等号两边的式子有什么共同点？ 一个 1次 都是整式 知识要点 这样的方程叫作一元一次方程. 等号两边都是整式， （一次） 只含有一个未知数, （一元） 未知数的次数都是1, 一元一次方程 探究三 方程的解 《孙子算经》是我国古心重要的数学著作，成书于公元400年前后，本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第31题就是有趣的“鸡免同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有多少只鸡和兔？ 问题1 上述趣题中存哪几个等量关系？ （1）兔的只数十鸡的只数=35； （2）兔的脚数+鸡的脚数=94. 问题2 设兔子有x只，根据“兔的只数十鸡的只数=35”可得鸡有 只； 问题3 根据“兔的脚数+鸡的脚数=94”可得方程 。 问题4 方程左边去括号，合并同类项可得 . （35一x） 4x＋2(35-x)=94 2x＋70＝94 问题5 把方程的左边和右边分别看成多项式，能否找到一个数，将这个数代入方程,使左、右两边的多项式的值相等呢？ 估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值94比较 第1次估算 10 第2次估算 15 第3次估算 13 第4次估算 12 第5次估算 11 由表格，我们知道当x=12时,2x+70的值与94的值相等,所以方程2x+70=94中的未知数的值应是x=12. 90 100 96 94 92 小了 大了 大了 相等 小了 (1)对于含有一个未知数x的方程，若x用一个数c代入能使方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个方程的一个解，习惯上记作x＝c. 归纳总结 (2)求方程的解的过程，叫作解方程. 例如x=5就是方程1.2x+1=0.8x+3的解 (3)设某数为x,依题意得5x-4=6x+1. 探究四 例题讲解 解:(1)5x-2x=12. 1.根据下列条件列出方程: (1)x的5倍比x的2倍大12; (2)某数的 比它的倒数小5; (3)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上1; (4)x的20%与15的差的一半等于-2. (2)设某数为x,根据题意得 x+5= . (4) (20%x-15)=-2. (2)设正方形绿地的边长为x m,那么扩大后的绿地面积为(x2+5x) m2. 根据“扩大后的绿地面积是500 m2”.列得方程x2+5x =500.   例1.根据下列问题， 设未知数并列出方程: (1)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生? (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿 地面积是500m'，求正方形绿地的边长. 解: (1)设这所学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x. 根据“女生比男生多80人”，列得方程0.52x-(1-0.52)x=80. 思考 用方程的方法来解决实际问题，一般要经历哪几个步骤？ 实际问题 方程 设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系 (5)6-y=1是一元一次方程. 例2.判断下列方程是不是一元一次方程,并说明理由. (1)-x+3=x3;(2)2x-9=5y;(3)x- =2;(4) =x-3;(5)6-y=1. 解:(1)-x+3=x3,不是,因为不是一次方程. (2)2x-9=5y,不是,因为有两个未知数. (3)x- =2,不是,因为不是整式方程. (4) =x-3是一元一次方程. 例3 分别检验x的下列值是否是方程2.5x+318=1068的解. (1) x=300；（2）x=300. 解（1）把x用300代入原方程得, 左边＝2.5×300＋318＝1068， 左边＝右边， 所以x=300是方程2.5x+318=1068的解； （2）把x用330代人原方程得， 左边=2.5×330＋318=1143, 左边≠右边， 所以x＝330不是方程2.5x+318=1068的解。 当堂达标 叁 1.下列各式中，是一元一次方程的是（　　） A．﹣4x＜3 B．3x﹣1＝x C．5﹣4＝1 D．xy﹣3 2.下列方程中,以x=2为解的方程是(　 　) (A)4x-1=3x+2 (B)4x+8=3(x+1)+1 (C)5(x+1)=4(x+2)-1 (D)x+4=3(2x-1) 当堂达标 C B 叁 3.x=1是关于x的方程2x-a=0的解,则a的值是(　 　) (A)-2 (B)2 (C)-1 (D)1 4.若方程(|m|-2)-(m+2)x-6=0是关于x的一元一次方程. (1)求m的值; (2)判断x=3,x=-,x=是不是方程的解. B 解:(1)因为方程(|m|-2)-(m+2)x-6=0是关于x的一元一次方程, 所以|m|-2=0,则m=±2. 又因为m+2≠0,即m≠-2, 所以m=2. (2)由(1),知原方程为-4x-6=0. 当x=-时,-4x-6=0; 当x=3或x=时,-4x-6≠0, 故x=-是方程的解,x=3,x=不是方程的解. (2)设原来的票价为x元，根据题意,得x(1+20%)=84. 5.根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)小丽从出版社邮购3本一样的书，包括邮费的总价为37.5元，如果每本书的邮费是2元，那么每本书的价格是多少元？ (2)春运期间，汽车票价上浮20%，小明从南京去上海的票价是84元，求原来的票价; 解：(1)设每本书的价格是x元，根据题意，得3x+3×2=37.5. (3)A,B两袋大米，A袋有50千克，它的 比B袋的70%少8千克，B袋有多少千克大米？ 解：(3)设B袋有x千克大米，根据题意,得 ×50+8=70%x. 课堂小结 肆 课堂小结 1.方程的概念:含有未知数的等式. 2.一元一次方程的概念：只含一个未知数，并且未知数的次数是1，两边都是整式. 3.方程的解：能使左右两边的多项式的值相等. 肆 课后作业 基础题：1.课后练习 第 1,2题。 提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第5,6题 谢 谢 $$