精品解析：辽宁省沈阳市虹桥中学2024—2025学年下学期第一次学情调研七年级数学试卷

虹桥中学七年级（下）第一次学情调研数学学科 本卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 清代·袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 标准大气压下，加热到时，水沸腾 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是6 D. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 5. 如图中表示阴影部分面积错误的代数式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线、相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，河道的同侧有两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线，小明和小亮想画出的平行线，他们的方法如下： 下列说法正确的是（ ） A. 小明的方法正确，小亮的方法不正确 B. 小明的方法不正确，小亮的方法正确 C. 小明、小亮的方法都正确 D. 小明、小亮的方法都不正确 9. 对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是某型垃圾清运车示意图，折线是其尾箱舱门，舱门可绕点A逆时针旋转打开，打开过程中大小始终保持不变，，当开启角达到最大时，，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 已知，代数式______． 13. 若，则的值是______． 14. 一个人从A点出发向北偏东方向走到点，再从点出发向南偏西方向走到点，那么等于______． 15. 将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当______时，与三角板的直角边平行． 三．解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）（运用整式的乘法公式进行计算） （3）； （4）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC． 19. 【阅读与思考】 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务： 对于依次排列的多项式，，，（，，，是常数），当他们满足，且是常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 例：对于多项式，，，来说 ，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 【任务一】 （1）已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子的值； 【任务二】 （2）若，，，是一组平衡数，求的值； 【问题解决】 （3）当，，，之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由． 20. 如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 且（已知） （ ） _____（ ） 且（已知） _____________° （已知） ________（ ） ________（平角的定义） 21. 如图，ABCD，CD交BF于E． （1）尺规作图：以点D为顶点，射线DC为一边，在DC的右侧作∠CDG，使∠CDG=∠B．（要求：不写作法，但保留作图痕迹） （2）证明：DGBF． 22. 知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： （1）直接应用：若，，直接写出的值______； （2）类比应用：填空： ①若，则______； ②若，则______； （3）知识迁移：两块完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中在一直线上，连接，若，，求四边形的面积． （4）深度思考：通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．如下图，表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后再重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 23. 在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题： 探究结论：（1）如图1，，，则 ： 如图2，，，则 ； 结论：两个角的两边分别平行，则这两个角 或 ． 应用结论：（2）在图3中，五边形，点G、F分别在、上，将∠A沿翻折得到，，，，，则的度数为 ． 拓展应用：（3）在图4中，，，，，平分，G点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虹桥中学七年级（下）第一次学情调研数学学科 本卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 清代·袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，计算即可． 本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A. 不是同类项，无法计算，不符合题意； B. ，此选项错误，不符合题意； C. ，此选项错误，不符合题意； D. ，此选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的除法运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的除法运算进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 在下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 标准大气压下，加热到时，水沸腾 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是6 D. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于哪一种类别．根据实际情况即可解答．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A. 标准大气压下，加热到时，水沸腾，是必然事件，故该选项不符合题意； B. 任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，故该选项不符合题意； C. 掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是6，是随机事件，故该选项符合题意； D. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故该选项不符合题意； 故选C． 5. 如图中表示阴影部分面积错误的代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列代数式，解题的关键是把阴影部分进行分割或补全，从而求出面积． 将所求阴影部分面积分割成两个长方形面积和以及将所求阴影部分图形补成一个完整的长方形，用大长方形面积减去小长方形面积，即可判断各选项． 【详解】解：按照图1方式分割： 则阴影部分面积为，故C正确，不符合题意； 按照图2方式分割： 则阴影部分面积为，故B正确，不符合题意； 按照图3方式分割： 则阴影部分面积为大长方形面积减去空白长方形面积，则阴影部分面积为，故D正确，不符合题意； 而A选项不能表示阴影部分面积，故错误，符合题意． 故选：A． 6. 如图，直线、相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，根据对顶角相等得，再由可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，河道的同侧有两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．根据垂线段最短以及两点之间线段最短，求解即可． 【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是： 故选：D． 8. 已知直线，小明和小亮想画出的平行线，他们的方法如下： 下列说法正确的是（ ） A. 小明的方法正确，小亮的方法不正确 B. 小明的方法不正确，小亮的方法正确 C. 小明、小亮的方法都正确 D. 小明、小亮的方法都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图的意义，平行线的判定解答即可． 本题考查了基本作图，平行线的判定，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故． 根据基本作图，得, 故． 故选：C． 9. 对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．由，，推出，结合，即可求解． 【详解】解：，， 当时，则， 当时，则， ， ， 始终成立， ， ， ， 故选：D． 10. 如图是某型垃圾清运车示意图，折线是其尾箱舱门，舱门可绕点A逆时针旋转打开，打开过程中大小始终保持不变，，当开启角达到最大时，，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，作，，得出，根据平行线的性质求出即可． 【详解】解：作，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知，代数式______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．首先利用完全平方公式展开，然后再代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 故答案为：2025． 13. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据，结合条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 解得：， 故答案为： 14. 一个人从A点出发向北偏东方向走到点，再从点出发向南偏西方向走到点，那么等于______． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角的计算，根据方向角的描述得到的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：55． 15. 将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当______时，与三角板的直角边平行． 【答案】5或35或65或95或125 【解析】 【分析】根据题意，分6种情况讨论：当时，当时，当第二次平行于时，当第二次平行于时，当第三次平行于时，当第三次平行于时，画出对应的图形，利用平行线的性质，计算得到答案． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解答本题的关键． 【详解】解：如图， 时， 延长交于D点， 则，， ， ， ， ， ， 解得； ②如图：时， ，， ， ， ， 解得； ③如图第二次平行于时， 设与的交点为E， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； ④如图第二次平行于时， ，， ∵， ∴， ∴， 解得； ⑤如图：第三次平行于时， 则，， ， ， 又， ， ∴， 解得； ⑥如图：第三次平行于时， ，， ， ， ∴， 解得（舍去）． 综上，所有满足条件的t的值为：5或35或65或95或125． 故答案为：5或35或65或95或125 三．解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）（运用整式的乘法公式进行计算） （3）； （4）． 【答案】（1） （2）1 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可； （3）先计算单项式除以单项式和积的乘方，再合并同类项即可； （4）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则化简是解题的关键．先运用整式的混合运算法则化简，然后将，代入计算即可． 【详解】解：原式 当，时，原式. 18. 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC． 【答案】 证明：∵CD⊥AB（已知）， ∴∠1+∠3＝90°（垂直定义）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠3＝∠2（同角的余角相等）． ∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）． 【解析】 【分析】依据同角的余角相等，即可得到∠3＝∠2，即可得出DE∥BC． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：内错角相等，两直线平行． 19. 【阅读与思考】 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务： 对于依次排列的多项式，，，（，，，是常数），当他们满足，且是常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 例：对于多项式，，，来说 ，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 【任务一】 （1）已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子的值； 【任务二】 （2）若，，，是一组平衡数，求的值； 【问题解决】 （3）当，，，之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3），理由： 当，，，之间满足时，他们是一组平衡数． 证明：，，，是一组平衡数， 的结果为常数， 结果为常数， ， ． 【解析】 【分析】此题考查了整式乘法的混合运算及新定义问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接根据定义计算的值； （2）将，，，分别带入多项式中，依据定义计算出的值即可； （3）根据定义化简计算，可得，，，之间满足的数量关系式． 【详解】解：（1），，，是一组平衡数， ， ， ， ， ， 平衡因子； （2），，，是一组平衡数， ， ， ， ， ， 是常数， ， 解得：； （3）略 20. 如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 且（已知） （ ） _____（ ） 且（已知） _____________° （已知） ________（ ） ________（平角的定义） 【答案】两直线平行，内错角相等；；平角的定义；；；两直线平行，同位角相等； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．先根据平行线的性质，得出，再根据，即可得到，再根据平行线的性质，即可得到的度数，进而得出的度数． 【详解】解：∵扶手与底座都平行于地面，即， 且（已知） （两直线平行，内错角相等） （平角的定义） 且（已知） （已知） （两直线平行，同位角相等） （平角的定义）． 21. 如图，ABCD，CD交BF于E． （1）尺规作图：以点D为顶点，射线DC为一边，在DC的右侧作∠CDG，使∠CDG=∠B．（要求：不写作法，但保留作图痕迹） （2）证明：DGBF． 【答案】 解：（1）如图所示，即为所求； （2）∵ ∴∠B=∠CEF ∵∠B=∠D ∴∠CEF=∠D ∴// 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据平行线的判定方法，证明∠CEF=∠CDG即可． 【详解】略 【点睛】本题考查作图-基本作图，平行线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识型． 22. 知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： （1）直接应用：若，，直接写出的值______； （2）类比应用：填空： ①若，则______； ②若，则______； （3）知识迁移：两块完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中在一直线上，连接，若，，求四边形的面积． （4）深度思考：通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．如下图，表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后再重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 【答案】（1）50 （2）①13；②20 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形求值，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键． （1）利用即可求解； （2）①由计算即可；②由计算即可； （3）可得，，，而，再代入利用完全平方公式求解； （4）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 故答案为：50 【小问2详解】 解：①若，则； ②若， 则， 故答案为：①13；②20； 【小问3详解】 解：由题意得：，， ∴ ； 【小问4详解】 解：∵原几何体的体积为， 新几何体的体积为， ∴． 故答案为：． 23. 在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题： 探究结论：（1）如图1，，，则 ： 如图2，，，则 ； 结论：两个角的两边分别平行，则这两个角 或 ． 应用结论：（2）在图3中，五边形，点G、F分别在、上，将∠A沿翻折得到，，，，，则的度数为 ． 拓展应用：（3）在图4中，，，，，平分，G点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，求的度数． 【答案】（1）；；相等；互补；（2）；（3）或或 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用推导的结论解题，清晰的分类讨论都是解本题的关键． （1）利用平行线的性质可得答案； （2）证明，结合，由（1）的结论可得：，从而可得答案； （3）过B作，再证明，，结合平分，可得，由中有两个相等的角，再分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）如图1，∵，， ∴，， 则； 如图2，∵，， ∴，， 则， 结论：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补， 故答案为：；；相等；互补； 应用结论 （2）∵ ，， ∴， ∵， 由（1）的结论可得：， ∵， ∴ ． （3）过B作， ∵ ， ∴， ∵ 同理可得：， ∴， ∵， 同理可得：， ∵平分， ∴ ， ∵ ∴ ， ∵中有两个相等的角， 当时，则， ∴； 当时，则， 当时，． 综上所述，的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $