精品解析：广东省肇庆市第二中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

肇庆市第二中学2024－2025学年度第二学期开学综合练习卷 九年级 数学科 （考试时间为90分钟，总分为100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握定义是解题的关键．根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：根据题意，得的倒数是2025． 故选：B． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 足球运动员在罚球区射门一次，射中 B. 从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇 C. 将实心铅球投入水中，下沉 D. 雨后见彩虹，幸运 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件的定义判断即可． 【详解】∵足球运动员在罚球区射门一次，射中是随机事件， ∴A不符合题意； ∵从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇是不可能事件， ∴B不符合题意； ∵将实心铅球投入水中，下沉是必然事件， ∴C符合题意； ∵雨后见彩虹，幸运是随机事件， ∴D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了事件的分类，熟练掌握随机事件即在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不可能事件即在每一次实验中一定不会发生的事件；必然事件即在每一次实验中一定会发生的事件是解题的关键． 4. 中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为吨，将用科学记数法表示为（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于67500有5位，所以可以确定n=5-1=4． 【详解】解：67500=6．75×104． 故选A． 【点睛】本题考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握表示形式是解题的关键. 5. 抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　） A. （﹣2，5） B. （﹣2，﹣5） C. （2，5） D. （2，﹣5） 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可. 【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5， ∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等． 6. 如图，绕点O逆时针旋转到的位置，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵绕点O逆时针旋转到的位置， ∴， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等． 7. 关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得． 【详解】解： 其中，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 8. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手15次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ） A. x（x﹣1）=15 B. =15 C. x（x+1）=15 D. =15 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次的基本公式代入即可得出方程. 【详解】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x-1（次）． 根据题意，得=15． 故选B． 考点：一元二次方程的应用 9. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长是（　　） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DF的长，然后利用勾股定理，求EF的长． 【详解】解：∵△ABE∽△DEF， ∴， ∵AB＝6，AE＝9，DE＝2， ∴， 解得：DF＝3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°， ∴EF＝． 故选C． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质、矩形的性质以及勾股定理．难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 10. 如图，在四边形中，于点E，且四边形的面积为8，则（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质和判定，运用割补法把原四边形转化为正方形，其面积保持不变是解题的关键． 运用割补法把原四边形转化为正方形，求出的长． 【详解】解：过作垂直的延长线于点， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， 又， ∴， ∴； ∴四边形为正方形； ∴四边形的面积等于正方形的面积，即等于8， ， ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是 故答案为： 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）． 12. 圆锥的底面半径为，母线长是，则圆锥的侧面积是______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．根据圆锥的侧面积底面周长母线长，进行计算即可． 【详解】解：底面圆的半径为，母线长是，侧面面积． 故答案为： 13. 如果抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下，那么a的取值范围是_____． 【答案】a＞1． 【解析】 【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，则a＜0，利用不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下， ∴1﹣a＜0，解得，a＞1， 故答案为：a＞1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键. 14. 某产品出现次品的概率为0.05，任意抽取这种产品600件，那么大约有________件是次品． 【答案】30 【解析】 【分析】因为次品的概率为0.05，所以600件产品中有件次品． 【详解】解：由题意得：， ∴大约有30件次品． 故答案为：30． 【点睛】本题考查概率，要求掌握已知概率能够估计数量． 15. 如图，是二次函数图像的一部分，其对称轴是，且过点，下列说法：①；②；③若是抛物线上两点，则；④其中正确的______（填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据题意和函数图像，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】由图象可得， ，，，则，故①正确； ∵该函数的对称轴是 ， ∴，得 ，故②正确； ∵，， ∴若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则，故③正确； ∵该函数的对称轴是 ，过点（﹣3，0）， ∴ 和 时的函数值相等，都大于0， ∴ ，故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，a看开口，b看对称轴，c看抛物线与y轴的交点，也可以代入特殊点如：把代入抛物线解析式，根据抛物线的对称性等知识解决此类题型，熟练掌握好二次函数的图像和性质是解题的关键． 三、解答题（一）（本题共3小题，16题4分，17题5分、18题6分共15分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， 解得：． 17. 如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图；作∠BAC的平分线交BC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知AD＝BD，求∠B的度数． 【答案】（1） 如图所示：AD即为所求； （2）30° 【解析】 【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于H、F，再分别以H、F为圆心，大于HF长为半径画弧，两弧交于点M，再画射线AM交CB于D； （2）先根据角平分线定义和等腰三角形的性质得：∠B＝∠BAD＝∠CAD，则∠B＝30°． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD＝BD， ∴∠B＝∠BAD， ∴∠B＝∠BAD＝∠CAD， ∵∠C＝90°， ∴∠B＝＝30°． 【点睛】此题主要考查了角平分线的基本作图，以及等腰三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握角平分线的基本作图是关键． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位． （1）把△ABC绕着点C逆时针旋转 90°，画出旋转后对应的△A1B1C； （2）求△ABC旋转到△A1B1C时线段AC扫过的面积． 【答案】 （1）如图所示，△A1B1C即为所求； （2）2π 【解析】 【分析】（1）根据旋转角度、旋转中心、旋转方向找出各点的对称点，顺次连接即可； （2）根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵CA=， ∴S==2π． 【点睛】本题考查旋转作图的知识，难度不大，注意掌握旋转作图的三要素，旋转中心、旋转方向、旋转角度． 四、解答题（二）（本答题共2小题，19题6分，20题8分，共14分） 19. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长．请你解答这个问题． 【答案】直径的长为寸 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．连接，由直径与弦垂直，根据垂径定理得到E为的中点，由的长求出的长，设寸，则寸，寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径的长． 【详解】解：如图所示，连接． ∵弦，为的直径， ∴E为的中点， 又∵寸， ∴寸， 设寸，则寸，寸， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴寸， 即直径的长为寸． 20. 小红和小丁玩纸牌游戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上． （1）小红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为4的倍数的概率是_____； （2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，把两人抽取的牌面上的数字相加．若为偶数，则小红获胜；若为奇数，则小丁获胜．请用画树状图或列表法的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 【答案】（1）； （2）这个游戏规则对双方公平， 证明：根据题意，画树状图如下： 结果相加依次为 由此可知，两人抽取的牌面上的数字相加共有12种等可能的结果，其中是偶数的结果为6种，是奇数的结果为6种 则小红获胜的概率为，小丁获胜的概率为 因为，即小红和小丁获胜的概率相等 所以这个游戏规则对双方公平． 【解析】 【分析】（1）数字为4的倍数的牌只有8，利用简单事件的概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，再分别求出小红获胜和小丁获胜的概率，由此即可得出答案． 【详解】（1）小红从4张牌中抽取一张有4种等可能的结果，其中数字为4的倍数的牌只有一种，即牌的数字为8 则所求的概率为 故答案为：； （2）略 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，较难的是题（2），依据题意，正确画出树状图是解题关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，21题12分，22题14分，共26分） 21. 圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． （1）如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，请求出的度数； （2）如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，，求的长． （3）如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，求与的关系式，并求出的最大值 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，二次函数的应用等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． （1）利用圆周角定理可得，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案； （2）首先利用勾股定理求出和、的长，过点A作于H，则，解即可． （3）连接、交于点H，过点O作于G，利用三角函数表示出的长，进而得出，再根据三角形中位线定理可得的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解： 故答案为： 【小问2详解】 解：连接，过点作，交于点．如图： 在中， ，， ， 此时为等腰直角三角形，， 在中， ，， ， ． 【小问3详解】 解：如图，连接， ，， 垂直平分， 为中点， 为的中位线，有，， 设，则，，， 在中，， 在中，， 于是有：，整理得，， ， 当时， 22. 综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______． 【答案】（1）y关于x的关系式为 （2）动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米 （3）①运动员甲不能成功完成此动作；② 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，解题关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质． （1）设二次函数的关系为，代入，，，算出、b、c的值，即可得到函数表达式； （2）把代入（1）中所得的二次函数解析式，即可求出结果； （3）①把二次函数解析式整理为顶点式，得到k与a的关系式，把代入，计算t的值，再与1.6比较即可得到结果； ②求得的顶点为，得，把代入，得到与a的关系式，由，列不等式即可求出t的取值范围． 【小问1详解】 解：由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系， 设二次函数的关系为，代入，，， 得， 解得， y关于x的关系式为； 【小问2详解】 解：把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， 运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米； 【小问3详解】 解：①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下： 由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系为， 整理得， 得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为，即， 把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， ， 运动员甲不能成功完成此动作； ②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为， 得顶点为， 得， 得， 把代入， 得， 由运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，得， 则，即， 解得． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆市第二中学2024－2025学年度第二学期开学综合练习卷 九年级 数学科 （考试时间为90分钟，总分为100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 足球运动员在罚球区射门一次，射中 B. 从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇 C. 将实心铅球投入水中，下沉 D. 雨后见彩虹，幸运 4. 中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为吨，将用科学记数法表示为（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 5. 抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　） A. （﹣2，5） B. （﹣2，﹣5） C. （2，5） D. （2，﹣5） 6. 如图，绕点O逆时针旋转到的位置，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手15次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ） A. x（x﹣1）=15 B. =15 C. x（x+1）=15 D. =15 9. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长是（　　） A. 4 B. 5 C. D. 10. 如图，在四边形中，于点E，且四边形的面积为8，则（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 12. 圆锥的底面半径为，母线长是，则圆锥的侧面积是______（结果保留）． 13. 如果抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下，那么a的取值范围是_____． 14. 某产品出现次品的概率为0.05，任意抽取这种产品600件，那么大约有________件是次品． 15. 如图，是二次函数图像的一部分，其对称轴是，且过点，下列说法：①；②；③若是抛物线上两点，则；④其中正确的______（填写序号） 三、解答题（一）（本题共3小题，16题4分，17题5分、18题6分共15分） 16. 解方程：． 17. 如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图；作∠BAC的平分线交BC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知AD＝BD，求∠B的度数． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位． （1）把△ABC绕着点C逆时针旋转 90°，画出旋转后对应的△A1B1C； （2）求△ABC旋转到△A1B1C时线段AC扫过的面积． 四、解答题（二）（本答题共2小题，19题6分，20题8分，共14分） 19. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长．请你解答这个问题． 20. 小红和小丁玩纸牌游戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上． （1）小红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为4的倍数的概率是_____； （2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，把两人抽取的牌面上的数字相加．若为偶数，则小红获胜；若为奇数，则小丁获胜．请用画树状图或列表法的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 五、解答题（三）（本大题共2小题，21题12分，22题14分，共26分） 21. 圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． （1）如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，请求出的度数； （2）如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，，求的长． （3）如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，求与的关系式，并求出的最大值 22. 综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $