3.8 三元一次方程组 课件 2025-2026学年 湘教版（2024）七年级数学上册

*3.8 三元一次方程组 情境导入 壹 目 录 课堂小结 肆 当堂达标 叁 新知初探 贰 情境导入 壹 情境导入 《前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法．有些有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，我们来看下面的问题： 已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的2倍，百位数字是十位数字的3倍，三位数字之和为12. 对于这个问题，我们可以用二元一次方程组来解决．这个问题中有三个未知数，如果我们设三个未知数，你能列出几个方程？它们组成一个方程组，你能解出来吗？ 壹 新知初探 贰 新知初探 探究一 三元一次方程（组）的概念 问题 还记的二元一次方程（组）的概念吗？ 答 ：含有两个未知数 ，并且含未知数的项的次数都是1，这样程叫作二元一次方程. 像这样，只含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组． 贰 问题 你能仿照二元一次方程（组）的概念说一下三元一次方程（组）的概念吗？ 答：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程。 含有三个未知数，并且含未知数的项的次都是1的方程组叫作三元一次方程组，一般地，三元一次方程组含有三个方程。 追问 三元一次方程组中的每个方程都一定含有三个未知数吗？ 答：不一定，只要三个方程中共有三个未知数就可以. (1)含有三个未知数； (2)所含未知数的项的次数都是1； (3)方程的两边都是整式． 三元一次方程组三个特征： 探究二 三元一次方程组的解 问题 对于上述问题，设个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，能列出这个方程组吗？ 答:可列方程组为 问题 x，y，z能同时满足上述三个方程吗？ 答：能同时满足上述三个方程. 追问 还记的二元一次方程组解的定义吗？ 答：一般地，对于未知数x，y的二元一次方程组，若x,y分别用，代入，能使每个方程的左右两边的值相等，则把（，）叫作这个方程组的一个解，习惯上记作 追问 你能根据二元一次方程组的解定义三元一次方程组的解吗？试一试. 答：对于未知数为x,y,z的三元一次方程组，若x，y，z分别用数，，代入，能使方程左右两边的值相等，则把(，，）叫作这个方程组的一个解， 习惯上也记作 问题 解二元一次方程组的思路是什么？这种思路适合解三元一次方程组吗？ 答：解二元一次方程组的基本思路是：消元，这种思路可用适合解三元一次方程组. 观察下列三元一次方程组： 探究三 三元一次方程组的解法 问题 观看方程组，你认为哪个未知数的系数比较简单？先消系数较简单的未知数. 答：x和y的系数都比较简单.可以先消去x或y来求解. 问题 类比解二元一次方程组的方法解一下三元一次方程组。 解 方程①的两边都乘以2，得2x+2y+4z=6,④ ②＋④，得y+5z=3 ⑤ ①－③，得﹣y＋6z=8 ⑥解由方程⑤⑥组成的二元一次方程组，得y=﹣2，z=1. 把y=﹣2，z=1代入①，得x=3. 因此，是原方程组的解. 解三元一次方程组的一般步骤： 1.用代入法或加减法，把方程组中的一个方程分别与另外两个方程分别结合，消去同一个未知数，得到关于两个未知数的二元一次方程组； 2.解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值； 3.将求得的未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； 4.解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； 5.将求得的三个未知数的值用“{”联立在一起。 探究三 三元一次方程组的解 例1 解三元一次方程组： 解 ③×5－①，得y+4z＝﹣10. ④ ③×3-②，得2y+7z＝﹣7. ⑤ ④×2－⑤，得z=﹣13， 把z用﹣13代入方程④，得 y=42. 把y用42，z用﹣13代入方程③，得 x=﹣31. 因此， 是原方程组的解. 例2 解三元一次方程组： 解 ②×3－①，得x+7z＝﹣12. ④ ②+③，得5x－2z＝﹣23. ⑤ ④×5－⑤，得37z=﹣37， 两边都除以37，得z=﹣1. 把z用﹣1代入方程④，得 x=﹣5. 把x用-5，z用﹣1代入方程②，得 y=﹣4. 因此， 是原方程组的解. 当堂达标 叁 当堂达标 1.三元一次方程组的解为（ ） A． B． C． D． 2．已知且x+y＝3，则z的值为（　 　） A．9 B．﹣3 C．12 D．不确定 D B 叁 -11 ②+③得：3x﹣y＝7④， ③×2得：2x﹣4y﹣2z＝﹣4⑤， ①+⑤得：3x﹣3y＝3， 即：x﹣y＝1⑥， ④﹣⑥得：2x＝6， 解： 5.解方程组： 解得：x＝3， 把x用3代入④得：9﹣y＝7， 解得：y＝2， 把x用3，y用2代入①得：3+2+2z＝7， 解得：z＝1， 因此， 是原方程组的解． 6.某工厂有甲、乙、丙三个车间，已知甲车间人数比丙车间人数少，丙车间人数比乙车间人数多，且又比甲、乙两车间人数和少4人.三个车间共有多少人？ 解：设甲车间有x人，乙车间有y人， 丙车间有z人， 由①可知：z=x④， 由②可知：z＝y， 所以x＝y，即16x＝15y⑤． 将④代入③得：（x+y）－x＝4， 即y﹣x＝6⑥． 解由⑤⑥组成方程组，得： ， 所以z＝x＝×90＝120(人)， 所以x+y+z＝90+96+120＝306(人)． 答：三个车间共有306人． 根据题意得： 课堂小结 肆 课堂小结 1.三元一次方程组满足的条件： ①含有三个未知数； ②含未知数的项的次数是1； ③两边都是整式. 2.解三元一次方程组的基本思路： 三元一次方程组 肆 二元一次方程组 一元一次方程 课后作业 基础题：1.课后练习第1题。 提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第1题 谢 谢 $$