3.1探索勾股定理（教学课件）数学鲁教版五四制2024七年级上册

3.1 探索勾股定理 第三章 勾股定理 鲁教版2024（五四制）·七年级上册 学 习 目 标 1 2 3 1.认识勾股定理，了解关于勾股定理的文化历史背景； 掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理. 能利用勾股定理求边长和面积. 培养在实际生活中发现问题、总结规律的意识和能力. 如图 ，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索， 若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6 m，那 么需要多长的钢索? 新课导入 能在直角三角形中求这条边吗？ 我们知道，直角三角形的三个内角之间有关系， 那三条边之间存在着什么关系吗？ 新知探究 如图在边长为1的正方形网格中，等腰直角三角形的两条直角边为3，你能求出斜边的长吗？ 小妙招 求网格中线段的长度： ①构造正方形， ②求网格中正方形的面积， ③正方形面积等于线段长度的平方 AB2=S正方形=18 A C B 新知探究 将直角三角形的三条边 都放入正方形中，会有 什么发现呢？ A C B S1 S2 S3 AB2=S1= 25 AC2=S2= 9 BC2=S3= 16 ＋ AC2+BC2=AB2 新知探究 下图中直角三角形三边的平方也满足上面所猜想的数量关系吗？ A B C A B C a2=SA= 9 b2=SB= 9 c2=SC= 18 a b c a b c a2+b2=c2 a2=SA= 4 b2=SB= 4 c2=SC= 8 新知探究 刚刚是在网格图中发现直角三角形的三条边存在着AC2+BC2=AB2关系，你能证明这个关系成立吗？试着动手做一做吧。 你能用下面四个全等的直角三角形围成一个正方形吗？ a b c b c b c b c a a a a b c a b c b a c a b c 新知探究 a b c a b c b a c a b c 求大正方形的面积: ①利用正方形面积公式； ②利用4个直角三角形 面积+小正方形面积. 大正方形的面积如何求？ S大正方形 = (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab S大正方形 = 4×ab+c2 = 2ab + c2 ∴ a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2 ∴ a2 + b2 = c2 新知探究 求下图中字母所代表的正方形的面积． SA= 225+400=625 SB= 225-81=144 新知探究 一、勾股定理: 几何语言： 如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90°，AB=c,AC=b，BC=a 则c2=a2+b2 A a b c C B 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 新知探究 勾 股 弦 我国是历史上最早了解勾股定理的国家之一。 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”， 较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 漫话勾股定理(一) 下图是著名的赵爽弦图，是我国汉代数学家赵爽的杰作，他用拼图的方式再一次证明了勾股定理命题. 新知探究 a c b a b c a b b a 你能用赵爽弦图证明勾股定理吗？ S大正方形 = c2 S大正方形 = 4×ab+(b-a)2 = 2ab + a2 + b2 - 2ab = a2 + b2 ∴ 用面积法验证勾股定理，体现了数形结合的数学思想！ 新知探究 根据赵爽弦图，你能将下图中所有三角形和正方形的面积用 a，b，c 的关系式表示出来吗？ 7 8 3 1 2 4 5 6 0 S0= （b-a）2 S1= b2 S2= a2 S3= c2 S4=Sab 你能利用图 3-5 验证勾股定理吗？ S总=S1+S2+S3+S4= b2+a2 +c2+ab S总=S1+S2+S4+S5+S6+S7+S8+S0 = b2+a2 +5×ab+（b-a）2 = 2b2+2a2 +ab ∴ a2 + b2 = c2 新知探究 西方的数学家很早以前也对勾股定理进行了研究，相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．根据这个数量关系，发现了勾股定理，因此国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。 漫话勾股定理(二) 新知探究 事实上，勾股定理的证明方法十分丰富，达数百种之多．其中一种方法尤为独特，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，被誉为“无字的证明”. 我们欣赏几个！ 新知探究 勾股定理只在直角三角形中成立吗？锐角三角形和钝角三角形也满足a2 + b2 = c2吗？ a2+b2＜c2 a2+b2＞c2 勾股定理只在直角三角形中成立! 典例1.勾股定理 判断能否用勾股定理: ①要确定是在直角三 角形中； ②要确定好直角和斜 边 典例分析 D 1．下列说法正确的是(       ) A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°， 则a2＋b2＝c2 D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°， 则a2＋b2＝c2 c2＋b2＝a2 变式训练 1.在中， ， ，则下列式子成立的是( ) A. B. C. D. A ①由三角形内角和求出∠C； ②找出两条直角边AC、BC，斜边AB； ③利用勾股定理写出等式. 解 析 典例分析 典例2利用勾股定理求边长 2.求出下列直角三角形中未知边的长度. 6 8 x 解：（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得AB2=AC2+BC2 x2 =100 x2=62+82 ∴ x=10 ∵x>0 52+x2=132 x2=144 ∴ x=12 解：（2）在Rt△ABC中,由勾股定理:AB2+AC2=BC2 ∵x>0 A C B 5 y 13 A C B 变式训练 2. 在Rt△ABC中，AB2＝6，AC2＝8，求BC2. 满分总结 当直角三角形中没有明确表示斜边是哪一条边时，一定要将较长的边作直角边和斜边两种情况进行讨论. 解：当AC为斜边时，如图所示， BC2=AC2-AB2 = 8 - 6 = 2 A C B 当BC为斜边时，如图， BC2=AB2+AC2= 8 +6 = 14 A C B 拓展延伸 典例2利用勾股定理求边长 3.如图,已知在△ABC中,∠B=60°，AC=70, AB=30, 求BC的长. 解 题 思 路 ①题中没有说明三角形是直角三角形，所以不能直接 利用勾股定理进行解答. ②构造直角三角形，过A点作AD⊥BC，将AC和AB分别放 入到直角三角形中。 ③在△ABD中利用30°求出BD，再求公共边AD2，在△ADC中求出CD. A C B D 解：过点A作AD⊥BC,垂足为D. 在Rt△ABD中，∵∠B=60°，∴∠BAD=30° ∴BD = 在Rt△ABD中,由勾股定理可得： AD2=AB2-BD2=302-152=675, 在Rt△ACD中,由勾股定理可得： CD2=AC2-AD2=702-675=4225, ∵CD>0,∴CD=65 ∴BC=BD+DC=15+65=80. 解题技巧 作辅助线构造直角三角形要注意： 1.不破坏特殊角度； 2.不要破坏已知条件； 3.利用公共边 典例分析 典例3 验证勾股定理及利用勾股定理求面积 4.美国总统伽菲尔德利用两个直角三角形和一个等腰直角三角形巧妙地证明了勾股定理. 如图所示，请你证明a2 + b2 = c2. 证明：∵S梯形 =S△DAE+S△CEB+S△DEC = ab＋ab＋c2＝ab＋c2， 又∵S梯形= (上底＋下底)×高 = (a＋b)(a＋b)＝a2＋b2＋ab， ∴a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝c2. a a b b c c A D C B E 勾股定理的验证思路：利用图形的面积不同求法列出等式. 变式训练 3. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大的正 方形的面积，尝试给出两种以上的方案.. 解：S正方形A=S正方形B + S正方形C ; S正方形A=S正方形D + S正方形E + S正方形F+S正方形G B A C D E F G 典例分析 典例4 利用勾股定理解决实际问题 4.我方侦察员小王在距离东西向公路 400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车 在公路上疾驶．他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距 400 m. 10 s 后，汽车与他相距 500 m. 你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？ 直角三角形中求边长 实际问题中求速度 分析：根据题意，可以画出右图，点 A 表示小王所在位置，点 C，B 分别表示两个时刻敌方汽车的 位置. 由于小王距离公路 400 m，因此 ∠C 是直角，那么就可以由勾股定理来解决这个问题了． 解：由题意可知， 在Rt△ABC中，∠C=90° 由在勾股定理可得： AB2 = BC2 + AC2， 即 5002 = BC2 + 4002，∴BC = 300. 即敌方汽车 10 s 行驶了 300 m， ∴它 1 h 行驶的距离为 300×6×60 = 108 000（m）， 即它行驶的速度为 108 km / h. 解题技巧 解决实际问题： 1.建立数学模型，将实际问题转化成数学问题； 2.用勾股定理求边长 课堂练习 1.在△ABC,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且∠C=90°. (1) 已知a∶b=3∶4,c=15,求a; (2)已知a=6,∠A=30°,求b2. 解： (1)设a=3x，则b=4x 由勾股定理可得： c2=a2+b2=9x2+16x2=25x2=225, ∵x>0,∴ x=3 ∴ a=9 (2)在Rt△ABD中，∵∠A=30°，∴c = 12 ∴b2=c2-a2=122-62=108 方 程 思 想 特 殊 角 课堂练习 解：过C点作CD⊥AB，则CD为AB边上的高. 在Rt△ABC中， 由勾股定理可得： AB 2=AC 2+BC 2=64+36=100， ∴ AB=10. ∵S△ABC=×CD=AC×BC， ∴ CD= . 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.求AB边上的高. A C B D 利用等面积法求高是常考题型哦！ 课堂练习 3.如图所示的阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个 大正方形，其中一直角三角形的两边长如图所示，则阴影部分的面积 是__________. 5 总结：直角三角形两条直角边构成的正方形面积和等 于斜边构成的正方形面积. 课堂练习 4.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一 条连接 M，O，Q 三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成 本是 5 000 万元/千米，该沿江高速公路的造价预计是多少？ 解：在Rt△MNO中，由勾股定理可得： MO2=MN2+NO2=900+1600=2500， ∴ MO=50(千米). 在Rt△OPQ中，由勾股定理可得： PQ2=OP2+PQ2=2500+14400=16900， ∴ PQ=130(千米) ∴该沿江高速公路的造价为（50+130）×5000=900000（万元） 一、勾股定理 课堂小结 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a、b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2 二、利用勾股定理计算 ①在直角三角形中，找到直角边和斜边；没有明确时，要分类讨论； ②没有直角三角形时，构造直角三角形，注意不要破坏特殊角 三、勾股定理的验证 ①利用图形面积不同求法列出等式； ②体现了数形结合的数学思想 $$