（七上预习篇）第3章 1 探索勾股定理-【假期好时光】2025年新教材数学六升七暑假作业（鲁教版五四学制2024）

假期好时光 L·数学·七年级·上 第三章勾股定理 厂衔接思维导图] 内名两直角边的平方和=斜边的平方 公式a2+b2-e2(c是斜边) 概念 CaB 正整数a,b,c 勾股数定义 a24h2-c2 a,b,e为勾股数 例如：3,4,5；6,8,10：5,12,13 「七年领上册第本三角形】 赵弦图 -4xtab+(a-by-c2 三角关系直值角三角形三边关系 勾股定理 证明 毕达拉斯拼性 (a+b)-4xjabte2 余 -a2+h2-e2 一三角形是直角三角形 逆定理 ①定确定最长边 过程 ②算最长边的平方、 另外两边的平方和 3此较最长边的平方， 另外两边的平方和 相等是直角三角形 条件一在直角三角形中 应用 一已知两边求第三边 类型 表示无理数 1探索勾股定理 学习目标☐ 1.探索并掌握勾股定理的内容。 2.能运用勾股定理由已知直角三角形的两边长求第三边的长（仅限于勾股数）。 3.在探索勾股定理时，通过测量直角三角形三边长度并进行数据分析，发现三边平方之间的关 系，培养学生对数据的分析和处理能力，从数据中归纳总结出数学规律。 4.历经探索勾股定理及验证勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。 匚知识点讲解☐ 知识点一勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于 如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 【典型例题1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,CD⊥AB,则CD等于() A.4.8 B.14 C.10 D.2.4 70 第三章勾股定理 预习篇 解析：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8, 所以AB2=AC2+BC2=62+82=100。所以AB=10。 D 根据三角形面积，知AC·BC=4B·GCD,即7×6×8=方×10×CD, 解得CD=4.8。 答案：A 【跟踪练习1】 1.直角三角形的一直角边长是24，斜边长是25，则另一直角边长是 ( A.7 B.8 C.9 D.10 2.已知直角三角形的两直角边长分别为6cm和8cm,则斜边长为 _o 知识点二勾股定理的验证 1.验证方法： 等，其中拼图验证是最常见的方法。 2.拼图法验证勾股定理的一般步骤：构造图形→写出同一图形面积的两种表示形式→列出等式 →恒等变形→推导出勾股定理。 【典型例题2】如图1是两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,图2是 以c为直角边长的等腰直角三角形。你可以将它们拼成一个能验证勾股定理的图形吗？并 用这个图形完成验证。 小斗提示：可以将三个三角形拼成一个新图形，这个图形除了用三个三角形的面积和来表 示图形总面积以外，还可以直接用a,b,c表示总面积，从而得到一个等式以验证勾股定理。 (注意拼凑图形时，不要出现重叠或者空隙。) 图1 图2 图3 解：可以将图1，图2中的三个三角形拼成如图3所示的梯形。 因为S梯形ABGD=S△AD+S△Rc+S△BCD, 所以(a+bj(a+)=2b+2b+,即(a+by2=2ab+c。所以a2+8=d。 【跟踪练习2】 右图中的直角边长分别为a,b的四个三角形形状、大小完全相同，斜边长为c,图中的三个正方 形的边长分别为a,b,c,请尝试用该图证明勾股定理。 71 假期好时光 L·数学·七年级·上 知识点三勾股定理的应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算问题、说明问题以及实际应用的问题。 【典型例题3】一条河的宽度处处相等，一条小鱼想从河的南岸游到北岸，由于水流影响，小鱼到 北岸的地方离目标地点300米，它在水中实际游了500米，那么河的宽度为 () A.300米 B.330米 C.400米 D.440米 小斗提示：根据实际问题，构造出直角三角形，再根据题目中的数据找到已知边长，从而求 出未知边长。 解析：如图，小鱼的实际路线为AB=500米，在直角三角形ABC中，由勾股定理，得AB2= BC2+AC,也就是5002=3002+AC2。所以AC=400,即河的宽度为400米。 答案：C 【跟踪练习3】 如图，两艘军舰在海上进行为时2h的军事演习，一军舰以16 n mile/h的速度从港口A出发，向 北偏东60°方向航行到达点B,另一军舰以12 n mile/h的速度同时从港口A出发，向南偏东30° 方向航行到达点C,则此时两艘军舰相距多远？ 东 南 一 自主检测☐ 一、选择题 1.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对应边分别是a,b,c,下列条件中，不能说明△ABC是直角三角 形的是 () A.b2=a2-c3 B.∠C=∠A+∠B C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 D.a:b:c=5:12:13 72 第三章勾股定理 预习篇 2.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若BE=1,CE=3,则正方形ABCD的面积是() A.4 B.8 C.10 D.12 D B 16m E 第2题图 第3题图 第4题图 3.新考法〔数学文化]如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解 决的数学问题是 () A.三角形内角和定理 B.勾股定理 C.三角形全等判定 D.等腰三角形判定 4.在城市规划建设中，有一片区域要打造一个独特的景观带。设计师计划在这个景观带里构建 三个相互关联的半圆形休闲区域，这三个半圆形区域的直径恰好构成一个直角三角形的三条 边。这样的设计既美观又能合理利用空间，还能让游客在不同的半圆区域中体验到不同的景 观视角。如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为9π，16π和S,则S为 () A.7π B.8T C.12π D.25T 二、填空题 5.如图，一根筷子长17cm,斜放在半径为2.5cm的圆形水杯中，露出水杯外面的部分AD的长 为4cm,则水杯的高AC= cmo D 4 第5题图 第6题图 6.如图，在Rt△ABC中，AC=6,BC=8,则其内部五个小直角三角形的周长之和为 主题情境古堡中的图案请完成第7~8题 7.在一个古老的城堡建筑设计图里，有一个独特的四边形区域ABCD,其中∠ADC和∠ABC均 为90°。这个区域有着特殊的用途，建筑师为了让城堡更具对称性和美感，以四边形ABCD的 四条边为边长，向外建造了四个正方形建筑装饰区域，将它们的面积分别标记为S,S2,S, S4。现在城堡修复团队拿到了这份设计图，已知S1=8,S2=11,S,=15,他们需要计算出S。 的大小，以便进行后续的修复和重建工作。你计算出的S4的值为 B 第7题图 第8题图 8.进入古堡中，某间屋子的地面铺满了花纹如图所示的地砖，这是用面积为6的四个全等的直 角三角形（△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)拼成的“赵爽弦图”，如果AB=5,那么正方形EFGH 的边长为 73 假期好时光 小·数学·七年级·上 三、解答题 9.为了美化校园环境，学校打算在一块空地上建造一个直角三角形形状的花园。施工人员在确 定直角三角形花园的边长时，先确定了两条直角边的位置。已知一条直角边沿着校园的围墙 建造，长度为12米；另一条直角边垂直于围墙，长度为5米。现在需要在这个直角三角形花 园的斜边位置安装一排栅栏，每米栅栏的成本是20元，那么购买安装斜边栅栏所需的费用是 多少元？ 10.新考法〔拓展探究〕综合与实践 探索：将边长分别为a,b(a>b)的正方形纸片叠合在一起，你能表示出未重叠（阴影）部分的 面积吗？ (1)阅读并完成下面填空： 方法①：如图1，用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积 为 ； 方法②：如图2，将阴影分割成2个梯形，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表 示为 ,即阴影部分面积为 由此我们可以得到平方差公式 总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公 式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”； (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明： (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较 长的直角边长为a,较短的直角边长为b,斜边长为c,试说明：a2+b2=c2。 图1 图2 图3 图4 74所以OE=OF=EF。所以BE=EF=FC。 第三章勾股定理 1探索勾股定理 知识点讲解 知识点一斜边的平方a2+b2=c2 【跟踪练习1】 1.A 2.10cm 知识点二 1.测量数格子拼图 【跟踪练习2】 解：设此图形的面积为S。 因为一方面S=a2+心+2×(2b)=a2+8+ab, 另-方面s=2+2x(2b)=d+ab, 所以a2+b2+ab=c2+ab,即a2+b2=c2。 【跟踪练习3】 解：由题意，得∠BAC=90°， AB=16×2=32 n mile,AC=12×2=24 n mile。 在Rt△ABC中， BC2=AB2+AC2=322+242=1600=402, 所以BC=40 n mile 所以两艘军舰相距40 n mile. 自主检测 1.C2.B3.B 4.D【解析】设直角三角形的三边分别为a,b,c。 根据勾股定理，可知c2=a2+b2。 根据题意，得2×(2=9m,2×2) =16T, 所以a2=72,b2=128。所以c2=a2+b2=200。 所以5=×m(2)=gm2=m×200 =25m。 故选D。 18 5.126.24 7.18【解析】如图，连接AC。 因为S1=8,S2=11,S=15, 所以AD2=8,AB2=11,BC2=15。 在Rt△ABC与Rt△ADC中， 由勾股定理，得AC2=AB2+BC2=26, CD2=AC2-AD2=18。 所以S4=18。 8.1【解析】因为S玉方形Ba=SL方移BCD-4S△A燃= 52-4×6=1, 所以正方形EFGH的边长为1。 9.解：已知直角三角形花园的两条直角边长度分别 为12米和5米，设斜边长度为c米。 根据勾股定理，可得 2=122+52=144+25=169, 所以c=13。 20×13=260(元)。 答：购买安装斜边栅栏所需的费用是260元。 10.解：(1)a2-62（a+6)(a-b) 2 (a+b)(a-b)a2-b2=(a+b)(a-b) (2)阴影部分面积为a(a-b)+b(a-b) =(a+b)(a-b), 所以a2-b2=(a+b)(a-b)。 1 (3)由题意，得(a-b)2+4×2×ab=c2, 所以a2-2ab+b2+2ab=c2。 所以a2+b2=c2。 2一定是直角三角形吗 知识点讲解 知识点一a2+b2= 【跟踪练习1】 1.D 2.解：△ABC中的最长边为AC=25,