精品解析：广东省茂名市崇文学校2024-2025学年上学期九年级期末考试数学试题

广东省茂名市崇文学校2024-2025学年上学期九年级期末考试数学试题 满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 1. 如图，该几何体的主视图是(　 　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据主视图是从正面看到的图形，因此可知从正面看到一个长方形，但是还得包含看不到的一天线（虚线表示），因此第四个答案正确． 故选D 考点：三视图 2. 下列各式是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义依次判断即可．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】A、，整理后得，不是一元二次方程，故A选项不符合题意； B、，是一元一次方程，故B选项不符合题意； C、，整理后得，它是一元二次方程，故C选项符合题意； D、，是一元三次方程，故D选项不符合题意； 故选：C． 3. 口袋中放有8个黄球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出一个球，是黑球的概率是，则黑球个数为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率公式，设黑球的个数为x，根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设黑球的个数为x， 由题意得， 解得， 故选D． 4. 下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 内角和为360° B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质有四边相等，对角相等，对角线平分、垂直且平分每组对角；矩形的性质有对边相等，四角相等，对角线平分且相等来进行判定求解． 【详解】解：选项A，菱形和矩形都是四边形，内角和都是360°，不符合题意； 选项B，菱形和矩形都是特殊的平行四边形，对角线互相平分，不符合题意； 选项C，矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，不符合题意； 选项D，矩形的对角线不一定互相垂直，而菱形的对角线互相垂直，符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查菱形与矩形的性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解答关键． 5. 如图，为反比例函数图象上一点，垂直轴于点，若，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数值的意义，根据值的意义，得到，求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：； ∴； 故选A． 6. 如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ） A. 7.8米 B. 3.2米 C. 2.30米 D. 1.5米 【答案】B 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，据此进行求解即可. 【详解】设树高为x米，由题意得 ， 解得：x=3.2， 故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 7. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4， 则sinA的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，并根据正弦公式：sinA= 求解即可． 【详解】∵∠C=90°，BC=3，AC=4 ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要是正弦函数与勾股定理的简单应用，正确理解正弦求值公式即可． 8. 二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ） A. 向下、直线x=、（，5） B. 向上、直线x=、（，5） C. 向上、直线x=4、（4，） D. 向上、直线x=4、（4，5） 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵a＞0， ∴抛物线开口向上；对称轴为x=4，顶点坐标为（4，5）． 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 9. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由反比例函数的性质得，解得，即可做出判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， 的取值可以是3， 故选：D 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数经过的象限是解题的关键． 10. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点N的运动情况，分点N在AD，DC，CB上三种情况讨论，分别写出每种情况x和y之间的函数关系式，即可确定图象． 【详解】解：当点N在AD上时，即0≤x＜2 ∵AM＝x，AN＝2x， ∴， 此时二次项系数大于0， ∴该部分函数图象开口向上， 当点N在DC上时，即2≤x＜4， 此时底边AM＝x，高AD＝4， ∴y＝＝2x， ∴该部分图象为直线段， 当点N在CB上时，即4≤x＜6时， 此时底边AM＝x，高BN＝12﹣2x， ∴y＝， ∵﹣1＜0， ∴该部分函数图象开口向下， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数图像综合，准确分析判断是解题的关键． 二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分） 11. 已知：，则___________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】由，设，代入计算即可求解． 【详解】解：由可知，设， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，属于基础题，计算过程中细心即可． 12. 关于的方程的一个根是2，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，即可求出m的值． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是2， ∴， 解得：． 故答案为：2 13. 已知函数是关于的反比例函数，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，根据反比例函数的定义可得，然后求解即可，解题的关键是熟记反比例函数的定义：形如的函数叫做反比例函数． 【详解】∵函数是关于的反比例函数， ∴，解得：， 故答案为：． 14. 制造一种商品，原来每件成本为100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分数是_____． 【答案】10% 【解析】 【详解】设平均每次降低成本的百分数是x， 第一次降价后的价格为：100（1-x），第二次降价后的价格是：100（1-x）（1-x）， ∴100（1-x）2=81， 解得x=0.1或x=1.9， ∵0＜x＜1， ∴x=0.1=10%， 故答案为10%. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数（）上，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】过点作轴，根据，设，则，勾股定理求出，根据点落在反比例函数上，求出的值，再根据菱形的性质，求出点坐标，进而求出的值即可． 【详解】解：过点作轴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∵点落在反比例函数上， ∴， ∴（负值舍去）； ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴，即：， ∴； 故答案为：8． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是求出点坐标． 三、解答题（一）（本题共计3小题，第16题10分，第17、18题7分，共24分） 16. 按要求完成下列各小题． （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先计算特殊角的三角函数值、零指数幂，再计算乘方，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕点A顺时针旋转后得到的； （2）以原点O为位似中心，在网格中画出的位似，使与的位似比为1∶2． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换、旋转变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，旋转变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，求这栋高楼的高． 【答案】为60米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．利用锐角三角函数的定义，求出的长，进一步求出的长即可． 【详解】解：在中，． ， ， 在中，． ， ， ． 答：这栋高楼的高为60米． 四、解答题（二）（本题共计3小题，每小题9分，共27分） 19. 某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校随机抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 等级 劳动积分 人数 A 4 B m C 20 D 8 E 3 请根据以上图表信息，解答下列问题： （1）统计表中_________，C等级对应扇形的圆心角的度数为_________； （2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人； （3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率． 【答案】（1）15， （2）该学校“劳动之星”大约有760人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据统计图可得抽取学生的总人数为50人，然后可得m的值，进而问题可求解； （2）根据题意易知大于等于80的学生所占比，然后问题可求解； （3）根据列表法可进行求解概率． 【小问1详解】 解：由统计图可知：D等级的人数有8人，所占比为， ∴抽取学生的总人数为（人）， ∴，C等级对应扇形的圆心角的度数为； 故答案为15，； 【小问2详解】 解：由题意得： （人）， 答：该学校“劳动之星”大约有760人 【小问3详解】 解：由题意可列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 / 男1男2 男1女1 男1女2 男2 男1男2 / 男2女1 男2女2 女1 男1女1 男2女1 / 女1女2 女2 男1女2 男2女2 女1女2 / 从A等级两名男同学和两名女同学中随机选取2人进行经验分享，共有12种情况，恰好抽取一名男同学和一名女同学共有8种情况，所以抽取一名男同学和一名女同学的概率为． 【点睛】本题主要考查扇形统计图与统计表、概率，熟练掌握扇形统计图及利用列表法求解概率是解题的关键． 20. 如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，； （1）求证：四边形为菱形． （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质． （1）由，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）连接，先根据对角线互相垂直的四边形是菱形证四边形为菱形，再利用菱形的性质，结合勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示， 由（1）得：四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴． 21. 已知两点A（，2），B（n，）是一次函数和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）， （2）6 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求反比例函数解析式，再将点B（n，）代入反比例函数解析式，求出B点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先求出一次函数图象与x轴的交点坐标，再利用三角形的面积进行求解即可． 【小问1详解】 将点A（，2）代入反比例函数，得， 解得， 反比例函数解析式为； 把点B（n，）代入反比例函数，得， 解得，即， 把A、B坐标代入一次函数，得， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 当时，， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键． 五、解答题（三）（本题共计2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，速度是，动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是． （1）几秒后与相似？ （2）设的面积为，的面积为；在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由． 【答案】（1）秒或秒后与相似 （2）存在，10秒或15秒 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正确解出一元二次方程是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）分和两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可； （2）用t分别表示出，根据题意列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设y秒后与相似，则， 所以； 当时，， 即， 解得， ， 当时，， 即， 解得， ， 答：秒或秒后与相似； 【小问2详解】 解：由题意，，则CQ=； 的面积为， 的面积为， 由题意得，， 解得，， 答：运动10秒或15秒时，． 23. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①， ② （2）三线段间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）或． 【解析】 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ②在中，， 而，， ∴； （2）略 （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②当点E在延长线上时，如图； 把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 与（2）证法相同，同样有， 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省茂名市崇文学校2024-2025学年上学期九年级期末考试数学试题 满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 1. 如图，该几何体的主视图是(　 　) A. B. C. D. 2. 下列各式是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 口袋中放有8个黄球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出一个球，是黑球的概率是，则黑球个数为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 2 4. 下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 内角和为360° B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 5. 如图，为反比例函数图象上一点，垂直轴于点，若，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 不能确定 6. 如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ） A. 7.8米 B. 3.2米 C. 2.30米 D. 1.5米 7. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4， 则sinA的值为（ ）． A. B. C. D. 8. 二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ） A. 向下、直线x=、（，5） B. 向上、直线x=、（，5） C. 向上、直线x=4、（4，） D. 向上、直线x=4、（4，5） 9. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分） 11. 已知：，则___________． 12. 关于的方程的一个根是2，则___________． 13. 已知函数是关于的反比例函数，则的值是______． 14. 制造一种商品，原来每件成本为100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分数是_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数（）上，则的值为______． 三、解答题（一）（本题共计3小题，第16题10分，第17、18题7分，共24分） 16. 按要求完成下列各小题． （1）解方程：； （2）计算：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕点A顺时针旋转后得到的； （2）以原点O为位似中心，在网格中画出的位似，使与的位似比为1∶2． 18. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，求这栋高楼的高． 四、解答题（二）（本题共计3小题，每小题9分，共27分） 19. 某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校随机抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 等级 劳动积分 人数 A 4 B m C 20 D 8 E 3 请根据以上图表信息，解答下列问题： （1）统计表中_________，C等级对应扇形的圆心角的度数为_________； （2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人； （3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率． 20. 如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，； （1）求证：四边形为菱形． （2）连接，若，求的长． 21. 已知两点A（，2），B（n，）是一次函数和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求△AOB的面积． 五、解答题（三）（本题共计2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，速度是，动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是． （1）几秒后与相似？ （2）设的面积为，的面积为；在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由． 23. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $