第八章 数列 综合测试&真题演练-【5星学霸·高考白题】2026年高考数学一轮复习

第八章 ☑章末自测阶段强化，巩固提升|限时：60min 一、单选题 1.(2025·四川巴中一模)已知S,为等差数列 {an}的前n项和，若S4=12,S。=40,则S1o= A.56 B.60 C.64 D.68 2.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)正项等比数列 an}中，Sn是其前n项和，若a2=a3+2a4,S2= 32,则S6= ( A.63 B.56 C.52 D.42 3.(2025·河南信阳模拟)设Sn为数列{a.的 前n项和，若Sn+3=2an+n,则So=() A.520 B.521 C.1033D.1034 4.(2025·江西南昌摸拟)从1,2，…，10中取 三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成 的数列是等差数列的概率为 () g.0 1 c 5.(2024·陕西咸阳模拟)数学家也有许多美丽 的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 以下猜想：Fn=22°+1(n=0,1,2,…)是质数 直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉 算出F,=641×6700417,不是质数.现设a。= log2(F。-1),数列{an的前n项和为S,则使 不等式2,2 2*12024 'S S2 S2S3 成立的正 SnS.14049 整数n的最大值为 ( A.11 B.10 C.9 D.8 第八章数列学丽高春 综合测试 6.(2025·河南焦作模拟)设无穷数列{a,}的前 n项和为Sn,且对任意的正整数n,a+1= a 则∑ ∑a2-1的值可能为 A.-6 B.0 C.6 D.12 二、多选题 7.(2025·山东济宁一糢)已知等比数列{a}的 前n项和为Sn,且a1=Sn+2,{bn}为等差数 列，且b2=a1,bg=a,记集合A={x∈N1bn≤ x≤a}中元素的个数为cn,数列{cn}的前 n项和为T,则下列结论正确的是( A.an=2” B.b=n C.c=2"-n D.T=2ln(n-）-2 2 8.(2025·河南信阳一模)对于给定数列{cn}, 如果存在常数p,9使得c*1=pc.+q对于任意 neN都成立，我们称数列{cn}是“H数列” 下列说法正确的有 () A.若an=2n+1,n∈N',则数列{an}是“H 数列” B.若b。=3·2-1,neN°，则数列{bn是“H 数列” C.若数列{an}是“H数列”，则数列{an+a1} 不是“H数列” D.若数列{a.}满足a1=2,an+a+1=3t·2° (neN),t为常数，则数列{an}前2024项 的和为2t(401-1) 三、填空题 9.(2025·湖北武汉期末)记b。为数列{an}的 前n项积，已知a,=3,+2=,则数列6， a b 的通项公式为 093 学霸高春白题数学 10.(2025·江苏宿迁期末)令f(x)=x2,对抛物 线y=f(x)持续实施下面“牛顿切线法”的 步骤： 在点(1,1)处作抛物线的切线交x轴于(x1, 0); 在点(x1f(x)处作抛物线的切线，交x轴 于(x2,0); 在点(x2f(x2)处作抛物线的切线，交x轴 于(x3,0); 4… 得到一个数列x},则x1的值为 数列{，·lgx1}的前n项和Sn= 四、解答题 11.(2025·湖南邵阳二模)已知等差数列{an} 的前n项和为S。,a2a,=45,S,=15.数列{b.} 满足2b。-b1-15=0,b1=16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列{b.-15}是等比数列： (3)求数列 an+2 的前n项 aati(bt1-15) 和T 094 12.(2025·陕西宝鸡二模)数列{an}的前n项 和为S.,a1=1,当n≥2时S=a.(Sn-1). (1)求证：数列{号}为等差数列： (2)记[x]表示不超过x的最大整数，设b.= [gs,]+[g小，求数列6.前 2025项和T 高考新趋势 新定义P数列(2025·江苏南通海安高级中学 期中)如果数列a1,a2,a,,a(m≥4)是首项 为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续 三项的和都能被3整除，那么称数列a1,a2,a3, …,am是Pn数列. (1)写出所有满足a4=7的P,数列： (2)证明：存在P,数列是等比数列，且有无 穷个； (3)对任意给定的a,(a≥t),都存在a2,a3,a4, 使得数列a1,a2,a3,a4,a是P,数列，求整数 t的最小值 第八章 ☑真题集训探究考向，剖析考点限时：50min 1.(2025·全国二卷)记S.为等差数列{a.}的 前n项和，S3=6,S,=-5,则S6= () A.-20 B.-15 C.-10D.-5 2.(2023·天津)已知{an}为等比数列，S。为数 列{a.}的前n项和，an+1=2Sn+2,则a4的值为 () A.3 B.18 C.54 D.152 3.(2022·全国乙理)嫦娥二号卫星在完成探月 任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗 环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号 绕日周期与地球绕日周期的比值，需用到数 列6，：6=1+，62=1+1 1 1,6-1+ a1+ 1 6,依此类推，其中∈《 0* 1 1,2,…),则 ( A.b<bs B.b3<bs C.bo<62 D.ba<b7 4.(2022·新高考全国Ⅱ)图①是中国古代建筑 中的举架结构，AA',BB',CC,DD是桁，相邻 桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图② 是某古代建筑屋顶截面的示意图其中DD, CC1,BB1,AA1是举，OD1,DC1,CB1,BA1是相 等的步，相邻桁的举步之比分别为OD DD =0.5, 1BB1=k2,R4=k3-已知k,k2,k3成公 CnC =kCB. 差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为 0.725,则k3= 第八章数列学丽高春 真题演练 ② A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 5.(多选)(2025·全国二卷)记S,为等比数列 {an}的前n项和，g为{an}的公比，9>0. 若S3=7,a3=1,则 () 1 A.q=2 1 B.asg C.S3=8 D.a+S=8 6.(2024·新课标全国Ⅱ)记S,为等差数列 {an}的前n项和，若a+a4=7,3a2+a,=5, 则S1o= 7.(2025·全国一卷)若一个正项等比数列的前 4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的 公比为 8.(2022·北京)已知数列{an}的各项均为正 数，其前n项和S。满足a.·Sn=9(n=1,2, …)给出下列四个结论： ①{a}的第2项小于3； ②{a为等比数列； ③{an为递减数列； ④1a.中存在小于0的项 其中所有正确结论的序号是 095 学霸高春白题数学 9.(2025·全国一卷)已知数列{an}中，a1=3, 1 nn+1'n(n+1) (1)证明：数列1na,}为等差数列； (2)给定正整数m,设函数f(x)=a1x+a2x2+ …+amx",求f'(-2) 10.(2023·新课标全国I)设等差数列{a.}的 公差为d,且b1.令6，=+”，记S,T分别 a 为数列{an},{bn}的前n项和. (1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的 通项公式； (2)若{b}为等差数列，且S-T9=99,求d. 096 11.(2024·新课标全国I)设m为正整数，数 列a1,a2,…,a4m+2是公差不为0的等差数 列，若从中删去两项a:和a,(i<)后剩余的 4m项可被平均分为m组，且每组的4个数 都能构成等差数列，则称数列a1,a2, …,a4m2是(i,j)-可分数列. (1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6，使数 列a1,a2,…,a6是(i》-可分数列； (2)当m≥3时，证明：数列a1,a2,…,am2 是(2,13)-可分数列： (3)从1,2，…，4m+2中一次任取两个数i和 ji),记数列a1,a2,…,a4m*2是(i,j)- 可分数列的概率为P,证明：P>82s(位京实京)s片（传 a a102 ae-10.20 第八章综合测试 章末自测 1.B解析：设等差数列1a,的首项为a1,公差为d,由S。为等差数列 2 a。的前n项和，S4=12,Ss=40,. 解得 2 3 a1=2'则S0=10xa1+ 2d=10x3,10x 10× 22 ×1=60.故选B. (d=1, 2.D解析：正项等比数列{a.}中，S。是其前n项和，若a2=a3+2a4, 则2对+1=0.所以g=宁或1=-1，因为0，>0，所以g>0,所以g= 又因为g宁名=2，所以a=终测5 13 2 学x) =2x =42故选D. 1 ✉(）2g 1 3.C解析：数列1anJ中，5n+3=2an+n,当n≥2时，S+3=20-1+n- 1,两式相减得aa=2a。-20e-1+1,即an=2a-1-1,则aa-1=2(am-1 1),而S1+3=2a1+1,解得a1=2,因此数列{a。-11是以a1-1=1为 首项，2为公比的等比数列，则4.-1=1×21=2-1，即a,=21+1, 于是S,=2°+n-1,所以51。=20+10-1=1033.故选C 4.D解析：设取出的3个不同的数分别为，b,c,不同的取法共有 C。=120种，若这3个数构成等差数列，则有a+c=26.故a,c同为奇 数或同为偶数，且a与©确定后，b随之而定.从而所求概率为 婴。接n 5.B解桥：依题意，4，=1og(R.-1)=1g2”=2,3:21-2 1-2 .0D(六) 2+1 2m*1 223 21.1(1111 的…837(22222 面neN,解得n≤1O,所以满足条件的正整数n的最大值为I0.故选B 易错提醒 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了丝项，保留了哪 些项，切不可稀写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的转点， 实质上造成正负相清是此法的根源与目的， 6.A解析：当n=1时，a2= =1.当n≥2时，5=a,1,所以 S-t=ar-1a。,两式相减得an=a,(a1-a,1),因为an≠0，所以 a1a-1=1.所以数列{a.的奇数项是以a1为首项，1为公差的等 差数列，且a1≠0.所以1=6a+6×1=6a,+15同理，数列 1a,的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列，所以立=5× 1货1=15所以含-含1=15-6-15=-6a若 I -601=-6-a1=1,则数列{an1各项均不为0，数列{an是无穷数列， 故A正确；若-6@1=0→81=0，这与41≠0矛盾，故B错误；若-6@1= 6一41=-1，根据奇数项成公差为1的等差数列，则a3=0,则a4无法 一学霸高考·白 求出，这与数列10.|是无穷数列矛盾，故C错误；若-6a1=12一 41=-2,根据奇数项成公差为1的等差数列，则ay=0,则46无法求 出，这与数列4。是无穷数列矛盾，故D错误故选A. 7.ABD解析：对于A,设等比数列1an}的公比为q,由a1=S。+2, 得an=S1+2(n≥2)，两式相减得a1-an=S.-Sn1=a,即 41=24,所以g=2,又a2=S1+2=a1+2,a2=2a1,解得a1=2,所 以a。=2×2-1=2,正确：对于B,设等差数列{b1的公差为d,由 b2=a1=2,b6==8,得6d=bg-b2=6,解得d=1,所以b,=b2+ (n-2)d=n,正确；对于C,由A={xeN'Ib。≤x≤a.|,得A={xe N°In≤x≤2”，则集合A中元素的个数为2”-n+1,即c。=2”-n+ 1,错误：对于D,7.=(2+2+…+2)-(1+24…+n+n=21-2 1-2 n(n+1)n=21n(》-2,正确故选ABD, 2 2 8.AB解析：对于A,因为an=2n+1,有a1=2(n+1)+1,则a1 a+2,neN,故数列a,}是“H数列”，放A正确：对于B,因为6，= 3·21,有b1=3·2",则b1=26.,neN”,放数列b}是“H数 列”，故B正确：对于C,若数列1a。是“H数列”，则存在常数p,9使 得aa1=pnn+g对于任意neN都成立，显然a2=m1+g对于任 意neN"都成立，因此aa2+a1=p(ae1+a,)+2g对于任意neN” 都成立，故数列1a,+a1}也是“H数列”，对应的常数分别为P,2q, 故C不正确：对于D,因为a,+a1=3·2”(meN),则a1ta2= 31·2,03+a4=3·23,…,02m+a224=31·2200,所以数列1a, 前2024项的和为S2m4=(a1+a2）+(a3+a4)+…+(am+ 西@✉），5侧=3·21+34…2+…+3…20m=34.21-419）。 1-4 2(4102-1),故D错误 9.b。=2n+1解析：由题意得， 2士21 .-1 an ba =1(n≥2)，即6+2=6，(n≥2)6-b4=2(n≥2).41 2 3,b1=3,“数列1b,|是以3为首项，2为公差的等差数列，b= 3+2(n-1)=2n+1.故答案为6.=2n+1. 10子3空解桥：曲于"()=2x,所以"1)=2，切线方程为 2 =2(-1)41=21,令21=0，得=7所以=在点（属 (x.)处的切线方程为y=八x,)+f'(x,)(x-x。),因为该切线交 干数0周品会-会受宁质烈 ,是以上为首项，以子为公比的等比数列，所以气=子× 1 (合)）”（合广（经）”，所以·eg (合）广g(合)”"=(a+x(合广，所以8=2x(行）片 x(）广++(a+)x(分）八汉=2x()°+x (侣nx(合广a+0x(合）”作差得出宁3 x(合）+1x(合）广+*1x(合）广-(a*)x(合)）”，断 以，=1+ (合)') 12 )×(分）”“，所以8=3-(a+3)×(侵）广3-空散答案为 11.(1)解：|a,是等差数列，53=3a2=15,42=5.又a23= 题·数学·062一 45,43=9,等差数列{a.|的公差d=a-42=4,a。=42+ (n-2)d=4n-3. (2)证明：2h。-b1-15=0,4b1-15=2(6。-15).又b1-15= 6+1-15 126-15>0,6。-5=2为常数16-151是首项为1，公比 为2的等比数列， (3)解：由(2)得6。-15=2-1，记c.= awae+1(61-l5) 4n+5 1 1 (4物-3)(4n+1)2(4n-3)2(4n+1)z47,=91++6+ 11.11 11 ,=(1x205x2(5x2gx2+(gx213x2 1 1 =1 1 [(4n-3)2-1(4n+1)2]-(4n+1)2 12.(1)证明：当n≥2时S=a.(S.-1),且a.=S。-51(n≥2)，可 得=(-S)(S-),整理得51-3=313，即}1 S。S-1 1(≥2，且=1=1，所以数列 为以1为首项，1为公差 的等差数列. (2)解：由(1)可得 交1+n-1,即8=，由定义可得 11 [g+[g斤」-[gm+-g],当n=10(k=01,2,3…)时， lgn=k,即[lgn]=k,[-gn]=-k,所以bn=[gn]+[-gn]= k+(-k)=0:当n∈N°且≠10(k=0,1,2,3,…)时，lgn不是整 数.可设gne(m,m+1),m∈Z,则-gne(-m-1,-m),则 [gn]=m,[-gn]=-m-1,可得6，=[lgn]+[-lgn]=m+(-m 1)=-1缘上所述6.{-1，n≠10keN, (0,n=10,keN, nE N' 在1≤n≤2025(n∈N)上，b1=bo=b1o=b1om=0,b.=-1(n≠1， 10,100,1000),所以T2s=0x4+(-1)×2021=-2021. 高考新趋势 (1)解：由题可得a。≥m,meN,,令a2=2,为使任意连续三项的和都能 被3整除，则a,=3或a3=6;令a1=3,则a3=5:令a2=4,则不存在a满 足题意：a2=5,则a3=6.综上，满足a4=7的P4数列为1,2,3,7：1,2,6， 7:1,3,5,7；,1.5,6,7. (2)证明：设这样的P,数列对应的公比为q,则相应的四项，从小到大 排列为1,9，，.要使任意连线三项的和都能被3整除，则1+g+灯2,9叶 2g=g(1+g+g2)能被3整除，即1+g+g能被3整除即可.考虑集合x x=3k+1,k后N,},当g{x|x=3k+1,kEN.时.1+q+g2=1+3张+1+ (3k+1)2=9k2+9%+3一定能被3整除，因为xx=3张+1，keN,1中 的元素有无穷多个，则存在P。数列是等比数列，且有无穷个 (3)解：设A=xx=3k-1,keN,,B=xx=3k-2,keN,,C={xlx 3k,keN,l.因为1+a3+a,a2+a+a都能被3整除，1eB,则a4∈B,若 5eA,因为a2+a3ta4,a3+a4+a5都能被3整除，则a2eA;则要使a2 4+au能被3整除，有aeC.令a=3m-1,meN,为使a最小，应让 4,a3,a2间的差值最小，则a2=3(m-1)-1=3m-4,4=3(m-1)=3m 3,4=3m-2,又a。≥n,则3m-4≥2→m≥2→a5=3m-1≥5，即当a5∈ A时，最小值为5；若a5eB,因为a2+a+a4,a+a+a5都能被3整除，则 a2怎B;结合a4∈B,则要使2++a4能被3整除，有a3gB.令a5= 3m-2,meN,为使ay最小，应让a4,a,a2间的差值最小，则a2=3(m 3)-2=3m-11,a=3(m-2)-2=3m-8,a4=3(m-1)-2=3m-5,又an≥ 13 ,则3m-11≥2→m≥ →m≥5→a5=3m-2≥13，即当a5∈B时，最小 值为13：若aseC,因为a2+a3+a4,a3+a4+ay都能被3整除，则a2eC: 结合a4∈B,则要使a2+a3+a4能被3整除，有a1eA.令a5=3m,meN, 为使a最小，应让a4,a,a2间的差值最小，则a2=3(m-2)=3m-6, 4=3(m-1)-1=3m-4,4=3m-2,又a,≥n,则3m-6≥2与m≥3 →m≥3→a5=3m≥9，即当a5∈C时，最小值为9.综上，当存在a2,a, a4,使得数列a1,2,a3,44,a5是P5数列，整数t的最小值是13. 一学霸高考·白 第八章真题演练 真题集训 1B解折8为等差数列的前项和妆{合}为等差数列设 Ss S3 35.4+d= 该等差数列的公差为4，了了=2山，→4，=-2→6=3 13 →9=-15 2.C解析：由题意可得，当n=1时，2=2a1+2,即a19=2a1+2①， 当n=2时，a=2(a1+a2)+2,即a1g2=2(a1+a1g)+2②， 联立①②可得m1=2,9=3,则44=a1g3=54放选C. 3.D解析：因为aeN(=1,2),所以a,<a,+,11 > a'a,+ 1 42 得到6站，同理a亡%+，可得6山，4海：又因为士 1 a+- as 1 1 1a1+1<a,+ 1,所以2<6,4>6依此类 03+ a2+- + 1 C4 O 推，可得61>b3>b5>b,>,b,>b,故A错误；b3>b,>bs,故B错误： 12 1 1,得6<6，故C错误：a+ 1 1>41+ 1 3 1 1 得646，放D正确放选D 1 6* 4.D解析：设OD1=DC1=CB1=B41=1,则DD1=0.5,CC1=k1, BB,=k,M1=k,依题意，有南-02=k,南-01=k,且 D+CC+B,4:0725,所05+3%，-03 =0.725,故k1=0.9,故 OD,+DC+CB+BA 4 选D. 5.D解桥：由已知条件得S=a+aa,=2+a=+1= g29 7}6=0-(行3行2小0，又0.则时=2 g2 子藏学（合）（合）广（号）尸， (）”8 6.95解析：因为数列「a.1为等差数列，则由题意得 a,+d+a,+3d=7，解得}，，则5o=10a1+2d=10x (3(a1+d)+a1+4d=5, (-4)+45×3=95.故答案为95. 7.2解析：设等比数列{a,}的公比为q,前四项和为S4=a1(1+g+g2+ q)=4,第五项到第八项的和为Sg-S=@(1+q+g2+g)=a19(1+g+ g2+g2)=68-4=64,所以g=16,故g=2. 8.①3④解析：由题意可知，VneN”,a.>0,当n=1时，a=9,可 得1=3：当n≥2时，由S=2可得5。号两式作差可得a,= 99,所以9-0，则-，=3，整理可得+34-9=0因 Gn Gn-l a-1 0s 4>0,所以解得42二323<3.①正确：假设数列1a,为等比影 乳设我会比方题=4（侵）广一器质以号5可 得a(1+g)2=a1+g+g2),解得g=0,不符合题意，故数列1a,不是 题·数学·063一 等比数列，②错误：当n≥2时，4：？-9-9%00>0.可 a。am-I andm-l 得a,<a1,所以数列{4n|为递减数列，③正确：假设对任意的 4eN”,4≥0则5mw≥100×70-100，所以emm 。0高与报设子，层设不度立③正确数爷案84 9 9(证明：因为品aD所以(a+101a+1,期 1)a1-nan=1,由等差数列的定义可得数列{na,}为等差数列. (2)解：即令b.=nan,可得b1-b。=1,即|bn}是以1·a1=3为 首项，1为公差的等差数列，可算得b.=n+2=4。 又因为fx)=a1x+a2x2+a3x3+…+anx”,所以f'(x）=1+2a2x+ 3a3.+ma-1 即f"(x)=1+a1+2a2x+3a3x2+…+max-l,即f'(x)=b1+b2x+ 2+..+-1 将x=-2与b。=n+2代人上式可得f'(-2)=3+4·(-2)+5· (-2)2++(m+2)(-2)m1,令8。=f'(-2)=3+4·(-2)+5· (-2)2++(m+2)(-2)-1, 有-2·5.=3·(-2)+4·(-2)2+5·(-2)3++(m+2)(-2)", 所以35m=3+(-2)+(-2)2+(-2)3+…+(-2)-1-(m+2)·(-2)， 03-22m*2-2 所以(-2=8.=号(2）-2 10.解：(1)3a2=3a1+@3,÷3d=a1+2d,解得a=d,.S3=3a2= 2,6,129 3(a+d)=6d又=6，+6，+6，=+2d3a,5+3=6d+ =21,即2-7+3=0，解得d=3或d=2（舍去)，a, 9 a1+(n-1)·d=3n (26,为等差数列2山，=6，+6，即12=2,12」 61 1）-6d.1,即-3a,d+2d=0,解得a1=d或a=2dd> 0y/a24a1 1,a,>0.又5-T9=99,由等差数列性质知，99a0-9960=99, 甲n-如1ow2g0=1,即aw-2500,部得n5引 或ao=-50(舍去).当a1=2d时，a0=a1+49d=51d=51,解得d= 1,与d>1矛盾，舍去：当a1=d时，a0=a1+49d=50d=51,解得d= 动综上d哥 11.(1)解：首先，我们设数列a1,a2,…,a42的公差为d,且d≠0，由于 一个等差数列同时加上一个数或者乘一个非零数后依旧是等差数 列，故我们可以对该数列进行适当的变形=+1(k=1,2 …,4m+2),得到新数列a=(k=1,2,,4m+2),然后对1，a'2, …,a'42进行相应的讨论即可换言之，我们可以设a4=k(k=1,2, ·,4m+2),此后的讨论均建立在该假设下进行.国到原题，第 (1)小间相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i和j(i<),使得剩 下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3， 4,5,或3,4,5,6所以所有可能的(i)就是(1,2)，(1,6)，(5,6). (2)证明：由于从数列1,2，·，4m+2中取出2和13后，剩余的4m个 数可以分为以下两个部分，共m组，使得每组成等差数列：①11,4， 7,101,3,6.9,121,{5,811,14|,共3组：②115,16.17,181 119,20,21,22},+,{4m-1,4m,4m+1,4m+2},共(m-3)组.（如 果m-3=0,则忽略②)故数列1,2，…，4m+2是(2,13)-可分数列 (3)证明：定义集合A={4k+11k=0,1,2,…,m}={1,5,9,13,… 4m+1},B={4k+21k=0,1,2,…,m=2,6,10.14,,4m+2,下面 证明，对1≤≤4m+2,如果下面两个命题同时成立，则数列1,2， 一学霸高考·白题 …,4m+2一定是(i,》-可分数列：命题1：icA,jcB或icB,jEA: 题2：j-i≠3.我们分两种情况证明这个结论第一种情况：如果ie AjB,且j广i≠3.此时设i=4h1+1,j=4k2+2,k,k3g0,1,2, “,m,则由以可知4站+1<4与+2，即与>}，故与≥ 此时，由于从数列1,2，…，4m+2中取出=461+1和j=4k2+2后，剩 余的4m个数可以分为以下三个部分，共m组，使得每组成等差数 列：①1,2,3.4}，15,6,7,8，…，14k1-3,4k1-2,461-1,4k11, 共k1组：②14h1+2,4k1+3,4h1+4,4k1+5,141+6,4k1+7,4k1+8, 461+9,…,142-2,46-1,462,4k2+1,共(-61)组：③46+3， 4+4,4k+5,4k2+6,4k2+7.4k2+8,4k2+9,4k2+101,…,14m- 1,4m,4m+1,4m+2引，共(m-k2)组.（如果某一部分的组数为0，则 总略之)故此时数列1,2，…，4m+2是(i,)-可分数列第二种情 况：如果ieB,jeA,且j-i≠3此时设i=4h+2,j=4热+1，k,k2∈ 0,12.…,m.则由可知46+2<4+1，即->，故 k3>k1.由于ji3,故(4k+1)-(4k1+2)*3,从而2-k1*1,这就 意妹着k2k1≥2此时，由于从数列1,2，…，4m+2中取出=4秋1+2 和=4k1+1后，剩余的4m个数可以分为以下四个部分，共m组，使 得每组成等差数列：①1,2,3,41,15,6,7,81，“，4k1-3,4k1-2, 4k1-1.4k11,共k1组：②4k1+1.3k1+k2+1,2k1+2k2+1,k1+32+ 1,13k1+k+2,2k1+2k+2,k1+3k2+2,4k3+2},共2组；③全体 4kp,3k1+k2p,2k1+2kp,k1+3k2p,其中p=3,4,…,2-k1, 共(k2-1-2)组：④14%2+3,4k3+4,4h2+5,42+61,4%+7,42+8, 4k3+9,4k3+10,…,4m-1,4m,4m+1,4m+2,共(m-k)组.（知 果莱一部分的组数为0，则忽略之)这里对②和③进行一下解释：将 ③中的每一组作为一个横排，排成一个包含(k-k,-2)个行，4个 列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{4k,+3,4k,+4,“, 3k1+k,13k1+2+3,3k1+2+4,…,2k1+2k2},2k1+2k2+3, 2k1+2k3+4,…,k+3k,+3%+3,k+3张3+4，…，4k.可以看出 每列都是连续的若干个整数，它们再取并集以后，将取遍14k1+1, 41+2,…,4k2+2}中除了五个集合{4k1+1,4k1+2引，13k+2+1, 3k1+k2+2},12k1+2k2+1,2k1+2k2+2},{k1+3k2+1,k1+3k2+2引， {4k2+1,4%+2中的十个元素以外的所有数而这十个数中，除了 已经去掉的4k1+2和4k+1以外，剩余的八个数恰好就是②中出 现的八个数这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列 1,2,…,4m+2是(1，)-可分数列.至此，我们证明了：对1≤<≤ 4m+2,如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2，…，4m+2 一定是(i,》-可分数列.然后我们来考虑这样的(，》的个数.首先， 由于A∩B=⑦，A和B各有m+1个元素，故满足命题1的(i,)总 共有(m+1)2个；而如果j-i=3,假设ieA,jeB,则可设i=4+1, 户，+2，代入得(4，+2)-(46+1)=3，解得与6=2矛眉，所 以eB,jeA设i=4k,+2,j=4h2+1,k,k2∈{0,1,2，…，m, 则(4k2+1)-(4k1+2)=3,即k2-k1■1.所以可能的(1，k2)恰好就 是(0,1)，(1,2)，…，(m-1,m),对应的(iJ)分别是(2,5)，(6,9)， …,(4m-2,4m+1),总共m个，所以这(m+1)2个满足命题1的(. 》中，不满足命题2的恰好有m个.这就得到同时满足命题1和命 题2的(，》的个数为(m+1)2-m当我们从1,2，…，4m+2中一次 任取两个数i和j(i<j)时，总的选取方式的个数等于 (4m+2)(4m+1)=(2m+1)(4m+1).而根据之前的结论，使得数 2 列a1,a2,…,am*2是(i,j)-可分数列的(i,)至少有[(m+1)2- m]个所以数列a1,a2,…,a2是(i,》-可分数列的概率P。一定 (m+1)2-m m2+m+1 m2+ 满是P.产2m(4m）(2m+1)(4m+西产(2m+1)(4m+2) 12 m*2】 2(2m+1)(2m+1)8 这就证明了结论， ·数学·064