第八章 专题探究10 数列与不等式-【5星学霸·高考白题】2026年高考数学一轮复习

第八章数列学霸高春 专题探究10 数列与不等式 ☑专题强化热点聚焦，重难突破限时：40min 2.(2025·江苏苏锡常镇模拟)在①S.=n2-2”: 1.(2025·辽宁葫芦岛一模)设数列1an}是公差 ②a,=1,a1=√S1+S。;③2S。-1=an这 大于1的等差数列，a,1,6,满足1=1 三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在 a b n 下题横线上（只要写序号），并解答该题。 n+记S,了，分别为数列1a,,6,的前 1 已知数列{a的各项均为正数，其前n项和 为S。,且对任意正整数n,有 n项和，且2a=a2,S2+T2=16. (1)求{an}的通项公式： (1)求{a}的通项公式： (2)若存在n∈N,使得10T-9n+1+t2<3,求 (2)设6，=、”、一数列6，的前n项和为 Sn·S+ 实数t的取值范围。 .证明：≤7<1 3 091 学霸高春白题数学 3.(2025·四川宜宾模拟)已知各项均不为0的 4.(2025·湖北黄冈模拟)若数列{c.}共 数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn= 有m(m∈N°，m≥3)项，且对任意的i(i∈ aa+1+I N,i≤m),都有cca4=S(S为常数，且S> 4 0),则称数列c.}是S关于m的一个积对称 (1)求a,的通项公式： 数列.已知数列{a。是S关于m的一个积对 (2)若对于任意neN,2"·入≥Sn成立，求 称数列。 实数入的取值范围。 (1)若m=5,a1=1,a2=2,a3=4,求a4和a5 的值： (2)已知数列{b|是公差不为0的等差数列， 且b1=-11,若m=10,a。= b. ,求S和 b,+b2+…+b2的值： (3)若数列{a。|是各项均为正整数的递增数 列，求证0+0+…++33 da-1 d 20 092十…+ 3+1 ）日） 9.解：(1)在等差数列1a.中，a2+a=a+a4=19,面a2=5,解得a= 14,公差4=g=3,则a,=+(-2)d=3n-1:设等比数列1b.的 5-2 公比为.=，=2，由S=16,+1D.a.116+ 1),即2g3+1=a。=17,解得g=2,6.=b1g-1=2",所以数列{a。1和 1bn的通项公式分别为a.=3m-1.6,=2” (a,-1)b.-2 (2)由(1)得，当n为奇数时，6=6.+)(62+D 品品则含 133 5 241… 2n-12n+1.12n+1 2+12432+当n为偶数时，6， (-1)5(n-1)b,=(-1)(n-1)·2".c=(-1)'(2i-1)·2=(2i- 1)(-4,2a=1x(-4)+3x(-4)2+5x(-43++(2m-D× (-4,则-42e=1x(-4)243x(-4)45(-44+(2n-3)× (-4+(2n-1)×(-4).两式相减得5∑3=1×(-4)+2× (-4)2+2×(-4)3+…+2×(-4)n-(2m-1）×(-4)1=-4+ 32[1-4)m1-(2n-1)×(-4)=1=210-3×(-4)1,因此 1-(-4) 55 1210m-3 61 2-10加-3×(-4)*. 22*1+1 (3)依题意.数列1d:%1,1,1,2.1,1,1,1,a1,1.1,1,1,1,1. 1,,,,l山，1，…，1前的总项数为+2+22+…+ 2t个1 2=k+21-2）=k-242,数列1k-2+21是递增的，当k=9 1-2 时.k-2+21=7+20=1031<2025,当k=10时.k-2+241=8+21= 2056>2025,因此数列1d,1的前2025项中，有数列{，1的前 10项，有2015个1，所以7m=5o+2015=2x10+10x9×3+2015= 2 2170. 专题探究10数列与不等式 专题强化 1.解：(1)2a1=22n1a1+d,解得a1=d,42=2d:52=a1+a=3d, da66=6 43 分子又万=6地子子子7万=动好16，甲3 63 2.35 16d+5=0,解得d=5或d=3(含去)a,=4,+(-1),d=5n (2)由(1)知a,=5na.b,nn1 1=上击可知，5b(m+1)解得6.= 1 2n+1 11 5n+了之16，为等差数列，故T= 55 n(n+3) 2 10 ”,存在eN有107，-9咖+<3即(107，-9咖)+4+产<3 又10T.-9n=n2-6n=(n-3)2-9,(10T.-9n）m=-9,故-9+1+< 3.整理得2+1-12<0.解得-4<4<3..1的取值范围是(-4.3)， 2.(1)解：对于条件①，当n=1时，1=S,=12-2=-1<0,不符合题 意（如果法条件①，不得分）如选②：1=1,1=1+目 一学霸高考·白是 S,S1-S=S+√S。,(Sn-S。)(√S+S)= √+√S,√S-√S,=1,则1√S,是公差为1的等差数列. 则S=S+(n-1)×1=,则S。=n2,当n≥2时，2=8-S-1= 2n-1,当n=1时，4=1满足上式.所以14.的通项公式为an=2m- 如选8：因为2风=a,+1,则5=a,+1 4,当n=1时，2a (m+1)2(a-1+1)2 1=1.解得a1=1.当n≥2时，S。-S-1=a.= 4 4 即(a4-2)(a,+0-4)=0.因为a>0.所以an-0-1=2.则{an 是首项为1，公差为2的等差数列，所以a。的通项公式为a。= 2n-1. 2n+111 (2)证明：因为6“+京（地 (（）小…（位） (a+1)因为)= +1>0.且在>0时单调递减，所以7=1 1.且乙在a心0时单调递增，并在a=1时取最小值子，所 3解：(1)因为数列a,的前a项和为S,且4，=1，S8,+ 4,即 4S。=a,“1+1,当n≥2时，可得45-1=a-1“,+1,两式相减得 4和。=a(a-1-a1),因为a。≠0.故a1-al=4.所以a1, …4-4…及a,44,…,a…均为公差为4的等差数列.当n 1时，由41=1及》=，解得4=3，所以a1=1+4( 1)=2(2n-1)-1,a2,=3+4(n-1)=2(2n)-1,所以数列4。的通项 公式为a.=2n-1. (2)由(1)知0，=2-1，可得S=24-)(20+1)=m2,因为对于 4 任意neN2”·A≥S成立，所以A≥恒成立，设么=则 2" 2a,当1ic1.博12。 bl-bn>0,6.<b1.当n>1+/2,即n≥3.neN*时，bi-6n<0,bn> 所以山山动海>…，放6，)6=号所以A≥即 实数入的取值范闲为[？+） 4.(1)解：由题意知a,06=5,所以S=4=16,又S=a1ay=a24,41 1,a3=2,所以a4=8,a5=16 (2)解：设等差数列1b的公差为d(d≠0)，由m=10,知对任意的 iieN”,i≤10)，都有aa=S即如x_+(1)d 66-6,+(i-1)d* 6,+(12-i)d +(12+1i-2)F+136d 6+(10-i)a=S,所以 (-10*1-P)+96,d8所以-2学+ 112+122++13b,d=S(-22+112i-102+足+96，d).所以 1-=-s, 112=11d2s 因为d≠0，b1=-11,所以 (122+6+136d=S(-10d+6+9%,d), 5=1. 222+46d=0, 即{2，所以+如++：=-川×2 12x11×2=0. 2 (3)证明：因为1a.是各项均为正整数的递增数列，所以，≥(1≤ m).已知a0,=S,a01=S,…,a0h=3,所以：≤ 品2（点）1.所以会 11 ·数学·061一 +,33 4111 da-t d20 第八章综合测试 章末自测 1.B解析：设等差数列1。|的首项为a1,公差为d,由S。为等差数列 3=2 1a。|的前n项和，S4=12,Sg=40,. 解得 3 a=2'则s0=10Xa+ 2d=10x310x 10x9, 22 ×1=60.故选B. d=1, 2.D解析：正项等比数列，中，S。是其萌n项和，若a=a+2, 则2对+-1=0，所以9=或g=-1.因为a,>0,所以g>0,所以g= 13 又因为5=a1+e,=a*a×,2,=32,所以a1=,则 2 -=2x =42故选D 1 3*64 12 3.C解析：数列1an}中，S+3=2an+m,当n≥2时，S-4+3=2n-4+m- 1,两式相减得a。=2a。-24-+1,即an=2a-1-1,则a。-1=2(a-- 1),而S,+3=2a,+1,解得41=2，因此数列1a.-1是以a1-1=1为 首项，2为公比的等比数列，则a,-1=1×21=2,即。=21+1， 于是S,=2"+n-1,所以51o=2"+10-1=1033.故选C 4.D解析：设取出的3个不同的数分别为，b,c,不同的取法共有 C。■120种.若这3个数构成等差数列.则有+e=2弘.故a,c同为奇 数或同为偶数，且a与e确定后，b随之而定.从而所求概率为 。遥n 5B解折：依题意，4=g(E.-1)=g2”=2”.S。212” 1-2 2(2"-1),则 20+ 2223 ++21（1.1,1 s9…82(2-12-2-22-2- 12）(2)时即24 面作eN”,解得n≤0，所以满足条件的正整数n的最大值为0故选B 易错提醒 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时清去了得些项，保留了冠 些项，切不可霜写未被清去的项，未被清去的项有前后对称的特点， 实质上造成正负相消是此法的授源与目的， 6.A解析：当n=1时，a= =1当m≥2时，S=a,,所以 S=-1an,两式相减得a=.(1-a),因为a。+0,所以 a1-a-1=1所以数列a.的奇数项是以a,为首项，1为公差的等 卷数列.且010所以立41=6,6×1=6，+15同理，数列 1a,的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列，所以∑=5× 154 2×1=15.所以之2一之=15-656若 1 -601=-6→41=1，期数列0.1各项均不为0，数列1a。1是无穷数列， 故4正确：若-6m1=0一1=0.这与4，≠0矛盾，故B错误：若-6a,= 6→1=-1，根据奇数项成公差为1的等差数列，则43=0，则a4无法 一学霸高考·白 求出，这与数列10.是无穷数列矛盾，故C错误：若-61=12一 m1=-2,根据奇数项成公差为1的等差数列，则5=0，则6无法求 出，这与数列{4。是无穷数列矛盾，故D错误故选A. 7,ABD解析：对于A,设等比数列1aa的公比为9，由a=S+2, 得a=S-1+2(n≥2)，两式相减得a1-a。=S-S-=a,脚 a+1=2a,所以g=2,义a1=S,+2=a1+2,a1=2a1,解得a1=2,所 以a。=2×2-=2”,正确：对于B,设等差数列引b。1的公差为d,由 63=a1=2,6s=1=8.得6d=bg-b2=6,解得d=1,所以bn=b2+ (4-2)d=n,正确：对于C,由A=xeN“1b。≤x≤a,,得A=xe N1n≤x≤2”，则集合A中元素的个数为2”-n+1,即c。=2-n+ 1,错误：对于D.7.=(2+2+…+2)-(1+2+…+n+n=21-2 1-2 a(n+)n=21n(,)-2,正确，放选ABD, 8.AB解析：对于A,因为an=2m+1,有a1=2(n+1)+1.则a1= a。+2,neN”,故数列1an是“H数列“，故A正确：对于B,因为6，= 3·2,有b1=3·2”,则61=26。，nN”,故数列1b,是“H数 列”，故B正确：对于C,若数列a是“H数列”，则存在常数p,g使 得a1=mn+g对于任意n∈N都成立，显然a+:=m1+g对于任 意#∈N都成立，因此a-2+n+1=p(a-t+n.)+2g对于任意neN 都成立，故数列，+a1也是“Ⅱ数列”，对应的常数分别为P,2q, 故C不正确：对于D,因为a,+a1=3·2"(neN）,则a1+= 31·2,a*@4=31·23,,2g+am4=3·2咖，所以数列1a, 前2024项的和为S4=(a1+a)+(a3+a:)+…+(+ ),5e4=3·2+3·22++3·22m=3.21-43)。 -4 21(412-1),故D错误. 9,6n=2n+1解析：由题意得 aa≥2士21… bo-tr b。 a。b。 =(n≥2).即64+2=6，(n≥2)，6，-b=2(n≥2.4， 2 3=3数列b.是以3为首项，2为公差的等差数列6.= 3+2(n-1)=2n+1.故答案为6，=2m+1. 10.2 3043 2 解析：由于∫'(x)=2x,所以了'(1)=2，切线方程为 y=2(-041=2-1.令2-1=0，得=所以=子在点（ 八x,)处的切线方程为y=八x)+f'(x,)(x-x,),因为该切线交 手0湖火品爱台之子型 属是以】为首项，以了为公比的等比数列，所以2× (行）”=（仔广=(（仔）”，所以·保 (行)广（分）”=x(行广.以8=2x(行）片 x(合）广+a+1x(经厂广又82x(仔）广+3x (行广mx(号）广+(a+1x(号)”，作差得出宁.=1 x(分）+1x(号)广++1x(合）广-(a*x(）”所 以=1 (）(点) 1-2 ×（）厂所以=3-(3）×（）广3-3答案为 2 11,(1)解：f,是等差数列，S3=3a=15,÷a2=5,又a20= 题·数学·062一