第八章 专题探究9 数列求和-【5星学霸·高考白题】2026年高考数学一轮复习

12.22-1+2解折：因为41=3×2”-a.,所以a*2=3×21-01, 则a*2-a,=3×2*,所以a21-a1=(a21-a2o-1)+(a2-1-423)+ …+4,-41)=3x(2-1+223++2）=3x21-42=221-2 1-4 则a2a1=a1+221-2,42-1=a1+22-1-2,所以a2n=3×22-l-a2m-1= 3x22-1-01-2n-1+2=2-a1+2,所以2n+a21=3×2,所以其 前2025项的和为a1+(a2ta)+(a+)+…+(a2e4+a2)=a1+ 3x(2+2+…+24)=4,+3x41-4 =a1+206-4=22m6】 1=4 解得a1=4,所以1=2-+2，故答案为221+2 13.解：()由题意知2，因为，=1，且16，是公比为2的等比 数列，所以“=4因为4，=1，所以数列a,为首项为1，公比为4 的等比数列，所以3=1X-4) 1-4 3x(4°-1). (2)因为b=1,且|b,1是公差为2的等差数列，所以b。=2n-1,所 哈会器u之器会质 以2.2m+2m-卫.因为a1=1,所以a,=号x(4n2-0 3×1 14.(1)解：由(n-2)S1+2a1=nS.,得(n-2)S1+2(S1-S,)=nS. S1n+2,S2-3S=4=5 即n=(n*2)8,8=后…722了… m-2n-1 n(n+1 2 ,n≥2，S.=n(n+1),n≥2，又S1=a1=2符合式子，所 以Sn=m(n+1),neN·,当n≥2时，4n=Sn-Sn-1=n2+n (n-1)2-(n-1)=2n,又a1=2符合上式，所以a,=2n(m∈N·). (2)(i)解：，ijgN°，>j,2:-0=2×2i-2j=2(2i-j),∴20：- 马，=a2,{a.具有性质①，HneN,n≥3,3k=n-1,1= n-2,2a4-a=4(n-1)-2(n-2)=2n=a.,{an}其有性质②，数 列引a,是T数列 (ⅱ)证明：：{b,是单调递增数列.首先利用性质②：取n=3,此时 b3=2b,-b=b+(b4-b)(k>),由数列的单调性可知6>b1,b= b+(b-b:)>b,放k<3,此时必有k=2,1=1,即b3=2b2-b1,即b1 b2,b,成等差数列，不妨设b2=b1+d,b,=b1+2d(d>0).利用性质①： 取=3，j=2,则6n=263-b2=2(b1+2d)-(61+d)=61+3d,即数列中 必然存在一项的值为b,+3d下面证明b,=b1+3d,若b.≠b1+3d,则 由数列的单调性可知64<b1+3d在性质②中，取n=4,则b4=2b, b=b+(b-b)>b,从而k<4,则1k,C1,2,3引(k>l).若k=3, 1=2,则b=2b3-b2=b1+3d,与假设矛盾：若k=3,1=1,则64=261- 61=b1+4d,与假设矛盾；若k=2,l=1,则ba=2b2-b1=b1+2d=6,与 数列的单调性矛盾.故不存在满足题意的正整数k,1,可见b<b1+ 3d不成立，从而b4=b1+3d,同理可得65=b1+4d,b6=b1+5d,…, ∴.1bn为等差数列. 专题探究9数列求和 专题强化 1.C解析：Sn=a1+(a2ta3)+(a4+a5)++(a0+a31)=1+2×2+2× 4++2×30=1+2x(2+4+…+30)=1+2x15x(2+30）=481.放选C 2 2.C解桥：8=a+a++a+an=5+妈+…+5+8①，S=aw+ 9597 6+a器尝…学”2.0②得2s-(的路 器）（贺资尝”）（的器）（器） +(尝兴）（器曾）-242+242=02，所以5=%放 选C 一学霸高考·白 3.BCD解析：由题知，数列1au满足a1=a2=1,aa*2=a,+a1,nC N,对选项A,a2ta4+a6++a2e4=a3-a1tay-a+a,-ay++ 42晒-a2m=4ms-a1=42脑-l,放A错误对选项B,a1++a+ …+a20m=a+a4-+a6-4t…ta4-a2m=a2m4,故B正确. 对选项C,a1=a2u.a2=a1·(a+2口)=a1·aa+2aa1" an.a+a吃+a+…+a吃u=a+(a2-2a1）+(a44-a2)+…t (a4s42442）=a2m42s,故C正确.对选项D, 1= ede+2 a41 021」 1 1+1+ 1… da1d d2dadaaagd -11+11+ 1 1 a2ma2m a1a2 d20y azay ajd4 aj04 d4ds a100010 一故D正确.故选BCD a202420a1a2a224h0 4.510-】解析：当n=2,keN“时，5=5·5*，所以f5")=15- 5=0:当n=2k-1,kN'时，521=51·5，所以f(5)=151- 51=5-51:所以数列/(5)}的前2025项和为(5-5°)+0+ (52-51)+0+(53-52)+0+…+(5102-51)+0+(50m3-51a2)= 513-1.故答案为5103-1. 5解：（1)若选择条件①，在等流数列。，中，~， (as+a3=26 +247.解得03a,=a1+(-1)d=3+2(a-1)=2n+ 2a1+10d=26, ld=2. a1=3, 1:若选择条件②，在等差数列{a.1中， 解得 s=770= (a1=3, .a.=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1:若选择条件③，在等 ld=2, 差数列1a.}中，a1=S1=3,当n≥2时，an=S。-Sn-1=n2+2n (m-1)2-2(n-1)=2n+1,41=3也符合该式，an=2n+1. ②由)得6高2a=片（日 )…(g)n 6.解：(1)设等差数列a,的公差为d,由+a4+,=62,S3=30,得 3a1+11d=62, ,+32=0 解得6，则a,=a,+(n-1)d=6+4(n-1)= d=4, 4n+2,所以{a.的通项公式为a。=4n+2. (2)由(1)得6，=(-1)·a,=(-1)*·(4n+2),所以T1m■-6+10- 14+18-…-(4×99+2)+(4×100+2)=(-6+10)+(-14+18)+…+ (-4×99-2+4×100+2)=4×50=200 7.解：(1)设数列a.}的公比为g,由3a2=2a1+a,得3a19=2a1ta1g2, 2,解得9=1或9=2，若9=1，则由5，=30，得 以$=15,38-=38-号与5=15矛盾，所以g1,者0=2.则 由8。=30，得a1=2,所以52=6,38-45=38-2×2=6，即52=38-45， 所以a1=2,q=2,所以an=2”,故数列a的通项公式为a。=2 (2)由bn=a,·log2a。=n·2",T.=1×2+2×22+3×23+…+(n- 1)×2-+n×2,两边同乘2得2T.=1×22+2×23+3×2+…+(n- 1)×2”+n×2m1,两式相减得-T.=2+22+23+…+21+2"-n×21,所 以7，=nx21.2X2=(n-)×2…1+2,故数列16，的前n项和 1-2 T=(n-1)×2+2. 8.解：(1)由25n+3-3a。=0,可得n=1时，251+3-3a1=0,解得a1=3, n≥2时，2S-1+3-3a1=0,又28n+3-3a。=0,两式相减可得 2a,=2S.-251=30。-3-3a+3,即有a.=3a。1,数列an}是首项 为3，公比为3的等比数列，所以4n=3”, 3 (2)数列16.满足6=a,+1)(a1+°(31)(31+西 题·数学·060一 (任） 9.解：(1)在等差数列1an中，2+a,=a,+a4=19,而a2=5,解得45= 14,公差d=5g=3,则a,=+(-2)d=3m-1:设等比数列引6，}的 5-2 公比为g.6=,=2,由5=16，+》，得1a,.116+ 2 1),即2对+1=a6=17,解得g=2,6,=b1g1=2”,所以数列{a。}和 {b.1的通项公式分别为an=3n-1.bn=2. (a.-1)bn-2 (2)由(1)得，当n为奇数时，6=，+)(b2+西 品品则宫 13.3 5 “+号品当n为数时6 (-1)(m-1)b,=(-1)(n-1)·2“,cx=(-1)'(2i-1)·24=(2i- 0(-4,2ea=1x(-4)+3x(-4)2+5x(-4)+…+(2m-1)× -4)八，则-4=1x(-42+3x(-4+5x(-4++(2n-3)× （-4)+(2n-1)×(-4),两式相减得5公ca=1×(-4)+2× i=1 (-4)2+2×(-4)3+…+2×(-4)”-(2n-1)×(-4)1=-4+ 32[1-4)-】-(2n-1)×(-4)1=2.10-3x(-4)1,因此 1-(-4) 55 名s层号0宫宫6+宫g 1210m-3 61 2n+110m-3×(-4)" 2241+125 (3)依题意，数列1d:a1,1,L,,1,1,1,1,a,1,1,1,1,1,1,1, 1,a4,…,@,1山山，@41，…，a1前的总项数为素+2+22+…+ 2个1 2=+21-2）=k-2+2*1,数列1k-2+2是递增的，当k=9 1-2 时，k-2+21=7+20=1031<2025,当k=10时，k-2+21=8+21= 2056>2025,因此数列{dn1的前2025项中，有数列1a.}的前 10项，有2015个1，所以72s=50+2015=2x10+10x9×3+2015= 2 2170. 专题探究10数列与不等式 专题强化 1.解：(1)2a1=a,2a1=a1+d,解得a1=d,a2=2d;S3=a1+a2=3d, 42211 a 员子又=6地=子+号子岛+奶=3子16，即30 63 2.3.5 16d45=0,解得d=5或宁（合去）4，a+(a-)~d5元 (2)由(1)知，a,=5n,a.6nn*灯 1 n,1=n时可知5n6,n(a+万，解得b,= （2n+1 11 了+5，心6,1为等差数列，故T,= 55 n(n+3) 2 10 70,存在neN有10T。-9n+t+2<3即(10T。-9n）)+t+护 又10T,-9n=n2-6n=(n-3)2-9,∴.(10T-9n)=-9,故-9++2< 3,整理得2+t-12<0,解得-4<t<3,∴.1的取值范围是(-4,3). 2.(1)解：对于条件①，当n=1时，1=5，=12-2=-1<0，不符合题 意（如果选条件①，不得分）如选②：a1=1,“1=√S+ 一学霸高考·白是 √S,S1-S。=Si+√S,(√Si-S。)(S+S)= √S+1+Sa,√Sa1-√S=1,则|√S是公差为1的等差数列， 则尽=/S+(n-1)×1=m,则S。=n2.当n≥2时，a=S。-S1= 2n-1,当n=1时，a1=1满足上式所以{a.的通项公式为an=2m- 上如选3：因为2风4+1，则8色少当A=1时.2后 1=a1,解得a1=1.当n≥2时，S。-5l=an= (an+1)2(a-1+1)2 4 4 即(a-a1-2)(a,+a-)=0,因为a,>0,所以an-a1=2,则{a, 是首项为1，公差为2的等差数列，所以{，}的通项公式为a。= 2n-1. a1一= 2n+111 （2)运明：因为68(+京(0+1 1 (a+因为)产+0.且在D0时单调递减，所以T=1 a1,且工在>0时单造增，并在a=1时取最小值子，所 3.解：(1)因为数列1a,的前n项和为3，且41=1，S=- 4,即 4S=aaaa+1,当n≥2时，可得45-1=a1a。+1,两式相减得 4an=a(a1-a1）,因为an≠0，枚a1-a-1=4,所以a1,a, …,42-1…及a,a4,…,a2a,…均为公差为4的等差数列.当n= 1时，由a=1及8年解得=3，所以=1+40- 1)=2(2n-1)-1,a2=3+4(n-1)=2(2n)-1,所以数列an}的通项 公式为an=2n-1 (2)由(1)知4，=2n-1,可得S=2n-)(2m+)1.2,因为对于 4 任意aeN”,2…A≥8成立，所以A≥受恒成立，设么=分则 2 或=g三2a,当1ia1w反.期=12时。 b+1-b,>0,6.<b1,当n>1+2,即n≥3，neN时，bn1-bn<0,b,> 1所以动，3动y>…,故6，)乌=号所以A≥号，即 实数A的取值范强为[吕+一）】 4.(1)解：由题意知a4a6=S,所以S=aa=16,又8=a1a5=aa4,41 1,a2=2,所以a4=8,5=16. (2)解：设等差数列1b}的公差为d(d*0),由m=10,知对任意的 iieN,d≤10)，都有a,an4=S,即2x-+(+1)d 666,+(i-1)d' 6+(12-i)d 6,+(10-0a58,所 b+(12+11i-2)d2+1361d 乐+(-10+1i-)P+96,d8,所以-2+ 11d2+12d+b斤+136，d=5(-d2+11d2i-10d+6+9b1d),所以 1-d2=-dPs, 112=11d2s. 因为d≠0，b1=-11,所以 (122+b+1361d=S(-10d2+b斤+9b1d), S=1, 12244b,0.即{2：所以6，++…+a=-1×2中 12x11×2=0. 2 (3)证明：因为{4。}是各项均为正整数的递增数列，所以4，≥i(1≤ m）.由已知aa.=5,401=S,“,4nh4=5,所以=三≤ 会-2s(六)1<1≤as.所以会 a ·数学·061一学霸高春白题数学 专题探究9 数列求和 ☑专题强化热点聚焦，重难突破1限时：50min 4.(2025·浙江杭州学军中学月考)将正整数 1.(2025·陕西西安月考)在数列{an}中，已 n分解成两个正整数k1,k2的积，即n=k×k2, 知a1=1,且a1+an=2n,则其前31项和S1 当k,飞的两数差的绝对值最小时，称 的值为 (k1,k2)为正整数n的最优分解，如(4,5) A.361 B.423 为20的最优分解.当(k1,k2)为n的最优分 C.481 D.523 解时，定义f(n)=Ik,-k2I,则数列{f(5")}的 2.(2025·湖南长沙模拟)已知数列{a.} 前2025项和为 2n-9 5.(2025·河南信阳月考)在①a3=7,a5+a,= 中，a.=2n-99 则S=a1+a2+…+agm+ag8= 26;②a1=3,S,=63;③Sn=n2+2n,这三个条件 中任选一个，将序号填写在下题横线中，然后 A.96 B.97 解答补充完整的题目. C.98 D.99 已知S,为等差数列{an}的前n项和， 3.(多选)如图，杨辉三角形中的对角线之和1， 若 1,2,3,5,8,13,21…构成的斐波那契数列 (1)求an 经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序 中央的管状花和种子从圆心向外，每一圈的 (2)令b.a- (n∈N'),求数列{bn}的前 数字就组成这个数列，等等在量子力学中，粒 n项和Tn 子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数 列斐波那契数列{a}的第一项和第二项都 是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则 ① ①①3 ①②①8 高有3 ①④⑥④0 ①⑤⑩⑩⑤① ①⑥⑤①0⑥① ①… A.a2ta4+a6+…+a204=a20s B.a+a+as+.+a2023=a2024 C.a+a+at…+ae4=a2024·a2ms D.1 1 1 一+ aas azas agas +…+ a202142023 aaz 1 a202ma2023 089 第八章数列学丽高春 6.(2025·江西南昌月考)已知Sn是等差数列7.(2025·山东菏泽模拟)在前n项和为S。的 an}的前n项和，且a3+a4+a,=62,S3=30. 等比数列{a.中，3a2=2a1+a3,S4=30,S2= (1)求{a}的通项公式： 38-a5 (2)记b。=(-1)·a。,求数列{bn}的前 (1)求数列{a}的通项公式： 100项和T1o (2)令bn=a.·loga.,求数列{b.}的前n项 和T 089 学霸高春白题数学 8.已知数列{an}的前n项和为S,且2S+3-9.(2025·重庆万州区模拟)已知等差数列{a} 3a,=0,nEN'. 的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列，满 (1)求a,}的通项公式； 足a1=b1,a2=5,a3+a4=19,S1=11(b4+1). 3” (1)求数列1a.}和{b}的通项公式； (2)若6，a,+)a+求数列16，的前 (2)对任意的正整数n,设c.= n项和Tn (an-1)b.-2 (6.+1)(62+1)n为奇数， (-1)(n-1)b,n为偶数， (3)若对于数列{a.f,在a和a1之间插入 b,个1(keN),组成一个新的数列 {dn},记数列{dn}的前n项和为Tn, 求T2ms: 090