第八章 专题探究8 数列通项公式的求法-【5星学霸·高考白题】2026年高考数学一轮复习

学霸高春白题数学 专题探究8 数列 ☑专题强化热点聚焦，重难突破限时：50min 1.(2025·江西景德镇模拟)设1b}是公差为2 的等差数列，且b.=an1+a.,若a1=1,则a2= A.2024 B.2025 C.4048 D.4050 2.(2025·四川成都石室中学模拟)已知正项等 差数列，满足，+…+a。 n (n E a3tas+...+a2n n+2 N),则m ( A.4050 B.2025 C.4048 D.2024 3.(2025·辽宁沈阳期中)数列{a,中，已知对 任意自然数n,a,+a2+a3+…+an=2-1, 则a+a+a+…+a2等于 A.2"-1 B.(2-1)2 e兮 D. 4"-+2 3 4.(2025·广东深圳模拟)定义：在数列1a,|中， a2_a1=d(neN),其中d为常数，则称数 dnel An 列a}为“等比差”数列.已知“等比差“数列 {a}中，a=a2=1,a,=3,则4= a22 A.1763 B.1935 C.2125 D.2303 5.(2025·江苏苏州月考)已知数列{an满足 a203 a+35 4 =nn(neN"),则下列 2n-1 选项正确的是 ( 2 A.a3=5n 3 B.az<a3 C.a2+a3>a4 D.an1>2+ n 通项公式的求法 6.已知数列{a.}满足a:=2,an1=a,则a6的 值为 () A.220 B.224 C.214 D.20% 7.(多选)(2025·山东潍坊模拟)已知数列 an的前n项和为S,若a1=2,a1- 2an+anam+1=0,则 () 9 A.a=7 R.数列{1-}为等比数列 C.a<a 231 D.S102220 8.(2025·河南许昌模拟)已知数列an},1b.} 中，a1=2,b1=6,an+1=2an,b+1=2b.-aw, 若an=bn,则m= ( A.4 B.5 C.6 D.7 9.(2025·江苏扬州模拟)如果数列{a对任意 的n∈N,a+2-a+1>a+1-a。,则称a,}为“速 增数列”.若数列{an为“速增数列”，且任 意项an∈Z,a1=2,a2=4,a4=2025,则正整 数k的最大值为 () A.63 B.64 C.65 D.66 10.(多选)(2024·黑龙江牡丹江期中)已知红 箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红 球、5个白球，所有球大小、形状完全相同.第 一次从红箱内取出一球后再放回原箱，第 二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子 内取出一球，然后放回原箱，依次类推， 第(k+1)次从与第k次取出的球颜色相同的 箱子内取出一球，然后放回去.记第n次取出 的球是红球的概率为p。,数列{P.I前n项和 记为S,则下列说法正确的是 () 7 A.P232 B.4p2+p=5pt C.当n无限增大，p将趋近于 D.s=6[B+1-(r] 11.(2025·河北衡水期末)已知数列{an 20m 中，a1=2且an+1= a+2neN),则ga 12.(2025·广东华南师大附中期末)已知数列 {a.}满足a1=3×2-a.其前2025项的和 为2026，则a2n-1= 13.(2024·江西南昌一模)对于各项均不为零 的数列c,我们定义：数列{}为数列 {c.的“k-比分数列”.已知数列an},bn 满足a,=b,=1,且{an的“1-比分数列”与 {b}的“2-比分数列”是同一个数列. (1)若b是公比为2的等比数列.求数列 an的前n项和Sn; (2)若bn|是公差为2的等差数列，求a 第八章数列学霸高春 4.(2025·重庆九龙坡区模拟)已知数列{am{ 的前n项和为Sn,a1=2,(n-2)Sa+1+2an+1= nS,,neN". (1)求数列{a.}的通项公式 (2)若无穷的非常数数列T}同时满足 两个性质：①对于{T|中任意两项T, T(i>),在}T.}中都存在一项Tm,使 得2T-T=T.；②对于T}中任意一项 T(n≥3)，在{T.}中都存在两项T, T,(k>1),使得T.=2T-T.则称数列 {T}为T数列. (i)判断数列a。|是否为T数列，并说 明理由： (iⅱ)若数列b.}是T数列且为单调递 增数列，证明：数列b是等差数列. 087差数列，所以25。=51+52，设等比数列的公比为？，由题意知，9≠ 1,所以2x41-9）_(1-)1-g2) 1-9 1-9 化前，得g2+9-2=0, 1-g 解得g=-2或q=1(会去)，所以2脑==-2故选入 42024 6.A解析：设1微尘为，因为微尘，窗尘、兔尘.羊尘，牛尘，机，虱，芥 子，大麦，指节、半尺的长度.构成了公比为7的等比数列，所以1窗 尘为74,1兔尘为72a,1羊尘为7a,1牛尘为7a,1虮为7a,1風为 7a.1芥子7a1大麦7a.1指节为7a,因为：7，所以1指节 72a 是7兔尘，A正确C不正确：因为=7户，所以1指节是7力羊尘 B,D不正确：故选A. 7.ABC解析：设该等比数列为an1,其公比为4，由题意可知，a,= 1,3=2,故gP=2,解得g=2拉a=a1g=2拉=拆，即插人的第 8个数为海，故A正确：插入的第5个数为6=g=(2)=2正。 插人的第1个数为2=419=22插人的第5个数是插人的第1个 数的5倍，故B正确：M=41-").2(1-2)。2立-1 1-g 1-2 1-2 11 要证03，即证-1之>3，即证十>4，即证子 1-2 1-22 22-1 应，即正（任）P>2.面（任）”15%2.故c正商=… 3.(）>14192g>2 ->5 22-1 -1- ,>4.M>4,,N=+3>7故D错误.故选ABC 1-2 8.BC解析：由ama,m4=a2m×a2m×q=am×q>0,因此q>0.又因 为a1>l,则an>0.当g≥1时，an=a9l>1,则a2e>1,424>1,则 24-1 >0,与题意矛盾.因此0<g<1,则|a。为单调递或数列，故 a23-1 达项A错误面5204-S3=02@4>0,故$2<24，选项B正确.又 因为a,为单调递减数列，则a>0,曲- 0侧c0可知. T. m>1,0ca<1,所以当n2023时7亡，>1.则7.>7当 工=，<1，则T,<1因此7.的最大项为，则 n32023时，T 选项C正确，选项D错误故答案为BC 9.-3(支2(-3))解桥：由5=0s,可知公比不为1.所以 1-2-101-） 1-0 1-g →1+g2=10→g=±3，当g=3时，a1-a2= a1(1-g)=-2a1=2→a1=-1.所以a,=-31:当g=-3时，01 4a(1-)=a,=2a,=子所以4宁(-3)故答案为 -3(-3)…}片 10.22-1-21解析：由题意可得a,+3动，+n=b.b.+3n,+2m-1= al,则a1+61+n+1=4(an+b.+n）,a1-b1+n+1=2(an-bn+ m),又a1+b,+1=4,1-b1+1=2,则数列1a。+6+n是以4为首项， 公比为4的等比数列，数列引。-b,+程|是以2为首项，公比为2的 等比数列，所以.+b.+n三4”①.a。-b,+n=2"②.①②2联立 得26=4"-2，所以6=21-21故答案为221-2-1. 11.10 [品】解折：第一次提作去*了区同长度的了有下 [0兮]子小第二次操作去排2个长度为)的区同，即长 一学霸高考·白 度和为号利下的区同从左到右依次为[0]，[子] [子，号][号，小以此类，第次操作将去掉2个长度 为宁伯区间则第：次操作去特的长度和为二设。一则 日。而‘2六了，所以数列1a,为等比数列，其首项为， a+12"3”2 号公比为=子a的前a项和5 ()] (仔)广由题意令-（号）门如则（仔）广≤0所 以际（号）广≤g0即子≤-(k5+1).所以≥ -(lg5+1).-(2-g2)。-(2-0.3010) 号 g2-g30.3010-0.4771 =9.6.所以n=10,第 8次操作后第1个区同0]：第9次操作后，第1,2个区间 0]-[品]第0次操作后第12,34个区间分别为 []品]倍品]品品]两以从左到右 第4个区饲为[三]故答案为10[品] 12.解：(1)当A=0时，a1=a,两边取对数，a1=2na,即 b1=2b。,又b1=na1=1,故b.是首项为1，公比为2的等比数 列，故6，=1×21=21=1-2 1-2 2"-1 (2)当A=1时，a1=2+n,=a,(a+1)(◆)，则=。 aati aa(a.+1) c女是o-(行 a )小信小…（位）期 L=,于是R,=6×…c. l=1+n,故61+m1 6.1_3t3_32-n1t3 13.解：(1)由题意可知，6- 42g-1 3(20-1-1)+3 =6,所以数列1b.是首项6，=41=1，公比为6的等 比数列.于是6=6 (2)由题意可知，a2m=2a2-1-1,所以S2n=a1+a2+a+…+a2= (a1+ay+…+2-)+(a3+a++,)=(a1+a3++a2x-1）+(2a 1+2a3-1++2a2n1-1)=3(a1+a3++an-i)-=3(6,+6+b+ +6,)-a=3x1-6 证明如下650=6，令6=2+2-号×6-2a名 6 6+2=6-2+666-2a1+-（ 1 4 1 6-2）-2>0,所以数列6单调适城，放6,6=0 即25n≥a2+1-2 专题探究8数列通项公式的求法 专题强化 1,B解析：由6n=aol+a.,得6nl=au2+1.则b1-b=2- 题·数学·058一 a,=2,从而a2=a2脑-42+a2-21+…+-a1+a1=2× 1012+1=2025.故选B 2.B解析：在等差数列1an}中，a1+a,+…+a3-1= n(4,+0a-1） 2 内+-品用 子片周武部广会数列会}是常数列，吃受即 n+2 n 2(n+1)2n ==n所以=2025.故选B. 3.C解析：因为a,+a1+a3+…+a,=2"-1①，当n≥2时，a1+a+a+ …+41=2-1-1②，①-②得an=2"-21=2-1.n≥2，又41=2l-1= 1.满足4n=2-1,所以a。=2-1,所以a2=(2-1)2=4-1,所以 o城44r答号撤 4.B解析：因为数列，1是“等比差”数列，所以_"=d (a∈N).因为，=，1,4，=3，所以=-2=2，所以有 4201 da-l =2"1%=2.…=2,以上各式累加得2_=2n 4, dx dw-1 a+141 →2=2=2n+1→=2n-3(n≥2.neN）,因此有=2n-3, +1 d-1 2n-=5.21,以上各式累乘得(2-3)x2n5)x网 0a-1 1=0,=1×3×5x…×(2n-3),所以24-1X3x5x…X41×43x45 1×3×5×+…×41 1935.故选B. 5C解析：因为a写+2hn(N”)①，当=1时 贴，h1=0当2时，，学弩品-12.D 2得2二ha-(a-=h片=(2-h蜂上所述： (0,n=1, 4{2-0h≥2 对于选项A=5h子，故A错误对于选项=3h2=h8, 5h周为2624.即82 则h8>n23 32,即>4，故 B缩误：对于法项C场=h8h贺-h型=兰 h(号）广，因为243x3=39=(3)=27,4=25=(2y=16. 即2434，可得（传）}母h()）>如（信）厂广.所以a a>a4,故C正确：对于选项D:设>0，记f(x)=m(1+x)-,则 左10，故到o=0,h(1+)在(0，+)上 恒城立.所以a1=21h中=(2r+1h(片）k(2+1)… 1=2+,故D错误 n 6.C解析：an1=ad,=2,易知a>0,故lna+t=4ln8.,故lna.是 首项为n2,公比为4的等比数列.lna。=4-·ln2.lmas=45· n2=n21,故6=2，故选C 7.BCD解析：数列1a。1中，a1=2,a1-2a,+a,“1=0,则a,≠0， 此数列{}是首项，公比均为宁的等比数列，B正确：1一 一学霸高考·白 -=1+ 2-1 1+对于人子A错误：对于C %20.则a6正确：对于D.S2 1 2-1+2+…+1+2>+2+2+…+2=1+ 之2西，D正确故选BCn 8.B解析：在数列1，中，由a1=2,1=24,得数列an|是首项 为2，公比为2的等比数列，即a,=2八则61=2弘，-2，即14 212 子·因此数列（会}是以宁3为首现，为公差的等差数列 则略=3(a-D(）即=0-2r由或得2 (7-m)2-.所以m=5.故选B 9.A解析：因为数列为“速增数列”，a1=2,2=4,且a。eZ,所 以对neN”,42-a1>a+1-a,a2-a,=2,所以4-a-1> 1-2>>0-02>02-4=2,且4，eZ,所以a-2≥3，… 0-1-2≥k-1,a--1≥k.相加得(a,-a1)+(a1-a4-2)+ …+(-2)+(2-a1）+41≥+(k-1)+…+3+2+2,即2025 +1,keZ,当k=63时.)+1=2017，当k=64时. 2 2 (+)1=2081,故正整数k的最大值为63.故选入 2 0.Am局板：依题息m是名设第：次家出球是红事的颜车为 P。,则白球概率为(1-p,).对于第(n+1)次，收出红球有两种情况： ①从红箱取瑞×冬，2从白箱取出(1，X,所以p-号 等比数列，公比为因为名所以a=日，放0，=2，即 17 1 对应n.=2+2,所以h=2,故A正确：因为n=2 2a0.所以1=)+2p22+2,所以4p+ 1 2 52e列故B正确因为宁2宁高话 数=宁点在定义城上单洞遥减，当时点一0，所以 1 子2一→之即当n无限增大A将趋近于？放C错误：因为 n=2+2所以8= (任)门小受名[+1（行）门]放D正确放选Am 1.02解析：因为01二。 广所以a14,+2+1=2,助 da+t a. 品T0加故指案为品 题·数学·059一 12.22-1+2解析：因为41=3×2”-a.,所以a+2=3×2-+1 则a+2-a,=3×2,所以a2+t-a1=(a2+1-a2-)+(a2-1-42-3)+ …+(a,-4,)=3x(2a-1+2-+…+2）=3x2142=2*1-2 1-4 则21=41+221-2,421=1+21-2，所以02n=3×221-2-1 3x22-1-01-2-+2=2-41+2,所以am+a21=3×2,所以其 前2025项的和为a+(+a3)+(4+5)+…+(a2m4+:s)=,+ 3x(242*+…+24)=a,+3×4x1-42 2=,+220-4=226 1-4 解得仙1=4，所以a21=2-1+2,故答案为22-1+2. 13.解：()由题意知.2，因为6，=1，且6，是公比为2的等比 b。 数列，所以“=4.因为a1=1,所以数列“n为首项为1，公比为4 的等比数列，所以3=1x1-4)_ 1-4 3×(4”-1). (2)因为b=1,且161是公差为2的等差数列，所以b,=2n-1,所 哈会之会子所 以2.2+12a-D因为a=1,所以a,=×(4n2-)。 3×1 14.(1)解：由(n-2)S1+2n1=n5。,得(n-2)S1+2(Sn1-S)=n5。, S4n+2.3S4S5 即n5(m*2)8…8n87823… S2 n-2'5-1 n-1' m-2m-1 n(n+1) 2 n≥2，S。=n(n+1),n≥2，又S1=a1=2符合式子.所 以Sn=n(n+1),neN”,当n≥2时，4w=S.-S-1=m2+n (n-1)2-(n-1)=2n,又a1=2符合上式，所以a,=2n(m后N). (2)(i)解：ijeN°，i>j,2n,-=2×2i-2=2(2i-j),20,- %,=0时六a.|具有性质①，meN°，n≥3,3k=n-1,1= N-2,2n-=4(m-1)-2(n-2)=2n=a,心.{a.具有性质2，数 列1.是T数列。 (ⅱ)证明：：6，是单调递增数列.首先利用性质②：取n=3,此时 b3=2b:-b,=b+(b-b,)(>),由数列的单调性可知b>b:,∴b3= b+(b-b,)>b,故<3，此时必有k=2,1=1.即b=2b2-b1,即b1, b2.b3成等差数列，不妨设b2=b+d,6=b1+2d(d>0),利用性质①： 取i=3,j=2.则b。=2b1-6,=2(b+20-(b1+d)=6,+3d,即数列中 必然存在一项的值为b,+3d.下面证明b=b,+3d,若b≠b,+3,则 由数列的单调性可知b4<b,+3d.在性质②中，取n=4,则b4=2h- 6=0+(b,-b)>b,从而k<4,则{k,1S11,2,31(k>1).若k=3, 1=2,则ba=2b3-b2=b,+3d,与假设矛盾：若k=3,1=1,则b,=2b1- b1=b1+4d,与假设矛盾：若k=2,1=1,则6=2b2-b1=b1+2d=b3,与 数列的单调性矛盾，故不存在满足题意的正整数k,1.可见b,<b,+ 3d不成立，从而b,=b,+3d,同理可得=，+4d,b。=b,+5d,…, .b为等差数列. 专题探究9数列求和 专题强化 1.C解析：S1=1+(a2+,)+(a,+05)++(a0+31)=1+2×2+2× 4++2×30=l+2x244+…+30=142×5x(2+30)=481.故选C 96.94 2C解析：atag+te+a0g7+g5…+站①，3 ,器尝…觉的2.①2得2-（货… 贺）（贷资为”）(0）+（贷） 一(g5）(器0）-22*4242=02.所以5=9%散 选C 一学霸高考·白 3.BCD解析：由题知，数列a,满足a1=山2=1,2=a++1,:∈ N”.对选项A,42+a+a6++2m4=ay-a1+y“a,+-ay++ as-=2s-a1=a2脑-l,故A错误对选项B,a1++5+ ta2四=2+a:-+6-a,+…+a24-a22=2e4,故B正确. 对选项C,1=0+20。a21=a+1·(0+2m)=1·a21· aaa+a+a++am4=a+(2a-a2a1）+(aa4-ay4,）+…+ （2m1s2m4423）=2442@s,故C正确.对选项D, 1 d.dav2 0m2n三 1 1…+ dadua 1+1 1…+ 1 420gla203a12a2a342a3a3a434a45 20101022 一故D正确.故选BCD. a222a301311 4.5m3-1解析：当m=2k,keN”时.54=5.5，所以代5")=15- 51=0:当n=2k-1,keN时，54-1=51·5，所以5)=151- 51=5-5:所以数列1八5)1的前2025项和为(3-50)+0+ (52-5')+0+(53-52)+0++(5102-50m1)+0+(5m-5102)= 51-1.故答案为50-1. 5.解：(1)若选择条件①，在等差数列a.中， a=7, 43+a1=26. +27解得03 六{2a,+10=26. ,an=a1+(-1)d=3+2(n-1)=2n+ ld=2. a1=3, 1:若选择条件②，在等差数列1a,1中， a= 解得 41=3, ,a.=01+(n-1)d=3+2(n-1)=2m+1:若选择条件③，在等 d=2. 差数列1a.中，41=S,=3,当n≥2时.an=5。-S-1=2+2n (m-1)2-2(n-1)=2n+1,a1=3也符合该式，4n=2+1 (2)由(1)科6=2n+12-"n+D4（a )-(分}) 1 1,11,w11 6.解：(1)设等差数列1，的公差为d,由西+a,+=62,S,=30,得 301+11d=62, 3x2=30 3a 解得色6则a.=4,+(m-)d=6+4(n-1)= 八d=4, 4n+2,所以a,的通项公式为a。=4n+2 (2)由(1)得6。=(-1)”·a,=(-1)·(4n+2),所以Tm=-6+10 14+18-…-(4×99+2)+(4×100+2)=(-6+10)+(-14+18)+…+ (-4×99-2+4×100+2)=4×50=200 7.解：(1)设数列a.的公比为q,由3a2=2a1+a3,得3a19=201+a19, 所以=2，解得9=1或9=2，若=1.测由5，=0，得4=艺所 以S2=15.38-385=)与52=15矛盾所以9≠1，若=2，则 2 由S,=30,得01=2，所以S2=6,38-a5=38-2×2=6,即S=38-a5, 所以1=2，q=2,所以4，=2”.故数列1a。的通项公式为an=2” (2)由6n=a,·0g20。=n·2”,T。=1×2+2×22+3×23+…+(n- 1)×2-1+n×2,两边同乘2得2T.=1×22+2×23+3×2+…+(n 1)×2"+n×21.两式相减得-T。=2+22+23+…+21+2-n×2,所 以T,=nx22X(1-2)=(a-)×2+2,放数列1么，的前n项和 1-2 T,=(-1)×21+2 8.解：(1)由25。+3-3知。=0，可得n=1时，25，+3-31=0，解得a1=3, n≥2时，25。-1+3-30.1=0，又2S。+3-3a。=0,两式相减可得 2a,=2S,-2S1=3a。-3-301+3,即有a,=3n-1,数列1an|是首项 为3，公比为3的等比数列，所以4。=3” 3 3 (2)数列16，满足6.=(a,+1)(@+(3+1)(3+ 题·数学·060一