第八章 第3节 等比数列及其前n项和-【5星学霸·高考白题】2026年高考数学一轮复习

学霸高春白题数学 第3节 等比数 ☑应用提优1考点全面，能力提升限时：50min 1.(2025·江西南昌一模)已知{an}为等比数 列，若a2+4a4=4a3,则{an}的公比q=(） A.-2 B.2 cn月 2.(2025·广东广州模拟)已知Sn为等差数列 {an}的前n项和，若a,S,75成等比数列， 且a4=5,则数列{an}的公差d= A.-1 B.2 C.5 D.2或5 3.(2025·吉林通化期末)《算法统宗》中有这样 一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为 难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见 每朝行里数，请公仔细算相还”.其意思为： “有一个人走378里路，第一天健步行走，从 第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一 半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天 开始，走的路程少于30里？ ( A.3 B.4 C.5 D.6 4.(2025·湖南株洲期末)记等比数列{an}的前 n项和为S。,若S。=a·2"-4,则a1=( A.1 B.2 C.4 D.8 5.(多选)(2025·湖北武汉模拟)记等比数列 {an}的前n项积为Tn,且a5,a6∈N”,若To= 6,则a+a6的可能取值为 A.-7 B.5 C.6 D.7 6.(多选)(2025·浙江宁波模拟)已知数列 {an},{bn}都是正项等比数列，则 ( A.数列{an+bn}是等比数列 B.数列{an·bn}是等比数列 C数列 是等比数列 D.数列{a·}是等比数列 082 列及其前n项和 7.(2025·湖南邵阳一模)若等比数列{an}(n∈ N)满足：a3+a5=10,a6+a=80,则数列{an} 的公比g= 8.已知正项等比数列{a,}的前n项积为T,若 T,是{T中唯一的最小项，则满足条件的 {a,}的通项公式可以是 (写出一个 即可) 9.数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马 通过观察计算曾提出猜想：形如F。=22+ 1(n=0,1,2,…)的数都是质数，这就是费马 素数猜想半个世纪后善于发现的欧拉算出第 5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜 想.现设：an=mlog2(Fn-1)(n=1,2,3,…）,m 为常数，Sn表示数列{a.}的前n项和，若S。= 126,则a5= 10.(2025·河南周口期末)设S。为正项等比数 列a,的前n项和，已知a日8=子 3 (1)求数列{an}的公比q; (2)求数列{an}的通项公式； (3)求数列{an}的前n项和S 11.(2025·吉林延边一模)已知数列{an}的 首项a1=1,且满足a+1=3an+2n-1. (1)求a2,a3; (2)证明：数列{a,+n为等比数列； (3)求数列{a.}的通项公式 第八章数列学丽高春 12.(2025·山东聊城期末)已知等比数列{an} 的前n项和为S。,an+1=2Sn+3. (I)求数列{a.}的通项公式： (2)在数列{a.}的相邻项ak与ak:(k∈ N·)之间插入k个相同的数(-1)，使 其与原数列构成新数列{b},设T.为数 列{bn}的前n项和，求To 083 学霸高春|白题数学 ☑应用提优2考点全面，能力提升限时：50mim 1.(2025·河北秦皇岛模拟)已知等比数列{a.} 中，a1·a3·a=4,公比q=√2，则a4·a5·a6= A.32 B.16 C.-16 D.-32 2.(2025·山东烟台一模)已知等比数列1an}的 前n项和为Sn,a2+a3=6,a1a4=8,则S4= ( A.-15 B.-5 C.5 D.15 3.已知等比数列{an}的公比g=2,前100项和 为S1o=90,则其偶数项和a2+a4+…+a1o为 ( A.15 B.30 C.45 D.60 4.(2025·陕西西安模拟)已知Sn为数列{an} 的前n项和，命题p:an}是等比数列：命题 q:Sm,Sm,Sn成等比数列，则p是g的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2025·福建福州模拟)已知等比数列{a,}的 前n项和为S.,且Sn1,Sn,Sn2成等差数列，则 a22= a224 A.-2 B.-1 C.1 D.2 6.(2025·山西运城模拟)古代“微尘数”的计 法：“凡七微尘，成一窗尘：合七窗尘，成一兔 尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛 尘：合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于 虱：合于七虱，成一芥子：合七芥子，成一大 麦：合七大麦，成一指节；累七指节，成于半 尺…”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘 084 虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了 公比为7的等比数列那么1指节是() A.7兔尘 B.77羊尘 c坐 n,米尘 7.(多选)十二平均律是我国明代音乐理论家和 数学家朱载堉发明的，明万历十二年（公元 1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平 均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1 和2之间插入11个数，使包含1和2的这 13个数依次是递增的等比数列，记插入的 11个数之和为M,插入11个数后这13个数 之和为N,则依此规则，下列说法正确的是 () A.插入的第8个数为4 B.插人的第5个数是插入的第1个数的迈倍 C.M>3 D.N<7 8.(多选)(2025·河北秦皇岛模拟)在等比数列 1a.}中，a1>1,a2m42m4>0,2- a-0,若8 为{an}的前n项和，Tn为{an}的前n项积，则 A.{an}为单调递增数列 B.S20m3<S224 C.T2为{Tn}的最大项 D.{T无最大项 9.(2024·山西临汾期中)记等比数列{an}的前 n项和为Sn,已知S=10S2,且a,-a2=2,写出 满足条件的一个{a。}的通项公式： a= 10.(2025·福建漳州模拟)已知数列{an,{bn} 满足：an-ba+1+3b.+n=0,b。-a1+3a.+2n- 1=0,若a1=2,b1=1,则bn= 11.(2025·江苏无锡期末)数学史上著名的“康 托三分集”，其操作过程如下：将闭区间[0， 1]均分为三段，去掉中间的区间段兮，号)。 记为第1次操作：再将剩下的两个区间，分 别均分为三段，并各自去掉中间的区间段， 记为第2次操作…每次操作都在上一次 操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分 为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作 过程不断地进行下去.若使前n次操作后剩 余所有区间长度之和不超过0，则需要操作 的次数n的最小值为 ,该次操作完 成后依次从左到右第四个区间为 .(1g2=0.3010,lg3=0.4771) 12.(2025·浙江台州期末)已知数列{a.}满 足a,=e(e为自然对数的底)，且an1=a+ Aa.(n∈N'). (1)当A=0时，令bn=lnan,求bn的通项公 式及其前n项和S.; (2)当A=1时，令c.=1+ 1 -Tn=c1+c2+c3+ …+cn,Rn=c1c2×…cn,求eTn+Rn的值 第八章数列学霸高春 3.(2024·河南新乡二模)已知数列{an}满 2an-1,n为奇数， 足a1=1,an1= 3an+3,n为偶数. (1)记b.=a2m-1,证明数列{b}是等比数列， 并求{b}的通项公式： (2)求{a.}的前2n项和S2n,并证明 2S2n≥a2a+1-2. 0851)ct-3e,c-2=3(n-2)cn-2-3(n-1)c-1,…,1=301-6c2,累加 得含=3-(3n+3e1=1-(3n+3)cm1<1,得证 第3节等比数列及其前n项和 应用提优1 1.D解析：根据等比数列定义由a2+4和4=4n3可得2+4e292=4a29, 显然≠0，所以4g-49+1=0,解得g=了放选D 2.B解析：设等差数列1品，的公差为山，由%，S,75成等比数列可 得5号=75a,≠0，即(51+10d)2=75(a1+2d)≠0.(a1+2)2= 3(41+2d)≠0①，又a4=5.即01+3d=5②.由①2解得41=-1， d=2,故选B. 3.B解析：设第一天的步数为1，依题意知此人每天走的路程构成公 比为的等比数列，所以 -()门 =378,解得41= 1 12 19244n=192· 30,.2">128,解得n≥4.放选B. 4.G解斩：显然g≠1，等比数列前n项和公式为S,1可）。 1-g 1-g 父，因为$，a·2”-4为等比数列的前项和，所以a4,所 以S.=4·2-4,所以41=5，=4×2-4=4.故选G 5.BD解析：1a,是等比数列，.Te=a12a0=(a5a6)5= 63,.a5a6=6,又a5,@6eN”,a50n=6=1×6=2×3,.a5,o分捌为 1,6或6,1或2,3或3,2，a+a=7或5.故送BD. 6.BC解析：因为数列{a。,b,|都是正项等比数列，所以设数列 a。,6的公比分别为1,9，且1>0，>0，且对任意的正整数n 有an>0,b.>0成立：对于A,不妨设a.=2”,b.=3”.满足{am}.b. 都是正项等比数列，此时口，+6，=2”+3”，因为.4+913 4,+6,2+35 -8号=答所以一此时+6不是等比数列。一 a1+b,a2+b2 放A不正确：对于B,因为：=·，所以数列 0。·b。,6。 a。·6,是等比数列，放B正确：对于C,因为=，么= ba+lb。ba+1a. 公·么台所以数列{会}是等比数列，故C正确：对于D。 设a=2”,bn=3”,满足a,1,16都是正项等比数列，此时a= 分22 28好4=2，的=8即=2”，所以空2”2 22, 所以空 以宁此时数列1心不是等比数列，故D不正确：故 选BC. 7.2解析：因为等比数列e,1(neN*)满足：1+，=10，w+aw=80, 则a6+as=（ata5)=10g=80,解得g=2故答案为2 8,=2(答案不唯-）解析：令a,=写2r,则数列1a, 1 2 .8 16 单调递增.且a=949,4=9,49,a9…,所以 分石品不高6即>>>1当5时 8 64 号>1，即7>江所以7>T>T<1,< 所以T是T中唯一的最小项，故符合题意故答案可以为a。= 9·2"（答案不唯一. 一学霸高考·白 9.32解析：F.=2+1,a,=mlg(F。-1)=m·2”,显然m≠0，则 m·24 m·22数列10，是首项4，=2m,公比g=2的等比数 列.又5。.2m12).126m=126.m=l.,=2=32故答案 1-2 为32 10.解：(1)因为数列1a,1是正项等比数列.则g>0,由题意得， 整理得兰=6，即6矿-1=0，解得0=或 3 s=a,(1+q)=4 =3(含去) ()(八 1-q 2 11.(1)解：a2=301+1=4.41=302+3=15. (2)证明：由a+1=30n+2n-1得a+(n+1)=3(a。+n）.且a1+ 1=2*0.所以数列1+是首项为2，公比为3的等比数列. (3)解：由(2)知数列1a,+n是首项为2，公比为3的等比数列，所 以a.+n=2x3',即8，=2×3l-n 12.解：(1)由a1=2S。+3,得an=25-1+3(n≥2)，两式相减得 a1-an=2(S。-5-1)(n≥2)，即a+1-a.=2a(n≥2)，a1= 3n(n≥2).得等比数列|a,|的公比9=3，又当n=1时，m2=2S,+ 3=2n1+3=341,所以a1=3,所以.=3. (2)数列16为3.-1,32,1.1,33，-1.-1，-1,3…以如下划分： 3.1-1.321,1.1.33.-1.-1.-1.3.1…得项数X,=1+2+3+4+ …+n=(D,当4=8时共有项数X,=36,当=9时共有项数 2 X,=45,所以T0=3+32+33+3+…+3+(-1)×1+1×2+(-1)×3+ …41x64(-1x741x4313-744=x(3-1)=980 1-3 应用提优2 1.A解析：由4·45·6=a1···92·45·9=·4·5· g=4×(2)=32.故选A 2.D解析：由等比数列a,}性质可知，1·m=a1a,=8,又a2t=6, 解得或当时g=”=2所以4=l,故3 a=41a3=2,a=4 1之=5，当%=4 1-2 (a5=2 品宁所以=放5 =15.综上.S,=15,故选D 3.D解析：设S=1n++m,则m3n+m=(atn+…+四g=25 因为Sm=a,+a2+…+a1m=90,所以3S=90,S=30,所以a2+ a+…+am=2S=60.故选D. 方法总结 若等比数列有得数项，则S:=S方，用整体思想处理问题，方便简徒。 4.D解析：令n=(-1)”,数列10.1是等比数列，S2m=0,S,Sm,5 不被等北数到不程整出令化则及。 1,S,S,Sn成等比数列，而1a.I不是等比数列，4不能推出p,所 以P是？的概不充分也不必要条件故选D. 5.A解析：因为等比数列1a。{的前n项和为Sn,且S,S。,S2成等 题·数学·057一 差数列，所以25。=51+52，设等比数列的公比为？，由题意知，9≠ 1,所以2x41-9）_(1-)1-g2) 1-9 1-9 化前，得g2+9-2=0, 1-g 解得g=-2或q=1(会去)，所以2脑==-2故选入 42024 6.A解析：设1微尘为，因为微尘，窗尘、兔尘.羊尘，牛尘，机，虱，芥 子，大麦，指节、半尺的长度.构成了公比为7的等比数列，所以1窗 尘为74,1兔尘为72a,1羊尘为7a,1牛尘为7a,1虮为7a,1風为 7a.1芥子7a1大麦7a.1指节为7a,因为：7，所以1指节 72a 是7兔尘，A正确C不正确：因为=7户，所以1指节是7力羊尘 B,D不正确：故选A. 7.ABC解析：设该等比数列为an1,其公比为4，由题意可知，a,= 1,3=2,故gP=2,解得g=2拉a=a1g=2拉=拆，即插人的第 8个数为海，故A正确：插入的第5个数为6=g=(2)=2正。 插人的第1个数为2=419=22插人的第5个数是插人的第1个 数的5倍，故B正确：M=41-").2(1-2)。2立-1 1-g 1-2 1-2 11 要证03，即证-1之>3，即证十>4，即证子 1-2 1-22 22-1 应，即正（任）P>2.面（任）”15%2.故c正商=… 3.(）>14192g>2 ->5 22-1 -1- ,>4.M>4,,N=+3>7故D错误.故选ABC 1-2 8.BC解析：由ama,m4=a2m×a2m×q=am×q>0,因此q>0.又因 为a1>l,则an>0.当g≥1时，an=a9l>1,则a2e>1,424>1,则 24-1 >0,与题意矛盾.因此0<g<1,则|a。为单调递或数列，故 a23-1 达项A错误面5204-S3=02@4>0,故$2<24，选项B正确.又 因为a,为单调递减数列，则a>0,曲- 0侧c0可知. T. m>1,0ca<1,所以当n2023时7亡，>1.则7.>7当 工=，<1，则T,<1因此7.的最大项为，则 n32023时，T 选项C正确，选项D错误故答案为BC 9.-3(支2(-3))解桥：由5=0s,可知公比不为1.所以 1-2-101-） 1-0 1-g →1+g2=10→g=±3，当g=3时，a1-a2= a1(1-g)=-2a1=2→a1=-1.所以a,=-31:当g=-3时，01 4a(1-)=a,=2a,=子所以4宁(-3)故答案为 -3(-3)…}片 10.22-1-21解析：由题意可得a,+3动，+n=b.b.+3n,+2m-1= al,则a1+61+n+1=4(an+b.+n）,a1-b1+n+1=2(an-bn+ m),又a1+b,+1=4,1-b1+1=2,则数列1a。+6+n是以4为首项， 公比为4的等比数列，数列引。-b,+程|是以2为首项，公比为2的 等比数列，所以.+b.+n三4”①.a。-b,+n=2"②.①②2联立 得26=4"-2，所以6=21-21故答案为221-2-1. 11.10 [品】解折：第一次提作去*了区同长度的了有下 [0兮]子小第二次操作去排2个长度为)的区同，即长 一学霸高考·白 度和为号利下的区同从左到右依次为[0]，[子] [子，号][号，小以此类，第次操作将去掉2个长度 为宁伯区间则第：次操作去特的长度和为二设。一则 日。而‘2六了，所以数列1a,为等比数列，其首项为， a+12"3”2 号公比为=子a的前a项和5 ()] (仔)广由题意令-（号）门如则（仔）广≤0所 以际（号）广≤g0即子≤-(k5+1).所以≥ -(lg5+1).-(2-g2)。-(2-0.3010) 号 g2-g30.3010-0.4771 =9.6.所以n=10,第 8次操作后第1个区同0]：第9次操作后，第1,2个区间 0]-[品]第0次操作后第12,34个区间分别为 []品]倍品]品品]两以从左到右 第4个区饲为[三]故答案为10[品] 12.解：(1)当A=0时，a1=a,两边取对数，a1=2na,即 b1=2b。,又b1=na1=1,故b.是首项为1，公比为2的等比数 列，故6，=1×21=21=1-2 1-2 2"-1 (2)当A=1时，a1=2+n,=a,(a+1)(◆)，则=。 aati aa(a.+1) c女是o-(行 a )小信小…（位）期 L=,于是R,=6×…c. l=1+n,故61+m1 6.1_3t3_32-n1t3 13.解：(1)由题意可知，6- 42g-1 3(20-1-1)+3 =6,所以数列1b.是首项6，=41=1，公比为6的等 比数列.于是6=6 (2)由题意可知，a2m=2a2-1-1,所以S2n=a1+a2+a+…+a2= (a1+ay+…+2-)+(a3+a++,)=(a1+a3++a2x-1）+(2a 1+2a3-1++2a2n1-1)=3(a1+a3++an-i)-=3(6,+6+b+ +6,)-a=3x1-6 证明如下650=6，令6=2+2-号×6-2a名 6 6+2=6-2+666-2a1+-（ 1 4 1 6-2）-2>0,所以数列6单调适城，放6,6=0 即25n≥a2+1-2 专题探究8数列通项公式的求法 专题强化 1,B解析：由6n=aol+a.,得6nl=au2+1.则b1-b=2- 题·数学·058一