第七章 第1节 复数的概念及其运算&综合测试&真题演练-【5星学霸·高考白题】2026年高考数学一轮复习

学霸高春白题数学 第七章 数系的扩充与复数的引入 第1节 复数的概念及其运算 应用提优考点全面，能力提升限时：20mim 6.(2025·安微合肥模拟)欧拉公式er=cosx+ isinx建立起了复数、三角函数和指数函数的 1.(2025·山东临沂一模) 2-i 桥梁，在解析几何中具有重大意义，在复变函 A.2+i B.2-i 数论中占有重要的地位.根据欧拉公式，以下 C.1+2i D.1-2i 命题正确的个数是 2.(2025·陕西宝鸡二模)已知关于x的实系 命题1：=31 22 数方程x2-2x+k=0的一个虚根为1-i,则另 外一个根的虚部为 命题2：e+1=0: A.1 B.-1 命题3：e的共轭复数为3 22 C.i D.-i 3.(2025·湖南邵阳一模)已知复数z满足：：· 命题4：e为实数. i+l=1+2i(n∈N,i为虚数单位)，则1z= A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2025·河北秦皇岛模拟)已知复数1=1-i, 复数2=x+yi,x,y∈R,1,2所对应的向量分 A.5 B.25 别为0Z,0Z,其中0为坐标原点，则以下命 C.5 D.10 2 题错误的是 4.(多选)(2025·湖南长沙模拟)已知复 A.若0Z∥0Z2,则x+y=0 数1,2，满足a,·≠0，下列说法正确 B.若0Z∥oZ,则2∈R 的是 A.若=2，则=号 C.若0Z10Z,则2=0 B.la,+a2≤a,+2 D.若0Z⊥0Z,则+=-2 8.(2024·江苏南通二模)设m∈R,i为虚数单 C若ER,则户∈R 位.若集合A={1,2m+(m-1)i},B=1-2i, D.12=a12 1,2,且ACB,则m= 5.(2025·广东佛山模拟)已知复数，=1-3i 9.（2024·湖南常德模拟)若复数：满足： 与2=a+bi(a,beR)在复平面内对应的点关 =2,则1+il= 于直线x+y=0对称，则复数2在复平面内对 10.(2024·陕西西安模拟)已知z=x+yi,x,y∈ 应的点位于 ( R,i是虚数单位，复数三+i是实数，则1z的 A.第一象限 B.第二象限 1-i C.第三象限 D.第四象限 最小值为 072 第七章数系的扩充与复数的引入学霸高春 第七章 综合测试 乙章末自测阶段强化，巩固提升|限时：60min 6.(2025·山西太原月考)设复数：满足|z,, 一、单选题 1z}=1x2,2,1z21,则x的虚部是() 1.(2025·河南安阳模拟)若z=(x2+x-6) (x-2)i是纯虚数，其中xeR.则( A.x=2或x=-3 3 B.x=2 C.0或± n0或 C.x=-3 二、多选题 D.x≠2且x≠-3 7.(2024·九省联考)已知复数z,0均不为0，则 2.(2024·山西临汾一模)已知z=m+ni,其 () 中m,neR,若=1-2 则m+n= Γ1+2i' ( A.22=1z12 8.5 21z12 > C.z-0=z-10 C. 3.(2025·江西南昌一模)已知复数：满足 z+2z=6+i,则z= ( 8.(2025·广东汕头一模)已知复数0=1-i,z= A.2+i B.2-i x+yi(x,y∈R),则下列结论正确的是() C.1-2i D.1+2i A.方程z-=2表示的z在复平面内对应点 4.(2025·四川宜宾一模)如图，在复平面内， 的轨迹是圆 网格中每个正方形的边长都为1，点A,B对应 B.方程z一0+z-=2表示的z在复平面 的复数分别为1,2，则1-2= ( 内对应点的轨迹是椭圆 C.方程z-0-z-而=1表示的z在复平面 内对应点的轨迹是双曲线 D方程+场) =z-0表示的z在 A.√13 B.10 复平面内对应点的轨迹是直线 C.3 D.5 三、填空题 5.(2025·湖南长沙模拟)在复平面内，若i是 9.(2024·江苏南京摸拟)若复数z=3-4i+13- 2 虚数单位，复数：与，对应的点关于虚轴对 1+ 4il,则1z= 称，则= A.1+i B.-1-i 10设复数：)=g+r四4…t+ C.-1+i D.1-i 1,则fz)= 073 学霸高春白题数学 四、解答题 高考新趋势 1.已知：是复数，+2i与22均为实数 1.新定义新运算已知z=a+bi(a,beR,i是虚 数单位)，1,2eC,定义：D(z)=lal+1bl, (1)求复数z: (2)复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第 D(21,)=-,给出下列命题： 一象限，求实数a的取值范围 ①对任意z∈C,都有D(z)>0: ②若z是复数z的共轭复数，则D(z)=D() 恒成立： ③D(a)=D(2)(1,2∈C),则1=2； ④对任意1,2,3eC,结论D(,)≤ D(1,2)+D(2,)恒成立. 其中真命题是 A.①②3④ B.②③④ C.②④ D.①③ 2.新情境四元数（多选）(2025·江苏苏州模 拟)1843年，哈密顿在爱尔兰发现四元数 当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数 12.已知复数=-1+31，=1+2i,=，+ 可视为平面上的，点).他不能做到三维空间 (1)求z: 的例子，但四维则造出四元数.对四元数 (2)在复平面内，复数：，32对应的向量分别是 u=a+bi+cj+d,a,b,c,deR的单位i,j,k,其 O,O,其中0是原点，求∠AOB的大小 运算满足2=j子=k2=-1,j=k,jk=i,ki=j, ji=-k,kj=-i,ik=-j:记u=a-bi-cj-d认， N(u)=uu=a2+62+c2+,u= √+b+e+d,定义u1=二，记所有四元数 构成的集合为V,则以下说法中正确的有 ( A.集合{1，i,j,k|的元素按乘法得到一个 八元集合 B.若非零元u,veV,则有：u'u=D C.若u,v∈V,则有：N(uw)=N(u)N(v) D.若非零元ueV,则有：u= u2 074 第七章数系的扩充与复数的引入学霸高春 第七章 真题演练 乙真题集训探究考向，剖析考点限时：20min 9.(2023·全国甲理)若复数(a+i)(1-ai)=2, 1.(2025·全国一卷)(1+5i)i的虚部为( a∈R,则a= () A.-1 B.0 C.1 D.6 A.-1 B.0 2.(2025·全国二卷)已知2=1+1，则1 C.1 D.2 -1 10.(2021·全国乙理)设2(z+)+3(z-)=4+ ( A.-i B.i C.-1 D.1 6i,则z= 3.(2024·新课标全国Ⅱ)已知z=-1-i,则1z= A.1-2i B.1+2i ( C.1+i D.1-i A.0 B.1 11.(2022·全国乙理)已知z=1-2i,且z+az+ C.2 D.2 b=0,其中a,b为实数，则 () 4.(2024·全国甲理)若z=5+i,则i(z+z)= A.a=1,b=-2 B.a=-1.b=2 ( C.a=1,b=2 D.a=-1.b=-2 A.10i B.2i C.10 D.2 12.(2022·全国甲理)若z=-1+3i,则之= z8-1 5。(2024·新课标企国1)者14i,则： () ( A.-1+3i B.-1-√3i A.-1-i B.-1+i 1,3 C.1-i D.I+i C.-33 n号停 6.(2023·新课标全国Ⅱ)在复平面内，(1+ 13.(2021·全国甲理)已知(1-i)2z=3+2i,则= 3i)(3-i)对应的点位于 ( () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A.-1-3 2 7.（2023·全国乙理)设z= 1+,则=( 2+i 3 C.- D、3 A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 14.(2024·天津)已知i是虚数单位，复数 8.(2022·全国甲文)若z=1+i,则1iz+31= (5+i)(5-2i)= ( 15.(2023·天津)已知i是虚数单位，化简 A.45 B.42 5+14i 的结果为 C.25 D.22 2+3i 0753 335/3 55153 Su-2 absin C-2x7x3x 144 选择③cinA=三5，则有cx 2 5.5,解得c=5,则由正弦定理 22 得 点c即二。解得血c-源因为C为三角形内 sin A sin C'3 sin C' 2 则5aue=子a血8=x7x5x2沿155 144 第七章数系的扩充与复数的引入 第1节复数的概念及其运算 应用提优 55(2+i)5(2+i) 1.A解折222引2*i,故选A 2.A解析：将1-i代人x2-2x+k=0中可得(1-i)2-2(1-i)+k=0,解 得k=2,故x2-2x+2=0-(x-1)2=-1,故x-1=±i,因此另一个虚数 根为x■1+i,故其虚部为1，故选A 3.C解析：i+1=i×i=(i)×i=1"×i=i,.x·i+1=:·i=1+ 2i,x=2-i,…l=√22+(-1)=5.故选C 4.BD解析：对于选项A,设1=1+i,2=21,则111=121=2，子= (1+i)2=2i,号=(2i)2=-2,不满足子=号，故A错误：对于选项B, 设在复平面内表示的向量分别为1，，且，≠0，当 1,2方向相问时，1z1+1=z11+|21,当1,2方向不相同时， 3l<1+,综上1121≤11+2l,故B正确：对于选项 1+i C,设=1+i,=1-i,=(1+i)(1-)=2eR,5=1号7 (1+i)2 (-)1+iR,故C错误：对于选项D,设=a+i,=c+,a, b,c,d≠0，=(a+6i)(c+)=(ac-bd)+(ad+bc)i,则1z1= (ae-bd)+(ad+be)=(ae)+(bd)+(ad)+(be),1= √a2+6,√C+d=√(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)7=1l,故 D正确.故选BD. 5.A解析：西1在复平面内对应的点为(1，-3)，其关于直线x+y=0的 对称点为(5，-1)，所以2=3-i,则马=5+i,所以其在复平面内 对应的点为(5,1)，位于第一象限故选A B朝折：易知。子：…子+m宁子受1.国此角国1销 误；e=cos+isin=-1,即可得e+1=0,所以命题2正确， 又。侧名恤君-受宁所以。的共餐复数为 221, 即命愿3正确：显然。予=m子油受-041i,为纯虚数，即命题 4错误：因此正确的个数为2故选B. 7.C解析：A选项：易知0Z=(1,-1),0沉=(，y),又0Z∥0Z, 则-x=y,即x+y=0,故选项A正确：B选项：当0Z∥0Z,则-x=y 身咨骨：6R放选溪B正确：C海项：由于元1记则 x-y=0,1=(1-i)(x+n)=(1-i)(x+i)=2x,x不恒为0，故选项 C错误；D选项：由于0Z10Z2,则xy=0,l31+12=11-i+x+72= (1+x)2+(yr1)2=(1+x)2+(x-1)2=2(1+x2),1-212= 11-i-x-yi12=(1-x)2+(1+y)2=(1-x)2+(1+x)2=2(1+x2),故 一学霸高考·白 1+1=12I,选项D正确.故选C 8.1解析：集合A=1,2m+(m-1)i,B=-2i,1,2,且ACB,则 有2m+(m-1)i=-2i或2m+(m-1)i=2,解得m=1.故答案为1. 9.2解析：设：=a+i,a,beR,则-3-13引=136+3i a+bi a2+62 136 a2+b2 放”)八（广4故423，所 以a2+(b+1)2=4.即1z+i1=2.故答案为2 10反解折：因为后i=咨， (1-i)(1+i) 2 号中子又复数亡是实数所以空芒=0，即y-2,所以 1-i 2 1z1■√爱+y▣√星+(-x-2)=√2x2+4x+4=√2(x+1)2+2,所 以当x=-1,y=-1时1zl=√2.故答案为2 第七章综合测试 章末自测 1,C解析：因为z=(x2+x-6)-(x-2)i是纯虚数，其中x∈R,所以 (2+x-6=0,解得x=-3.故选C x-2≠0， 易错提醒 复装：+为纯虚数一(80本题中易怎花x=240的限制号 致错选 2.A解折=121-1-2)1-2”.34。-34 1+2i(1+2i)(1-2i1)）5 551,则3 ，所以m子a子mn=放选 4 3 4 3.B解析：设复数z=a+bi(a,beR),满足x+2左=a+bi+2(a-bi)=3a- i=6+i,所以{a=之，则：=2-i故选B. b=-1. 4,A解析：由题图可知，A(3,-1),B(0,1),所以51-21=1O-0成1= B1=√32+(-2)=√3，故选A 222(1+i) 5.C解析：言1+i,由复数：与子应的点 关于虚轴对称，.=-1+i故选C 6.A解析：由题意z为虚数，所以1z+0,从而由题意集合中唯一的正 实数相等，即z=z2,所以1z=1,若x=2,则x=0或x=1,不合题 意，舍去，因此=2.=2，设：=a+bi(a,beR且b≠0)，由x=到 得a+i=（a-的)产=d2--2abi,所以a=a2-,由于6≠0，赦解 Ib=-2ab. 1 3 得a=2b=±行，故选A 7.BCD解析：设x=a+bi(a,beR).w=e+di(c,deR):对A:2= (a+6i)2=a2+2abi-2=a2-b2+2abi,lz12=(√a+b)2=a2+b2,故 2 A错误：对B: 又8=12，即有兰=已 三，故B正确：对 C::-w=a+bi-c-di=a-c+(b-d)i,w=a-c-(b-d)i,=a-bi, G=c-d山，则-西=a-bi-c+di=a-e-(b-d)i,即有-w=x-0,故C正确： 对D: (a+bi)(c-di) ac+bd-(ad-be)i e+di (c+di)(e-di) e2+2 a-c2+2abed+b-d2 +a d:-2abcd+b2c* (c2+d2)3 a2+6d+md+6e2√ae2+d+a2P+be1√a+6 (c2+2)2 e2+2 'lwl ve+d √后g×Cd.@)C.√a2行6不，故 22+d e2+2 c2td -号故D正确放选0m 8.AD解析：根据复数的几何表示知，对A,方程表示到定点(1，-1)的 距离等于2的动点轨迹，即圆，A正确：对B,方程表示到定点(1，-1) 题·数学·052一 与(1,1)距离的和为2的动点轨迹，而(1.-1)与(1,1)的距离也 为2，所以：在复平面内对应点的轨迹为线段，B错误：对C,方程表 示到定点(1，-1)与(1,1)的距离的差为1的动点轨迹，即双曲线的 一支，C错误：对D,方程表示到定点(-1,0)与(1，-1)的距离相等的 动点轨迹，即线段的中垂线，D正确.故选AD 9.45解析：因为：=3-4i+√32+(-4)2=8-4i.所以1：1= √/⑧2+(-4)2=45.故答業为45 1-i(1-)2 10.1解析行(1-)-i,则++=1+-1-0，所 以f）=20om(+2+2+红)+2o6(:+3+2+）+…+(+3+2+)+ 1=1.故答案为1 1解：(1)设x+i(xyeR),所以+25=x+(y+2)i,)云=灯 (x+yi)(2+i)2x-y+(x+2y）i (2-i)(2+i) 5 由条件得，y+2=0且x+2y=0,所以x=4,y=-2,所以=4-2i (2)(x+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,由条件 得12+4a-a2>0. 18(a-2)>0, 解得2<a<6,所以所求实数a的取值范围是(2,6) 12.解：(1)由已知得1+=(-1+3i)+(1+2i)=5i, 42=(-1+3i)(1+2i)=(-1-6)+(3-2)i=-7+i, 又上.1+1，所以=4华=74.70. 1红1 5i5i·(-i)=5+ 7 (2)依题意向量0=(-1,3)，0成=(1,2)，于是有0·0成=-1×1+ 3×2=5,101=√(-1)2+3=0,101=√+22=5，因为 ∠A0B为Oi与Oi的夹角，所以c08LA0B= 0A·0B 5 10i11Oi10x5 因为∠A0Be[0,m],所以∠A0B= 2 4 高考新趋势 1.C解析：对于①，当=0eC时，D(z)=0+0=0,所以①为假命题.对 于②，令：=a+bi,=a-i,则D()=D()=1al+lb1,所以②为真命 题对于③，由于②成立，而z和：不一定相等，所以③为假命题.对于 ④，依题意D(,)=1-3,D(1,）=1-1,D()= 12-l,根据复数减法的模的几何意义可知，11-马1表示复数 和3对应两点间的距离，121表示复数1和2对应两点间的距 离，表示复数和与对应两点间的距离根据三角形两边的 和大于第三边可知11-21+1-31>1-1，当对应的点在 和对应的两点连成的线段上时，11-1+-1=1-，所以 D(1,3)≤D(1,)+D(2,3)成立.④为真命题故选C 2.ACD解析：对于A.由于2=j=k2■-1，ji=-k,k与=-i,ik=-j,故集 合1，i,j,k}的元索按乘法可以得到集合{1，i,j,k,-1,-i,-j,-k|, 容易验证该集合中任意两个元素的乘积还在该集合中，故集合1， j,k}的元素按乘法得到的集合是八元集合{1，i,j,k,-1,-1,-j,-k|, 故A正确：对于B,取u=1,=2,则w=1-1×2×1=1×2×1=2≠ =2=，故B错误：对于C,若，ey,设u=a+bi+树j+k,=x对 1 yitzj+wk,N(u)=N((a+bi+ej+dk)(x+yi+zj+wk))=N((ax- by-a-dn）+(ay+bx+ae-d山)i+(a+cx+dy-bm)j+(ao+d+b加- cy)k)=(ax-by-c-dw)2+(ay+bx+cw-ds)2+(as+cx+dy-bw)2+ (aw+dx+bs-cy)2=a2x2+b2x2+c2x2+dx2+ay+b2y2+ey2+dy+ a2:2+62x2+c22+d2:2+a2w2+b2w2+e2o2+d2w2=(a2+b2+c2+ d2)(x2+y2+:+w2)=N(a+bi+ej+dk)N(x+yi+zj+wk)= N()N(),故C正确：对于D,根据题目中的定义有N(u)=a2 N(u) N(u) 从而·wNu西 1所以放D正魂放选4CD √N()N)】 一学霸高考·白 第七章真题演练 真题集调 1,C解析：(1+5i)i=-5+i,故虚部为1.故选C 1 2.A解折：可1 -=-i 3.C解析：已知=-1-i,则1z=√(-1)2+(-1)2=2.故选C 4.A解析：由=5+i=→z=5-i,x+z=10,则i(+:)=10i.故选A. 5.c解析：因为号-114 -1-1 可+i,所以：=1+1-i故选C 6.A解析：因为(1+3)(3-1)=3+8i-32=6+81,所以在复平面内，其 对应的点为(6,8)，位于第一象限故选A 7B解折：由愿意可得：=222.2.1-2 好1*产 -1 则z=1+2i,故选B. 8.D解析：因为z=1+i,所以z+3z=i(1+i)+3(1-i)=2-2,所以1iz+ 31=√/4+4=22.故选D. 9.C解析：因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以 2a=2,解得a=1.故选C 11-a2=0 10.C解析：设：=a+i(a,beR),则=a-bi,则2(t)+3(z-)=4a 6i=4+6,所以a=4解得a=6=1,因此：=1+i故选C 66=6. 11.A解析：z=1-2i,z+a2+6=1-2i+a(1+2i)+6=(1+a+b)+(2a-2)i, +a+b=0,即a=l,故选A 由+a6=0,得2a-2=0, lb=-2. 12.C解析：z=-1-3i,zz=(-1+W3i)(-1-3i)=1+3=4 =1+.13,故选C z8-13 13.B解折：(1-)：=-2=3+2i,34253+2）:1.2*3i.-1+ -2i -2i·i 2 子故选取 14.7-√5i解析：(5+i)(5-2i)=5+√5i-2W5i+2=7-√5i故答案为 7-W5i 15.4解析：由题意可得t1,5+14)（2-3】.52+13i=4+i放答 2+3i(2+3i)(2-3i) 13 案为4+i, 第八章数列 第1节数列的概念及其表示 应用提优 1.D解析：例如无穷个3构成的常数列3,3,3，…的各项都是3，故 A错误：数列-1,0,1与数列1,0，-1中项的顺序不同，即表示不同的 数列，故B错误：{1,3,5,71是一个集合，故C错误：根据数列的分 类，数列2,5,2,5，…，2,5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列 故D正确.故选D 1 1 2.AD 2 解折：因为a11-0412,所以了43，a2 12 所以数列a,的周期为3，所以a,的项有-2，了3故选AD, 3.A解析：因为a1=an+a1+n,所以a2-a1=a1+1,a-a2=a1+ 2,a4-a3=a1+3,5-a4=a1+4,以上各式相加可得a5-a,=4a1+10, 即a5=5a1+10.因为a5=30,所以a1=4.故选A. 4.C解析：由|an}为递增数列得，a1-a.=[2(n+1)2+A(n+ 1)]-(2n2+An)=A+4n+2>0,neN,则A>-(4n+2)对于neN,恒 成立，得A>-6.可得A≥0一A>-6,反之不行.故选C 5.C解析：如图，1,5,12,22称为五边形数， 题·数学·053-