第六章 专题探究7 解三角形-【5星学霸·高考白题】2026年高考数学一轮复习

学霸高春白题数学 专题探究7 ☑专题强化热点聚焦，重难突破限时：40mm 1.(2025·山西运城模拟)在△ABC中，AB= √/13,4C=7,BC=3Bd (1)若AD=3,求BC: (2)若∠BAD=a,∠CAD=B,求mC的值 sin B 2.(2025·湖南长沙模拟)已知在锐角△ABC 中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 sin'A+sin'C-sin'B=2sin Asin C. (1)求B: (2)若c=36,b=6,点D在BC延长线上，且 CD=10,求cos∠CAD 066 解三角形 3.(2025·河南郑州模拟)已知在△ABC中， sin A cos A sin B+sin C cos B+cos C (1)求A: (2)证明：AB+AC≤2BC. 4.(2025·安徽淮南一模)记△ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知tanB= 2cosA.b2+c2-a2=√3bc (1)求B: (2)若D为AB边上任意一点，作AE⊥CD于 么.设∠D=A.试用0表示品并未治 的最大值. 5.(2025·福建福州模拟)在△ABC中，点D在 BC边上，AD平分∠BAC,设AB=mAC, AD=nAC. (1)若m=2,∠DAC+∠BAC=T,证明：AB= AC: (2)若m=3,求n的取值范围. 6.(2025·湖北武汉模拟)如图，△AOD与 △BOC存在对顶角∠A0D=∠BOC= 4' AC=2,BD=22,且BC=AD. (1)证明：O为BD中点： (2)若5sin2A+cosB=√5，求OC的长， 第六章平面向量及解三角形学霸高春 7.(2024·福建厦门二模)定义：如果三角形的 一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么 这个三角形叫做倍角三角形.如图，△ABC的 面积为S,三个内角A,B,C所对的边分别 为a,bc,且inC=2-8 2S (1)证明：△ABC是倍角三角形： (2)若c=9,当S取最大值时，求tanB. 8.(2025·福建福州期中)在△ABC中，角A,B, C所对的边分别记作a,b,c.已知△4BC的周 64 长为4，且有abc=bsin Asin C (1)求△ABC的面积： (2)设△ABC内心为I,外心为O,I0=1,求外 接圆半径. 注：在△MBC中，有cmsA+oB+cC=1+尺 其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的 半径 0677空n(29+p)+号当29+e=号时，即血(20+g)e1时 1715 AC2取得最大值，最大值为AC2=16,所以AC的最大值为4故答案 为4 (第11题) (第12题) 12g 解析：因为△ABC的三边长分别为1,1,3，不妨设AB=1。 1C=1,6C=5,如图，由余弦定理得A=A+4C2-BC 2xABXAC 1中)37，得A=120,故B=309,C=302,由图可知544c9 2 S必+SPw+SaPc,所以根据性质1可得子访，花mA }访，ma屁，产ma+可，d本ma,根据性质2可 得.衣m4子ma(.花，成.成d,.所以 lan a=. 故答案为得 18锅：（调为B过c血兰故Bc sin Bsin C 8mCnG2hnnc所以m4:。:5mA因 sin(B+C)sin A 3a 26 2sin B 为血40，所以nB=又Be(0,号）所以B=号 (2)由正弦定理可知a=2 Rsin A.b=2 Rsin B,e=2 Rsin C,因为a+ 6+c=(5+v6)R,所以mA+血B+mC=B+ ,所以inA+ 2 2 C05 A= (信号)所烈4受要放4侣 14.(1)证明：由A+B+C=F,则C=元-A-B,则in(C-B)=in(A+ 2B)=sin Aco2B+%Ain2B.所以inAe2B+8Ain2B= 2 sin Acos2B,整理得cos Asin2B-sin Acos2B=0,则in(2B-A)= 0,由A,BE(0,T）,六A=2B或2B-A=T,当2B-A=T时，可得 (0<B<T, A=2B-,G=2-30.则0c2B-7<,解得号<B<行则0<A 0<2m-3B<T, 子测血m显然与号号B等子 定理可知加B。3 盾.所以2B-A=言不符合题意.舍去.所以A=2B. 'mA,且4=2B,则血BmB。1 (2)解：由(1)可知mB3 nAm2B2sB放 2 2月，解得0sB=子，6msA=22B-1=- g...cos C's 7 余弦定理可知(44(3)2-243·号-（仔）广“>0，解 得x=1,a=4 一学霸高考·白 专题探究7解三角形 专题强化 1.解：(1)配=3品.市=应+励=店+武=店+}（花-）= 兮亦衣应花即9号 号花.花号又成花-成成恋 2店.A元=7+13-11=9BC=3 、(2在ACn中gnD,在Am中，即- 'sin asin LAD ①8湘部合板：出2又m=m,∠c∠0 五，心m∠4DC=in∠ADB,所以ig-y可 sin B 26 2.解：(1)由正弦定理.得m2+2-2=2m,由余弦定理.得c%B= a2te2-12 2ac 所以mB=只因为户为授角三角形内角，所以月=子 2 ②)在6华E法定，用方产nA所以由L B6号 b 62-宁因为△C为角三角形，所以∠4CR=号 所以∠4D:号在△40D中.，由余弦定星，得402=AC+D-24Cx CDXs∠ACD.所以A2=36+100+2x6x10x2=196,所以AD=14, 所以=∠CD=AC+An2-6D.36+196-1001n 2XAC×AD 2×6×1414 sin A cos A 3.(I)解：由题意，nB+mC“ms+esC即血4(sB+ csC)=esA(sinB+sinC),化简得sin Acos B-sin Beos A= os Asin C-in Acos C,即in(-B)=in(C-A),放-B=C-A或(A- B)+(C-A)=,又+B+C=,解得A-号或A=0含去)，故4=号 (2)证明：要证AB+AC≤2BC,即证e+6≤2a,即证imC+inB≤ 2如A由（知4号所以血A-停即E血C血8≤店不防 设月=子+a,=号-(其中-号<a号）人则mG+mB= 0m了ima=2in子a=3cea≤5显然恒成立.故B+ AC≤2BC,命题得证 4解面ak得w4次--号0水 T,A=三，又mB=2eosA=√3，且0<B<T,B=3 (2)由()知A=。B=号.则△4C为直角三角形，在△BCD中， 由正弦定理知CD BC 一，即CD= 3BC ,在 血号血( 2m( △ACE中，AE=ACin (-）=40所以2 2（-0）m0=2(停m n0）m0=5w0a咖m0e5m20n205.n(2nr 2 题·数学·047一 号）由0e[0]当9号：即0=e0 :]时部得最大值为1受 5.(1)证明：方法1：因为∠DAC+∠BAC=T,AD平分∠BAC,所以 ∠Du=∠c-子，∠Rc-又？-2.所以治-2，由正孩定理 可得D 8Bn2m所以m∠B=2m.又∠n8=至-R,所 AB 以（停小2咖所以所以m=停且 B（.号）所以=期C==所以=4C 366 方法2：因为∠DAC+∠BAC=T,AD平分∠BAC,所以∠DAB= AD2-24B·ADe∠DAB=3AD2,则BD2+AD2=AB2,所以AD⊥BC. 即∠AB=∠AC=号.且AD=AD,则△B2△CD,放AB=AC （2)解：图为Sa度=56m+56c,所以子AB·ACn∠B4C= :0mC,号4c:0a“.因为=3c,0 ic期cc2ae:a 十 2 2 c6nC,因为0，所以oC4,两 含gC调为←geo号）以mg。(0. 故me(o子） 6.(1)证明：设0C=x,0B=y,则0M=2-x,0D=22-y,在△A0D中，由 余被定理得10e2-+(2--2x(2-)x(22-y)x号在 △0C中，由余弦定理得C=2广-2×号由c=0,所以 （2-(2i-2x2x2i-7号-2是化 2 得y=互.故O为BD中点. (2)解：如图.过D点作DE∥BC,交AC于 E则∠EDO=∠CB0. 「∠EDO=∠CBO 由 LE0D=LC0B=4,号△0ED≌ OD=OB △OCB.所以BC=DE,又BC=AD,所以DE=DA.所以∠A=∠DEL.所 以∠0D=-4,又∠0D=∠c,BG=-于-行所以4=B:号 由5如24+wB=55m2(B+于）+omsB=5 5ms2B+emB=V5,所以5(20e2B-1)+sB=5→ 25m2g+ow月-250义-1<wB<1,所以mB:g,所西 即如G:3在△0c中，根据正弦定星，可得 10 sin C 0C200 2 sin B 310 5 20=3 105 一学霸高考·白是 7.()证明：因为血G 38。x2anC_absin C.又在△4Bc 中inC≠0，所以三1.则2=2-a6 又由余弦定理知，b2=a2+c2-2 accos B,故可得2 ceos B=a+b,由正弦 定理，得2 sin Ceos B=sinA+sinB. 又sinA=sim(B+C)=sin Beos C+os Bsin C,代人上式可得 sin Coos B=sin Beos C+sin B,sin Ccoe B-sin Beos C=sin B,sin(C- B)=sinB,则有C-B=B,C=2B,故△ABC是倍角三角形. （2)解：因为C=2B,所以=B-C=-3>0,放0<号 则tanB∈(0.√3). 又c=9,且”= aC则a9nu-9 sin C sin 28 sin 28' 则s宁am名m子2密治ma急没 4 cos B 81.sin 2Bcos Bico 2BsinB81 4 -×(sin2B+os2hanB）= 812mB,1-tm2B 81、3 tan B-an3B （1+tan2B1+tan2B .tamB)严4 1+tan2B 设x=nBe(0.3),/八x)= 1+x23 则f')=3-3)1)-(3-)2.62+3 (1+x2)2 (1+x2)2 令f'(x)=0得x2=23-3或者x2=-23-3(舍去)， 且当0<2<25-3时∫'(x)>0,当23-3<x2<3时/'(x)<0, 则八x)在(0，√23-3)上单调递增，在(W23-3,3)上单调 递减， 故当x=√/23-3时爪x)取最大值，此时S也取最大值，故nB= √23-3为所求 8.解：(）由c-bin Asin C 64 一可得abc·sin Asin C=64. 即S=16,解得S=4 2)因为S=)(a+h+0r.所以三角形内切圆半径r一，办+，=2连接】 B,0B(图略)，设∠OB=B,在△OBl中，由余弦定理得O=P+ a02-2B·0·©s0,其中01=1,2，B0=R,m:'g,代人可 2 21 得1= .B +R2 4R Bms由角度关系，ms日=s(∠O8C- sin 2 ∠IBC)=co [(受]小+) B 4-4Rsin 因此代人上式可得1-= sin?B 2 4-2R(csA+sC)」 整理得受1-)=4-2识（会1-mB右式=44-2 2Rcos B2(cos B1)=-4R sin? 2 由于m28≠0.因此1-R=-4R.解得R=5+2 2 题·数学·048一