第六章 第2节 平面向量的数量积及其应用-【5星学霸·高考白题】2026年高考数学一轮复习

学霸高春白题数学 第2节 平面向量 ☑应用提优 考点全面，能力提升|限时：50min 1.(2025·云南大理模拟)已知向量a和b的夹 角为60°，且Ial=2,1b1=5,则(2a-b)·a= A.3 B.-1 C.8-53 D.13 2.(2025·江西九江一模)已知向量a,b满 足ab=5,且@=则6在a上的投能 向量为 4、43 4W3 3 a B. 34 C.-2a D.2a 3.(2025·河南信阳模拟)已知向量a=(4.m- 1),b=(m+2,-2),若a⊥b,则m=() A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 4.(2025·安徽合肥一模)已知向量a,b,c,满 足a+b+c=0,且a=1,b=2,c=√3，则a 与b的夹角为 A. 6 0.3 5.(2025·安徽安庆模拟)已知单位圆0上有两 点AB,LA0B=号，设向量a=nO+0丽，b 0i+0B,若1a+b1=√3，则实数n的值为 ( A.-1 B.-2 C.1 D.2 060 的数量积及其应用 6.(多选)(2025·福建厦门一模)已知平面向 量a=(2,sin0),b=(1,cos0).则() A.a,b不可能垂直 B.a,b不可能共线 C.Ia+b1不可能为5 D.若0=2，则a在b方向上的投影向量为2b 7.(2025·河北保定模拟)在△ABC中，AB 3MC=3m(m>0),cosA=2,点P满是A- 行c号丽，则. () A.-2m2 B.-3m2 、5 8.(多选)(2025·湖南长沙期末)设a,b是两个 非零向量，下列命题正确的是 () A.若a·b=0,则a∥b B.若a·b=a·b,则a∥b C.若a⊥b,则a·b=(a·b)2 D.若1a+b1=Ia-b1,则a⊥b 9.(2024·四川泸州一模)已知平面向量OA 4,10B=3,0元=1,0·0B=0,则 |CA+CB的最小值是 () 3 A.1 B.2 C.2 D.3 10.(2025·四川成都月考)点P在边长为1 的正三角形ABC的外接圆上，则AP·AB的 最大值为 () 31 3+1 A.32 B. 23 C.3 0.2 11.(2025·湖北武汉模拟)如图，在△ABC中， ∠BAC=120°，AB=2,AC=1,D是BC边上靠 近B点的三等分点，E是BC边上的动点，则 A正.C的取值范围为 B它 [1 B7引 c 13 【] 12.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+Ab的夹 角为锐角，则实数入的取值范 围为 13.(2024·天津河西区一模)在△ABC中，D是 AC边的中点，AB=3,∠A=60°，BC.C⑦= -5,则AC= :设M为平面上一点， 且2AM=tAB+(1-t)AC,其中t∈R,则MB· MC的最小值为 14.（2025·四川德阳一模)平面向量e1,e2满足 le l-lel=1.(ee)-z.a= le +e2. (1)若b在a上的投影向量恰为a的相反向 量，求实数t的值： (2)若(a,b)为钝角，求实数t的取值范围. 第六章平面向量及解三角形学霸高春 15.(2025·江西上饶期中)如图，在矩形ABCD 中，点E是边CD的中点，点F是边BC上的 一点，且CF=2FB. (1)若点P满足=3B+,求证：E,下， P三点共线： (2)若AD=3,E.EB=5,求向量EB与AF的 夹角的余弦值 16.(2024·江苏苏州模拟)如图，两射线l1,l2 均与直线l垂直，垂足分别为D,E,且DE= 1.点A在直线1上，点B,C在射线1,2上 (1)若F为线段BC的中点（未画出），求 AF·AD的最小值： (2)若△ABC为等边三角形，求△ABC面积 的范围。 06A,M,D三点共线，且IMA1=2IMD1,同理，取AB中点E,AC中点 F,可得B,M,F三点共线，C,M,E三点共线，所以M为△ABC的重 心，A正确：对B选项，若M为△ABC的内心，可设内切圆半径为r, 则5号C,=号4Ce=4,所以宁C d4c…iBi=0,即ac成4c…ihB 2 M=0,B正确：对C选项，若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC 的外心，则∠ACB=75°，设△4BC的外接圆半径为R,如图①，故 ∠BMC=2∠BAC=90°，∠MC=2∠ABC=120°，∠AMB=2∠ACB= 15o,故5，n90n120,e 4 之血150=，所以5：5：5e=2:5:1,C错澳： ① 对D选项，若M为△ABC的垂心，3i+4+5M心=0，则 S,:Sa:Sc-3:4:5,如图②，AD1BC,CE LAB,BF1AC,相交于 S31 点M,又5a5++e~s2即W:D=3:1 5.4.1 323即MF:Bw=152,3=立即MBwC=55 7,设MD=m,MF=n,ME=5t,则AM=3m,BM=2n,MC=7t,因为 ∠c0=∠cBF,血∠CD=元m∠GBf=云所以品云 3m 2n' √6 √ 即m= 3 n,cos ZBMD= ∠BMD)= 6D正确故选ABD, 13.2 了了解析：因为a=e+24,b=-名+e2,两式相加，得3，=a 1 bab,代人可得宁号，所以6=子 1 21b 方法总结 本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，解答中涉及向量 的表示、向量的盖本运算、平面向量的基本定理及其应用，本题 的解答中根据题设条件和平面向量的运算，得到。1，©2是解答 的关健。 解折：由已知0亦-0成市.0成+号访-0i+号（成-0耐-号 成子成，成=1成+a,成，成.共线所以中六 12'A2 33 子放答案为分 15.122 3 解折：在△AC中，点E为重心，则应：子x宁= 一学霸高考·白 矿式，而点底，业共线则之方1，因此+2 2(安号）小1会亨>19当且仅当， 中时取等号，所以+2的最小值是1,2故答案为1 3 3 16.解：(1)设i=A市，0i=0i+Ai=0+tA市=0+(0i-0)=(1 )0:0币=(1-)0+0成=4(1-0成+成因为c,M,B 三点共线，所以41-)+之=1→=号，所以O:（-号)可 (2)依题意O成-AO,O-μO成因为EF过点M,而O花-↓O成， 劢成所以 片e 1 由(1)得0成=+号成，所以 成宁·成号·亦成成因为从非三点共 1.3 字√会器当且议当会六2= 5A时等号底立放以的最小值为4 7 第2节平而向量的数量积及其应用 应用提优 1.A解析：由题意可得(2a-b)·a=2a2-a·b=21a12-1a11b1ew60°= 8-5=3,故选A 2.B解析：由题意得161o(a,6)=:5=2>0.b在a上的投 lal 3 2 a245 影狗量为1m（ab:合后号故选且 2 3.D解析：因为a⊥b,所以a·b=0,a=(4,m-1),b=(m+2,-2),则 4(m+2)-2(m-1)=0,解得m=-5.故选D. 4.D解析：a+b+e=0,∴.a+b=-c,且1al=1,1b1=2,1cl=√3， b2+a2+2a…b=c2,4+1+2ab=3,a·b=-1,.cos(a,b》= 高宁且a》e0a)号即a与的夹角 为号放选D 5.B解折：由题可得，0i=0=1,0,成=1x1Xm号-，因 为a=nO+0成，b=O+O成，且1a+b1=5,所以a+b12= (n0+0成+0i+0)2=[(n+1)0+2Oi]2=(m+1)2+2×2x(n+1)× 之4=3，新得=-2故接县 6.ACD解折：ab-24ms9=2宁血20≥2子2 之2，A选项正 确：若向量a,b共线，则2cos6-sin0=0,解得an0=2,所以向量a,b 可能共线，B选项错误：a+b=(3,in0+cos0),所以1a+b1= √9+(in+es8)7=√10+8n20≤√T<5,C选项正确：若6= 子则a=(2,)b=1,0.所以a在方向上的数影向景为。 2b,D选项正确，故选ACD b 题·数学·042一 7.D解析：如图，由题意可得AB=3AC=3m (m>0,cmA=子，则4C=m,故.花 ,1m4=3n×n宁买故亦.成-（付花 ）小花衣兮花破。迹-， x9me子m2放选n 4 8.BCD解析：对于选项A,因为a·b=0,a,b是两个非零向量，所以 a⊥b,故A错误：对于选项B,a·b=1al·1b1cos(a,b》=Ial·lbl, 所以cs(a,b)==1,又0≤(a,6)<m,所以(a,b)=0,所以 a∥b,故B正确：对于选项C,因为a⊥b,所以a·b=0,所以a·b= (a·b)2=0,故C正确：对于选项D,因为1a+b1=1a-b1,所以 1a+b12=1a-b12,从而a·b=0,所以a⊥b,故D正确.故选BCD. 9.D解析：由O.O市=0可知O10成，若D是AB的中点，则10D1= 子481=三，面10C1=1,侧则点C在以0为圆心，1为半径的圆上运 动，如下图所示，因为1C+C1=21Ci1,且10D1-10C1≤1CD1≤ 101+10c1,即子≤1CD1≤子，所以1d+G1的最小值是3故 选D (第9题) (第10题) 10.A解析：解法一：如图，设外接圆圆心为0，则10A1=1OB1= IOCI-OP 6 ①-方面，我们有亦.店=（市+0市）·店=市.店+0亦.店 woo名.方1专亦.店亦 子分oP8e(成，e宁10p1=号91 3 子故-定有市应号子 32 ②男一方面，当-市，时，有耐=-1-应 号1：停故P在△A8C的外接圆上，此时亦.店=（团， ）应-动.应1owom名a 99号 32 综合①2两个方面，可立.的最大值是停片放选入 解法二：因为币.店=·cos(正，)，故当亦在店上的投影 向量的长最大时，币.取最大值延长AB,从圆的最右侧点引AB 的垂线，此时投影向量长最大此时市，的最大值是？AB+ 停}故选入 11.C解析：lBCi2=lMd-Ai12=AC12+A12-21Ad1·A1cas∠B4C= 7,解得BCi=√7.设C正=AC成，0≤A≤1，则A正.Ci=(A心+C成)· 一学霸高考·白 市=（花+a,子成-子花.本+子=子花(- 西当花.号衣学【÷] 故选C 12(号，0(0+)解桥：因为a=(1,2,b=(1,),所以a+ Ab=(1+A,2+A).因为a与a+Ab的夹角为锐角，所以a·(a+Ab)> 0,且a与a+Ab不共线，所以1+A+2(2+A)>0且2(1+A)≠2+A,解 得A心号且A0,所以A的取值落周为（号0U(0,+),放 答案为(，0u(0,+). 134是解折：△0C中，D是AC边的中点，裙=3，∠A=60。 成.市=（就-）·（成）恋+店.花 子+×3x=-5,解得d1=4,即AC=4: △ABC中，AC=4,AB=3,LA=60°，以A为坐标 y 原点，AB为x轴，C点在第一象限，建立如图所 示平面直角坐标系，则有A(0,0),B(3,0), C(2,23).设M(x,y）,由2Ai=tA店+(1-t)A 得2(x,y)=t(3,0)+(1-t)(2,25),解得x= 之1=5-5，即（分155）则有 =(25)-(7） 成=(2-）(-小(5-5)(6+5) 一（昌厂。]则有=品时破：成有 最小（品）故案为 61 合后则-1甲a6a-oR因 14、解：(1)由题意得8：卢.4 为1e1==1,(e)=受，则6乌=0，所以ab=(e+ te2)·(te1te2)=te,2+(2+1)e1·c2tte22=2,la2=(e1+ez)2= e2+2e1·e2+2e22=1+r2,所以2-(1+r2),解得-1. (2)由(1)知，a·b=24,因为(a,b》为纯角，所以a·b=2<0,即< 0,若b共线设a=0,博6=.则化解得 =1或A=t=-1,要使(a,b》为纯角，则t<0且1≠-1，即实数t的取 值范图为(-，-1)U(-1,0). 15,(1)证明：由题意知花=+成=市心=市+，- 成号成=+兮本，又市县+号动，所以成市 应迹+动-（而应）小4应动成亦-亦 市（迹号动）号市，所以成成，所以E。 F,P三点共线 (2)解：由题意知：-花店-市，成=武+成=店-市 所以成，函=（2应-动小·（2应-市）恋+迹 49=5,所以=4，所以成.办-(2访-动） 题·数学·043一 (}市）迹名成市号亦宁×华号×35 又=动号，亦m. =√动公动瓜，所 以m(,=.席 5522 11E1√13×7221 16.解：(1)以D为坐标原点建立如图①所示的平面直角坐标系， 由已知可得F点的纵坐标为子，设A(0,y)(行∈R), r()≥0则()市(0，. 亦动y-宁(）'6当组议当时，亦.本 取得最小值石 (2)设等边三角形ABC的边长为a,对于直线1上任意一点A,对于 不同的情况如图②③④所示： 设（威，随=0，则0e,号]则成=4，=1，威 在D症上的投影向量为D,A心在D成上的投影向量为正 成耐+破（威1m)成+[花1m(号-）门成 [(w)am]j成（分m停j成 (E号} 又：0号e[号，号]≤m(0号）s11≤a≤2 △4BC面积5=n号-的取值范是[后] 第3节解三角形 应用提优1 1.D解析：由题意知△ABC中，LB=30°，b=2,c=22.6 sin B inC..'.sin c-csinB22x30°-经电于c>6,放∠C>∠B= 2 30°，则∠C=45°或135°，故∠A的大小为180°-30°-45°=105°或 180°-30°-135°=15°.故选D. 2D解析：要使得△MBC有两组解，则sin Aacb,又A=号，6=3，得 到ac3.故选n 3.D解析：因为bsin A+√2acsB=0,由正弦定理得sin Bsin A+ 一学霸高考·白 √2 sin Acos B=0,即sinA(sinB+√2cosB)=0.又因为sinA>0,所 以sinB+√2cosB=0,所以inB=-√/28osB,又因为sin2B+cs2B=1, sin B=6 √6 3· sin B=- 3 解得 或 (舍去)，由余弦定理可知2= 00s B=3 3 cos B= 3 r2-2m8=4e,25,又=(22 ac,所以a2+ c2=2ac,故a=c故选D. 4.C解析：设A<B<C= 7,根据题意可得asC=0,且cmC+ m4=2mB,甲2m月=m又A+B=受，则2mB=2n点 2血4A,解得m4:宁又4(0，受)则血4-号放选C 5.B解析：由余弦定理可知，6oC-“b,从而可得。名+6。」 6c0sC=6xa+62-c2 2ab 6ab,又因为mC ,即a2+b=2且cosG62 tan A tan C sin C cos Bsin A+sin Beos A sin C sin(A+B)1 tan B coe C sin Asin B cos C sin Asin B cos C' sin Asin B由正弦定理可知anC,nC1 sin2C e2 6ab e2 'tan A tan B cos C aba+ab 6c26c2 a2+632 =4.故选B. 2 6.B解析：如图，设球的半径为R,则B=OA=尽=月R,AC= m30万 an10o,所以BC= R m10°5R=100,又cos10°=0985，故R= R 100 100 100sin10 1 tan 10s3 eow10°-万 cos10°-√3in10° sin 109 100sin10 100sin10° 2(分10 2n10 2(c0s60°c0s10°-sin60°in10= 100sin10° 100sin10° 100sin10° 100sin10 2c0s(60°+10°) 2co870° 2sin20° 2×2sin10°c0s10°= 25 25 cs10Q985,所以2R .98550,76,即该球体建筑物的高度约 50 为50.76m.故选B. 二0℃ b 7.AB 解桥：△ABC中，由正弦定理B可知，咖>加B时 有a>b.a>b时有inA>sinB,A选项正确： 余弦函数在(0，r)上单调递减，△ABC中，当a>b时有A>B,则有 cosA<c0sB;当csA<cosB时有A>B,则有a>b,B选项正确； △ABC中，当a>b时有A>B,当A为钝角，B为锐角时，tanA<0< tanB,C选项错误： △ABC中，当a>b时有A>B,当A为纯角，B为锐角时，in2A<0< sin2B,D选项错误故选AB. 8D解折：由i:8兰o=Bac上eB-c om C=所 2 以Be62BC.},即cm(B+C)=om(g-A) 2 -m4分所以mA=子A后(0，），则A=号，由a2: 1 题·数学·044一