第四章 专题探究5 导数在不等式、恒成立及存在性问题中的应用-【5星学霸·高考白题】2026年高考数学一轮复习

零点f'(x)=e'sinx+eosx+a,令g(x)=e'sin x+ecsx+a,xe [0,受]则g)=e(ntm)e(mim0=2eaom,因 为g()=20m≥0在区间[0，]上恒成立.所以'()在区 间[0，号]上单调递增所以，当x=0时()有最小值 f"(0)=a+1:当x=时f"(s)有最大值f(号）e+a当u≥ -1时，有f"(0)=a+1≥0，则∫'(x)≥0恒成立，则f八x)在区间 [0,号]小上单调遥增，所以s)>0).又0)=0，所以)在风 间(0号]上无零点，不符合题意，备去，当a≤-c时，有 r(受）e+n≤0相成立，燜)在区间0，号]上单调遥减。 所以)0).又0)=0，所以x)在区间(0，号]上无零点， 不符合题意.舍去：当-e2<a<-1时，有f'(0)=a+1<0, 了（受）=ei+o>a又(）在区同[0，受]上单调递端，根据号 点作在性定理可得，3oe(0,Σ使得了'()=0当xe [0)时f'()<0)单调递减：当e(,号]时"()>0， )单调潘增又0)=0（）=+受，要使）在区间 (0,号]上有且只有-个零点，则。，≥0解得a-名 又-ea<-1.所以-名ei≤ac-1 专题探究5导数在不等式恒成立及存在性问题中的应用 专题强化 1.解：(1)由题意得f'(x)=2ae+2a(x-1)e-2x=2ne-2x=2x(ue- 1).因为0<a<1时.令f(x)=0,得x=h=-h4>0或x=0,当x< a 0时∫'(x)>0,f(x)在(-e,0)上单调递增.当0<x<-lna时， f'(x)<0八x)在(0.-lna)上单调递减，当x>-lna时，f'(x)>0, 仪x)在(-lna,+)上单调递增，故当0<a<1时(x)在(-x,0)上 单调递增，在(0，-na)上单调递减，在(-n4,+)上单调递增. (2)由x)>x-4a,得到(x+1)(2ae'-x)>0,因为x>-1,所以x+1> 0,则2a>。 令e0=之o1).则ge,当-1x 1时，g(x)>0,即g(x)在区间(-1,1)上单调递增，当x>1时， 8(x)<0,即g(x)在区间(1，+)上单调递减，所以g(x)≤g(1)= 二，得到2心。所以心六故：的取值范围为（公+） 2.解：(1)当a=1时.(x)=e-x-1,所以'(x)=-1,当x<0时 '(x)<0:当x>0时，'(x)>0,所以(x)在(-，0)上单调递诚， 在(0，+)上单满递增，所以当x=0时函数八x)有极小值f(0)=0, 无极大值 (2)x)≤x2在(0，+)上有解，即e-2--1≤0在(0，+x)上有 ）则g(=》-,由)知 x2x2 2 0时x)>0)=0,即e-(x+1)>0,当0<x<1时，g(x)<0:当x> 1时，g'(x)>0,所以s(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+x)上单调递 增，所以当x=1时，g(x)m=e-2,所以n≥e-2综上可知，实数a的 取值范用是a≥e-2. 一学霸高考·白， 方法总结 对干利用导数研究不等式的恒咸立与存在性问则的求解策路： (1)通常要构造新面数，利用导数研究菌数的单调性，求出最值，从而 求出卷数的取镇范围： (2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问面： (3)根据恒成立成存在性求解参数的取值时，一极涉及分高参数法 但压轴试题中很少碰到分离参数后构境的新西数能直接求出最值点 的情况，进行求解，若参变分离不易求解何题，就要考虚利用分类讨 论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别， 3.解：(1)函数f八x)=x-alnx的定义城为(0.+x),求导得了"(x)=1- ,当a≤0时.°()>0，函数/x)在(0，+x)上单测遥增：当a> 0时，由f"(x)<0,得0<x<a:由f'(x)>0,得x>a,函数f八x)在(0，a) 上单调递减，在(a,+e)上单调递增，所以当a≤0时，函数f(x) 在(0，+)上单测递增：当>0时，函数f八x)在(0，a)上单调递减. 在(a,+x)上单调递增. (2)令(x)=f八x)-co(x-1)=x-lnx-s(x-1),x>0,求导得 g(x)=1-4+in(x-1),由当xe(0,+x)时，《x≥cs(x-1)相成 1 立，得Vx=(0,+x）,g(x)≥0恒成立.面g(1)=0,因此g(1)是函 数g(x)的最小值，义g(x)在(0，+)可导，则1是g(x)的极小值 点，g'(1)=1-a=0,解得a=1,当a=1时，g(x)=x-lhx-6m(x-1), o0,令()=--n,>0,求导得'()=子由'()<0.得 0<x<1:由h'(x)>0.得x>1,函数h(x)在(0，I)上单测递减，在 (1,+x)上单调递增，则h(x)≥h(1)=0,即x-nx≥1，因此g(x)= x-n-m(x-1)≥1-c(x-1)≥0，当且仪当x=1时取等号，所 以a=l. 4.解：(1(x)=1-4.1n,-a-(1a）.+)[x-1a】,当 x x2 1+n≤0，即≤-1时，在(0，+）上f‘(x)）>0,所以函数(x）在 (0,+x)上单调递增.当1+>0.即a>-1时，在(a+1,+x)上f'(x)> 0,在(0，a+1)上f'《x)<0,所以函数八x)在(a+1,+)上单调递增， 在(0，a+1)上单藏递减 (2)若在[1，c]上存在一点o.使得f(xn)≤0成立，即f(x)m≤0. xe[L,e].①油(1)可知，当a≤-1时，函数f八x)在[1，e】上单调递 增f(x)=f1)=1+1+a≤0，即a≤-2，②当a>-1时，函数f八x) 在(0，a+1)上单调递减，在(a+1,+)上单剥递增.当1+a≥e, 即a≥-1时，函数八x)在[1，]上单调递减，f(x）in=f八e)=e-a+ 10,即0≥因为 2当1+a1, 。1>e-1所以a≥-1 即a0时，函数八x)在[【，e]上单调递增J(x)m=f代1)=I+1+≤ 0,即a≤-2（金），当1<1+a<e,即0<a<e-1时，函数x)在[1，+1] 上单满递减，在[1+a,e]上单湖递增，/(x)m=f(1+)=a+2- am(1+a),此时0<ln(1+a)<l.则0<aln(1+a)<a,所以2<a+2 aln(1+a),即八1+a)>0,所以f八1+a≤0无解.综上所述，实数a的 取值范调是≥4或4≤-2 e-1 5.解：(1)=n+ar+2的定义城为(0，+)f'(e到=n= +r x>0,当a≥0时，f'(x)>0.则f(x)在(0，+x)上单湖递增：当a< 0时.当x=-时”(x)=0,当0<<时'(x>0,则八x)单调 a 递增：当>时”(x)<0,则x)单调递减，综上，当a≥0时. 代x)的单递增区间为(0，+x),无单调递减区间：当a<0时，代x)的 单调递带区何为(0，)的单润递减区码为（日坛） (2)若Vx>0,八x)<3-xe“恒成立，即x>0,nx+r+2<3-xe“恒成 立，则x>0,lnx+ar+xe"-1<0恒或立，设g(x)=lnx+ar+xea-1. o0.g()a( “>0,当a≥0时，g(x)>0,则g(x)在(0，+x)上单调递增，当x> 题·数学·027一 1时，g(x)>g(1)=n1+a+e°-1=a+e"-1≥a+e°-1=a≥0，所以a≥ 0不合题意，当a<0时，当x=-。时，g(x)=0,当0<x-。时， (x>0,则单调递增：当-时(x)<0,则)单调递 该则)的最大值为：()=(）（小·。2 则h((）2x0,=ee)=h+-2 0p(0。>0则e0)在(0.+上单调遥抛.又p(o lne+xe-2=0,六由e(0)<0得0<1<e,0<-<e且a<0, 1 6解：(1)由/八)=r2-(2a+10+244,0.得/P( m-(2a+1)+2_r-(2a+10+2_a-l》-2令r(=0,解 得。=2当0<a<2 时，>2.当e(0,2时()>0， )单调递增：当xe(2.。)时，了"()<0)单调递诚：当xe (合+）时()>0)单调递城当a=宁时，。=2， f"(到≥0恒酸立)在(0，+)上单调适增当a>了时，0< }2.当e(0,）时()>0)单调遥增：当xe (合，2）时)<0e)单调通减：当e2.+)时J"()>0. )单调递增，综上所述，当0<a<?时，()的单调递增区同 为0,2)和（合+）单调递诚区间为(2.）当a时， 八)的单调递蜡区间为(0，+)，无单调递减区间：当0>时，) 的单调递增区间为(0.。）和(2，+云)，单词递诚区间为 (2 (2)因为对任意x1e(0,2],均存在∈(0,2].使得爪x1)<g(x2). 所以f(x)m<g(x)m,g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,xe(0,2],当 =2时，g()取得最大值.最大值为Q由()得，当0<a≤？时) 在(0,2]上单调递增，即当x=2时.爪x)取得最大值f代2)=2a-(2a+ 1)×2+2n2+4n=2a-2+2ln2,所以2a-2+2in2<0,解得a<1-lm2, 即0<a<1-h2当a>时，八)在(0，。)上单调递增，在 (行2)上单润递减，当x=。时)取释最大位/（日） 1+4= 1-2-2na+4a,设s(a)= 2a 12 1-4n+8a2 ,-2-2na+4n.a>7,则'(a)=】 -+4= 2w3>0,s(a) 单测适猫，所以(a)>(行)）h410度立.所以/（行）水0无 解.综上所述，a的取值范围为a10cm<1-ln2. 7.解：(1)/(x)=如的定义城为(0，+￥)，了(x) -，当0时>0到单 x 一学霸高考·白 测递增，当时'()<0)单调递诚，故当=时)取 2)由a心≥风)可得≥n2=.今=x+x一11 re R设0.则g(0二42，令g(>0,解得1<-2.令 g'(t)<0,解得1>-2，则g()在(-，-2)上单调递增，在(-2，+m) 上单调递减.即g()=g(-2)=e2,因此ag()m=e2.故 a≥e2 8.(1)解：fx)=√1+2r2-arsin x,当a≥0时，定义城为R,当a< 0时，定义域为- ·云」均关于原点对称且-) √1+2a(-x)产-a(-x)sin(-x)=√/1+2a2-sinx=fx),故f(x) 为偶函数. (2)证明：当a=时x)V+号血为锅函数，要证 月)≤1.只需要证厅≤1-子m,当-1≤≤1时，1- 血o0,只需证明0≤≤1时，1-2≤（子m)广.即证 1 P-咖女+2nx≥0，只需证-n≥0，即证x≥血，令 g(x)=x-inx,g'(x)=1-osx≥0，g(x)在[0,1]上单嗣递增， 故g(x)≥g(0)=0,所以x≥inx,得证 (3)解：由x)<1可得√1+2a<1+uxsinx,当0<x<m时，a>0,故 1+2 xsin x>0,故1+2ar2<(1+rsin t）2→2sinx-2x+rsin2x>0, h(x)=2sin x-2x+ar sin.'(x)=2c0s x-2+asin'x+arsin 2x, m(x)=h'(x),m'(x)=-2sin x+asin 2x+asin 2x+2axcos 2x= -2sin x+2asin 2x+2axcos 2x,n(x)=m'(x)n'(x)=-2006+ ams2x-4anm2x,①当w(0)=-2+6a>0时，甲a>行，存在 0E(0,π)，使得对任意xE(0,),n'(x)>0,故m'(x)在xE(0,） 上单调递增，又m'(0)=0,所以m(x)>0在x∈(0,0)上恒成立，从 面m(x)=(x)在x后(0，o)上单调递增，又'(0)=0，所以'(x)> 0在xe(0,和)恒成立，从而(x)在xe(0,)上单调递增，结 合h(0)=0,得(0)>0对任意x∈(0，x。)恒成立，符合题意，2当 0<a<号时.n'(0)=-2+6<0,存在e(0,).使得对任意xe (0,),n'(x)<0,故m'(x)在xe(0,o)上单调递减.又m'(0)=0, 所以m'(x)<0在xe(0,)恒成立，从而m(x)=h'(x)在e(0,) 上单调递减，又'(0)=0，所以'(x)<0在xe(0,)恒成立，从 面h(x)在xe(0,0)上单调递减，结合4(0)=0，得(0)<0对任意 e(0,o)恒成立，不符合题意，③当a=号时，令p(x)=n() p'()=2sin a-16asin 2x-8arcos 2x.q(x)=p'(x).q'(x)=2cos x- a2x+16ain2x,则(0)=2-40a=1-0<0,类推2同理可 不符合题意综上可得，>3 第四章综合测试 章末自测 1,A 解析：f'(s)=20+)(e+e)-(2e+e)(2e+切。 (5+e2)2 (20+)-e由f'(国)=0.即1--e=0.解得￥=0由 (2+e22 0.得x0.由"（<0，得0函数八)：在0 处取得极大值.故选A 2.C解析：由题图可得八x)在(-，-3)上单调递减，在(-3，-1)上 单调递增，在(-1,1)上单调递减，在(1，+)上单调递增，所以当 xe(-x,-3)时/"(x)<0,当xe(-3,-1)时"(x)>0,当xe(-1,1) 题·数学·028一第四章导数及其应用学丽高春 专题探究5导数在不等式、恒成立及存在性问题巾的应用 ☑专题强化恭点聚焦，重难突破限时：65min 3.（2025·山西太原一模)已知函数f(x)= 1.(2025·河南鹩壁一模)已知函数f(x)= x-aln x,aE R. 2a(x-1)e-x2(a>0). (1)讨论函数f(x)的单调性； (1)当0<a<1时，讨论f(x)的单调性； (2)当xe(0,+3)时，若f(x)≥cos(x-1)恒 (2)若不等式f(x)>x-4ae对xe(-1,+∞) 成立，求a的值. 恒成立，求a的取值范围. 2.(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)= 4.（2025·广东深圳模拟)已知函数f(x)= e*-ax-1. r血+aeR). (1)当a=1时，求f(x)的单调区间与极值； (2)若f(x)≤x2在x∈(0，+∞)上有解，求实 (1)求f八x)的单调区间： 数a的取值范围， (2)若在[1，e](e=2.71828…)上存在一点 xo,使得f八xo)≤0成立，求a的取值范围. 041 学丽高春白题数学 5.(2025·黑龙江齐齐哈尔二模)已知函数 7.(2025·辽宁省实验中学期中)已知函数 f(x)=In x+ax+2. In x+x+2 f(x)= (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若Hx>0,f(x)<3-xe“恒成立，求a的取 (1)求函数f(x)的最大值； 值范围. (2)若ae1≥f(x)恒成立，求实数a的取值 范围。 6.(2025·福建龙岩期中)已知函数f(x)= 8.(2025·浙江宁波一模)已知函数f(x)= 2ar2-(2a+1)x+2lnx+4a(a>0). 1 √1+2ax2-axsinx. (1)判断f(x)的奇偶性； (1)求f(x)的单调区间； (2)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2]，均 (2)若a=求证)≤； 存在x2∈(0,2]，使得f(x,)<g(x2),求实 (3)若存在x∈(0，π)，使得对任意xe(0,x), 数a的取值范围 均有f(x)<1,求正实数a的取值范围. 042