第四章 专题探究4 导数在函数及方程中的应用-【5星学霸·高考白题】2026年高考数学一轮复习

专题探究4导数在 ☑专题强化热点聚焦，重难突破限时：50min 1.(2025·山东菏泽期中）函数∫(x)= 1,1+x 2血一xsi血x的零点个数为 A.1 B.0 C.3 D.2 2.(2025·河南郑州模拟)定义方程f(x)= f'(x)的实根x叫做函数f(x)的“新驻点”， 若函数g(x)=e24+1,h(x)=lnx,p(x)=x3-1 的“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关 系为 A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a (x·e,x≤0， 3.已知函数f(x)= 关于x的方程 x·lnx,x>0, f八x)=t有且仅有4个不同的实数根，则实数t 的取值范围是 A(2) B.(-o,-e) C.(0,e) D.(e,+o) 4(2025·湖南长沙模拟)已知函数fx)= e+ 若过点P(-1,m)存在3条直线与曲线y= (x)相切，则实数m的取值范围是 ( B.(o,8) co,4) n) 5.(2025·福建福州月考)已知函数f(x)=2+ lnx,g(x)=ax,若总存在两条不同的直线与 函数y=f(x),y=g(x)图象均相切，则实数a 的取值范围为 ( A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(1,e) 第四章导数及其应用学丽高春 函数及方程巾的应用 6.已知不等式ae(x+3)-x-2<0(a<1)恰 有2个整数解，则a的取值范围为() 3 B.3 2 4e≤a3元 A 3.4ea≤3元 32 D. 7.(多选)(2025·黑龙江哈尔滨期末)已知函数 f八x)=ax3-6ax2+1(a≠0)有且仅有三个不同 的零点分别为x1,x2,x3,则 () A。的取值范偶是（仁一，立》 B.a的取值范围是 C.x1x2x3=-1 D.x1+x2+x3=6 8.（2025·江苏苏州月考)已知函数f(x)= 45+(a-2)x·2-2ax2有4个不同的零点， 则a的取值可以为 ( A.-3 B.-2 C.-eln 2 D.0 9.(2025·浙江嘉兴模拟)已知xo为函数f(x)= x2e'+e1nx-2e2的零点，则x+nx=（) A.1 B.2 C.3 D.4 10.(2024·四川泸州二模)若函数f(x)=nx +a有零点，则实数a的取值范 e 围是 In x 11.若关于x的方程 =t有两个不相等的实 -2 数根，则实数t的取值范围是 12.(2024·广东佛山模拟)若函数f(x)= e'ln xtxe'_aln x a(a∈R)有2个不同的零 点，则实数a的取值范围是 039 学霸高春白题数学 2x+1,x<1, 13.函数f(x)= 则满足f(f(m))= 3,x≥1， 3m)的实数m的取值范围是 14.已知函数f(x)=x(lnx-a)+nx+a. (1)若a=1,当x>1时，证明：f八x)>0. (2)若a<2,证明：f(x)恰有一个零点 15.（2024·安徽合肥模拟)已知f(x)= e2-2(a+1)e+2ax(a>0). (1)讨论f代x)的单调性： (2)若对任意a>1,关于x的方程f(x)=k恒 有正数解，求k的取值范围， 040 16.(2025·福建福州月考)已知函数f(x)= e'sin xtas (1)若a=-1,求f(x)的最小值； (2)若f(x)有且只有两个零点，求实数a的 取值范围，15.解：（1)由x=-e+4得f'(x)=32-e+21-x)克，所以 1-x 了'(0)=-1+2=1，即在x=0处的切线斜书为1，又f(0)=3.即切点 为(0,3)，所以曲线y=x)在x=0处的切线方程为y-3=x,即y= r+3 （2))可得m246g-242m-(号）.因 为-1a<0,所以(号0）所以当e(1,)时。 g()<0,则g)在1，号)上单调递减，当xe(0）】 时)>0，则g()在（学.0）上单调递，所以g()的最小 值（停）-完6又g-)=7ag0=6撕以g- g(0).从面g(x)的最大值M=g(-I)=7+a,所以设(a)=M-m= 7+a 276、43 4a3 a1则(o号1号()(。- ）,由ae1.0),知(o)>0,所以6(o)在(-1.0)上单调递 增，因为4(-1)=齐4(0)=1，所以M-m的取值范周为（ 4 1,所以c的取值范围为1，+： 题探究3含参函数单调性分类讨论 专题强化 1解：(1)油)=-1+台得f“()=1一二又曲线y在点 (11)处的切线平行于x轴，得f'(1)=0,即1-。=0，解得4=e (2"(x)=二，①当a≤0时"()>0)为(-，+)上的增 函数，2当a>0时，令f'(x)=0,得e=a,则x=lna,xe(-,na）, f'(x)<0:x∈(lna,+g）,f"'(x)>0.所以f八x)在(-g,lna)上单湖递 减，在(n,+)上单周递增，综上，当a≤0时，f八x)为(-×，+)上 的增函数，当a>0时，八x)在(-，na)上单画速减，在(na,+) 上单调递增， 2.解：(1)当a=0时，代x)= 1x≠-1)，则0)=0，因为f') +1所以了'(0)=上所以曲线)=)在(00)处的切线方程 1- 为y=上 (2)函数的定义域为(-送，-)U(-1,+×)'()=[-(2a+)】 (x+1)3 令f'(x)=0.解得x=2a+1.当2a+1=-1,即a=-1时，f'(x)= (+1)Gx+)<0,所以函数)的单调递减区间为(-云，-1). -1-x (-1.+g).无单调递增区间：当2a+1<-1.即a<-1时，令f“(x)<0 则xe(-x,2a+1)U(-1.+x),令f'(x)>0,则xe(2a+1.-1),国 数f八x)的单词递减区间为(-x,2a+1),(-1,+〉，单嗣递增区间 为(2a+1,-1):当2+1>-I,即a>-1时，令f"(x)<0,则re(-x,-1) U(2a+1.+x),令f"(x)>0,则x∈(-1,2a+1).函数f八x)的单调递 诚区间为(-.-1)，(2a+1,+x),单调递增区间为(-1.2+1).综 上所述：当=-1时.函数fx)的单湖递或区间为一x,-1),(-1,+x) 无单调递增区间：当a<-1时，函数f(x)的单调递减区间为 (-x,2m+1).(-1,+∞)，单调递增区间为(2a+1,-1):当a>-1时， 函数八x)的单调递减区间为(-￥，-1)，(2+1，+∞)，单调递增区 间为(-1,2n+1), 3.解：(1)当a=1时，八x)=x2e2→f"(x)=2xe+x2e=x(x+2)e'.令 f'(x)>0,解得x>0或x<-2,而x≤1，所以0<x≤1或x<-2,令 f"(x)<0,解得-2<x<0,所以函数f八x)在(-x,-2)上单调递增， 在(-2,0)上单调递诚，在(0,1]上单递增，因此-2是函数f八x)的 极大值点，极大值为4e2:0是函数x)的极小值点，极小值为0：因 一学霸高考·白 为1)=e>4e2x)>0(x≠0)，所以函数在x≤1时，1是函数x) 的最大值点，最大值为。，最小值点为0，最小值为0. (2)由x)=x2e"→f'(x)=2xe"+x2e=(x+2)xe",当a≥0时， 在[0,1]上，f"(x)≥0，因此函数f(x)单调递增：当a<0时，令 八=0，解得x-子或x=0,若-子<1，即a<-2时，在 (0,)上>0.因此函数)单洞递增，在（子1）上， 了(x)<0,因此函数x)单调递减：若-2≥1，即-2≤a<0时.在0， 1]上'(x)≥0，因此函数)单调递增.综上所述：当a≥-2时，函 数)在红0，止单调递增，当4c-2时，函数)在[0，-子）上 单调递增，在(」]上单递减 a 4解：（当a=时02(e.则/e=之动 则曲线y=f(x)在点(0.f(0))处的切线斜率为厂'(0)=1，因为 八0)=0，所以曲线y=八x)在点(0八0))处的切线方程为y=x. (2(x)的定义城为(-1，+).当a>0时，/'(x)=2ar+x中 2m1令ge)=2m242a+1(e-1).则ga)在(1，] x+1 上单调适减，在（子+：）上单调递端，因此()的最小值为 ()）+1当0<a≤2时，g()≥g(寸）≥0，则 了'(x)≥0，此时八x)在(-1，+)上单调递增，当a>2时，令g(x)= 0,得=2±y-。-1 日云>1尊s (,分)时，)>01)单视递描：当 (分√日云子√：五)时e0单湖强减： 当（子√/公云）时0单调楼描，保上 当0<≤2时.f(x)在(-1，+)上单调递增，当a>2时，(x)在 （,子公)（宁小上岸周递地 在（分：五宁：）上单调速说 专题探究4导数在函数及方程中的应用 专题强化 1.A解桥：0，可得-1<1，即定义城为(-1,1)，所以”(x= 1-x Ixl-x2 1 之×1s“1字s,由于1-e(0,小.放 字≥0，即/"()≥0，当且仅当x=0时取等号，即x)在 1 (-1.1)上为单调递增函数，又f尺0)=0，所以(x)仅有一个零点.故 选A 2B解折：由题意：g()=2产()=p()=3,所以a. 6分到为产1=2护，h上1=3的鼠，即为西数 (x)=e-1,1()=血x-91(x)=入-1-3x2的零点，可解 1 得a=0:,(x)=n-(x>0)为单调递增函数，且h,()=-1< 0,A,(e)=ne-=1->0,所以1<bce,令pi()=32-6x=0,解 得x=0或x=2,当x<0时，(x)>0,,(x)单调递增，当0<x<2时， 题·数学·024一 (x)<0,p(x)单调递减，当x>2时，(x)>0,91(x)单调递增，由： 9(0)=-1.p1(2)=-5,9(3)=-1<0,e1(4)=15>0,所以3<c<4.所 以c>>a.故选B. 3.A解析：当x0时f"(x)=(1+x)e,当<-1时f'(x)<0,当-1< x≤0时f"(x)>0,所以fx)在(-x,-1)上单调递诚，在(-1,0]上 单调递增当o0时'(x)=nx+1,当0e<时'(x)<0,当> 时)>0，所以)在(0.）单递减，在（+=）单 调递增-1)=（）-。两出函数）的图象，如图所示 可得雨数最小值为-】()=！有四个不同的实数根，数形结合可 知。1<0，的取值范用是（上0）放选 4c解折设切点坐标为() 由题意得了'(x》= -心=三.所以函数)的图象在点 】处的切线 e 的斜率为f'(xn)= 所以切线方程为：.因为 e'o e'o eo 切线过点P(-1,m),所以m- 1_和(-1-)，则m= xo+1)2 eo e'u 由题意可知，这个方程有三个不等实根设g():少，则 e (x》=《2+2)一（x+2x+1)=一+1，由g”(x)>0得-1<x<1, e 由g'(x)<0得x<-1或x>1.所以函数g(x)在(-，-1)和(1，+) 上单调递诚，在(-1,1)上单调递增，又当x趋近于正无穷时g(x)趋 近于0：当x趋近于负无穷，g(x)趋近于正无穷，且g(-1)=0, 1)=。,所以()的大致图象如图，所以要使直线ym与函 数g(x)的图象有三个交点，则0<m<4故选C +1 =) m -10 5.B解析：设函数f代x)=2+hx上的切点坐标为(x1,2+lnx,),且> 0,函数g(x)=丘上的切点坐标为(x2,2),且，≥0，又∫'(x)= )2则公切线的斜率=，”，则>0，所以， 1 2 x2√2 于异.则公切线方程为)一2+)=（=.即y=4h+1。 将(，a网)代人得aG与+n+1,则 4+ 血+1，整理得a。加+4 ，若总存在两条不同的直线与函数y= 八)，y严g()图象均相切，则方程.血 一有两个不同的实根。 设h(x)=血x+4 ·x-(4nx+4) >0,则'(x)= -4ln x2 令'(x)=0得x=1,当x∈(0,1)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 后1，+)时，（国）<0,4()单调适减，又A(到=0可得=测 x一0时，h(x)→-：x一→+x时，h(x)→0，则函数(x)的大致图象 一学霸高考·白是 如下： 所C04 解得0<a<2.故实数a的取值范围为(0,2) 6.C解析：当x=-3时，(x+3)-x-2<0(m<1)即为0+3-2<0，即1< 0不立当时，不等式等价于心品-（局)小 。。>小1.由于a<1,放不成立：当-3时，不等式等价 11 x+2 于< x+3)e若a≤0，则不等式对于任意的-2恒成立，满足不 等式的整数有无穷多个，不符合题意：若a>0,令g(x)= +2 (x+3)0 (+3)在3,5+5 -3,则g'()=产+5+5 上，g(x)>0,.g(x) 单调莲瑞，在(5：5+）上g)<0g()单调递流，且 在(-3，-2)上，g(x)<0,在(-2，+）上，g(x)>0.又：在x趋近于 +时，g(x)趋近于0g(x)在(-3，+x)上的图象如图所示 y=a -31-2-3+50 2 -25+5 2 1,当23时不等式等价于<有两个 这再个整数解必然是-1和0，充分必要条件是1】 7.BD解析：f'(x)=3ar2-12ar=3a(x-4)(a*0),令f'(x)=0,解得 x=0或x=4,当a<0时，当xe(4,+x)时'(x)<0x)单调递减， 当xe(-x,0)时，f'(x)<0八x)单两递减，当x∈(0,4)时f'(x)> 0(x)单调递增，所以x)教值∫(0)=1>0八x)教大值/(4)=1 32>0,此时函数f代x)只有一个零点.不符合题意：当a>0时，当x (4,+x)时'(x)>0.fx)单调递增，当x∈(-x,0)时f'(x)>0, x)单调递增，当xe(0,4)时了"(x)<0(x)单调递诚x)大孩= 0)=1>0,要使x)有三个不同的零点.则，代x)餐=f(4)=64a- %+1=1-<0,解得0>过即a的取值框调是（贫+），放 A错误，B正确：因为函数(x)=x3-6x2+1(a0)有且仅有三个不 同的零点分别为1，，无，则f(x)=(x-)(x-出)(x-)= ar3-a(x1+2t3)x2+a(x1+x,x2t23)x-ar23=r3-6r2+1. 即有-a1*2=1,1+为+=6,1+x1+x=0,故C错误，D正 确故选BD. 8.A解析：由题意可得方程(2+x)(2”- 2x)=0有4个不同的根.方程2：-2x=0 的2个根为1=1,2=2，所以方程2+r= 0有2个不同的根.且a≠-2.即函数y=2 与函数y=-x的图象有两个交点当直线 J=2 y=-x与函数y=2的图象相切时，设切点 为(0,20），因为y’=21n2,所以 n=22解得。“2e,a (-x0=250, ·数学·025一 -e加2.要使函数y=2与函数y=-x的图象有两个交点，只需直线 y=-x的斜率大于n2,即-a>eln2→a<-ln2.故a的取值范围 为(-，-2)U(-2.-en2).故选A 9.B解析：由f代x)=0得x2e=2e2-e2lnx,即x2e=e2(2-lnx),即 e=心2n三，因为0，所以m=g二n三，所以和为方程知= n二的根，令g()三心(0)，则g()=(+)>0,所以 在)上单(）所以h 2-lnx,即x0=2-n,即x0+ln=2,故选B. 10.[0,+0)解析：函数f八x)=lnx-一x+a的定义域为(0.+c).又 ()=-.,所以当0<x<e时.“(x)>0,当>e时. xe ex f‘(x)<0.所以f八x)在(0.)上单调递增.在(e,+x)上单调递减 所以x)=f八e)=a,又x一→0时，f(x)一-x,一+x时.f(x)一 -x,又函数八x)=h。ta有零点，所以八x)m≥0，即a≥0， 所以实数4的取值范雨是[0，+).故答案为[0，+） 1.(0,+x)解析：令yx)=且x(0,2)U(2.+x),则 x-2 -2y-n￥12-n f"(x)= 2 (x-2)3 (-22令g(*)=1- -nx,则 r是-学当0,2时g《0即以港端 当xe(2,+￥)时.g'(x)<0,即g(x)递减，所以g(x)m=g(2)= -n2<0,故f'(x)<0恒成立，即f八x)在(0,2).y1 (2,+）上递减，而0<x<I时，f(x)>0:1<x< = 2时x)<0:x>2时x)>0.所以y=fx)的图 象如图所示，故八x)=1有两个根台1∈(0，+x). 12 故答案为(0，+￥)， 12.(0,1)U(1.+》解析：由函数f八x)=e(lnx+x)-a In x ((-2). 设g()=血，可得g(x)=￥1>0.g()单调通增。 且：（兮）-h2+0.g(1)=01>0,所以存在隆一的，e (0,1),使g(x1)=0,即nx1+1=0. 令广=0.即a=,设h(x)=m.可得'(x)=(x+1)e>0. 则h(x)在(0.+)上单调递增 又由h(0)=0且x+x时.h(x)++x,所以当ae(0,+x)时存 在唯一的x2∈(0，+x),使(：)=a,即a=2e2, 若，=，时，可得=0，则n,=-1,可得，=e,所以 (a=x1e1, 1e1=1,所以a=1, 综上所述，实数4的取值范围为(0,1)U(1,+). 故答案为(0,1)U(1,+). 方法总结 巳知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范国问题的三种帘 用方法： 1,直接法，直接根据测设条件构建关千参数的不等式（组），再通过解 不等式（组）确定参数的取值范国： 2分高参数法，先分离参故，将问转化成求函数值域问题加以 解决： 3.数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数 的图象，然后数形结合求解 13.0,+)U{2 解析：当m多1时，f八m)=3多3fm))= 一学霸高考·白题 3”)=3”,3=3”,则f代m)=3m,因此m≥1：当m<1时， m)=2m+1.当2m+1≥1，即0≤m<1时，ff八m))=f(2m+1) 3+1,而30m=3,则m)=31a,因此0≤m<1:当2m+1< 1,即m<0时ff(m)=f(2m+1)=2(2m+1)+1,3m=3mt 令2m+1=<1,方程fU八m)=3化为2+1=32+1-3=0， 令g()=2+1-3.1父1，求导得g()=2-3n3.显然函数g(t) 在(-x,1)上递减，g(0)=2-m3>0,g(1)=2-3引m3<0,则存在 oe(0,1),使得g(o)=0,当<o时，g(6)>0,当n<t<1 时，g'(o)<0,即函数g()在(-，a)上递增，在(0,1)上递减，于 是g(0)>g(1)=0,面g(0)=0,则函数g(t)在(-第.1)上有唯一 零点1=0，此时m=子，因此当<0时m)》=有唯- 号所以实数m的取值范调是[0，+运)U{}放答案 1 解m= 为o*u{} 14.证明：()闲为a=1,所以x=n+n+1/()=nx4当 >1时，了'(x)>0.则f(x)在(1.+x)上单调递增，所以当x>1时， fx)>1)=0. 2=hoha=(-a学，）令ge na血+是，则)=-n=+1-h令 x x2 x2 1-n-a.则()=1↓=-当xe(0,1)时.(<0，h(x 在(0,1)上单调递减.当x后(1.+x)时.h'(x)>0,h(x)在(1.+) 上单测递增，所以A()≥h(D=2-a>0,所以g)=1-ha 0.则g(x)在(0.+x)上单调递增.因为g(1)=0,所以g(x)恰有 一个零点，则尺x)恰有一个零点 15.解：(1)f'(x)=2e2-2(a+1)c+2a=2(-1)(e-0) ①a=1时，有f'(x)≥0八x)在(-.+x)上单调递增. ②a>1时，由f'(x)>0得x<0或x>ne,由f'(x)<0得0<x<lna,所 以(x)在(-x,0).(na,+)上单调递增，在(0，na)上单调递减 ③0<a<I时，由f'(x)>0得x<na或x>0,由f"(x)<0得lna<x< 0.所以f八x)在(-x,lna),(0,+x)上单调递增，在(1na,0)上单 调递减 综上所述：①a=1时，f八x)在(-e,+g)上单调递增：②a>1时， 八x)在(-x,0),(lna,+)上单调递增，在(0，lna)上单测递减： ③0<a<1时x)在(-x,na),(0.+)上单调递增，在(ma,0) 上单调递减 (2)a>1时.由(1)得八x)在(0.m)上单调递减.在(ln.+)上 单调递增，所以对任意x>0,f（x)≥f(ma)=。2"-2(a+1)e血+ 2aln u=a2-2u(a+1)+2aln a=2aln a-a2-2a. g(a)=2aln a-a2-2a(a>1).g(a)=2(1+In a)-2a-2= 2(na-a)<0,所以g(a)在(1，+)上单湖递减，所以g(a)< g(1)=-3因为对任意a>1,关于x的方程八x)=k恒有正数解，所 以k≥-3 16.解：(1)当a=-1时x)=e'inx-x,则f'(x)=e(simx+eosx)-1= e(当]时[]所以 ≤m(+）1.所以1≤m(+号）s迈又e≥1.所 2 以2n(+)≥1，所以'()≥0i成立，所以八)在区间 [0,]上单调递增，所以)的最小值为0=0 (2)已知可得0)=0.则)在区同(0，号]上有且只有1个 ·数学·026一 零点f'(x)=e'sinx+eosx+a,令g(x)=e'sin x+ecsx+a,xe [0,受]则g)=e(ntm)e(mim0=2eaom,因 为g()=20m≥0在区间[0，]上恒成立.所以'()在区 间[0，号]上单调递增所以，当x=0时()有最小值 f"(0)=a+1:当x=时f"(s)有最大值f(号）e+a当u≥ -1时，有f"(0)=a+1≥0，则∫'(x)≥0恒成立，则f八x)在区间 [0,号]小上单调遥增，所以s)>0).又0)=0，所以)在风 间(0号]上无零点，不符合题意，备去，当a≤-c时，有 r(受）e+n≤0相成立，燜)在区间0，号]上单调遥减。 所以)0).又0)=0，所以x)在区间(0，号]上无零点， 不符合题意.舍去：当-e2<a<-1时，有f'(0)=a+1<0, 了（受）=ei+o>a又(）在区同[0，受]上单调递端，根据号 点作在性定理可得，3oe(0,Σ使得了'()=0当xe [0)时f'()<0)单调递减：当e(,号]时"()>0， )单调潘增又0)=0（）=+受，要使）在区间 (0,号]上有且只有-个零点，则。，≥0解得a-名 又-ea<-1.所以-名ei≤ac-1 专题探究5导数在不等式恒成立及存在性问题中的应用 专题强化 1.解：(1)由题意得f'(x)=2ae+2a(x-1)e-2x=2ne-2x=2x(ue- 1).因为0<a<1时.令f(x)=0,得x=h=-h4>0或x=0,当x< a 0时∫'(x)>0,f(x)在(-e,0)上单调递增.当0<x<-lna时， f'(x)<0八x)在(0.-lna)上单调递减，当x>-lna时，f'(x)>0, 仪x)在(-lna,+)上单调递增，故当0<a<1时(x)在(-x,0)上 单调递增，在(0，-na)上单调递减，在(-n4,+)上单调递增. (2)由x)>x-4a,得到(x+1)(2ae'-x)>0,因为x>-1,所以x+1> 0,则2a>。 令e0=之o1).则ge,当-1x 1时，g(x)>0,即g(x)在区间(-1,1)上单调递增，当x>1时， 8(x)<0,即g(x)在区间(1，+)上单调递减，所以g(x)≤g(1)= 二，得到2心。所以心六故：的取值范围为（公+） 2.解：(1)当a=1时.(x)=e-x-1,所以'(x)=-1,当x<0时 '(x)<0:当x>0时，'(x)>0,所以(x)在(-，0)上单调递诚， 在(0，+)上单满递增，所以当x=0时函数八x)有极小值f(0)=0, 无极大值 (2)x)≤x2在(0，+)上有解，即e-2--1≤0在(0，+x)上有 ）则g(=》-,由)知 x2x2 2 0时x)>0)=0,即e-(x+1)>0,当0<x<1时，g(x)<0:当x> 1时，g'(x)>0,所以s(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+x)上单调递 增，所以当x=1时，g(x)m=e-2,所以n≥e-2综上可知，实数a的 取值范用是a≥e-2. 一学霸高考·白， 方法总结 对干利用导数研究不等式的恒咸立与存在性问则的求解策路： (1)通常要构造新面数，利用导数研究菌数的单调性，求出最值，从而 求出卷数的取镇范围： (2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问面： (3)根据恒成立成存在性求解参数的取值时，一极涉及分高参数法 但压轴试题中很少碰到分离参数后构境的新西数能直接求出最值点 的情况，进行求解，若参变分离不易求解何题，就要考虚利用分类讨 论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别， 3.解：(1)函数f八x)=x-alnx的定义城为(0.+x),求导得了"(x)=1- ,当a≤0时.°()>0，函数/x)在(0，+x)上单测遥增：当a> 0时，由f"(x)<0,得0<x<a:由f'(x)>0,得x>a,函数f八x)在(0，a) 上单调递减，在(a,+e)上单调递增，所以当a≤0时，函数f(x) 在(0，+)上单测递增：当>0时，函数f八x)在(0，a)上单调递减. 在(a,+x)上单调递增. (2)令(x)=f八x)-co(x-1)=x-lnx-s(x-1),x>0,求导得 g(x)=1-4+in(x-1),由当xe(0,+x)时，《x≥cs(x-1)相成 1 立，得Vx=(0,+x）,g(x)≥0恒成立.面g(1)=0,因此g(1)是函 数g(x)的最小值，义g(x)在(0，+)可导，则1是g(x)的极小值 点，g'(1)=1-a=0,解得a=1,当a=1时，g(x)=x-lhx-6m(x-1), o0,令()=--n,>0,求导得'()=子由'()<0.得 0<x<1:由h'(x)>0.得x>1,函数h(x)在(0，I)上单测递减，在 (1,+x)上单调递增，则h(x)≥h(1)=0,即x-nx≥1，因此g(x)= x-n-m(x-1)≥1-c(x-1)≥0，当且仪当x=1时取等号，所 以a=l. 4.解：(1(x)=1-4.1n,-a-(1a）.+)[x-1a】,当 x x2 1+n≤0，即≤-1时，在(0，+）上f‘(x)）>0,所以函数(x）在 (0,+x)上单调递增.当1+>0.即a>-1时，在(a+1,+x)上f'(x)> 0,在(0，a+1)上f'《x)<0,所以函数八x)在(a+1,+)上单调递增， 在(0，a+1)上单藏递减 (2)若在[1，c]上存在一点o.使得f(xn)≤0成立，即f(x)m≤0. xe[L,e].①油(1)可知，当a≤-1时，函数f八x)在[1，e】上单调递 增f(x)=f1)=1+1+a≤0，即a≤-2，②当a>-1时，函数f八x) 在(0，a+1)上单调递减，在(a+1,+)上单剥递增.当1+a≥e, 即a≥-1时，函数八x)在[1，]上单调递减，f(x）in=f八e)=e-a+ 10,即0≥因为 2当1+a1, 。1>e-1所以a≥-1 即a0时，函数八x)在[【，e]上单调递增J(x)m=f代1)=I+1+≤ 0,即a≤-2（金），当1<1+a<e,即0<a<e-1时，函数x)在[1，+1] 上单满递减，在[1+a,e]上单湖递增，/(x)m=f(1+)=a+2- am(1+a),此时0<ln(1+a)<l.则0<aln(1+a)<a,所以2<a+2 aln(1+a),即八1+a)>0,所以f八1+a≤0无解.综上所述，实数a的 取值范调是≥4或4≤-2 e-1 5.解：(1)=n+ar+2的定义城为(0，+)f'(e到=n= +r x>0,当a≥0时，f'(x)>0.则f(x)在(0，+x)上单湖递增：当a< 0时.当x=-时”(x)=0,当0<<时'(x>0,则八x)单调 a 递增：当>时”(x)<0,则x)单调递减，综上，当a≥0时. 代x)的单递增区间为(0，+x),无单调递减区间：当a<0时，代x)的 单调递带区何为(0，)的单润递减区码为（日坛） (2)若Vx>0,八x)<3-xe“恒成立，即x>0,nx+r+2<3-xe“恒成 立，则x>0,lnx+ar+xe"-1<0恒或立，设g(x)=lnx+ar+xea-1. o0.g()a( “>0,当a≥0时，g(x)>0,则g(x)在(0，+x)上单调递增，当x> 题·数学·027一