第四章 第3节 利用导数研究函数的单调性极值、最值、值域-【5星学霸·高考白题】2026年高考数学一轮复习

第3节利用导数研究函数 ☑应用提优考点全面，能力提升限时：50mim 1.(2025·河北承德月考)函数八x)=-2e的 单调递减区间是 ( A.(-x,ln2) B.(ln2,+e) C.(-3,2) D.(2,+) 2.(多选)(2025·黑龙江哈尔滨期末)如图是函 数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，则以下 说法正确的为 72-10 A.-2是函数y=f代x)的极值点 B.函数y=f(x)在x=1处取最小值 C.函数y=f八x)在x=0处切线的斜率小于零 D.函数y=f八x)在区间(-2,2)上单调递增 3.(2025·山西吕梁期末)已知函数f(x)=x x1nx,当x∈(1，+o)时f(x)<-x2恒成立，则 实数k的取值范围为 ( A.(-,0) B.(-,0] C.(-x,-1) D.(-e,-1] 4.(2025·浙江杭州期末)已知当x=1时，函数 f代x)=alnx+bx2+3取得最大值2，则f(3)= A.2ln3+2 C.2ln3-6 D.-4 5.（多选)若f(x)=- +号+2x+1是区 间(m-L,m+4)上的单调函数，则实数m的值 可以是 A.-4 B.-3 C.3 D.4 第四章导数及其应用学霸高春 的单调性、极值、最值、值域 6.(2025·陕西咸阳模拟)已知f(x)=ae- 在区间(22)内存在2个极值点，则实数a 的取值范围为 ( B c原 n() 7.（多选)(2025·江西南昌模拟)已知函数 f(x)=(x-a)(x-2),且x=1是f(x)的一个 极值点，下列说法正确的是 ( A.实数a的值为1或-1 B.f八x)在(1，+∞)上单调递增 C.若x=1是f(x)的一个极小值点，则当x> 1时，(2x+1)>fx+2) D.若x=1是f(x)的一个极大值点，则当0< x<1时f2x-1)>f(x2-1) 8.(2025·山东淄博模拟)已知函数f(x)及其导 函数f'(x)定义域均为R且F(x)=e2f(x+2) 是偶函数，其函数图象为不间断曲线且(x-2) [f'(x)+fx)]>0,则不等式f(lnx)<ef3) 的解集为 () A.(0,e3) B.(1,e3) C.(e,e3) D.(e3,+o) 9.(2025·安微阜阳期末)已知a>1,对任意的 b,当b>a时，恒有b<a,则a的最小值为 ( A.e3-e B.e C.e D.e 10.已知R上的可导函数f(x)的图象如图所示， 则不等式(x2-2x-3)f'(x)>0的解集 为 035 学霸高春白题数学 11.(2025·重庆巴蜀中学月考)已知函数 八)=x-a血x2云(x>0)存在两个极值点 x1,x2,满足f(x1)+f(2)=ln2,则实 数a= 12,(2025·四川雅安模拟)定义：已知函数f八x) 的导函数为f'(x),若f'(x)是可导函数且其 导函数记为f"(x),则曲线y=f(x)在点 (x(x))处的曲率K= f"(x) 据 1+[f'(x)]2} 此，曲线y=e2(其中xeR)的曲率K的最大 值为 13.(2025·云南昆明模拟)已知函数x)=。二 (1)求f八x)的单调区间： (2)当>x>1时，判断f)-)与2 2的大小，并说明理由. 036 14.(2025·山东潍坊模拟)已知函数f(x)= xln x,g(x)=x+ax. (1)若f(x)-g(x)≤ex恒成立，求a的 最小值： (2)若x=1是p()=mx)-g)+n+n的 极小值点，求n的取值范围。 15.(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)= 4 x3-e*+ /1-x (1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程： (2)设g(x)=ar2-e+4 +2f(0)-f(x), 1-x 当-1<a<0时，g(x)在区间[-1,0]上， 若对于任意两个自变量的值x,x2都有 g(x)-g(x2)≤c,求实数c的取值 范围。1)21)=(+1)1,解得2=0，所以x,=0.所以曲线y=心-1与曲 线y=l(x+1)的公切线的公切点为(0,0)，则切线的斜率为1，故与 两仙线均相切的直线的方程为y=0,故答案为x-y=0. 10y=1引解桥：已知y=h-,所以在点1,0)处的切 线斜率k=1,则在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.由题意知， nx=x-l,所以n6-l,即n高=西-L,所以西=n品+ 1女1引即6一引故答案为y=1动 21 11.2解析：因为y=e,所以y=e,则1，=e,,=。 2 依题意可知两条切线的方程分别为y=e1(x-,)+e+,y=(x- )+e,联立两条切线的方程的(+e ”解得0= (y=e(x-x3）+e2 (1-)e2-(1-1）e1x1e1-3 一，因为 e'1-e'2 e1-e2 一1，则 e1-e'2 两条切线的斜率之积为1，所以e2=e1归=1，所以，+书=0，代 人上式得ce 1et 2r1e1 -e* e41-1 -1,= 2所以b1 y2 e'rte""e"e't em 4 子甲=鸟时聚得最小值放答案为号 12.解：(1)由已知得"(x)=3x2-2(a+1)x+a(a+1),根据题意得 ∫'"(0)=a(+1)=2,解得a=-2或=1 (2)因为4>0.所以由(1)可得a=1.所以f(x)=x3-2x2+2x. f"(x)=3x2-4x+2,设切点坐标为(1，-22+24).则切线的斜率k= 32-44+2,所以切线方程为y-(-2r2+2)=(32-4+2)(x-1).因 为切线过点A(1,1),所以1-(P-22+2)=(32-41+2)(1-1),得 红-1)(2-1)=0，解得1=号或1=1，所以切线方程为3-4y+1=0 或x-y=0 易错提醒 求曲线的切线方程时要注意“过某点的切线”与“在某点处的切线” 的差异，在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条：过某 点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条， 44 以函数代x)图象在x=1处的切线方程为)33(1)，即y产 3 （2)由1)可得，F(x)=1+>3 11 若对于函数F(x)图象上任意一点处的切线1，在函数G(x)图象上 总存在一点处的切线2，使得112， 即对任意的，=F()>行，总存在=6()使得，·与- 即-3<k,=G'(m)<0 又G(x)=-1+mcsx(m≠0)，从面G(x)=-1+0%x(m≠0)的值 域包含(-3,0)， 当m>0时.G(x)=-1+mx(m≠0)的值域为[-m-1,m-1],所 以仁m气-3·解得m≥2. (m-1≥0， 当m<0时，G(x)=-1+m%x(m≠0)的值域为[m-1,-m-1门，所 吲仁没解n2 即实数m的取值范围为(-x.-2]U[2,+x). 14.解：(1)由题意知，当曲线C,在点P处的切线与直线y=ev+2平 行时，点P到直线y=x+2的甩高最小，对y=x+2求导，得y'= 士令士6，得所以点P的室标为仁 一学霸高考·白 (2)设直线（与曲线G,的切点坐标为A(,n+2),y=mx+2求 导得y=工，则在点A处的切线斜率为二，可得切线方程为y （nx+2)=(x-),整理得y= 一x+加x1+1①.设直线I与曲 线C2的切点坐标为B(x2,n(2+2),y=n(x+2)求导，得y'= 夜测在点8处的切线斜率为2期我方程为)一山2引 2）.整理得= 、+2x+1n《+2), 2.因为①2表 不雨-条直线.期名2国.且h1与2- x2+2 由③可得1=3+2.将其代人④得n(+2)+1=n(+2)+2 2 即1=2解方程1=2得-1那么与=+2=把 x,=1代人①D式得切线方程为y=x+1. 第3节利用导数研究函数的单调性，极值、最值、值域 应用提优 1.B解析：由f"(x)=12,当f'(x)<0,得lh2,所以x)的单 周递减区间为(n2,+g).故选B. 2.AD解析：对于A,由导函数y=f'(x)的图象可知：当x∈ (-,-2)时'(x)<0,x∈(-2，+g)时∫"(x)≥0，且仅当x=1时， 了(x)=0,故函数在x■(-，-2)上函数(x)单调递碱：在x■ (-2,+∞)上函数八x)单调递增，所以-2是函数y=f八x)的极小值 点，所以A正确：对于B,x=1两侧函数的单调性不变，则在x=1处 不是函数y=f八x)的最小值，所以B不正确：对于C,由图象可知 f"(0)>0,所以函数y=f八x)在x=0处的切线的斜率大于零，所以C 不正确：对于D,由y=八x)图象可得，当x(-2,2)时，f'(x)≥0，当 且仅当x=1时等号成立，所以函数y=八x)在xe(-2,2)上单调递 增，所以D正确，故选AD. 易错提醒 可导函数的极值点处的导数为0，但导数为0的点可能不是函数的极 值点.也就是说，若∫'(x0)存在，测f“(n)=0是爪x)在x=0处取到 极值的必菱条件，但不是充分条件，如本愿中八x)在x=1处F(1)= 0,但1不是极值点 3.D解析：由f(x)<-x2,得k<nx-x在x∈(1，+x）上恒成立 令g(x)=nx-x(x>1),则g'(x)=nx+1-1=lnx>0,所以g(x)在 x后(1，+x)上单周递增，故g(x)>g(1)=-1,即k≤-1，故选D. 4.C解析”(x)▣“+2x,因为当x=1时，函数代x)取得最大值2. 所以2。即3=2。解得化，所以x)=2h-2+3. U'(1)=0.(m+2h=0. (a=2. f'(=2-2x21-)1.令f'(>0.得0er<1:令)<0. 得>：所以八x)在(0,1)上单调递增，在(1.+x)上单调递减，则 f(x)=f八1)=2，符合题意，所以八3)=21n3-6.赦选C. 5.CD解析：h题意，f'(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1),令f"(x)>0, 解得-1<x<2,令f'(x)<0.解得x<-1或x>2,所以穴x)在(-1,2)上 单调递增，在(-x,-1),(2.+x)上单调递减.若函数「(x)= 子宁421在区间(a1a4)上单调，则m+4≤-1或m 1≥2成{m-1≥·解得m≤-5或m≥3或m后⑦，即m5 或m≥3故选CD. 6.B解析：因为f"(x)=ae-x,可知f'(x) = 在（行2）内有2个变号零点，曲2 0可得a令g=，可 0 知：y=a与gx)专在（分2）内 题·数学·022一 有2个交点，又国为(x)=。,令g()>0,解得？<<1：令 g()<0解得12：可知g)在（分1）内单调造端，在1,2 2 六产合阳象写得记<亡所以实数。的取值面相为 7.ACD解析：函数f(x)=(x-a)2(x-2)的定义域为R,f'(x》 3o)(）令)=0得与g.0当a=1时. )=3(）曲f()>0,得1或号，由fr(到< 0.得1<号，则)在(-，)和（行+）上单调适增，在 (小，）上单调递减，此时=1是八)的一个极大值点②当 号1时，解得a=-1.则/)=3(+(-0.由/”()>0，得 x<-1或x>1,由了"(x)<0,得-1<x<1,则八x)在(-g,-1)和(1，+￥) 上单调递增，在(-1,1)上单调速减，此时x=1是八x)的一个极小值 点故A正确，B错误：若x=1是f八x)的一个极小值点，则a=-I x)在(1，+)上单调递增.因为x>1.则2x+1>x+2>1.所以f2x+ 1)/(x+2),故C正确：若x=1是八x)的一个极大值点，则a=1. 八x)在(-x,1)上单调递增，因为0<x<1,所以-1<2x-1<1,-1<x2 1<0,且2x-1>x2-1等价于0<x<2.即当0<x<1时，x2-1<2x-1<1,所 以代2-1)<八2x-1),故D正确.故选ACD. 8.C解析：因为F(x)=ef(x+2),则P"(x)=e2[(x+2)+ f'(x+2)1,又因为(x-2)[∫"(x)+f(x)]>0,即x[f"(x+2)+ fx+2)]>0,且e*2>0. 当x>0时，则f'(x+2)+f(x+2)>0,可得F()>0:当x<0时，则 f'(x+2)爪x+2)<0.可得F'(x)<0:可知F(x)在(0，+x)内单递 增，在(-x,0)内单调递减，且F(x)函数图象为不间断曲线，若 nx)<e/3),即e2f八(nx-2)+2)<e2f1+2),可得 F(1nx-2)<F(1),则-1<mx-2<1,解得c<x<e3,所以不等式 nx)<e3)的解集为(e,e3).故选C 9.C解析：令1=么，因为1<a<b,所以1e(1,+),b=m,不等式 <a两边取以e为底的对数，得aln ta<blna即arn>a(lnt+ na)不等式等价于(-1)lna-lnt>0(>1)恒成立：令F()=(t 1)In a-In 1,F(t)=In a- 血巴，当。≤1即≥e时，相有 F()>0.单调递增，当>1时，相有F)>F()=0:当。 1时，期1a:时)时，有F0c0.单酒超诚测 F(t)cF(1)=0不合题意，金去.综上，ae故选C 10.(-,-1)U(-1,1)U(3.+e）解析：根据题中图象，当x< -1时，f'(x)>0,(x2-2x-3)f"(x)>0,即x2-2x-3>0,故x<-1:当 -1<x<1时/'(x)<0,(x2-2-3)/'(x)>0,即2-2x-3<0.故-1< x<1:当x>1时f'(x)>0.(x2-2x-3)f‘(x)>0,即x2-2x-3>0,故 x>3综上所述，x(-,-1)U(-1.1)U(3,+x). 故客案为(-m,-1)U(-1,1)U(3,+). 12x2-2ax+ 1.。解桥：因为（国）=1+2京- 2x2 ,由题意可知方 程2x2-2r+1=0在(0.+x)上有两个不等的实数根x1,,因此有 f(-2a)2-8>0, 20. 解得a>反，此时+=a,=子，所以 2×02-2a×0+1>0. 一学霸高考·白 )坎)=1a血有2五血2（属+）-a(血 tx=a-aln2 -(公）血器 1 a=eln2,解得n=e,满足>2，故答案为e 1243 解析：因为y=e24,所以y=2e24.”=4e2,所以曲线y=e2(其 中xeR)的曲率K。4e产 ,1+2门是“(1+4*)所以R 8(1+4)-4exx1+4e)ix16e (1+4e4)3 .12,由 (1+4e)2 调造地：当∈（宁n令+=）时.Rc0.人单调递说所以当= 1 1, 4e片 /279放答案为4目 √24w3 9 13.解：(1)函数八x)的定义域为(-，0)U(0,+),且∫'(x)= (-x-1)e1 一，当x<-1时f(x)>0,函数f八x)在(-，-1)上单调递 增，当-1<x<0时厂'(x)<0,函数x)在(-1,0)上单调递或，当￥> 0时了'(x)<0,函数爪x)在(0，+x)上单调递减，所以f八x)的单调 递增区间为(-，一1)，单调递藏区间为(-1.0)和(0，+x) (2)当>x,>1时.)-，)>2-2，证明如下：令g) x)-2 ,>1,求导得g(42,令()=（二 2 1)5+2,>1.求导得'(x)=x*>0,函数(x)在(1，+x)上单 调递增，则(x)>h(1)=0,即g'(x)>0,函数g(x)在(1，+)上为 增函数，当>1时，g)>g(),所以))>22 1 方法总结 用导数求面数的单调区同或判新面数的单调性问题时应注意如下 几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区何时，首先要确定爵数的定文城： (2)不能随意将函数的2个独立的单调遂增（哉递减）区同写成并集 形式： (3)利用导数解决含参函数的单调性同题时，一般将其转化为不等式 恒或文问题，解题过程中要注意分类诗论和数形结合恩想的应用， 14.解：(1)函数f(￥)=nx的定义域为(0，+g).不等式f(x)- g(x)≤cr白nx-(x+ax≤ex,则x>0,a≥lnx-x-e,令h(x)= 血-，>0，求导得h'(x)=-1,当0<<1时，(>0，当 1时，'(x)<0,函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调 递诚，于是h(x)m=h(1)=-1-心，则a≥-1-e,所以a的最小值 为-1-“ (2)依题意，e()=)-g)"+a=mh-x+1,求导得 受子，由1是e)的货小点，得 e《=0,则m=+1.p'()=-(nl)stn.-1)(-m,当 n≤0时，由9'(x)>0,得0cx<1:由9'(x)<0,得>1，x=1是e(x) 的极大值点，不符合题意：当0<n<1时，由单'(x)>0,得<x<1:由 e'(x)<0.得0<x<n或x>1,x=1是p(x)的极大值点，不符合题意： 当n=1时，恒有p'(x)≤0成立，当且仅当x=1时取等号，p(x)单 调递减，无极值点.不符合题意：对于n>1时.由甲'(x)>0.得1<x< n:由9'(x)<0,得0<x<1或x>m,x=1是e(x)的极小值点，符合题 意，所以n的取值范围是>L, 题·数学·023一 15.解：（1)由x=-e+4得f'(x)=32-e+21-x)克，所以 1-x 了'(0)=-1+2=1，即在x=0处的切线斜书为1，又f(0)=3.即切点 为(0,3)，所以曲线y=x)在x=0处的切线方程为y-3=x,即y= r+3 （2))可得m246g-242m-(号）.因 为-1a<0,所以(号0）所以当e(1,)时。 g()<0,则g)在1，号)上单调递减，当xe(0）】 时)>0，则g()在（学.0）上单调递，所以g()的最小 值（停）-完6又g-)=7ag0=6撕以g- g(0).从面g(x)的最大值M=g(-I)=7+a,所以设(a)=M-m= 7+a 276、43 4a3 a1则(o号1号()(。- ）,由ae1.0),知(o)>0,所以6(o)在(-1.0)上单调递 增，因为4(-1)=齐4(0)=1，所以M-m的取值范周为（ 4 1,所以c的取值范围为1，+： 题探究3含参函数单调性分类讨论 专题强化 1解：(1)油)=-1+台得f“()=1一二又曲线y在点 (11)处的切线平行于x轴，得f'(1)=0,即1-。=0，解得4=e (2"(x)=二，①当a≤0时"()>0)为(-，+)上的增 函数，2当a>0时，令f'(x)=0,得e=a,则x=lna,xe(-,na）, f'(x)<0:x∈(lna,+g）,f"'(x)>0.所以f八x)在(-g,lna)上单湖递 减，在(n,+)上单周递增，综上，当a≤0时，f八x)为(-×，+)上 的增函数，当a>0时，八x)在(-，na)上单画速减，在(na,+) 上单调递增， 2.解：(1)当a=0时，代x)= 1x≠-1)，则0)=0，因为f') +1所以了'(0)=上所以曲线)=)在(00)处的切线方程 1- 为y=上 (2)函数的定义域为(-送，-)U(-1,+×)'()=[-(2a+)】 (x+1)3 令f'(x)=0.解得x=2a+1.当2a+1=-1,即a=-1时，f'(x)= (+1)Gx+)<0,所以函数)的单调递减区间为(-云，-1). -1-x (-1.+g).无单调递增区间：当2a+1<-1.即a<-1时，令f“(x)<0 则xe(-x,2a+1)U(-1.+x),令f'(x)>0,则xe(2a+1.-1),国 数f八x)的单词递减区间为(-x,2a+1),(-1,+〉，单嗣递增区间 为(2a+1,-1):当2+1>-I,即a>-1时，令f"(x)<0,则re(-x,-1) U(2a+1.+x),令f"(x)>0,则x∈(-1,2a+1).函数f八x)的单调递 诚区间为(-.-1)，(2a+1,+x),单调递增区间为(-1.2+1).综 上所述：当=-1时.函数fx)的单湖递或区间为一x,-1),(-1,+x) 无单调递增区间：当a<-1时，函数f(x)的单调递减区间为 (-x,2m+1).(-1,+∞)，单调递增区间为(2a+1,-1):当a>-1时， 函数八x)的单调递减区间为(-￥，-1)，(2+1，+∞)，单调递增区 间为(-1,2n+1), 3.解：(1)当a=1时，八x)=x2e2→f"(x)=2xe+x2e=x(x+2)e'.令 f'(x)>0,解得x>0或x<-2,而x≤1，所以0<x≤1或x<-2,令 f"(x)<0,解得-2<x<0,所以函数f八x)在(-x,-2)上单调递增， 在(-2,0)上单调递诚，在(0,1]上单递增，因此-2是函数f八x)的 极大值点，极大值为4e2:0是函数x)的极小值点，极小值为0：因 一学霸高考·白 为1)=e>4e2x)>0(x≠0)，所以函数在x≤1时，1是函数x) 的最大值点，最大值为。，最小值点为0，最小值为0. (2)由x)=x2e"→f'(x)=2xe"+x2e=(x+2)xe",当a≥0时， 在[0,1]上，f"(x)≥0，因此函数f(x)单调递增：当a<0时，令 八=0，解得x-子或x=0,若-子<1，即a<-2时，在 (0,)上>0.因此函数)单洞递增，在（子1）上， 了(x)<0,因此函数x)单调递减：若-2≥1，即-2≤a<0时.在0， 1]上'(x)≥0，因此函数)单调递增.综上所述：当a≥-2时，函 数)在红0，止单调递增，当4c-2时，函数)在[0，-子）上 单调递增，在(」]上单递减 a 4解：（当a=时02(e.则/e=之动 则曲线y=f(x)在点(0.f(0))处的切线斜率为厂'(0)=1，因为 八0)=0，所以曲线y=八x)在点(0八0))处的切线方程为y=x. (2(x)的定义城为(-1，+).当a>0时，/'(x)=2ar+x中 2m1令ge)=2m242a+1(e-1).则ga)在(1，] x+1 上单调适减，在（子+：）上单调递端，因此()的最小值为 ()）+1当0<a≤2时，g()≥g(寸）≥0，则 了'(x)≥0，此时八x)在(-1，+)上单调递增，当a>2时，令g(x)= 0,得=2±y-。-1 日云>1尊s (,分)时，)>01)单视递描：当 (分√日云子√：五)时e0单湖强减： 当（子√/公云）时0单调楼描，保上 当0<≤2时.f(x)在(-1，+)上单调递增，当a>2时，(x)在 （,子公)（宁小上岸周递地 在（分：五宁：）上单调速说 专题探究4导数在函数及方程中的应用 专题强化 1.A解桥：0，可得-1<1，即定义城为(-1,1)，所以”(x= 1-x Ixl-x2 1 之×1s“1字s,由于1-e(0,小.放 字≥0，即/"()≥0，当且仅当x=0时取等号，即x)在 1 (-1.1)上为单调递增函数，又f尺0)=0，所以(x)仅有一个零点.故 选A 2B解折：由题意：g()=2产()=p()=3,所以a. 6分到为产1=2护，h上1=3的鼠，即为西数 (x)=e-1,1()=血x-91(x)=入-1-3x2的零点，可解 1 得a=0:,(x)=n-(x>0)为单调递增函数，且h,()=-1< 0,A,(e)=ne-=1->0,所以1<bce,令pi()=32-6x=0,解 得x=0或x=2,当x<0时，(x)>0,,(x)单调递增，当0<x<2时， 题·数学·024一