第三章 第6节 函数模型及其应用-【5星学霸·高考白题】2026年高考数学一轮复习

学霸高春白题数学 第6节函数 ☑应用提优考点全面，能力提升限时：25mim 1.科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着 现代生活节奏的加快，睡眠问题严重影响生 活经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率∫（单 位：心跳次数·min')与体重W(单位：kg)的 写次方成反比若4，B为两个罐聚中的恒温动 物，A的体重为2kg、脉搏率为210次· min,B的脉搏率是70次·min,则B的体 重为 () A.6 kg B.8 kg C.18 kg D.54 kg 2.(2025·福建泉州模拟)生物入侵是指生物由 原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入 侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵 物种的个体平均繁殖数量为Q,一年四季均 可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需 要的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模 型K(n)=入logn(入为常数)来描述该物种累 计繁殖数量n与入侵时间K(单位：天)之间 的对应关系，且Q=子1，在物种人侵初期，基 于现有数据得出Q=6,T=60,据此估计该物 种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍 所需要的时间为（结果保留一位小数，参考数 据：ln2≈0.69，ln3≈1.10) A.19.5天B.20.5天C.22.6天D.19天 3.(多选)(2025·浙江绍兴期中)某食品的保 鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单 位：℃)满足函数关系y=e(e=2.718…,k,b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是 120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则 模型及其应用 A.k>0 B.储存温度越高保鲜时间越短 C.在10℃的保鲜时间是60小时 D.在30℃的保鲜时间是15小时 4.(多选)声音由物体的振动产生，以波的形式 在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传 播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与 其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声 强I(W/cm2).但在实际生活中，常用声音的 声强级D(dB)来度量，声强级D(dB)与声强 I(W/cm2)的关系近似满足D=algI+b,经过 多次测定，得到如下数据： 声强I/(W/cm2) 10-0 10-0 m 声强级D/dB 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在(90,100)， 其声强为！：鞭炮的噪声的声强级一般在 (100,110),其声强为12：飞机起飞时发动机 的噪声的声强级一般在(135,145)，其声强为 13,则 () A.b-a=110 B.m=108 Co 1 D.1l> 5.(2025·湖北武汉模拟)某公司引进新的生产 设备投入生产新设备生产的产品可获得的 总利润s(单位：百万元)与新设备运行的时间 t(单位：年，t∈N)满足s= -2+50-98,1K8当新设备生产的产品可获 -t2+102-21,1≥8. 得的年平均利润最大时，新设备运行的时间= A.6 B.7 C.8 D.9 6.(2025·湖南长沙模拟)一对轧辊的减薄率= 输入该对的面带厚度-输出该对的面带厚度 输入该对的面带厚度 如图所示，为一台擀面机的示意图，擀面机由 若干对轧辊组成，面带从一端输入，经过各对 轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机每对轧辊的 减薄率都为0.2（轧面的过程中，面带宽度不 变，且不考虑损耗).有一台擀面机共有10对 轧辊，所有轧辊的横截面积均为64000， mm° 入 若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上 压出一个疵点，在擀面机输出的面带上，疵点 的间距为L,则 888-88- A.L4=1600x0.20-+mm B.L=1600×0.2-10mm C.L4=1600×0.810-◆mm D.L4=1600x0.8-0mm 7.建一段500m的高速公路，工程队需要把 60人分成两组，一组完成一段200m的软土 地带公路的任务，同时另一组完成剩下的 300m的硬土地带公路的任务.软、硬土地 每米公路的工程量分别是5人·天和3人·天 要使全队工期最短，则需安排到硬土地带工 作的人数是 8.(2025·重庆一模)酒驾是严重危害交通安全 的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有 关规定：100mL血液中酒精含量大于或者等 于20mg且小于80mg认定为饮酒驾车，大 于或者等于80mg认定为醉酒驾车.假设某 驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精 含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以 后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速 度减少，那么他至少经过 个小时后 才能驾驶.（结果取整数.参考数据：g3= 0.48,1g7≈0.85) 第三章函数及其性质学霸高春 9.(2025·湖南永州期末)随着经济发展，越来 越多的家庭开始关注到家庭成员的关系， 一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心 理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的 关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主 动在平台上进行学习.已知前四年，平台会员 的个数如图所示. 会英个致千人 45 425 153025 29 20 20 4 5魏立平台 第x年 (1)若建立平台x(x∈N)年后，平台会员人 数为y(千人).依据图中数据，下列三种 模型哪种最合适？请说明理由并求出你 选择模型的解析式 ①y=b(0),②y=dlhg+s(0且 r≠1)，③y=m·a'+n(a>0且a≠1) (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定 无论怎样发展，会员人数不得超过 k(?)广(0)干人，请依据()中你选择 的函数模型求k的最小值 025m-a22 (3)当m≤-2时，F(m)=-2m-5:当 m≥1时，F(m)=4m-2:当1<m<2时 =Fm】 Pm)2+}+2,在坐标平面中 画出F(m)的图象如图. 由题设y=a与y=F(m)的图象有2个 不同的交点，结合图象可得-l<a<2或a>8 17 16潮：因为。所以-)) 2-1-1 a·2-1+1-b 2-1-1 1-a-b 2a+1-6a-26+2'2a-6+(a-26+2)(2a-b+1)0,则1a-b=0, 即a+6=1L当a+b=1时，x)=2”-L.上×2- a.2+aa2+ ,此时f-x)= 2-1。上2-1.1×2-)，结合八)的定义域为 a2a。2*+12+ R,故f八x)为奇函数，故a+b=1. （2)解：(D）可知a+b=1,则x)=2由g()=0,得 a·2+a 2"-1 2-1 a(2*+1) 2,则a= 2(2+1) 其中a>0:①若x≤0，则2-1 2(22+1) 0,a= 2(2+1)不可能成立：回若x>0,a 2*-1 2*-1 2(2+1) 2-1 (2-102+3(2-1)+22-1+3 2由0，得2-1>0，则2-1+ 1 2"-1 二≥22，当且仅当2=1+2时，等号成立，则0 1 2"-1+3+ 3+223-25,故a的取值范围为(0,3-2v. 1 2 2-1 3)证明：因为a=1,所以八)：2+任取，e(0,t),令 24-422-1.2(2-29）因为<2， <2))-2+12+1(21+1)(22+ 所以2-2<0，从面(1）-f()<0,即f(x1)<(x2）,故f八x) 在0，+)上单别递城当o0时-12品e(0,1 2"+1 则fx)>[/x)门2，则当m>1时，logm>logsm>0,则f(lgm)> [1g5m)]2,由f(x)在(0，+）上单调递增，得∫(logm)> f代1log5m),则f八log3m)>[f八1og5m)]2. 第6节函数模型及其应用 应用提优 1.D解析：依题意，设户点(>0)，由甲=2=210，得k=210x2i, W有 则r210x2 W ,当0时，时2023x2,新以r:4故 选D. 2C解析：因为Q=+1.0=6,T=60,解得A=12,设初始时间为 K,累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍的时间为K2,则K2 K=2地()-2en=2w8=2岩等2x子 22,6(天)，所以该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所 需要的时间为22.6天，故选C 3.BCD解析：对于A,由题可知120=e',30=e2w=e2×e,则em= 子即e宁，可得10<0，即<0，放A错误：对于B,由A可知， y=x+b在R上是诚函数，且y=e在R上是增函数，所以y=e在 R上是减函数，则储存温度越高保鲜时间越短，B正确；对于C,由A 一学霸高考·白 可知，e=emx=子x120=60(小时)，C正确：对于D,由A可 13 知，e30=exe= (）×120=15(小时)，D正确故选BCD. 4.ACD解析：由题意可得 (0=alg10"b,即{0=-ath解得 (20=alg10-0+6, 120=-10a+6. a=10所以6-a=10,故A正确；因为D=10g+120,所以30= (b=120, 10lgm+120,解得m=109,故B错误：由100<10lg12+120<110,得 0<,<。,故C正确：设烟花噪声，鞭炮噪声和飞机起飞时发动机 噪声的声强级分别为D1,D2,D3,由题意知90<D1<100,100<D2< 110,135<D3<145,所以D1+D1>2D2,所以10g11+120+10lg13+ 120>2(101g2+120),所以g1+lg3>2g2,即g(13)>g片，所以 13>,故D正确 5.B解析：由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利涧y=三。 298 +50,<8当1c8时，2+98≥28，当且仅当1=7时，等号成 -2+10-2,t≥8， 立，则-2850≤22，所以当1=7时，二取得最大值，且最大值 为22：当≥8时.-2+10-2=-(t-5)2+23,所以函数在[8，+m)上 单调递减，所以当：=8时，。取得最大值，且最大值为14，故当新设 备生产的产品可获得的年平均利最大时，新设备运行的时间：=7. 故选B 6.D解析：设轧绳的半径为，mm,由轧银的横截面积64000 mm2可 得m2=64000,解得，80，所以轧提的周长为2r=2a.800- 1600(mm),由题图易知，第，对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长， 在此处出口的两疵点间面带体积与操面机出口处两疵点间面带体 积相等，因宽度不变，有0.8·1600=0.80·L4,所以L4=1600× Q.80mm故选D. 7.28解析：设安排到硬土地带工作的人数为x,则安排到软土地带工 作的人数为(60-)，则在软土地带工作时间为)=X20(03 60,xeN),在硬土地带工作时间为g()=3x300,要使全队工期最 短，需两地带同时完工，即代x)=g(),即5X20.3x30,解得x 60-x g由于0<60N'而)=02(0<60，eN)为增函 60-黑 数，g)-3X300在(0,60)上单调递减.故只有当x=28时，两地带 最接近于同时完工且全队工期最短，故需安港到硬土地带工作的人 数是28，枚答案为28. 8.4解析：设驾驶员至少经过n个小时后才能驾驶，则有60× （1-30%)<20,即0,7”<分，两边同时取对数得6Q7户<g号，即 1 07分，周为7所以老信高号点名间 “g7-g10 60 Q353,2,所以n=4,即驾驶员至少经过4个小时才能驾驶放答 -0.48 案为4 9.解：(1)选模型③，理由：由题图可知，函数单调递增，且增长速度越 来越快，而模型①单调递减，故不符合：而模型②对数函数在单调 增时图象是上凸的，增加幅度越来越慢，故也不符合，模型③为指数 型函数，符合题意，放选模型③.分别代人点坐标(1,14)，(2， (14=ma+n, 3 20),(3,29),得20=ma2+,解得a=2,m=8,n=2,故模型③的解 (29=ma3+n, 题·数学·015一 武为y=8x()广2 (2)由：8×()广+2≤k(?) 对任意的x∈N均成立， x(层)广2x()广2 即k (广 (层) (,]则≥28（仁）小2（仁）广对任意的 (o号]恒度立，又8(）2()°≤8x子+2x 2 456 故≥曾，即长的最小值为曾 专题探究1函数基本性质的综合运用 专题强化 1.B解析：由题意函数f(x)=e*1+e一+(x+b)2图象关于直线x=2 对称，故f(2-x)=f八2+x),即f八4-x)=f(x),即e行+e4+ (4-x+b)2=e1+e+(x+b)2,即e-(1-e-5)+e(1-e-)+ (4+2b)(4-2x)=0,即(1-e-5)(e5-e1)+(4+2b)(4-2x)=0,故 需满足1-e-5=0且4+2b=0,即a=5,6=-2.则a+b=3,故选B. 2.D解析：由f(-x)=ln[-x+√1+(-x]=m(√1+-x)= -n(√1++)=x),且定义域为R,所以函数f代x)为定义在R 上的奇函数：根据y=x,y=√1+在(0，+∞)上递增，则1=1++ x在(0，+o)上递增.又y=ln:在(0，+)上递增，则f代x)=ln(x+ √1+)在(0，+∞)上递增，结合奇函数性质且函数在R上连续，则 八x)在R上递增，由f(x2-8)+f(2x)≥0→f(x2-8)≥-f（2x)= f八-2x)→x2-8≥-2x,所以x2+2x-8=(x+4)(x-2)≥0，解集为 {xx≥2或x≤-4放选D 3.B解析：易知f代x)=1g[√(x-1)+10+x-1]的定义城为R,所以可 得f(2-x)=g[√(1-)2+10+1-x],因此f(2-x)+f(x)= 1g[√(1-x)2+10+1-x]+g[√(x-1)+10+米-1]= g1[√(x-1)+10]-(x-1)2引=g10=1,即函数八x)满足f(x)+ 2-)=1,因此)图象的对称中心为(，子)）故选且 4.B解析：因为f代2-3x)是偶函数，所以f(2+3x)=f(2-3x),所以 f八2+x)=f(2-x),又因为f(x)是奇函数，f（2-x)=-f(x-2),所以 f2+x)=-八x2),所以f八x+4)=-f八x),所以f(x+8)=(x+4)= 八x),所以函数f八x)是周期为8的周期函数，所以(14)=(14-2× 8)=f-2)=-f2)=-(-2×22)=8故选B. 1 5.A解折：因为x)为奇函数，所以a=fg:万)--1g5)= 八1o%25),因为y=log2x在(0，+)上递增，且5>4.1>4，所以1og25> 1g24.1>g4=2,因为y=2在R上递增，且0<0.8<1，所以2°< 248<2'=2,所以1og25>log24.1>248,因为八x)在R上是减函数，所以 f八lg25)og24.1)<f2a8),所以a<b<c,故选A. 6.AB解析：已知函数(x)在(0，+)上单调递增，且(x)为R上的 奇函数，在(-m,0)上也单调递增，f(0)=0:由f代-1)=f八3)=2，得 f1)=f-3)=-2对于A,因为f八x)在(-，0)上单调递增，所以 (-2)-3)=-2,A正确：对于B,八x)在(0，+∞)上单调递增，且 1)=-2(3)=2,故在(0，+)上有且只有一个0∈(1,3)，使 八0)=0，同理八x)在(-，0)上单调递增，且f(-1)=2f(-3)= -2,故在(-，0)上有且只有一个x1∈(-3，-1)，使(x1)=0,又 八0)=0，所以八x)有3个零点，B正确：对于C,因为八x)在(0，+) 上单调递增(2)>f(1)=-2,C错误；对于D,f(5)>f(3)=2, (号）7-1)=2，易知5)与/()无法比较大小，D不 定正确故选AB. 7.C解析：不妨设x1<≤0，：x>0,…)-八x)<0,即)》 八2)，八x)在(-，0]上单调递减，八x)是定义在R上的偶函 一学霸高考·白 数)在[0，+=)上单调递增，当x>0时.)<0= 2x )-)<0→)2)，解得0<x<2,当x<0时，)-<0 2x →x)+-x)>0-f八x)>f(-2),解得x<-2.则该不等式的解集为 (-∞，-2)U(0,2).故选C 8.ACD解析：八x)的图象关于点(1,2)中心对称，故A正确： 由)4=2-x,可得代x)-f4-)=8-4k,则f2-x)-2+ 4 x)=4,取x=1得f1)-3)=4,在f八2-x)+x)=4中取x=1可得 1)=2,则八3)=-2，由f(-1)+f3)=4,得八-1)=6≠f八3)，故 B错误： 由f2-x)-f2+x)=4x,得4-fx)-2+x)=4x,fx)+x+2)=4- 4x①，f八x+2)+/x+4)=-4-4x②，②-①得(x+4)-f八x)= -8 又：2025=1+4×506，∴f(2025)=f1)-8×506=2-8×506=-4046, 故C正确： 又①得(2)+4)=-4,1)2)+3)+4)=-4， ÷茗0=-4534(-32=-340，故D正确故选Acm 2 9.C解析：令x■-1，得f(2-1)=f八1)-f八1)=0，即f八1)=0，.(2+ x)-x)=0,故函数(x)的图象关于(1,0)对称又(2x)的图象 关于直线x=1对称，故f八2x)=八2(2-x)=f八4-2x),f(x)的图象 关于直线x=2对称《x)=代4-x)=--2+x)=f八x4),(x)是以 4为周期的周期函数对于A,八x+2)的图象是将(x)的图象向左平 移2个单位长度，故f代x+2)的图象关于y轴对称八x+2)是偶函数 故A错误：对于B八x+1)的图象是将f(x)的图象向左平移1个单 位长度，故八x+1)的图象关于原点对称(x+1)是奇函数，故B错 讽：对于C,由2+)+-)=0，得/（宁）（各）=0：由 2*2).得r(号）-(3)…1() (}）受，故c正确：对于D,依题意，得（行）-受 =o(3)-2y=1(）号3)-0(3) ()=0()() 2,放D错误放选C 10.C解析：令x=y=1,则f八1)=21)，故f代1)=0，A选项错误： 令x=y=-1,则1)=2-1)，故八-1)=0，B选项错误： 令y-1,则-x)=x)八-)，故)为偶函数，C x2 选项正确： f八x)为偶函数，又函数f代x)是定义在{xx≠01上不恒为零的函数， D选项错误故选C 11,C解析：由1+x)1-x)=0,即y=f代x)的图象关于点(1,0)对 称，所以-fx)=f(2-x),而f(1+nx)+f(x)>0,即f(1+nx)> x),则1+lnx)>2-x),又y=f八x)在R上为增函数，故1+ lnx>2-x,即x+lnx-1>0,设g(x)=x+nx-1,因g(x)在(0，+x）上 单调递增，且g(1)=1+n1-1=0,由g(x)=x+lnx-1>0,可得x>1, 即不等式1+nx)+x)>0的解集为(1，+x).故选C 12.B解析：八x)+2026≤f(x+2025)=f(x+1+2024)≤f(x+1)+ 2025,则f八x+1)≥f(x)+1:则f(x）+2025≥f八x+2024)=f(x+ 2023+1)≥fx+2023)+1≥f(x+2022)+2≥…≥fx+1)+2023, 即fx+1)≤f八x)+2,所以f1)+1≤f2)≤1)+2，即2≤f2)≤3 故选B. 13.D解析：f(x)-f八2)<2x1-22→f)-21<f()-2,设 F(x)=f(x)-2x,则F()<F(),因为1<2，所以F(x)= f八x)-2x在R上单调递增，其中F(x)= 20321,需满足 (a-1)el,<1, 题·数学·016一