第三章 第2节 函数的基本性质-【5星学霸·高考白题】2026年高考数学一轮复习

第2节函影 ☑应用提优考点全面，能力提升|限时：45min 1.(2025·浙江杭州一模)函数∫(x)= x-1,x≥0， 是 -x-1,x<0 A.奇函数 B.偶函数 C.既非奇函数也非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数 2.(2025·广东茂名一模)已知函数f(x)= √x2-6x+5在区间(a,+0)上单调递增，则a 的取值范围为 ( A.(-o,1] B.(-∞，3] C.[3,+∞) D.[5,+) 3.(2025·浙江宁波期末)已知函数f(x+1)-1 是奇函数，则f(0)+f(2)= A.2 B.1 C.-1 D.-2 4.已知二次函数f(x)满足f八x+2)=f(2-x),且 f(a)<f(0)<f(1),则实数a的取值范围是 ( A.(0,2) B.(-o,0) C.(-∞，0)U(4,+0)D.(2,+∞) 5.(2025·福建泉州期末)已知函数f(x)= x+1-1-x,则不等式f(x+1)>f(2x)的解 集为 ( A.(-0,1) B.(-,1] c[2 D.【2 6.(2025·湖南永州模拟)已知函数f(x)= x+4a,x≥0， 是R上的增函数，则实数a -x2+ax+a2,x<0 的取值范围是 () A.[0,4]B.(0,4)C.(0,4]D.[0,4) 第三章函数及其性质学霸高春 收的基本性质 7.已知函数y=f(2x-1)的图象关于点(-1,1)对 称，则下列函数是奇函数的是 () A.y=f(2x-2)+1 B.y=f2x-3)+1 C.y=f八2x-2)-1 D.y=f(2x-3)-1 8.(2025·四川绵阳模拟)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数， 若函数f(x)-g(x)的值域为[-4,1]，则函数 f(2x)+g(2x)的最小值为 () A.-16 B.-4 C.-1 D.0 9.(2025·陕西威阳一模)已知f代x)是定义域为 R的偶函数，且f(-x)+∫(2+x)=6,则 2025 f()= ( i=1 A.2025 B.5050 C.6024 D.6075 10.（2025·山西晋城一模)已知f(x)为定义在 R上的奇函数f(1)=f八4)=0，当0<x<2时， f(x)单调递诚，当x>2时，(x)单调递增，则 不等式)≤0的解集为 x-3 A.(-∞，-1]U[0,3]U[4,+∞)》 B.[-4,-1]U(0,1]U(3,4] C.(-0,-4]U[-1,1]U(3,+∞) D.[-4,-1]U[0,1]U(3,4] 11.（多选)(2025·安徽阜阳月考)已知f(x)是 定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上 的奇函数，且f(x)在(-，0]上单调递 增，g(x)在(-∞，0]单调递减，则() A.ff1))>ff(2))】 B.f八g(1))<fg(2)) C.g(f1))<g(f2)) D.g(g(1))<g(g(2)) 017 学霸高春白题数学 12.(2025·河南洛阳模拟)已知函数f(x)的定 义域为(0，+∞)，当x>1时，f(x)>-2,且满 足f(xy)=f(x)+f代y)+2,则关于t的不等式 )寸1-2)+2)+2的解集为 ( A.(-2,1) B.(-2,0)U(0,1) C.(-0,-2)U(1,2) D.(20ju0,) 13.(多选)(2025·山东青岛模拟)已知定义在 R上的函数(x)不恒等于0，f(π)=0，且对 任意的x,yeR,有f2x)+f(2y)=2f(x+y)· fx-y),则 ( A.f(0)=1 B.f代x)是偶函数 C.f(x)的图象关于点(T,0)中心对称 D.2π是f(x)的一个周期 14.(2025·河南周口期中)已知函数f(x)= mr+2+1是奇函数，则(m+n) x-n 15.(2025·山东威海模拟)若f(x),g(x)分别 是定义在R上的奇函数和偶函数，且 3f(x)+g(x)=x2+12x+3,则函数h(x)= f(x)-g(x)的零点个数为 16.设f八x)是定义在R上的奇函数，对任意的 x1,x2∈（0，+∞)，x1≠x2,满足 x2f（x1)-x1f（x2) >0,若f(2)=4,则不等式 名1-x2 f(x)-2x≤0的解集为 018 17.若函数y=f(x)满足：当a≤x≤b(a<b且ab> 0)时，音≤y≤，则称区间[a,61为)的 一个“4阶倒数区间”.已知f(x)= +2k20 220 (1)判断(x)的奇偶性并证明： (2)求f(x)的一个4阶倒数区间[a,b],要 求b≤-2： (3)设集合D为f(x)的所有4阶倒数区间 的并集，若实数m和m+5均在D内， 求m的取值范围.1k2+k=6, 6x+2y+3,即(2+k)x+灯y+幼+6=6x+2y+3,则{k=2,解得 b+b=3, {k=2,所以y=2+1.故选C 1b=1, 在Am舞新：由以-6是克理数可得D的值为0 所以D(D(x))=1,故选项A,B正确：因为当x是无理数时， D(x)=0且x+1是无理数，所以D(x+1)=0,所以D(x+1)≠ D(x)+1,故选项C错误：当x是无理数时，x+1,-x-1均为无理数， 此时有D(x+1)=D(-x-1)=0,当x是有现数时，x+1,-x-1均为有 理数，此时有D(x+1)=D(-x-1)=1,所以HxER,总有D(x+1)= D(-x-1),故选项D正确.故选ABD, 12.C解析：由题意可知m>0,当0<m<1时，m+1>1,所以由f八m)= m+1)得，瓜=3m→m=g当m≥1时，m+1>1,所以由f代m)= m+)得3(m-13a,无解综上m)放选C 13.D解析：①若a<0,则-a>0,所以当xca时，y<1-a2,此时，函数y= (x-1)2在x=1处取得最小值，即y≥0，因为函数f八x)的值蚊为R 所以1-a2≥0，结合a<0得-1≤a<0.②若a=0,则f(x)= (x-)产≥0的值域为[0，+m).③若0<a<1,则-a<0,所以当 f1,x<0, x<a时，y>1-a2:当x≥a时，函数y=(-1)2在x=1处取得最小 值，即y≥0.又因为1-2>0，所以函数f(x)的值域不可能为R 若a≥1，则-a<0,所以当x<a时，y>1-a2,当x≥a时，y≥(a-1)2 此时函数f代x)的值城不可能为R综上可知，当-1≤a<0时，函数 f(x)的值域为R故选D. 14.ACD解析：A:令x=y=0,则f(0)+f2(0)=0,解得f(0)=0或 八0)=-1，因为函数f(x)的值城为(-，0)，所以f(0)=-1,故 A正确；B:令x=1,y=0,则f八2)+f2(1)=0,即f(2)=-f2(1),令 x=2,y=0,则f(4)+f2(2)=0,即f(4)+f4(1)=0,故B不正确： C:令x=0,则f(0)f(y)/(-y)=0,所以f(y)f(-y)=1,即f(x) f八-x)=1,放C正确：D:因为f八x)<0,所以-f八x)>0,-f八-x)>0,所 以(-x)+(-f(-x)≥2x-)=2,当且仅当f八x)= f孔-x)时，取到等号，所以f爪x)f(-x)≤-2，故D正确.故选ACD. 15.-1解折：因为f代x)={-2)≥ x2+2,x<1, ,所以f(2)=1-f(0)= 1-(02+2)=-1.故容案为-1 16.x+1解析：因为3x)-八2-x)=4x①，以2-x代替x得3/(2- x)-x)=4(2-x)②，②+①x3得8/x)=8+8x,即f八x)=1+x故 答案为x+1, 17.(-0,-2]U[2,+∞)解析：根据题意知，函数x2-x+1可以取到 0,.函数x2-ax+1的图象和x轴有交点，△=a2-4≥0，解得 a≤-2或a≥2，∴.实数a的取值范围为(-，-2]U[2,+),故答 案为(-x,-2]U[2,+). 18.(1)解：令a=b=0,则(0×0)=f八0)+0)，故f(0)=0.令a=b=1, 则f1×1)=f八1)+f1),故f1)=0. (2)证期)=(）n( x≠0.又f(1)=0,故 ）=0xo. (3)解：f代4)=f2×2)=f(2)+f八2)=2f2)=2m,Jf八9)=f(3×3)= f八3)+3)=23)=2n,故36)=f4×9)=f八4)+f9)=2m+2m 第2节函数的基本性质 应用提优 1.B解析：当>0时，-x<0,则f八-x)=-(-x)-1=x-1=f八x):当x< 0时，>0，则八-x)■-x-1=八x).又f八0)▣-1，综上可得，对定义域 R内任意x,都有代-x)=x),即函数(x)为偶函数故选B. 2.D解析：由x2-6x+5≥0，可得x≤1或x≥5，即函数f(x)的定义域 为(-，1]U[5,+￥)，又因为1=x2-6x+5在[5，+0)上单调递增. 在(-，1]上单调递减，y=在[0，+e)上单调递增，由复合函数的 单调性可知f八x)=√x2-6x+5在区间[5，+x)上单调递增，所以a≥ 一学霸高考·白 5.故选D. 3.A解析：由函数代x+1)-1是奇函数，得f八-x+1)-1=-[f(x+1) 1],整理得f八-x+1)八x+1)=2,取x=1,得f八0)+f八2)=2.故选A 4,C解析：由已知，二次函数八x)的图象关于直线x=2对称，所以有 0)=4).又0)1)，所以(x)在(-，2)上单调递增，在(2， +x)上单周递减.当a<2时，由f八a)<f(0),以及f(x)在(-m,2)上 单调递增，可得a<0:当a≥2时，由f(a)<f(0)=f(4),可得f八a)< f4),又f(x)在(2，+∞)上单调递减，所以a>4所以实数a的取值 范围是(-∞，0)U(4,+x).故选C. 5.C解析：函数)-的定文域为{10解得-1≤ x≤1，因为f(x)=√x+1是单调递增函数，(x)=-√1-x是单调递 增函数，所以f(x》=√x+I-1-x是x∈[-1,1]上的单调递增函数 -1≤x+1≤1， 由不等式f代x+1)2)得-1≤2x≤1，解得2 1 ≤x≤0，故选C x+1>2x, 易错提醒 本题借助函数单调性去掉不等式中的“f”后，不要忽税x+1与2x也 应当在定义城[-1,1]内 x+4a,x≥0， 6.A解析：因为函数f(x)= 是R上的增函数，所以 -x2taxta2,x<0 '→ae[0,4].故选A a2≤4a 易错提醒 分段函数在定义域内是单调函数时，不仅需要限制每段内是单调性 相同的单调函数，还需要限制交界处函数值的大小 7.D解析：函数y=f八2x-1)的图象关于点(-1,1)对称，所以函数y= 八2-1)的图象向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度 后得到的函数图象关于点(0,0)对称，即可得y=f(2(x-1)-1)-1 f2x-3)-1.故选D. 8.C解析：爪x)是定义在R上的奇函数，有f-x)=八x),g(x)是定 义在R上的偶函数，有g(-x)=g(x)(x)-g(x)的值域为[-4,1]， 故-4≤f代x)-g(x)至1，则有-4≤f(-x)-g(-x)≤1，得-4≤-f代x)- g(x)≤1，所以-1≤f代x)+g(x)≤4(2x)+g(2x)与八x)+g(x)有相 同的值域，因此f八2x)+g(2x)的最小值为-1，故选C 方法总结 (1)当f八x)为定义在R上的奇函数时，若f(x)的图象关于直我 x=a(a≠0)对称，则f(x)是以4a为周期的周期函数；若f八x)的图象 以(a,0)(a≠0)为对称中心，则f八x)是以2a为周期的周期函数. (2)当f爪x)为定义在R上的偶函数时，若∫(x)的图象关于直线 x=a(a≠0)对称，则f八x)是以2a为周期的周期函数：若f代x)的图象 以(a,0)(a≠0)为对称中心，则f八x)是以4a为周期的周期函数. 9.D解析：因为爪x)是定义域为R的偶函数，且f八-x)+(2+x)=6, 则x)+2+x)=6,即(2+x)+4+x)=6,可得x)=八4+x),可知 八x)的一个周期为4，对于八-x)+f八2+x)=6,令=-1，可得f八1)+ 八1)=6，即f八1)=3，对于f(x)+f八2+x)=6,分别令x=2,3,可得 f2)+抓4)=63)+5)=6，即f2)+f3)+f4)+f(5)=12,所以 20 ∑八)=f(1)+∑八)=3+506×12=6075.故选D. 10.D解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以(0)=0.又 1)=f4)=0,所以f爪-1)=八-4)=0，根据题意作出f(x)的大致 图象，如图所示， 得c0等特于代优0优9.由图可得ai-4-U [0,1]U(3.4],故远D. 11,CD解析：根据题意，由奇偶函数的性质可得，f(x)在(-，0]上 题·数学·010一 单调递增，在(0，+∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，则爪1)> 八2)，g(1)>g(2),对于A,由题意只能得到f(1)>(2),并不能确 定1)(2)的正负号，所以无法判断f1)与f2)的大小， 故A错误：对于B,由题意只能得到g(1)>g(2),并不能确定 g(1),g(2)的正负号，所以无法判断f(g(1)与f八g(2)的大小， 故B错误；对于C,因为f(1)>f(2),g(x)在R上单调递减，所 以g(八1))<g(f八2))，故C正确：对于D,因为g(1)>g(2),g(x)在 R上单调递诚，所以g(g(1)<g(g(2)),故D正确故选CD. 12.B解析：取x=y=1时，代人f八y)=f(x)+f(y)+2,有f(1)= 21)+2.可得1)-21)=2，即-1)=2，所以1)=-2.设2> >0,因为时（货）（经））+2，足知宁 1时（货）>-2，那么/（货））+2-2，)*2 八，)，所以函数八x)在(0，+∞)上单调递增对不等式进行转化求 解：已知)寸-支)2)+2，由)=)+)+2可得 2()2=2x)）2-),所以)2 ).因为函数f(x)单词递增，所以2<2-t,移项得2+1-2<0，解 2≠0， 得-2c<1.考虑定义域限制条件：由 20 解2≠0得t≠0：解 1- 1乞>0得12综合以上结果，不等式2)1-)2)+2 的解集为(-2.0)U(0,1).故选B 13.ABC解析：对于A,根据题意令x=y,则由2x)+2)=2八x+y）)· 八xy)可得八2x)+f代2x)=22x)f(0),解得f(0)=1,即A正确： 对于B,令x=y可得f(2x)+f(-2x)=20)f八2x)=2(2x),所以 f八2x)=八-2x),即可得对任意的xeR满足f八x)=f八-x),即f八x) 是偶函数，所以B正确：对于C,令x+y=π，则由f(2x)+f(2y)= 2x+y)八xy)可得2m-2）+2y)=2r)-2y)=0,即x) 满足f八2T-)+x)=0,因此可得f八x)的图象关于点(T,0)中心对 称，即C正确：对于D,由于∫(x)是偶函数，所以满足八x-2π)+ f八x)=0,即f八x)+f(x+2π)=0，可得f（x-2r)=f(x+2π)，也即 f孔x)=f代x+4r),所以4π是f代x)的一个周期，即D错误故选ABC 14.-2解析：因为f八x)是奇函数，故f(-)+()=0,m2+1+ 一笔一用 m+21=0,故(2m+2)2+4n-22=0恒成立，故m=-1,a=0或 x一n n=2,当m=2时，函数定义域为(-，2)U(2,+),不关于原点对 称，含去，故-10，此时)=是，放m+n)--)-2, 故答案为-2 15.2解析：由已知可得，3r-x)+g(-x)=x2-12x+3.又代x),g(x)分 别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以∫(-)=-∫(x), g(-x)=g(x),所以有-3x)+g(x)=x2-12x+3又3x)+g(x)= x2+12x+3,两式相加化简可得，g(x)=x2+3两式相减化简可得。 八x)=4红所以M(x)=f八x)-g(x)=4x-x2-3=-(x2-4x+3).解 h(x)=-(x2-4x+3)=0,可得x=1或x=3.所以函数h(x》= 八x)-g(x)的零点个数为2 16.(”,-2]U[0,2]解析：不妨设>5>0.由)-八红2 1一2 0得))>0，即)>1)与八 故g(x)到在(0，+0)上单调递增因为代)为R上的奇函数， 所以-)=)，g(x)-到的定义域为(-0,0)U(0,+=), 且g(-)-=到=g(),故g(x)=八国为偶函数，g(x)= 到在(-0,0)上单调递诚，当x>0时，代x)-2x≤0=→)≤2x一 一学霸高考·白 九≤2因为2)=4，所以g(2)=八2-2，故园≤2. 2 即g(x)≤g(2),解得0<x≤2，当x<0时，f代x)-2x≤0→f爪x)≤2x→ ≥2因为g(2)=2,所以g(-2)=2,故g(x)≥g(-2),解得 x-2:当x=0时，f（0)-2×0=0,符合题意.故不等式的解集为 (-,-2]U[0,2].故答案为(-，-2]U[0,2]. 17,解：(1)八x)为奇函数，证明如下： 显然函数八x)的定义域为R,关于原点对称，若xe(0,+),则 ,0,于是-宁-42--(4a） x):若x后(-0,0)，则-x∈(0，+∞)，于是f(-x) (42--（合+2a）又0=0为 奇函数 (2)已知函数f八x)在(-，-2]上单调递诚，则在[4，b]上单调递 减，根招哥意)在[。，上的值议为[台，吾]满足 甲a,6是方程宁+2x=兰的两个不等实 4 b” 根由42兰得（+2(242-4)=0，解得=-2度=-1性 5.a<b≤-2，.取a=-1-5,b=-2,则所求的f八x)的4阶倒数 区间为[-1-√5，-2]. (3)根据4阶倒数区间的定义，只考虑a<b<0和0<a<b两种情况 4 当a<0时，易知八)在(-，0)上的最小值为-2，方≥-2， ,b≤-2，<b≤-2，由(2)知f(x)在(-，-2]内的4阶倒数区 间为[-1-5，-2]：当0<a<b时，易知(x)在(0，+。)上的最大值 为2 22<6.同理可得八)在 4阶倒数区间为[2,1+5]，D=[-1-5,-2]U[2,1+5]. m,m+5ED... 人15≤m≤-2解得-3≤m≤-2，即m的取值 (2≤m+5≤1+W5, 范围是[-3，-2]. 第3节基木初等函数 应用提优 1 1.B解折：由x3-1得32,3+3=3+3=2+ 22,放选B 15 2D解折：因为2)=-子行故42，)小设)r 故放=2故行）（行）》-4 方法总结 函数图象过定点问题主要有两种类型： (1)指数爵数y=a(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1)： (2)对数函数y=lg,x(4>0,且a≠1)的图象过定点(1,0) 3.D解析：因为函数f八x)=logx在(0，+∞）上单调递增，所以a>1, 由已知得g8。子整理得6(g22+5%2-1=0,解得 2-1该2石得6宁（合去）度26，做选D 4.AC解析：因为f爪x)=(8m2-5)x是幂函数，所以8m2-5=1,解 得m=受即=子，放A正确：且的定义域为[0，).所 以雨数为非奇非偶函数，故B错误，C正确：由(x)=x7知函数在 [0,+)上单调递增，所以由f八2x+1)>f(5-x)可得0≤5-x<2x+1, 题·数学·011一