第三章 第1节 函数的概念及其表示-【5星学霸·高考白题】2026年高考数学一轮复习

第三章函数及其性质学霸高春 第三章 函数及其性质 第1节函数的概念及其表示 ☑应用提优考点全面，能力提升限时：40mim 4.(2025·广东广州模拟)下列四组函数中，表 1.(多选)(2025·山东滨州月考)下列所给图 示同一个函数的一组是 ( 形可以是函数图象的是 A.y=lxl,u= B.y=R,s=()3 C.y= x-1,m=n+1 B D.y=Vx+I·e-1,y=e2-1 5.(2025·广东广州模拟)已知函数y=f(x+1) 的定义域为[-1,4]，则y-2x+1的定义 √x-1 2(2025·安搬六安月考)函数代x)=（2x-1)° 域为 /2-x A.(1,2] B.[-1,9] 的定义域为 C.(1.9] D.[-1,2] A.(-,2] 6.已知函数f(x)满足f(e)=2x-1,f(a)+ B.(-,2) f(b)=0,则下列说法正确的是 () c(-x2u(分2] A.a+b=1 B.atb=I n.(,2u(22) C.ab=1 D.ab=I 7.(多选)(2025·广东广州月考)已知函数 3.(2025·江西上饶月考)已知函数f(1-x)= 子0.则 f(x)的定义域为R,值域为[-2,3)，则下列函 数的值域也为[-2,3)的是 () A.、1 A.y=f(x+1) B.y=f(x)+1 (-1)21(x≠0) C.y=f(-x) D.y=-f(x) (-1)21(x≠1) B. 8.(2025·山东菏泽月考)函数y=2x+/1-3x的 值域是 (-1)21(x≠0) 4 C. D.4 (x-1)21(x≠1) c[子+) 015 学霸高春白题数学 9.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数，则 14.(多选)(2025·山东青岛月考)定义在R上 y=[x]称为高斯函数，例如：[-0.3]=-1， 的函数f(x)的值域为(-3,0)，且f(2x)+ [1.7]=1.已知函数f(x)=ogx+2,若x=[], f八x+y)/(x-y)=0,则 () te(1,3),则函数y=f(x)的值域为 A.f0)=-1 A.(2,5) B.2,5 B.f(4)+f(1)=0 C.{3,5 D.5,8+log23 C.f八x)f(-x)=1 10.(2025·江西宜春模拟)已知对任意的x,y∈ D.f八x)+f代-x)≤-2 R,都有f(x+y+f(x)=6x+2y+3,则一次函 15.(2025·山西临汾月考)已知函数f(x)= 数y=f(x)的解析式为 ( x2+2,x<1, 则f(2)= A.y=x+I B.y=2x 1-(x-2),x≥1， C.y=2x+1 D.y=x 16.(2025·安微合肥期中)已知函数f(x)对任 11.(多选)德国数学家狄利克雷是解析数论的 意x满足3f(x)-f(2-x)=4x,则f(x)= 创始人之一.他提出了著名的狄利克雷函 (1,x是有理数， 数：D(x)= 以下对D(x)的 17.(2025·辽宁按山模拟)函数y=√x2-ar+1 0,x是无理数 的值域是[0，+e),则实数a的取值范 说法正确的是 围是 A.D(D(x))=1 18.已知函数f(x)对任意的实数a,b,都有 B.D(x)的值域为0,1} f(ab)=f(a)+f(b)成立. C.存在x是无理数，使得D(x+1)=D(x)+1 (1)求f(0),f1)的值： D.Hx∈R,总有D(x+1)=D(-x-1) 12.（2025·江西上饶一模)设∫(x)= (2)求证：f(）+fx)=0(x≠0： E,0<x<1, (3)若f(2)=m,f(3)=n(m,n均为常数)， 若f(m)=f(m+1),则m= 3(x-1),x≥1， 求f八36)的值. 1 1 .2 .3 1 1 0.6 13.(2025·广东佛山一模)已知函数f(x)= -ax+1,x<a, 的值域为R,则实数a的取值 (x-1)2,x≥ 范围是 A.(-x,0) B.(-0,-1] C.[-1,1] D.[-1,0) 0162.C解析：因为N=x1x2-x-6≥01=(-g,-2]U[3,+g),面M= 1-2,-10,1.21,所以MnN=-2.故选C 3.C解析：对A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3，当且仅当x=-1时，等号 成立，所以其最小值为3，故A错误：对B,因为0<1nx≤1， =m到+1≥24=4当组仅当1si加=2时，等号成立，又因 4 为等号取不到，所以其最小值不为4，故B错误：对C.因为函数定义 城为R,面20，y=2+2产=2≥24=4，当且仅当2”=2，即 =1时.等号成立.所以其最小值为4.故C正确：对D,)=ln+n 4 函数定义城为(0,1)U(1,+x),面lnx∈R且lnx≠0.如当nx -1时.y=-5,故D错误.故选C. 4c将折学2%号20子0a(+2(a-1)>0且 x-1 1*0=-2≤x<1 5C舞折两为o长（偿）厂≤a6eR剧.由-1可 变形为(x+y)2-1=3刘≤3（停广，解得-2≤≤2，当且仅当 x=y=-1时，x+y=-2,当且仪当x=y=1时，x+y=2,所以A错误， B正确由可1可变形为(2)-可≤，解得+ y2≤2，当且仅当x=y=±1时，等号成立.所以C正确：因为x2+y2 3 以x=s件 in b.ys ma,阀此产=m0:写n0:2。 2 [子，2小所以2≥1不成立所以D结误放选c 6AD解折：对A.248+1-a产=20-2a+1=2(e）广 子≥子，当组仅当a=b:时，等号成立，故A正确：对Ba-6: 2a--1.所以2r>2:子放B正确：对c.e0e00b≤ (偿)广=}-2，当且仪当a=时等号底立故 1 C错误：对D,因为(a+b)2=1+2ab≤1+a+b=2,所以a+6≤ 反，当且仅当a==子时，等号成立，故D正确故选ABD, 7.B解析：因为(1出)，(2为)是函数y=2的图象上两个不同的 点，所以x1≠2，则21≠2少，所以+为=2+2>2√21·2= 2西，所以学，V西>0.所以”，：V西 空放选 8.4解析>0,6>0.a+b>0:b=l2a2ba+b2a2h 11 8 abab 8a+b8 a+6 8 0b2ab产2√2·b4,当且仅当a+6=4时，等号成立， 结合ab=1,解得a=2-3,b=2+3或m=2+5,6=2-3时，等号成 立故容案为4 52=y 9.专解析05xy2y=1y0且2= 32 1.4y2 之时，等号成立村的最小值为子故答案为号 一学霸高考·白 10.22解析：a>0.6>0. 2 2 ·6=22,当且仅当是且子=6，博a=2时，等号 成立++b的最小值为22故答案为2 第三章函数及其性质 第1节函数的概念及其表示 应用提优 1,CD解析：由函数的概念可知，对于A.当x>0时，每一个x的值对 应两个不同的y值，因此木是函数：对于B,当x=和时，y有两个值。 因此不是函数：对于C,D,每一个x的值对应难一的y值，因此是函 数故选CD 2D解析：由题意可知（仔002且子所以质数 的定义线为（✉号）（合小放选n 2-x 3B解析：令1=1-x,则x=1-t.且x0,则1≠1，可得了(r)= F.所以)1旅接B 1-(1-1)2 1 1 4.A解析：对于A,y=x1和u=下的定义城都是R,对应关系也相 同，是同一个函数，故选项A正确：对于B,函数y=√的定义域为 R,函数x=()2的定义域为[0，+)，定义城不同，不是同一个函 数，故选项B精误：对于C,函数y=-的定义域为≠1，函 x-1 数m=n+1的定义域为R,定义域不同，不是同一个函数，故选项 C错误：对于D,函数y=x+I·√x-I的定义城为1x|x≥1，函数 y=√1的定义域为(-，-1门U[1,+).定义域不同，不是同 一个函数故选项D错误故选A 5.A解析：对于函数y=f八x+1),有-1x≤4，则0x+1≤5，所以函 数f(x)的定义城为[0,5].对于所数y=2,则有 x-1 0≤2+1≤5·解得1≤2.因此函数，2+的定义城为1.2. lx-1>0. Vx-I 方法总结 ①已知fx)的定义城为[a,],则f[g(x)]的定义域为≤g(x)≤b 的解集： ②已知[g(x)]的定义域为[a,],别f八(x)的定又城为g(x)在[a, 多们上的值城. 6.D解析：设1=e,则x=ln1+1∴.f()=2n1+l.1>0由f八a)+ b)=0,有2na+1+2nb+1=0,即h(b)=-1b=L故选D. 7.AC解析：对于A,y=x+1)的图象可看作由八x)的图象向左平移 一个单位长度得到的，值域不变，A正确：对于B,由y=f八x)e[-2, 3),得y=x)+1∈「-1,4)，即y=f八x)+1的值域为-1.4)，B错误： 对于C,函数y八x)与函数y八x)的图象关于y轴对称.则函数y= 八x)的值域与函数y=f代x)的值域相同.为T-2,3),C正确：对于D. 由y=f代x)e[-2,3),得y=-x)e(-3,2],即y=-八x)的值城为 (-3,2],D错误.故选AC 8D解桥：设1V-证，≥0，则x= 3所以=2-2 1= 3、2 函数份值城为（✉兰]故选卫 9.B解析：当1<<2时，x=[t]=1,f八1)=lg1+2=2.当2≤1< 3时，x=[]=2,-f八2)=kg2+22=1+4=5,函数y=/x)的值域 为2.5{.故选B 10.C解析：设f八x)=x+b(k0),则f(x+y+f(x))=f(x+y+r+ b)=k(x+y+kx+b)+b=(+k)x++h+b.因为f八x+y+f(x)= ·数学·009一 12+6=6. 6+2y+3,即(+k)x+灯+幼+b=6x+2y+3,则6=2，解得 站+b=3. (k=2所以y=2x+1故选C 16=1, AD折，由-6一是充理整可得（的值装为0 所以D(D(x))=1,故选项A,B正确：因为当x是无理数时， D(x)=0且x+1是无理数，所以D(x+1)=0,所以D(x+1)≠ D(x)+1,故选项C错误：当x是无理数时，x+1,-x-1均为无理数， 此时有D(x+1)=D(-x-1)=0,当x是有理数时，x+1.-x-1均为有 理数，此时有D(x+1)=D(-x-1)=1,所以xR.总有D(x+1)= D(-x-1),故选项D正确.故选ABD. 12.C解析：由题意可知m>0,当0<m<1时，m+1>1,所以由f(m)= 八m+1)得√m=3m→m= 9:当m≥1时.m+1>1,所以由(m)= m+1)得3(m-1)=3m,无解，综上，m=g故选C 13.D解析：①若<0.则->0，所以当x<a时，y<1-a2,此时，函数y= (x-1)2在x=1处取得最小值，即y≥0，因为函数x)的值域为R 所以1-a2≥0，结合a<0得-1≤a<0.②若a=0.则f(x）= 户x≥0的值城为[0，+x).③若0<a<1,则-a<0,.所以当 (1x<0, x<a时，>1-2：当x≥a时，函数y=(x-1)2在x=1处取得最小 值，即≥0.又因为1-a2>0,所以函数f(x)的值域不可能为R. 若a≥1，则-a<0,所以当x<a时.y>1-a2.当x≥a时.y≥(a-1)2. 此时函数x)的值城不可能为R综上可知.当-1≤：<0时，函数 f八x)的值域为R故选D. 14.ACD解析：A:令x=y=0.则f(0)+f2(0)=0,解得f代0)=0或 0)=-1,因为函数f(x)的值域为(-，0)，所以f(0)=-1,故 A正确；B:令x=1y=0,则/八2)+f2(1)=0,即八2)=2(1)，令 x=2,y=0.则八4)+f2(2)=0,即(4)+f(1)=0,故B不正确： C:令x=0,则(0)+f(y)/八-y)=0,所以(y)f(-y)=1,即(x)· 八-x)=1,故正确：D:因为八x)<0,所以-八x)>0,-八-x)>0,例 以(-代x)+(-f(-x)≥2八x爪x)=2,当且仅当f(x)= 爪-x)时.取到等号，所以八x)+八-x)≤-2，故D正确.故选ACD. 5舞折：因为ea 所以f(2)=1-f(0)= 1-(02+2)=-1.故答案为-1. 16.x+1解析：因为3/x)-f八2-x)=4x①，以2-x代替x得3/(2- x)-fx)=4(2-x)2,②+①×3得8x)=8+8x,即f八x)=1+x.枚 答案为x+1. 17.(-e,-2]U[2,+)解析：根据题意知，函数x2-ux+1可以取到 0..函数x2-r+1的图象和x轴有交点，.4=a2-4≥0.解得 a≤-2或a≥2，实数a的取值范围为(-x.-2]U[2.+x).故答 案为(-x,-2]U[2,+m). 18.(1)解：令a=b=0,则f八0×0)=代0)+f0).故f八0)=0.令a=b=1. 则八1×1)=八1)+1)，故八1)=0. 2证明=/(）( ,x*0.义f（1)=0,故 f(）0-0s0. (3)解：/代4)=f八2×2)■八2)+f八2)=22)=2m,（9)=f八3×3)= f八3)+f八3)=23)=2n.故f36)=f八4×9)=f爪4)+/9)=2m+2m 第2节雨数的基本性质 应用提优 1.B解析：当>0时，-x<0,则八-x)=-(-x)-1=x-1=f八x):当x< 0时，-x>0,则八-x)=-x-1=f尺x).又八0)=-1，综上可得，对定义城 R内任意，都有f八-x)=八x),即函数八x)为偶函数.故选B. 2.D解析：由x2-6x+5≥0.可得x≤1或x≥5.即函数f(x)的定义域 为(-0,1]U[5.+x),又因为=x2-6x+5在[5，+x)上单调递增， 在(-x,1】上单调递减，y=在[0.+x)上单调递增，由复合函数的 单周性可知f代x》=√爱-6r+5在区间[5，+x)上单调递增，所以a≥ 一学霸高考·白 5.故选D 3.A解析：由函数八x+1）-1是奇函数，得f八-x+1)-1=-[八x+1)- 1],整理得八-x+1)+f代x+1)=2,取x=1.得八0)+/爪2)=2枚选A 4C解析：由已知，二次函数八x)的图象关于直线x=2对称，所以有 八0)=八4)，又八0)<八1)，所以八x)在(-，2)上单湖递增，在(2 +)上单调递减.当a<2时.由尺a)<f0),以及f(x)在(-，2)上 单调递增，可得a<0:当a≥2时，由f(a)0)=f(4),可得f(a)< 4),又八x)在(2.+x)上单调递减.所以>4.所以实数a的取值 范固是(-.0)U(4.+).故选C 5.C解桥：函数+1-的定文域为1。，解得-1≤ x≤1，因为(x)=V+T是单调递增函数2(x)=-√-x是单调递 增函数，所以代x)▣√+I-√x是x[-1.1]上的单嗣递增函数 -1≤x+1≤1， 由不等式代x+1)>2x)得 -1≤2x≤1，解得2≤≤0，故选C x+1>2x. 易错提醒 本题借助函数单调性去摔不等式中的“了”后，不要忽棍x+1与2x也 应当在定义城[-1.1门内 (x+4和，x≥0 6.A解析：因为函数f(x)= 是R上的增函数，所以 -x2+ar+a2.x<0 →ne[0,4].故选A. a2≤4a 易错提醒 分段菌数在定义域内是单调函数时，不仅需要限制每段内是单西性 相同的单调函数，还需要极制交界处面数值的大小 7.D解析：函数y=代2x-1)的图象关于点(-1.1)对称，所以函数y= 2x-1)的图象向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度 后得到的两数图象关于点(0.0)对称，即可得y=f(2(x-1)-1)-1= f2x-3)-1.故选D. 8.C解析：x)是定义在R上的奇两数，有f八-x)=-爪x),g(x)是定 义在R上的偶函致，有g(-x)=g(x)x)-g(x)的值域为[-4,1]， 故-4≤爪x)g(x)≤1，则有-4f-x)g(-x)≤1，得-4≤-f爪x) g(x)≤1，所以-1≤fx)+g(x)≤4八2x)+g(2x)与f八x)+g(x)有相 同的值域，因此八2x)+g(2x)的最小值为-1，故选C. 方法总结 (I)当代x)为定义在R上的奇函数时.若f八x)的图象关于直 x=a(a≠0)对称，则f八x)是以4a为周期的周期函数：若f八x)的图象 以(a,0)(a≠0)为对称中心，则八x)是以2a为周期的周期面数. (2)当八x)为定义在R上的偶函数时.者八x)的图象关于直线 x=a(a≠0)对称，则f八x)是以2a为周期的周期函数：若x)的图象 以(，0)(u0)为对称中心，则x)是以4g为周期的周期面数. 9.D解析：因为代x)是定义域为R的偶函数，且f代-x)+f八2+x)=6 则八x)+/2+x)=6,即(2+x)+4+x)=6,可得x)=4+x),可知 八x)的一个周期为4.对于f-x)+代2+x)=6,令x=-1,可得代1)+ 1)=6,即(1)=3，对于f八x)+f(2+x)=6,分别令x=2.3,可得 2)+八4)=6代3)+/代5)=6，即2)+/八3)+f4)+f5)=12,所以 觉0=1)+)=3+506x12=6075故选D 10.D解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以(0)=0，又 1)=爪4)=0，所以八-1)=八-4)=0，根据题意作出八x)的大致 图象.如图所示， [0.1]U(3.4].故选D. 11,CD解析：根据题意，由奇码函数的性质可得f代x)在(-x,0]上 题·数学·010一