第二章 不等式 综合测试&真题演练-【5星学霸·高考白题】2026年高考数学一轮复习

学霸高春白题数学 第二章 ☑章末自测阶段强化，巩围提升限时：60min 一、单选题 1.(2025·江西新余一模)已知集合A={xIx2- x-6≤0}，B={xle'≤1|，则AnB=( A.[-2,0] B.[-2,3] C.(-o,0] D.(-,3] 2.若1<a<3,-4<b<2,则a-1b1的取值范围是 ( A.(-3,3] B.(-3,5) C.(-3,3) D.(1,4) 3.(2025·四川眉山模拟)若a<b<0<c,则下列 不等式一定成立的是 ( B.latbl ab 2c> C.ab>e2 D.ae>be 4.(2025·福建宁德月考)已知5m2n2+n=1, 则m2+n2的最小值为 B.6 c 4 5.函数f(x)=[x]被称为取整函数，也称高斯函 数，其中[x]表示不大于实数x的最大整数. 若me(0,+x),满足[x]2+[x]≤m .则 m x的取值范围是 A.[-1,2] B.(-1,2) C.[-2,2) D.(-2,2] 012 综合测试 6.(2025·安徽六安模拟)已知正数x,y,z满足 x2+y2+22=1,则S= 的最小值为（） A.3 B3(3+1) 2 C.4 D.2(√2+1) 二、多选题 7.(2025·辽宁省实验中学期末)若存在t,使 得a-2<t<a+2与 3时成立则下 列结论一定正确的是 A.lal>2 B.a2+2a-3>0 Ca2+的最小值为8 a a D 4-a 的最大值为-16 8.(2025·湖北武汉模拟)已知a,b,c∈R,满 足a2+b2+c2=4,且(a-2)(b-2)(c-2)=abc. 则下列结论正确的有 () A.a+b+c=2 B.ab+bc+ac<I Ca的最小值为-号 D.a的最小值为-1 三、填空题 9.(2025·河南信阳期末)若实数a,b,c满足 b+c=3a2-4a+6,b-c=a2-4a+4.试确定a,b,c 的大小关系是 10.(2025·山西太原模拟)若对任意x∈ R,2x+2≤ax2+bx+c≤2x2-2x+4恒成立，则 4a2+b2的最小值为 第二章不等式学霸高春 四、解答题 高考新趋势 11.(2025·江西抚州期末)已知二次函数 新定义"上位点“下位点”(2025·广东深圳月 y=ax2+2x+c. 考)对在直角坐标系的第一象限内的任意两点 (1)若y>0的解集为x1-2<x<4,解关于x 的不等式x2-4ax-4c>0: 作如下定义：若8行那么称点(a,6)是点(c, (2)若>c且c=4,求+c的最小值： d)的“上位点”，同时点(c,d)是点(a,b)的“下 a-c 位点”： (3)若a<3,且对任意x∈R,不等式y≥0恒 (1)写出点(2,3)的一个“上位点”坐标和一个 成立，求+9c+6的最小值 “下位点”坐标： 3-a (2)设点(a,b)是点(c,d)的“上位点”，判断点 P(a+c,b+d)是否既是点(a,b)的“下位 点”，又是点(c,d)的“上位点”，证明你的 结论： (3)设正整数n满足以下条件：对集合t0<t< 2024,t∈Z内的任意元素m,总存在正整 数k,使得点(n,k)既是点(2024，m)的“下 位点”，又是点(2025，m+1)的“上位点” 求正整数n的最小值，并说明理由. 12.已知a,b,c均为正实数 (1）求证：20+3c-a+3c-26a+2h-3≥3 263c (2)若a+h+c=3,证明：寸+1≥3 atb bte'cta 2 013 学霸高春白题数学 第二章 ☑真题集训探究考向，剖析考点限时：25min 1.(2021·天津)已知aeR,则“a>6”是“a2> 36”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.（2023·新课标全国1)已知集合M={-2, -1,0,1,2,N={xlx2-x-6≥0，则MnN= A.{-2,-1,0,1 B.{0,1,2 C.{-2 D.{2 3.(2021·全国乙文)下列函数中最小值为4的是 A.y=x2+2x+4 4 B.y=Isinxl+ sinxl C.y=2+22- D.y=Inx+ nx 4(2025·金国二春)不等式≥2的解集是 A.{xI-2≤x≤1} B.{xlx≤-2 C.{xl-2≤x<1 D.xlx>1 014 真题演练 5.（多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若x,y满足 x2+y2-xy=1,则 () A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 6.(多选)(2020·新高考全国Ⅱ)已知a>0,b> 0,且a+b=1,则 A6时 Bg号 C.log2a+log2b≥-2 D.a+6≤2 7.(2024·北京)已知(x1,y),(x2,2)是函数 y=2的图象上两个不同的点，则() yi+y2x+x2 A.l0g22<2 y1+y3.x1+x2 B.log:2>2 cs” yity2 D.log:2 8.(2020·天津)已知a>0,b>0,且ab=1,则 1,8的最小值为 2b a+b 9.(2020·江苏)已知5x2y2+y=1(x,yeR),则 x2+y2的最小值是 0(2021·天津)若a>0,6>0,则。++b的 最小值为意知.a,b,e三个都不小于0.当a=0,b=0,c>0时，a.x2+x+e>0的 解集为R,bm2+x+a>0的解集为(0，+x）,x2+ar+b>0的解集 为(-x,0)U(0,+),所以三个集合的交集为(0，+)：当a=0, b>0,c=0时，ax2+br+e>0的解集为(0，+0），r2+cx+a>0的解集 为(-，0)U(0,+g),cx2+x+b>0的解集为R,所以三个集合的 交集为(0，+￥)：当a=0,b>0.e>0时，2+成+e>0的解集为 (。）如+a*a>0的解集为（*，-台)）u(0, +西)，a2+ax+b>0的解集为R.所以三个集合的交集为(0，+云)： 同理可得当a>0,6=0,c=0时，当a>0,b=0.c>0时.当a>0,b> 0,c=0时，三个解集的交集也是(0，+)：当a>0,b>0,c>0时 若r2++e=0有两个不同的根，设a2+m+e=0的两根为1， (11<红2)，期x1+x2= <0,12= C>0,所以x1<0且2<0，所 以r2+h+r>0的解集为xx<1或x>xl,2+x+a=0只有一个 限时，4+a>0的解集为(，云)U(示+）人 x2+ax+b=0无根时，x2++b>0的解集为R.所以集合的交果 为(-x,m)U(n,+x),与题意不符.综上所述，a,b,c中有一个为0 且另外两个大于0或a,b,c中有两个为0且另外一个大于0时，=0 故选D. 11.(-,-2]U1-1U[1,2]解析：如图所示： 根据图象可知，当x≤-2或x=-1或1≤x2时，(x+2)(x+1)2(x 1)3(x-2)≤0，所以不等式的解集为(-￥，-2]U1-11U[1.2],故 答案为(-，-2]U1-1U[1.2, 12.1m1m<-3解析：因为方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的两根一个 比2大另一个比2小，则22+2(2m-1）+4-2m=6+2m<0,解得m< -3,因此，实数m的取值范围是m1m<-3,故答案为mm<-3引. 13.[1.4】解析：不等式2+bx+e>0的解集为|x-1<x<2|,则a<0. 且-1,2分别为方程ax2+x+c=0的两根，由根与系数的关系，得 1+2-6 即b=-0.c=-24,将b=-a.c=-2a代人不等式(k: 1×2 k2+2c)(2c-)<0.化简得a2(x-2-4)(x-4)<0,即(x-k2- 4)(x-4)<0.容易判断k=0或k<0时.均不符合题意.所以k>0.所 以原不等式即为(-兰）水怎-4)<0，依画意位有3华≤5 且k>0,所以1≤k≤4故答案为[1.4] 14.-3解析：由A=xm<2-3x+3<m为非空集合可知m<n,故B= ={主m<0}=xlm<x<n,由于A=B,故m< 3 (一-3+3)，即m<子m,n是子-江+3=n的两个不相等的实数 根，故m+n=3且mn=3-n,解得m=0,n=3或m=2,n=1(合去)， 故m-n=-3.故答案为-3. 15,2解析：由题意知，正数a,b满足2+2h=b2,即关于a的方 程a2-b2a+2b=0存在正实数解，由方程f代a)=a2-b2a+2b的图象 表示开口向上的抛物线，且对称轴为直线= 2>0,要使得方 程a2-2a+2b=0存在正实数解，则只需满足4=(-62)2-8影≥0，即 b(2-8)≥0.因为>0，可得-8≥0，解得b≥2，所以b的最小值 为2故答案为2 16.解：(1)若对于任意的x∈R,(x)≥0恒成立，需满足4=4a2 4(-a+2)≤0.解得-2≤a≤1.故实数a的取值范围是[-2,1]. (2)由题知其图象对称轴为直线x=-a,当-a<-1,即a>1时， 八x)n=f代-1)=3-3和≥0，解得a≤1，与已知矛盾，舍去：当->1， 即a<-1时J八x）m八1)=3+a≥0，解得-3≤a<-1:当-1≤-u≤ 1时八x）=f八-a)=-2-a+2≥0，解得-1≤a≤1.综上所述，实 数a的取值范围是[-3,1， 一学霸高考·白 (3)对于任意的ae[-1,1】,x2+2a-4+2>0恒成立，等价于 go=(2-1)a2+2>0.所以g1)>0,即2-lt20解程 (g(-1）>0.x2-2x+1+2>0. x≠-1.所以实数x的取值范图是{xx-1{. 17.解：(1)依题意，设不等式2+x+1≤0的解集区间为[x1,],则 1是方程x2++1=0的两个不等实根，且1<，4=-4>0， 即有黑1+x2=-6x13=1.由2-x1=2.得(x1+1)2-4x12=b2-4= 4,解得6=±22，满足题意.所以b的值是±22， (2)由a>b>e且a+b+c=0.得>0，c<0.由a>-a-c>e及a>0.得 5-1-35,则-2<5<- ),不等式ar2+hc+e<0化为ar2 (a*e)tr0,即(-)(-台）k0,解得。<1.所以其解集区 间长度为1一÷意调为（信 第二章综合测试 章末自测 1.A解析：hA=|x1(x+2)(x-3)≤0=1x|-2≤x≤3}，B=1x e≤e1={xlx≤0，所以AnB=[-2.0]故选A 2.C解析：h圈意可得0≤1b1<4,则-4<-11≤0，又1<a<3,所以 -3<a-|b|<3.放选C 3.B解折：对于A:由c0c,。e(合）份0，可特}心 66,故A错误：对于B:因为-a>-b>0,所以-a+(-b)> 1 2(-a)(-b),即-(a+b)>2a6.又因为c>0且1a+b1=-(a+b)> 2,所以b,y他故B正确：对于C:设a=-26=-1,c=3.满 足题意，则ab=2<2=9,故C错误；对于D:由a<b<0<c,c(a-b)<0, 可得ar<,故D错误故选B. 4C解桥：由5m+1可得a0.即2写（行）于 是()2原当 2 甲宁时取得等马.即产宁：时4的最小值为子 故选C 5.C解析：Vm∈(0，+运)，=m+≥2，当且仅当m=1时取等 号，由[x2+[≤m可得[x+[≤2=（]+2)(x-1)≤ 0,所以-2≤[x]≤1，故-2≤x<2.故迹C. 6.C解析：由题意可得，0<<1.0<1-z<1.因为x2+y2+2=1,则x2+ 广=1子2y,当且仅当xy时，等号成立，所以≥】 1 2如产1可得 1+. 1+: 当：册之时等号成立，所以-器的益小值为4，风 29: 当y百时，等9成立.故本0 A心解析：选项A:存在使得a-21<a+2与2<<，之同时成 立，则(a-2)(a+2)>0,解得a>2或a<-2,所以1a>2,故A正确 选项B:若a2+2-3>0,则a>1或a<-3,义1a|>2,故B错误选项 Ca2+16≥26=8，当且仅当心=4时等号成立，又1a>2,所 a- 以0,16>≥8，故C错说选项D:因为1a1>2,所以。2-4>0，所以 a 心d-4(@-48≥2@-·08=16 a2-42-4 题·数学·007一 当且仅当2-4=4，即a=22时取等号，所以，的最大值为-16， 故D正确.故选AD. 8.ABC解析：由(a-2)(b-2)(c-2)=abc展开式得ab+c+ae+ 4=2(a+b+e）,又(a+b+e)2=a2+b2+e2+2(ab+bc+ae),联立两式可得 (a+b+e)2=4+2[2(a+b+c)-4],化简得到(a+b+e-2)2=0.即a+ b+e=2.ab+bc+ac=0<1,A,B正确：b+e=2-a,且2+e2=4-a2, 又(b*e)2≤2(b2+c2),当且仅当6=e时取等号.(2-a)2≤8-2a2, <e2.当(ad0=(号子号)时a取得最小值 2 解得 2 C正确，D错误，故选ABC 9.662a解折：由h+c=3a+6·得6=2a-4如+56-0=0-4n+ (b-e=m2-4n+4, e=a2+1, 4=(a-2)2≥0，a=2时，b=c,a≠2时.b>c,c-a=a2-a+1= 1123 (-子）+子0.所以e所以6>a故答案为6≥0 10.2解析：令x=1,则4≤a+b+e≤4，故a+b+c=4,由VxeR。 2x+2≤x2+bx+e恒成立，则ar2+(b-2)x+e-2≥0恒成立，当a= 0时，要使2+(b-2)x+c-2≥0恒成立，则b=2,c=2,此时 2x2-2x+4-(ax2+m+c）=2x2-2x+4-(2x+2)=2(.x-1)2≥0成 立.4n2+62=0+22=4,当m≠0时，要使2+(6-2)x+c-2≥0恒 成立.t>0,1=(b-2)2-4r(e-2)=(a+e-2)2-4a(e-2）= (a-c+2)2≤0.c=a+2,此时.6=2-2a.六.4n2+62=4r2+ 12 (2-2a)2=8a2-8a+4=8(02）+2≥2，当a=26=l,e 时取等号当a=宁6=16 子时，则2x2-2x+4-(a2+ 0=2-24(）-+ 33 0成立，.4加2+62的最小值为2，放答案为2 方法总结 一元二次型不等式恒成立的情况： (1)不等式a2+低+e>0对任意实数x恒成立等价于0=6=0，成 (c20 a>0. 4=b2-4e<0: (2)不等式x2+br+c<0对任意实数x恒成立等价于 a=b=0,或 (a<0, l4=b2-4ar<0. 11.解：(1)由已知2+2x+c>0的解集为{x1-2<x<4},则<0. 所以-2,4是方程r2+2x+e=0的解」 -244s-2 由一元二次方程根与系数的关系可得 。解得/=1， (-2)x4= le=8. 所以不等式x2-4a-4>0可化为x2+4r-32>0,解得x<-8或x>4, 故不等式x2-4ar-4e>0的解集为{xx<-8或x>4}. (2)因为ae=4,所以0+c_（a-e)2+2ca-c2+8 8 一c十 a-e a-e a-e a-e 8 2n/(a-e) =42, a-c 8 a-e=- 当且仅当 时，即当如6+2时，等号成立. ae=4, le=6-/2 la>e 所以的最小值为42， (3)因为对任意x后R,不等式x2+2x+c≥0恒城立， n>0. 所以4=44c≤0，则0<a<3,则“+9e+6 a+9+61+9,6 a2 a lac≥1， 3-a a<3, 3-a 一学霸高考·白 令1=3-1.则0，且3=+1， 149,6 ，+4=8 以n3a1+(+1)2+2(+1)=+4+4≥2/·4 (>0)时，即当=2时，等号成立 4 当且仅当= 八3=3，时，即当==1时，等号成立，所以4+9+6的最小值 即当a 3- ac=1 为8 12证明：)因为a,6e均为正实数，所以兰元≥2（与且仅自 a=26时等号成立)，+≥2（当且仅当0=和时等号成立）. a 3e 2弘≥2（当且红当26=3c时等号成立），以上三式相加，科 3e.2b (色云小（信安（会）6（吉当=2=时 号成).以（台云小（告女小（六之小 3(当且仅当a=2b=3e时等号成立)，即26+3-4+4+3c2 26 4+2h-3≥3（当且仪当=2b=3c时等号成立）. (2)由题可得(a+b)+(6+c）+(c+a)=6,则左边= 1[(a+h)+(b+c)+(c+a),(a+b)+(b+c)+(c+a): 6 ath h+e (a+b)+(b+e)+(c+a)1 cta a+b'bte atb"cta bte b+c a+b feta a+b 2+2√a*b+a 层} 右边，当且仅当：6.6c6 3 atb bte'a+b cta'b+c cta .a+b+e=3 即a==e=1时取“=”，故 d 3成立 高考新趋势 12.5 解：(1)2<3石点(2.3)的一个“下位点”可以是点(1,2)， 点(23)的一个“上位点”可以是点(5.6).（答案不唯一） (2)点P(a+c,b+d)既是点(a,b)的“下位点“，又是点(e,)的”上位 点证明如下：点(a,6)是点(e,d)的上位点心号>行，且a 6ed大于oo0焉aD 即+c。a 号点P(ae,6r0是点a,6)的下位点”：同理需行 d(a+e)-c(b+d)ad-be d(b+d) d(6+d>0.即te +d点P(a+e,b+d)是点(e,d) 的“上位点” (3)正整数m的最小值为4049理由如下：由题意得，正整数n满足 m+?,2024在m后(0,2024)，m后乙内恒成立.变形可得 mn<2024k, 1n(m+1)>2025k,. 2≤"g对vm6o2m4) 4049,枚n Z都成立.则2025(nm+1)≤2024(m+n-1).即n产2024-m 4049 第二章真避演练 真题集训 1.A解析：由题意.若a>6则a2>36.故充分性成立：若2>36.则a>6 或a<-6,推不出>6，故必要性不成立，所以“a>6”是“a2>36”的 充分不必要条件故选A 题·数学·008一 2.C解析：因为N=x1x2-x-6≥01=(-g,-2]U[3,+g),面M= 1-2,-10,1.21,所以MnN=-2.故选C 3.C解析：对A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3，当且仅当x=-1时，等号 成立，所以其最小值为3，故A错误：对B,因为0<1nx≤1， =m到+1≥24=4当组仅当1si加=2时，等号成立，又因 4 为等号取不到，所以其最小值不为4，故B错误：对C.因为函数定义 城为R,面20，y=2+2产=2≥24=4，当且仅当2”=2，即 =1时.等号成立.所以其最小值为4.故C正确：对D,)=ln+n 4 函数定义城为(0,1)U(1,+x),面lnx∈R且lnx≠0.如当nx -1时.y=-5,故D错误.故选C. 4c将折学2%号20子0a(+2(a-1)>0且 x-1 1*0=-2≤x<1 5C舞折两为o长（偿）厂≤a6eR剧.由-1可 变形为(x+y)2-1=3刘≤3（停广，解得-2≤≤2，当且仅当 x=y=-1时，x+y=-2,当且仪当x=y=1时，x+y=2,所以A错误， B正确由可1可变形为(2)-可≤，解得+ y2≤2，当且仅当x=y=±1时，等号成立.所以C正确：因为x2+y2 3 以x=s件 in b.ys ma,阀此产=m0:写n0:2。 2 [子，2小所以2≥1不成立所以D结误放选c 6AD解折：对A.248+1-a产=20-2a+1=2(e）广 子≥子，当组仅当a=b:时，等号成立，故A正确：对Ba-6: 2a--1.所以2r>2:子放B正确：对c.e0e00b≤ (偿)广=}-2，当且仪当a=时等号底立故 1 C错误：对D,因为(a+b)2=1+2ab≤1+a+b=2,所以a+6≤ 反，当且仅当a==子时，等号成立，故D正确故选ABD, 7.B解析：因为(1出)，(2为)是函数y=2的图象上两个不同的 点，所以x1≠2，则21≠2少，所以+为=2+2>2√21·2= 2西，所以学，V西>0.所以”，：V西 空放选 8.4解析>0,6>0.a+b>0:b=l2a2ba+b2a2h 11 8 abab 8a+b8 a+6 8 0b2ab产2√2·b4,当且仅当a+6=4时，等号成立， 结合ab=1,解得a=2-3,b=2+3或m=2+5,6=2-3时，等号成 立故容案为4 52=y 9.专解析05xy2y=1y0且2= 32 1.4y2 之时，等号成立村的最小值为子故答案为号 一学霸高考·白 10.22解析：a>0.6>0. 2 2 ·6=22,当且仅当是且子=6，博a=2时，等号 成立++b的最小值为22故答案为2 第三章函数及其性质 第1节函数的概念及其表示 应用提优 1,CD解析：由函数的概念可知，对于A.当x>0时，每一个x的值对 应两个不同的y值，因此木是函数：对于B,当x=和时，y有两个值。 因此不是函数：对于C,D,每一个x的值对应难一的y值，因此是函 数故选CD 2D解析：由题意可知（仔002且子所以质数 的定义线为（✉号）（合小放选n 2-x 3B解析：令1=1-x,则x=1-t.且x0,则1≠1，可得了(r)= F.所以)1旅接B 1-(1-1)2 1 1 4.A解析：对于A,y=x1和u=下的定义城都是R,对应关系也相 同，是同一个函数，故选项A正确：对于B,函数y=√的定义域为 R,函数x=()2的定义域为[0，+)，定义城不同，不是同一个函 数，故选项B精误：对于C,函数y=-的定义域为≠1，函 x-1 数m=n+1的定义域为R,定义域不同，不是同一个函数，故选项 C错误：对于D,函数y=x+I·√x-I的定义城为1x|x≥1，函数 y=√1的定义域为(-，-1门U[1,+).定义域不同，不是同 一个函数故选项D错误故选A 5.A解析：对于函数y=f八x+1),有-1x≤4，则0x+1≤5，所以函 数f(x)的定义城为[0,5].对于所数y=2,则有 x-1 0≤2+1≤5·解得1≤2.因此函数，2+的定义城为1.2. lx-1>0. Vx-I 方法总结 ①已知fx)的定义城为[a,],则f[g(x)]的定义域为≤g(x)≤b 的解集： ②已知[g(x)]的定义域为[a,],别f八(x)的定又城为g(x)在[a, 多们上的值城. 6.D解析：设1=e,则x=ln1+1∴.f()=2n1+l.1>0由f八a)+ b)=0,有2na+1+2nb+1=0,即h(b)=-1b=L故选D. 7.AC解析：对于A,y=x+1)的图象可看作由八x)的图象向左平移 一个单位长度得到的，值域不变，A正确：对于B,由y=f八x)e[-2, 3),得y=x)+1∈「-1,4)，即y=f八x)+1的值域为-1.4)，B错误： 对于C,函数y八x)与函数y八x)的图象关于y轴对称.则函数y= 八x)的值域与函数y=f代x)的值域相同.为T-2,3),C正确：对于D. 由y=f代x)e[-2,3),得y=-x)e(-3,2],即y=-八x)的值城为 (-3,2],D错误.故选AC 8D解桥：设1V-证，≥0，则x= 3所以=2-2 1= 3、2 函数份值城为（✉兰]故选卫 9.B解析：当1<<2时，x=[t]=1,f八1)=lg1+2=2.当2≤1< 3时，x=[]=2,-f八2)=kg2+22=1+4=5,函数y=/x)的值域 为2.5{.故选B 10.C解析：设f八x)=x+b(k0),则f(x+y+f(x))=f(x+y+r+ b)=k(x+y+kx+b)+b=(+k)x++h+b.因为f八x+y+f(x)= ·数学·009一