与圆相关的范围问题专题学案-2025届高三数学二轮复习

“与圆相关的范围问题”微专题复习学案参考答案 例1 题目：已知圆，直线上存在一点，为圆上的一条弦，且弦垂直平分线段，求点横坐标的取值范围。 解答步骤： 1. 分析圆与点的坐标关系： · 圆的标准方程为，圆心，半径。 · 设点的坐标为，因在直线上，故满足，即。 1. 转化“垂直平分”的几何条件： · 弦垂直平分，则的中点必为的中点（垂直平分线性质）。 · 的中点坐标为。 · 因是圆的弦，中点必须在圆内部（弦的中点在圆内），故。 1. 建立不等式求解： · 由得： · 代入，化简： · 解得。 结论：点横坐标的取值范围为。 例2 题目：已知点为直线上的一点，过点作两条射线与圆分别相切于点，，且，求实数的取值范围。 解答步骤： 1. 分析切线与角度的几何关系： · 圆的标准方程为，圆心，半径。 · 切线，（切线性质），故和为直角三角形。 · 由，得（对称性）。 1. 推导点的轨迹： · 在中，（半径），，故（直角三角形中对边为斜边一半）。 · 因此，点的轨迹是圆心为、半径为的圆，方程为。 1. 转化为直线与圆的位置关系： · 点在直线上，故直线与圆必有公共点。 · 圆心到直线的距离 圆半径，即： · 解得或。 结论：实数的取值范围为。 变式1 题目：在例2基础上增加条件“点可令四边形为正方形”，求实数的取值范围。 解答步骤： 1. 分析正方形的几何性质： · 四边形为正方形，则（为半径），且为正方形的对角线。 · 故。 1. 推导点的轨迹： · 点的轨迹是圆心为、半径为的圆，方程为。 1. 转化为直线与圆的位置关系： · 点在直线上，故直线与圆必有公共点。 · 圆心到直线的距离，即： · 解得或。 结论：实数的取值范围为。 变式2 题目：在例2基础上增加条件“点可令”，求实数的取值范围。 解答步骤： 1. 转化向量数量积条件： · 设（，因在圆外），切线长（勾股定理）。 · ，其中，则，故。 · 向量。 1. 求解的范围： · 化简方程： · 设，则，解得或（舍去，因，）。故。 1. 推导点的轨迹及范围： · 点的轨迹是圆心为、半径为的圆，方程为。 · 直线与圆有公共点，圆心到直线距离： · 解得或。 结论：实数的取值范围为。 例3 题目：已知点，，，点在线段上，且，求实数的取值范围。 解答步骤： 1. 推导点的轨迹方程： · 设，由得： · 平方后化简： · 即点的轨迹为圆心、半径的圆（阿波罗尼斯圆）。 1. 分析线段的方程： · 线段过点和，方程为（），整理得。 1. 转化为圆与线段的位置关系： · 点在线段上且在圆上，故线段与圆有交点，圆心到直线的距离： · 化简：。 结论：实数的取值范围为。 跟踪练习题及要求： 题目：已知圆，点在圆上，点满足：点在圆上，且，求实数的取值范围。 解答步骤： 1. 转化向量关系： · 由得，即，故。 1. 分析弦长的最大值： · 是圆的弦，圆半径为，最长弦为直径，故，即。 1. 建立距离不等式求解： · ，平方得： · 解得。 结论：实数的取值范围为。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课程名称：“与圆相关的范围问题”微专题复习课 章节/课时：高三数学二轮复习专题课 第1课时 班级：________ 学号：________ 姓名：________ 课标要求 1. 掌握“直线的方程” “圆的方程”的高考要求，能从几何背景出发挖掘隐含条件，或通过代数化借助方程（组）解决直线与圆的相关问题。 1. 运用等价转换、数形结合等思想方法分析和解决与圆相关的范围问题，深化对知识的理解与应用。 1. 在问题解决过程中发展数学核心素养，提升逻辑推理、直观想象与数学运算能力。 学习目标 1. 理解与圆相关范围问题的本质，明确其与点和圆、直线和圆、圆和圆位置关系的内在联系。 1. 掌握将复杂条件等价转化为轨迹问题、利用位置关系（如距离与半径关系）求解范围的方法，能熟练运用数形结合思想优化解题过程。 1. 能独立分析并解决典型例题、变式问题及高考真题中的范围问题，提升解题效率与准确性。 核心素养 · 直观想象：通过图形分析挖掘隐含条件，建立“数”与“形”的联系。 · 逻辑推理：通过条件转化、轨迹分析推导范围的边界条件。 · 数学运算：准确进行方程求解、距离计算等运算，保障结论的正确性。 教学重点 1. 等价转化思想的运用：将与圆相关的范围问题转化为点与圆、直线与圆的位置关系问题。 1. 数形结合思想的应用：通过图形分析挖掘隐性轨迹（如动点的轨迹圆），简化问题求解。 1. 典型问题的解题思路：掌握“条件转化→轨迹确定→位置关系分析→范围求解”的流程。 教学难点 1. 复杂条件下的等价转化：准确识别“垂直平分” “角度约束” “向量关系”等条件的几何意义。 1. 隐性轨迹的挖掘：从题目条件中推导出动点的轨迹方程（如圆的方程），明确范围问题的本质。 学习过程 【问题导入】 1. 复习巩固类问题1：已知圆，点，如何判断点与圆的位置关系？（提示：通过距离与半径的大小关系判断） 1. 复习巩固类问题2：直线与圆有公共点的充要条件是什么？（提示：圆心到直线的距离） 1. 相关结论陈述：解决“直线与圆”问题的两大途径：①从几何背景出发，利用图形关系转化条件；②将问题代数化，借助方程（组）求解。 1. 思考类问题1：若题目中出现“存在一点满足某条件” “某参数的取值范围”，这类问题通常可转化为哪种位置关系问题？ 1. 尝试类任务及要求：结合课前测试中“等价转换存在困难”的问题，尝试分析“与圆相关的范围问题”的核心矛盾是什么？ 【知识梳理】 1. 核心概念1及相关条件： · 点与圆的位置关系：设圆心为，半径为，点为，则： · 点在圆内：； · 点在圆上：； · 点在圆外：。 1. 核心概念2及关键公式： · 直线与圆的位置关系：设圆心到直线的距离为，半径为，则： · 相交：； · 相切：； · 相离：。 · 距离公式：点到直线的距离。 1. 小贴士/补充说明： · 若动点满足“到定点的距离为定值”，则动点轨迹为圆（圆心为定点，半径为定值）。 · 涉及“垂直平分” “角度约束”等条件时，可优先转化为中点坐标、距离关系等几何条件。 1. 思考类问题3：若题目中出现“某点在直线上，且满足与圆相关的条件”，如何建立该点坐标的不等式？（提示：设点坐标，转化为点与圆的位置关系） 1. 例题及要求： · 例1：已知圆，直线上存在一点，圆上的弦垂直平分，求点横坐标的取值范围。 · 要求：①分析“垂直平分”的几何意义；②转化为点与圆的位置关系；③写出求解过程。 【变式练习】 1. 变式练习题及要求： · 已知点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点为，，且，求实数的取值范围。 · 要求：①挖掘对应的距离关系；②推导点的轨迹；③通过直线与轨迹圆的位置关系求解范围。 1. 变式练习题及要求： · 在变式1的基础上增加条件“四边形为正方形”，求实数的取值范围。 · 要求：对比原问题，分析“正方形”条件对轨迹的影响。 【新知应用】 1. 典型例题及要求： · 例3：已知点，，，点在线段上且，求实数的取值范围。 · 要求：①推导点的轨迹方程（阿波罗尼斯圆）；②转化为线段与轨迹圆的交点问题；③分别用代数法（距离公式）和几何法（图形观察）求解。 1. 方法小结： · 解决与圆相关范围问题的步骤： · ① 分析条件，挖掘几何意义（如垂直、角度、距离比等）； · ② 将条件转化为动点的轨迹方程（如圆的方程）； · ③ 结合动点的约束条件（如在直线/线段上），转化为直线与圆、线段与圆的位置关系； · ④ 利用距离与半径的关系建立不等式，求解范围。 1. 跟踪练习题及要求： · 已知点，点，在圆上，且（其中），求实数的取值范围。 · 要求：①从向量关系推导轨迹或距离约束；②分别用“形”（平行四边形）和“数”（方程代入）两种思路求解。 学习反思：通过本节课的学习，你认为解决与圆相关范围问题的关键是什么？在转化条件或计算过程中容易出错的地方有哪些？ ________ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$