第二章 实数 习题课件 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

第2课时平方根 夯基础 1.9的平方根是() A.3 B.-3 y±3 D.±V3 2.下列说法正确的是() A.正数的平方根是它本身 B.100的平方根是10 C/-10是100的一个平方根 D. 一1的平方根是一1 3.若2m一4与3m一1是同一个正数两个不同的平方根，则m的值 是() A.-3 C.-3或1 4.（一2)2的平方根是() ±2 B.-2 C.2 D.V2 5.V256的平方根是() A.4 B±4 C.±2 D.2 6.一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x 就叫作a的平方根，记作士a. 13 7.若2a一3的平方根是它本身，则a2+1的值是4· 8.已知一个正数的两个平方根分别是5和a一1，则a的值是一4， 这个正数是25. 9.求下列各数的平方根： (1)121; (2②0.01：（6)2 (4)(-13)2 解：(1)±11； (2)±0.1； a多 (4)±13. 10.求下列各式中x的值： (1)169x2=100: (2)(x+1)2=81. 10 解：(1)x=± 13 (2)x=8或x=-10. 11.已知3b+3的平方根为士3,3a+2b的算术平方根为5. (1)求a,b的值： (2)求4a一6b的平方根.第2课时二次根式的运算 夯基础 1.计算/18×V12的结果是() A.6 B.6V2 c.6V3 0y6V6 2.下列计算不正确的是() A.V9=3 B.V8+V2=3V2 C.√(-5)2=5 /6÷2=V3 3.下列二次根式中，为最简二次根式的是() B.V18 D.V0.1 4.将下列二次根式化为最简二次根式后，不能与√2合并的 是() 12 C.V18 D.1V50 5.下列计算正确的是() A.2+V3=V5 B.V2Xv3=Y5 C.V12÷V3=3 y人8-2=2 6.计算：V48-V75=-V3 7.若二次根式V2x十7是最简二次根式，则x可取的最小整数 是一2 8.[2025·梅州期末]如果梯子的底端离建筑物4米，那么10米长 的梯子可以到达建筑物的高度是221米. 9.若5≈2.24，则V500≈22.4，V50000≈224 10.[2025·张掖期末]计算： (1)V2+V8+28: 包哈27-2+得 。0g5}a (④6-23)+6W2+2/5)(2V5-2). 解：(12+V8+2V8 =V2+2V2+42 =72; 2听7-42+3目 子33-23+ =2W3-8V3+V3=-5W3; g5县西 =3-9 =3-3 =0; (4)N6-2V3)}+(N2+2V5)(2W5-V2) =6-4V18+12+20-2 =36-12/2.第二章 实数 1　认识实数 第1课时　无理数 1．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右无滑动地滚动一周，圆上点O到了点A的位置，下列说法正确的( ) A．点A所表示的数是π B．OA上只有一个无理数π C．数轴上只有无理数没有有理数 D．有理数与数轴上的点一一对应 3．如图，每个小正方形的边长都是1，图中A，B，C，D四个点分别为小正方形的顶点，下列说法： ①△ACD的面积是有理数 ②四边形ABCD的四条边的长度都是无理数 ③四边形ABCD的三条边的长度是无理数，一条 边的长度是有理数． 其中说法正确的有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6，＋67，2 000 0，－100，－18 0.010 010 001…(每相邻两个1之间逐次增加1 5.[规律探究]如图1是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的 主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝ A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.如果把图2中的直角三角形继续作下去， 那么OA1，OA2，OA3，…，OA25这些线段中，有___条线段的长度为 无理数． 20 6．有一个无理数x，使得1<x<2，则x可以是________________ (写出符合条件的一个即可)． (答案不唯一) 2．下列说法正确的是( ) A．有理数只是有限小数 B.eq \f(22,7)是无理数 C．无理数是无限不循环小数 D.eq \f(13,17)是无限不循环小数 4．将下列各数填入相应的集合中： 6，－7eq \f(1,3)，0，－100，＋3.eq \o(3,\s\up6(·))，－2.25， 0．010 010 001…(每相邻两个1之间逐次增加1个0)，＋67， －eq \f(π,2)，2 000，－18. 正整数集合{ …}； 负分数集合{ …}； 非正整数集合{ …}； 正有理数集合{ …}； 无理数集合{ …}． －7eq \f(1,3)，－2.25 6，＋3.eq \o(3,\s\up6(·))，＋67，2 000 个0)，－eq \f(π,2) eq \f(π,2) 7．我们知道分数eq \f(1,3)写为小数即0.eq \o(3,\s\up6(·))，反之，无限循环小数0.eq \o(3,\s\up6(·))写成分数即eq \f(1,3).一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以0.eq \o(7,\s\up6(·))为例进行讨论：设0.eq \o(7,\s\up6(·))＝x，由0.eq \o(7,\s\up6(·))＝0.777 7…，得10x－x＝7.77… －0.777…＝7，即10x－x＝7，解方程得x＝eq \f(7,9)，于是得0.eq \o(7,\s\up6(·))＝eq \f(7,9). 请仿照上述例题完成下列各题： (1)请你把无限循环小数0.eq \o(5,\s\up6(·))写成分数，即0.eq \o(5,\s\up6(·))＝ ； (2)你能化无限循环小数0.eq \o(73,\s\up6(··))为分数吗？请仿照上述例子求解． 解：(1)eq \f(5,9)； (2)设0.eq \o(73,\s\up6(··))＝a， 由0.eq \o(73,\s\up6(··))＝0.737 373…， 得100a－a＝73.737 373…－0.737 373…＝73， 即100a－a＝73， 解方程得a＝eq \f(73,99)， 于是得0.eq \o(73,\s\up6(··))＝eq \f(73,99). $$第2课时　实数 1．[2025·洛阳一模]如图，在数轴上点P表示的实数可能是( ) A．－2.4 B．－1.6 C．2.4 D．1.6 2．[2025·吉林期中]π－3.14的相反数是( ) A．3.14 B．－π C．π－3.14 D．3.14－π 3．和数轴上的点一一对应的是( ) A．整数 B．无理数 C．实数 D．有理数 5．[2025·临汾期中]2024年3月14日，是第五个“国际圆周率日(πDay)”．祖冲之是世界上最早把圆周率计算到小数点后7位的中国古代科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下关于“圆周率”的说法错误的是( ) A．圆周率是一个无限小数 B．圆周率是一个实数 C．圆周率可以在数轴上表示出来 D．圆周率是一个有理数 6．[2025·北辰期中]如图，数轴上一动点A在2和3之间，则 点A表示的无理数可能是__________________(任写一个) π－1(答案不唯一) －10 8．如图，点A和B在数轴上，它们所对应的数分别为0和2，以AB 为直角边，B为直角顶点向上作等腰Rt△ABC，再以A为圆心，AC 长为半径作弧交数轴于点D，则D在数轴上所对应的数的平方为__． 8 解：(1)2 026； (2)相反数为2π－6.28，绝对值为2π－6.28. 10．[2025·长寿期中]若将一个整数的个位数字截去，再用余下的数加上原个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除．如果和太大或心算不易看出是否是13的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相加、检验”的过程，直到能清楚判断为止．如判断16 354能否被13整除； 1 635＋4×4＝1651，165＋1×4＝169，16＋9×4＝52，52＝13×4. 故16 354能被13整除． (1)115 366 (填“能”或“不能”)被13整除， 12 909 (填“能”或“不能”)被13整除； (2)已知一个五位正整数13m45(0≤m≤9)能被13整除，求m的值． 解：(1)不能，能； (2)13m4＋5×4＝1 300＋10m＋20＋4＝1 326＋10m－2， 132＋6×4＝156，15＋6×4＝39，39＝13×3， 所以1326能被13整除， 因为一个五位正整数13m45(0≤m≤9)能被13整除， 所以1 326＋10m－2能被13整除， 所以10m－2能被13整除，即5m－1能被13整除， 因为0≤m≤9， 所以－1≤5m－1≤44， 所以5m－1＝13或5m－1＝26或5m－1＝39， 解得m＝2.8或m＝5.4或m＝8， 又因为m为整数， 所以m＝8. 4．在－3.5，eq \f(22,7)，0.161 161 116…(每相邻两个6之间逐次增加一个1)，eq \f(π,2)中，有理数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．－12 024×(π－3.14)0－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))) eq \s\up12(－2)＝ ． 9．(1)计算：|－2 025|＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(1,2 025))) eq \s\up12(0)； (2)求该式的相反数和绝对值：6.28－2π. $$第二章综合测试卷 2．(－4)2的算术平方根是( ) A．－4 B．4 C．－2 D．2 二、填空题(共6小题，每题3分) 11. 的算术平方根为__，－27的立方根为____． 12．如果某数的一个平方根是－5，那么这个数是___． 13．若实数x满足(x－1)2＝25，则x＝_______． 14．[2025·扬州期中]一个正数的两个平方根分别是2x－4与 x－5，则这个正数是__． 2 －3 25 6或－4 4 0 18．(10分)求下列各式中的x值： (1)(x－1)3＝－27； (2)(x＋1)2＝4. 解：(1)(x－1)3＝－27， x－1＝－3， x＝－2； (2)(x＋1)2＝4， x＋1＝±2， 所以x＝1或x＝－3. (2)因为x<9， 所以x－9<0， 因为a＝9，b＝2，c＝5， 所以|x－a|－2(x＋b)－c ＝|x－9|－2(x＋2)－5 ＝9－x－2x－4－5 ＝－3x. 20．(9分)乐乐同学对方格纸中的数学问题很感兴趣，请你一起来探究吧． (1)图中每个小正方形方格的边长为1，请你在图1中的方格纸上按照如下要求设计直角三角形，直角三角形的三个顶点都在格点上： ①使它的三边中有一边的边长不是有理数 ②使它的三边中有两边边长不是有理数 ③使它的三边边长都不是有理数 (2)乐乐认为要计算图2中梯形ABCD的面积可以利用“算两次”的思想，第一种方法是直接求梯形ABCD的面积，第二种方法是利用割或补的方法，请你写出两种方法的过程(割或补的方法只写一种)． 解：(1)①如图1.(答案不唯一) ②如图2.(答案不唯一) ③如图3.(答案不唯一) (2)某物体从高空落到地面的时间为4 s，求该物体的起始高度h； (3)资料显示：伤害无防护人体只需要65 J的动能，从高空下落 的物体产生的动能E(单位：J)可用公式E＝mgh计算，其中，m为 物体质量(单位：kg)，g≈10 N/kg，h为高度(单位：m)．根据 以上信息判断，一个质量为150 g的玻璃碎片从16层楼下落到地 面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护 的行人吗？请说明理由． 【能力提升】 (2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙(墙长20米)，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB，△COD的面积分别是8和14，求四边形ABCD面积的最小值． 一、选择题(共10小题，每题3分) 1．下列各数：－0.9，π，eq \f(22,7)，eq \r(5)，0，1.202 002 000 2…(每相邻两个2之间逐次多一个0)中，是无理数的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列计算正确的是( ) A.eq \r(（－5）2)＝－5 B．4eq \r(3)－3eq \r(3)＝1 C.eq \r(2)×eq \r(3)＝eq \r(6) D．eq \r(18)÷eq \r(2)＝9 4．下列二次根式中是最简二次根式的是( ) A.eq \r(20) B．eq \f(1,\r(2)) C．eq \r(0.6) D．eq \r(10) 5．已知实数a，b为△ABC的两边，且满足eq \r(a－1)＋b2－4b＋4＝0，第三边c＝eq \r(5)，则第三边c上的高的值是( ) A.eq \f(5,4) eq \r(5) B．eq \f(4,5) eq \r(5) C．eq \f(5,2) eq \r(5) D．eq \f(2,5) eq \r(5) 6.[跨学科][2025·郑州期中]在量子物理的研究中，科学家需要 精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式 E＝eq \r(a2＋b)表示．当a＝6，b＝7时，该微观粒子的能量E的值 在( ) A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间 7．如图，数轴上表示1，eq \r(3)的对应点分别为点A，点B.若点A是BC的中点，则点C所表示的数为( ) A.eq \r(3)－1 B．1－eq \r(3) C．eq \r(3)－2 D．2－eq \r(3) 8．如果eq \r(3,2.37)≈1.333，eq \r(3,23.7)≈2.872，那么eq \r(3,2 370)约等 于( ) A．28.72 B．0.287 2 C．13.33 D．0.133 3 9．[2025·石家庄期中]一个数值转换器原理如图所示，当输入 x＝4时，输出的y的值是( ) A．2 B．±eq \r(2) C．eq \r(4) D．eq \r(2) 10.[新定义]对于一个正实数m，我们规定：用符号[eq \r(m)]表示不大于eq \r(m)的最大整数，称[eq \r(m)]为m的根整数，如[eq \r(4)]＝2，[eq \r(11)]＝3.如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，[eq \r(11)]＝ 3→[eq \r(3)]＝1，这时候结果为1.现有下列说法：①[eq \r(5)]＋[eq \r(6)]的值为4　 ②若[eq \r(m)]＝1，则满足题意的m的整数值有2个，分别是2和3　③对110连续求根整数，第3次后结果为1　④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255.其中错误的说法有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 eq \r(16) 15．分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：eq \f(1,1＋\r(2))＝eq \f(1×（\r(2)－1）,（\r(2)＋1）（\r(2)－1）)＝eq \r(2)－1，观察此算式规律回答问题，已知m＝eq \f(2 025,\r(2 026)－1)，则m2－2m－2 025的值是 ． 16.[规律探究]已知a1＝1＋eq \f(1,12)＋eq \f(1,22)，a2＝1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)，a3＝1＋eq \f(1,32)＋eq \f(1,42)，…，an＝1＋eq \f(1,n2)＋eq \f(1,（n＋1）2)，其中n为正整数，则eq \r(a1)＋eq \r(a2)＋eq \r(a3) ＋…＋eq \r(a2 025)的值是 ． 2 025eq \f(2 025,2 026) 解析：因为a1＝1＋eq \f(1,12)＋eq \f(1,22)＝(eq \f(3,2))2， a2＝1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＝(eq \f(7,6))2， a3＝1＋eq \f(1,32)＋eq \f(1,42)＝(eq \f(13,12))2… an＝1＋eq \f(1,n2)＋eq \f(1,（n＋1）2)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n（n＋1）＋1,n（n＋1）)))2， 所以eq \r(a1)＋eq \r(a2)＋eq \r(a3)＋…＋eq \r(a2 025) ＝eq \f(3,2)＋eq \f(7,6)＋eq \f(13,12)＋…＋eq \f(2 025×2 026＋1,2 025×2 026) ＝1＋eq \f(1,1×2)＋1＋eq \f(1,2×3)＋1＋eq \f(1,3×4)＋…＋1＋eq \f(1,2 025×2 026) ＝2 025＋(1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2 025)－eq \f(1,2 026)) ＝2 025＋1－eq \f(1,2 026)＝2 025eq \f(2 025,2 026). 三、解答题(共7小题，共72分) 17．(10分)计算： (1)eq \r(20)＋eq \r(3,125)×eq \r(\f(4,5))－|2－eq \r(5)|； (2)(eq \r(5)＋3)(3－eq \r(5))－(eq \r(3)－1)2. 解：(1)原式＝2eq \r(5)＋5×eq \f(2\r(5),5)－(eq \r(5)－2) ＝2eq \r(5)＋2eq \r(5)－eq \r(5)＋2 ＝3eq \r(5)＋2； (2)原式＝9－5－(3－2eq \r(3)＋1) ＝4－4＋2eq \r(3) ＝2eq \r(3). 19．(9分)已知3的平方等于a，2b－1是27的立方根，±eq \r(c－2)表示3的平方根． (1)求a，b，c的值； (2)化简关于x的多项式：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－a))－2(x＋b)－c，其中x<9. 解：(1)因为32＝a，27的立方根是3，±eq \r(3)表示3的平方根， 所以a＝9，2b－1＝3，c－2＝3， 所以a＝9，b＝2，c＝5； (2)方法一：如图4，AB＝eq \r(52＋52)＝5eq \r(2)，DE＝eq \r(32＋32)＝3eq \r(2)， CD＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)， S梯形ABCD＝(5eq \r(2)＋eq \r(2))×3eq \r(2)÷2＝18； 方法二：如图4，梯形ABCD的面积＝5×7－eq \f(1,2)×1×1－eq \f(1,2)×2×4－eq \f(1,2)×5×5＝18. 21．(10分)如图，已知OA＝OB，点C对应的数是1，A是线段CD的中点． (1)数轴上点A所表示的数是 ； (2)点E到点A的距离是1，请直接写出点E表示的数 ； (3)数轴上点D表示的数是什么？ (4)请你在数轴上画出表示－eq \r(13)的点． 解：(1)－eq \r(5)； (2)1－eq \r(5)或－1－eq \r(5)； (3)由条件可知CA＝DA， 设点D表示的数为x，则 1－(－eq \r(5))＝－eq \r(5)－x， x＝－2eq \r(5)－1， 所以数轴上点D表示的数是－2eq \r(5)－1； (4)如图所示， 则eq \r(32＋22)＝eq \r(13)， 因为在数轴的0的左侧， 所以点F即为－eq \r(13)的点． 22.[跨学科](12分)高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t(s)和下落高度h(m)近似满足公式t＝eq \r(\f(h,5))(不考虑空气阻力的影响)． (1)小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为3 m，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 s(结果保留根号)； 解：(1)eq \r(15)； (2)当t＝4时，4＝eq \r(\f(h,5))，解得h＝80； (3)能．理由如下： (16－1)×3＝45， 当h＝45 m，m＝150 g＝0.15 kg，g≈10 N/kg时，E＝0.15×10×45＝67.5(J)， 因为67.5 J>65 J， 所以该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 23.[建模思想](12分)[2024·肇庆一模改编]【知识背景】 由(a－b)2≥0得，a2＋b2≥2ab.如果两个正数a，b，即a>0，b>0，则有不等式：a＋b≥2eq \r(ab)，当且仅当a＝b时取到等号． 【举例分析】例如：已知x>0，求式子x＋eq \f(4,x)的最小值． 解：令a＝x, b＝eq \f(4,x)，则由a＋b≥2eq \r(ab)，得x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))＝4，当且仅当x＝eq \f(4,x)时，即x＝2时，式子有最小值，最小值为4. 【结论运用】 请根据上面材料回答下列问题： (1)2＋3 2eq \r(2×3)(用“＝”“>”“<”填空)；当x>0时，式子x＋eq \f(1,x)的最小值为 ； 解：(1)>，2； (2)设这个长方形花园平行于墙的一边的长为x米，垂直于墙的一边为y米， 则xy＝32，所以y＝eq \f(32,x)， 所以这个篱笆长＝eq \f(32,x)×2＋x＝(eq \f(64,x)＋x)米， 根据材料可得，eq \f(64,x)＋x≥2eq \r(\f(64,x)·x)， 当eq \f(64,x)＝x时，eq \f(64,x)＋x的值最小， 所以x＝8或－8(舍去)， 所以y＝eq \f(32,x)＝eq \f(32,8)＝4， 所以当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是eq \f(64,x)＋x＝8＋8＝16(米)； (3)设S△BOC＝x，已知S△AOB＝8，S△COD＝14， 则由等高三角形可知，S△BOC∶S△COD＝BO∶OD＝S△AOB∶S△AOD， 所以x∶14＝8∶S△AOD， 所以S△AOD＝eq \f(112,x)， 所以四边形ABCD面积＝8＋14＋x＋eq \f(112,x)≥22＋2eq \r(x·\f(112,x))＝22＋8eq \r(7)， 当且仅当x＝eq \f(112,x)，即x＝4eq \r(7)时，取等号， 所以四边形ABCD面积的最小值为22＋8eq \r(7). $$专题训练二　实数易错易混题 －2a 4 4 12.[将军饮马模型]“数学建模”： (1)模型——小马喝水问题：直线MN表示一条河流的河岸，在河流同侧有A，B两地，小马从A地出发到B地，中间要在河边饮水一次，请在图1中用三角板作出使小马行走最短路程的饮水点P的位置；(保留作图痕迹) (2)运用——和最小问题：如图2，E是边长为10的正方形ABCD边BC上一点，CE＝4，P是对角线BD上的一个动点，求PC＋ PE的最小值． 解：(1)如图1所示，点P即为所求作； (3)学以致用：某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB>AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能． ①已知AB＝x米，用x表示图中DP的长度，并 写出x的取值范围； ②若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ (3)①因为长方形薄板，其周长为4米， 所以AB＝CD＝x，AD＝BC＝2－x，CD∥AB，∠D＝90°， 所以∠PCA＝∠BAC， 因为沿AC折叠后，AB′交DC于点P， 所以∠PAC＝∠BAC， 所以∠PCA＝∠PAC， 所以PA＝PC， 所以PA＝PC＝CD－DP＝x－DP， 因为∠D＝90°， 1．(－4)－2的平方根是( ) A．±4 B．±2 C．eq \f(1,4) D．±eq \f(1,4) 2．实数0.404 040 4…(每相邻两个4之间一个0)，－eq \f(π,2)，eq \f(1,3)， |－3|，eq \r(4)，eq \r(3,－8)，eq \r(7)中，无理数的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知|a|＝5，eq \r(b2)＝3，且ab＞0，则a－b的值为( ) A．8 B．－2 C．8或－8 D．2或－2 4．如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为4eq \r(15)－4，则较小的正方形面积为( ) A．4 B．2eq \r(15) C．9 D．4eq \r(15) 5．[2025·青岛期末]如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A，B，C都在格点(网格线的交点)上，则AC边上的高长为( ) A.eq \f(2\r(13),13)　 B.eq \f(4\r(13),13)　 C.eq \f(6\r(13),13)　 D．2 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式eq \r(（a－b）2)＋|b－eq \r(5)|－(a＋eq \r(5))，结果为 ． 7．已知eq \r(（x－100）2)＋(eq \r(96－x))2＝200，y＝eq \r(m＋23)＋eq \r(m－2)－eq \r(2－m)，则2y－3x的算术平方根为 ． 8．[2025·怀化期末]在eq \r(1)，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(1 999)这1 999个式子中，与eq \r(2 000)可以合并的所有项之和为 ． 190eq \r(5) 解析：因为eq \r(2 000)＝20eq \r(5)， eq \r(1 999)<20eq \r(5)， 所以在eq \r(1)，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(1 999)这1 999个式子中，与eq \r(2 000)可以合并的有eq \r(5)，2eq \r(5)，3eq \r(5)…19eq \r(5)， 所以eq \r(5)＋2eq \r(5)＋3eq \r(5)＋…＋19eq \r(5)＝(1＋2＋…＋19)eq \r(5)＝190eq \r(5). 9．已知x＝eq \f(\r(5)－1,2)，y＝eq \f(\r(5)＋1,2)，则x2＋xy＋y2的值为 ． 10．[2025·青岛期末]计算： (1)eq \r(54)－eq \r(6)＋5eq \r(\f(3,2))； (2)(2eq \r(3)＋3eq \r(2))(2eq \r(3)－3eq \r(2))； (3)eq \f(2\r(12)＋\r(3),\r(3))＋(1－eq \r(3))0； (4)(eq \r(2)－eq \r(3))2－2eq \r(\f(1,3))×3eq \r(12). 解：(1)eq \r(54)－eq \r(6)＋5eq \r(\f(3,2)) ＝3eq \r(6)－eq \r(6)＋eq \f(5\r(6),2) ＝eq \f(9,2) eq \r(6)； (2)(2eq \r(3)＋3eq \r(2))(2eq \r(3)－3eq \r(2)) ＝12－18 ＝－6； (3)eq \f(2\r(12)＋\r(3),\r(3))＋(1－eq \r(3))0 ＝eq \f(2\r(12),\r(3))＋eq \f(\r(3),\r(3))＋1 ＝4＋1＋1 ＝6； (4)(eq \r(2)－eq \r(3))2－2eq \r(\f(1,3))×3eq \r(12) ＝2－2eq \r(6)＋3－6×eq \r(\f(1,3)×12) ＝5－2eq \r(6)－12 ＝－2eq \r(6)－7. 11．如图，数轴的正半轴上有A，B两点，分别对应1和eq \r(2)，点C，D在数轴上，点B到点A的距离与点C到点D的距离相等，设点C所表示的数为x. (1)如图1，当点D所表示的数为0且 点C在点D的右边时，求x的值； (2)如图2，当点D所表示的数为－2eq \r(2)时，求x的值． 解：(1)因为点A，B分别表示数1，eq \r(2)， 所以CD＝AB＝eq \r(2)－1， 又因为点D所表示的数为0，点C在点D右边，所以x＝eq \r(2)－1； (2)①当点C在点D的左边时， 因为点D所表示的数为－2eq \r(2)，AB＝eq \r(2)－1， 所以x＝－2eq \r(2)－(eq \r(2)－1)＝－3eq \r(2)＋1； ②当点C在点D的右边时， 因为点D所表示的数为－2eq \r(2)，AB＝eq \r(2)－1， 所以x＝－2eq \r(2)＋eq \r(2)－1＝－eq \r(2)－1. 综上所述，x的值为－3eq \r(2)＋1或－eq \r(2)－1. (2)如图2，连接AE，AP， 因为点C关于直线BD的对称点为点A， 所以PA＝PC， 所以PC＋PE＝PA＋PE， 所以当P，A，E三点共线时，PA＋PE取最小值，即AE的长， 因为四边形ABCD是正方形， BC＝AB＝10，CE＝4，所以BE＝6， 所以AE＝eq \r(AB2＋BE2)＝eq \r(102＋62)＝2eq \r(34)，即PC＋PE的最小值为2eq \r(34). 13．[2025·南通期末](1)类比探究：根据完全平方公式a2－2ab＋b2＝(a－b)2可知a2＋b2≥2ab，故当x≥0时，x－2＋eq \f(1,x)＝(eq \r(x))2－2eq \r(x)·eq \r(\f(1,x))＋(eq \r(\f(1,x)))2＝( )2，从而可得x＋eq \f(1,x)≥ ； (2)归纳猜想：若x>0，a>0，则x＋eq \f(a,x)≥ ，由此可知当 x＝ 时，x＋eq \f(a,x)有最小值 ； 解：(1)eq \r(x)－eq \r(\f(1,x))，2； (2)因为x>0，a>0， 所以x＋eq \f(a,x)＝x－2eq \r(a)＋eq \f(a,x)＋2eq \r(a)＝(eq \r(x))2－2eq \r(x)·eq \r(\f(a,x))＋(eq \r(\f(a,x)))2＋2eq \r(a)＝ (eq \r(x)－eq \r(\f(a,x)))2＋2eq \r(a)， 因为(eq \r(x)－eq \r(\f(a,x)))2≥0， 所以x＋eq \f(a,x)＝(eq \r(x)－eq \r(\f(a,x)))2＋2eq \r(a)≥2eq \r(a)， 当eq \r(x)－eq \r(\f(a,x))＝0，即x＝eq \r(a)时，x＋eq \f(a,x)有最小值2eq \r(a)， 故答案为：2eq \r(a)，eq \r(a)，2eq \r(a)； 所以PA2＝AD2＋DP2， 所以(x－DP)2＝(2－x)2＋DP2， 解得DP＝2(1－eq \f(1,x))， 因为AB>AD，所以x>2－x， 解得x>1，因为0<AB<2， 所以1<x<2， 所以x的取值范围为1<x<2，DP＝2(1－eq \f(1,x))； ②记△ADP的面积为S1， 则S1＝eq \f(1,2)DP·AD＝eq \f(1,2)×2(1－eq \f(1,x))(2－x)＝3－(x＋eq \f(2,x))， 由(2)可得x＋eq \f(2,x)≥2eq \r(2)，当x＝eq \r(2)时，x＋eq \f(2,x)有最小值2eq \r(2)， 所以S1≤3－2eq \r(2)， 所以当x＝eq \r(2)时，S1取得最大值， 故当薄板长为eq \r(2)米，宽为(2－eq \r(2))米时，节能效果最好. $$3　二次根式 第1课时　二次根式 －12 11．[2025·临汾期末]综合与实践 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A，B两点表示的数分别为 ， ； (2)请你参照上面的方法： ①把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，求该正方形的边长a；(注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙) ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数1＋a. (要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法．) ②如图5所示，点M即为所求作． 1．下列式子一定是二次根式的是( ) A.eq \r(－x－2) B．eq \r(x) C.eq \r(x2＋2) D．eq \r(x2－2) 2．[2025·昆明期末]当代数式eq \r(1－x)有意义时，x的取值范围 是( ) A．x>0 B．x≤1 C．x≠1 D．x≥1 3．若a，b是不相等的无理数，则( ) A．a＋b一定是无理数 B．a－b一定是无理数 C．a·b一定是无理数 D.eq \f(a,b)不一定是无理数 4．当m＜0时，化简二次根式eq \f(m,n) eq \r(\f(n,m))，结果正确的是( ) A．neq \r(mn) B．－neq \r(mn) C.eq \f(1,n) eq \r(mn) D．－eq \f(1,n) eq \r(mn) 5．[2025·石景山期末]实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简eq \r(m2)－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m－n))的结果是( ) A．n B．－n C．2m－n D．－2m＋n 6．如图，长方形内有两个相邻的正方形ABCD和正方形EFGH，面积分别为2和3，那么图中阴影部分的面积为( ) A.eq \r(6)－3 B．eq \r(6)－2 C．2eq \r(2)－1 D．eq \r(2)－3 7．计算：(eq \r(3)－1)(2＋eq \r(3))＝ ． 8．计算：－22＋eq \r(16)－2×2eq \r(（－3）2)＝ ． 9．[2023·合肥一模]已知x＋eq \f(1,x)＝3，则eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))＝ ． 1＋eq \r(3) eq \r(5) 10．计算： (1)－eq \r(3)×eq \r(（－16）×（－36）)； (2)eq \r(1\f(2,3))÷eq \r(2\f(1,3))×eq \r(1\f(2,5))； (3)eq \r(3a2)÷3eq \r(\f(a,2))×eq \f(1,2) eq \r(\f(2a,3))(a>0)． 解：(1)原式＝－eq \r(3)×eq \r(16×36) ＝－eq \r(3)×eq \r(16)×eq \r(36) ＝－eq \r(3)×4×6＝－24eq \r(3)； (2)原式＝eq \r(\f(5,3))÷eq \r(\f(7,3))×eq \r(\f(7,5)) ＝eq \r(\f(5,3)÷\f(7,3)×\f(7,5)) ＝eq \r(\f(5,3)×\f(3,7)×\f(7,5))＝1； (3)原式＝eq \f(1,6) eq \r(3a2×\f(2,a)×\f(2a,3)) ＝eq \f(1,6) eq \r(4a2) ＝eq \f(1,6)×2a ＝eq \f(a,3). 解：(1)－eq \r(2)，eq \r(2)； (2)①如图3，图4所示， 正方形的面积为5，所以边长a＝eq \r(5)； 12.[新定义]任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：m<T<n(其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数)，则称无理数T的“麓外区间”为(m，n)，如1<eq \r(2)<2，所以eq \r(2)的麓外区间为(1，2)． (1)无理数－eq \r(7)的“麓外区间”是 ； (2)若一个无理数的“麓外区间”为(m，n)，m，n，eq \r(n)为正整数，满足0<m＋eq \r(n)<12，求m2－n·eq \r(n)的值； (3)实数x，y，m满足关系式：eq \r(2x＋3y－m)＋eq \r(3x＋4y－2m)＝eq \r(x＋y－2 023)＋eq \r(2 023－x－y)，求m的算术平方根的“麓外区间”． 解：(1)(－3，－2)； (2)由题意，得m，n是两个相邻的正整数，且eq \r(n)是一个完全平方数，m>0， 因为0<m＋eq \r(n)<12， 所以满足题意的m，n的值为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝8，,n＝9，)) 当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝4))时， m2－n·eq \r(n)＝32－4×eq \r(4)＝1； 当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝8，,n＝9))时， m2－n·eq \r(n)＝82－9×3＝64－27＝37. 综上所述，m2－n·eq \r(n)的值为1或37； (3)因为eq \r(2x＋3y－m)＋eq \r(3x＋4y－2m)＝eq \r(x＋y－2 023)＋eq \r(2 023－x－y)， 所以x＋y－2 023≥0，2 023－x－y≥0， 所以x＋y－2 023＝0， 所以x＋y＝2 023， 所以eq \r(2x＋3y－m)＋eq \r(3x＋4y－2m)＝0， 因为eq \r(2x＋3y－m)≥0，eq \r(3x＋4y－2m)≥0， 所以2x＋3y－m＝0，3x＋4y－2m＝0， 两式相减，得x＋y－m＝0， 所以m＝x＋y＝2 023， 所以m的算术平方根为eq \r(2 023)， 因为442<2 023<452， 所以44<eq \r(2 023)<45， 所以m的算术平方根的“麓外区间”是(44，45)． 13．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(1－3x)))2－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－x)). 解：隐含条件1－3x≥0，解得x≤eq \f(1,3)， 所以1－x>0. 所以原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－3x))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x))＝1－3x－1＋x＝－2x. 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简：eq \r(（x－3）2)－(eq \r(2－x))2； 【类比迁移】 (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示， 化简：eq \r(a2)－eq \r(（a＋b）2)－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－a))； (3)已知a，b，c为△ABC的三边长． 化简：eq \r(（a＋b－c）2)＋eq \r(（a－b－c）2). 解：(1)eq \r(（x－3）2)－(eq \r(2－x))2， 隐含条件2－x≥0，解得x≤2， 所以x－3<0， 所以原式＝3－x－(2－x)＝1； (2)由数轴，得a<0<b，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))>eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))， 所以a＋b<0，b－a>0， 所以eq \r(a2)－eq \r(（a＋b）2)－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－a))＝(－a)－(－a－b)－(b－a) ＝－a＋a＋b－b＋a＝a； (3)由三角形的三边关系，得a＋b>c，b＋c>a， 所以a＋b－c>0，a－b－c＝a－(b＋c)<0， 所以eq \r(（a＋b－c）2)＋eq \r(（a－b－c）2)＝(a＋b－c)＋(b＋c－a) ＝a＋b－c＋b＋c－a＝2b. $$2　平方根与立方根 第1课时　算术平方根 5．若一个数的算术平方根等于它的本身，则这个数是( ) A．1或－1 B．0或1 C．0或－1 D．0或1或－1 24 7 16 5 4或6 11．[2025·西安期末]如图，已知AD＝12，BC＝21，BD＝5，AD⊥BC，则AC＝___． 20 1．[2025·银川期末]在下列各数中，是无理数的是( ) A．－2 B．3.97 C．eq \r(8) D．0 2．如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，输出y的值 是( ) A．3 B．－eq \r(3) C．eq \r(3) D．－3 3．下列说法正确的是( ) A．4是eq \r(16)的算术平方根 B．0的算术平方根是0 C．－2是(－2)2的算术平方根 D．－4的算术平方根是－2 4．若eq \r(（x－3.5）2)＝3.5－x，则x的值不能是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 6.eq \r(36)的算术平方根是 ． 7．已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为27 cm2，则这个长方形的周长为 cm. 8．5的算术平方根是 ；eq \r(7)是 的算术平方根；(－2)2是 的算术平方根． 9．若eq \r(16－n)是整数，则满足条件的自然数n共有 个． 10．若eq \r(\f(1,2)x－2)＝eq \f(1,2)x－2，则x＝ ． eq \r(6) eq \r(5) 12．求下列各数的算术平方根． (1)196；　(2)eq \f(25,64)；　(3)0.04；　(4)102. 解：(1)14； (2)eq \f(5,8)； (3)0.2； (4)10. 13．若m，n满足等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)m－2)) eq \s\up12(2)＋eq \r(2n＋6)＝0. (1)求m，n的值； (2)求4m－3n的算术平方根． 解：(1)由题意，得eq \f(1,2)m－2＝0，2n＋6＝0， 解得m＝4，n＝－3； (2)4m－3n＝4×4－3×(－3)＝25. 因为25的算术平方根是5， 所以4m－3n的算术平方根是5. 14.[规律探究][2025·南阳期末]观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：eq \r(12－2×1×1＋12)＝eq \r(0)＝0；第2个等式：eq \r(22－2×2×1＋12)＝eq \r(1)＝1；第3个等式：eq \r(32－2×3×1＋12)＝ eq \r(4)＝2；第4个等式：eq \r(42－2×4×1＋12)＝eq \r(9)＝3…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①eq \r(52－2×5×1＋12)＝； ②eq \r(1012－2×101×1＋12)＝ ； (2)用含n(n为正整数)的代数式表示出第n个等式： ； (3)根据上述规律计算： eq \r(12－2×1×1＋12)－eq \r(22－2×2×1＋12)＋eq \r(32－2×3×1＋12)－eq \r(42－2×4×1＋12)＋…＋eq \r(2 0252－2×2 025×1＋12)－eq \r(2 0262－2×2 026×1＋12). 解：(1)①4；②100； (2)eq \r(n2－2×n×1＋12)＝eq \r(（n－1）2)＝n－1； (3)－1 013. $$第3课时　立方根 1．－8的立方根是( ) A．4 B．2 C．－2 D．±2 3．已知x没有平方根，且|x|＝64，则x的立方根为( ) A．8 B．－8 C．±4 D．－4 4．一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的( ) A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．9倍 ±2 －8 ±3 11．已知2a＋1的一个平方根是3，1－b的立方根为－1. (1)求a与b的值； (2)求a＋2b的立方根． 解：(1)因为2a＋1的一个平方根是3， 所以2a＋1＝9， 解得a＝4. 因为1－b的立方根为－1， 所以1－b＝－1， 解得b＝2； (2)因为a＝4，b＝2， 所以a＋2b＝4＋2×2＝8， 所以a＋2b的立方根是2. 12．[2025·张掖期末]求下列各式中x的值： (1)(x＋2)2＝16； (2)(x－3)3＝64. 解：(1)因为(x＋2)2＝16， 所以x＋2＝±4， 所以x＝2，x＝－6； (2)因为(x－3)3＝64， 所以x－3＝4， 所以x＝7. 13．某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化， 铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160 cm， 80 cm和40 cm，求原来每个立方体钢铁的棱长． 2．若eq \r(3,a)＝a，则a的值不可能是( ) A．－1 B．0 C．1 D．3 5．若x＞1，则x2，x，eq \r(x)，eq \r(3,x)这四个数中( ) A.eq \r(3,x)最大，x2最小 B．x最大，eq \r(3,x)最小 C. x2最大，eq \r(3,x)最小 D．x最大，x2最小 6．[2025·咸阳期末]已知a的立方根是－1，b的算术平方根是3， 则5a＋b的平方根为 ． 7．若x2＝13，则x＝ ；若eq \r(3,y)＝－2，则y＝ ． 8．已知eq \f(1,2)a－1的平方根是±2，b＋1的立方根为2，则代数式eq \r(a－b)的值为 ． 9．已知eq \r(3,1－m)＝－2，则m的平方根为 ． ±eq \r(13) eq \r(3) 10．求下列各式的值： (1)－eq \r(3,－0.027)； (2)eq \r(3,1－\f(37,64)). 解：(1)原式＝－(－0.3)＝0.3； (2)原式＝eq \r(3,\f(27,64))＝eq \f(3,4). 解：由题意，得eq \r(3,\f(160×80×40,27))＝eq \r(3,\f(512 000,27))＝eq \f(80,3)(cm)， 所以原来每个立方体钢铁的棱长为 eq \f(80,3) cm. 14．已知a是2eq \f(7,9)的平方根，b是(－13)2的平方根，c的立方根是 －3，d的一个平方根是eq \r(2)，回答下列问题： (1)分别求出a，b，c，d的值； (2)d的另外一个平方根落在图中的 ．(填“段①”“段②”“段③”或“段④”) 解：(1)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(5,3))) eq \s\up12(2)＝eq \f(25,9)＝2eq \f(7,9)，(±13)2＝(－13)2，(－3)3＝－27，(eq \r(2))2＝2， 所以a＝±eq \f(5,3)，b＝±13，c＝－27，d＝2； (2)段②. $$第4课时　估算 2 ＞ ＜ 10．根据表格解答下列问题： x 13.1 13.2 13.3 x2 171.61 174.24 176.89 x 13.4 13.5 13.6 x2 179.56 182.25 184.96 13.3 183或184 11．[2025·石家庄期末]在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为400 cm2的正方形区域修改为面积为300 cm2的长方形区域，且长、宽之比为5∶3. (1)求原来正方形区域的边长； (2)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 1．在数1，－1，eq \r(2)，eq \f(3,2)中，最大的数是( ) A．1 B．－1 C．eq \r(2) D．eq \f(3,2) 2．一块圆形蛋糕的直径长为eq \r(15) cm，估计eq \r(15)的值在( ) A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 3．a，b是两个连续的整数，若a<eq \r(17)<b，则ab是( ) A．12 B．13 C．20 D．21 4．式子2eq \r(3)＋eq \r(2)的结果精确到0.01为(可用计算器计算)( ) A．4.9 B．4.87 C．4.88 D．4.89 5．已知eq \r(30)≤x≤eq \r(100)，那么满足上述条件的整数x的个数 是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图，四边形ABCD是黄金矩形，AD>AB，已知AD＝2，则AB的长为( ) A．3－eq \r(5) B．6－2eq \r(5) C．2eq \r(5)－2 D．eq \r(5)－1 7.eq \r(7)的整数部分是 ，eq \r(10)－1的小数部分是 ， 10－eq \r(7)的小数部分是 ．(结果保留根号) 8．比较大小：(1)5eq \r(2) 3eq \r(3)； (2)eq \f(\r(3)－1,2) eq \f(1,2).(填“＞”“＝”或“＜”) 9．已知2＋eq \r(3)的整数部分为m，小数部分为n，则2m－n＝ ． eq \r(10)－3 3－eq \r(7) 7－eq \r(3) (1)eq \r(176.9)≈ ； (2)若13.5<eq \r(n)<13.6，则满足条件的整数n的值为 ． 解：(1)由题意得原来正方形区域的边长为eq \r(400)＝20(cm)； (2)由(1)得这根铁丝长为20×4＝80(cm)， 设长方形的长为5x，则宽为3x，其面积为300 cm2， 所以5x·3x＝300，解得x＝eq \r(20)， 所以长方形的周长为2×(5x＋3x)＝16x＝16eq \r(20)(cm)， 因为4<eq \r(20)<5，所以64<16eq \r(20)<80，所以铁丝够用． 12.[新定义]我们规定：[a]表示不大于a的最大整数，＜a＞表示不小于a的最小整数． 例如：[eq \r(4)]＝2，<eq \r(4)>＝2；[eq \r(5)]＝2，<eq \r(5)>＝3. (1)计算：[eq \r(10)]＝ ，<eq \r(10)>＝ ； (2)若[eq \r(a)]＝1，则满足题意的所有整数a的和为 ； (3)若m＝[eq \r(200)]，n＝<eq \r(26)>，求m－2n－1的平方根． 解：(1)3；4； (2)6； (3)因为14<eq \r(200)<15，5<eq \r(26)<6， 所以m＝14，n＝6， 所以m－2n－1＝1， 因为±eq \r(1)＝±1， 所以m－2n－1的平方根是±1. $$第二章　章末能力突破 3．一个数的两个不相等的平方根分别是2a－1与－a＋2，则这个数是( ) A．－1 B．3 C．9 D．－3 9.[规律探究]如图是一个按某种规律排列的数阵： ±2 < 16 1 14．[2025·长治期末]一块矩形木板采用如图所示的方式在木 板上截出两个面积分别为8 cm2和50 cm2的正方形木板后，剩余 的木板(阴影部分)的面积为___cm2. 12 15．[2025·顺义期末]如图，O是数轴的原点，点M对应的数为2， MN⊥OM，MN＝3，连接ON，以点O为圆心，ON长为半径作弧，交 数轴的正半轴于点A，点A对应的数为a，则a的值为____；a__3 (填“>”“＝”或“<”)． > 16．[2025·威海期末]如图，网格中每个小正方形的边长均为1， 点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方 的网格线于点D，C位于数轴的原点处，则D在数轴上代表的数 是______． 19．解方程： (1)4x2＝100； (2)8(x＋1)2＝32； (3)(x－1)3＝－64. 解：(1)4x2＝100， x2＝25， x＝±5； (2)8(x＋1)2＝32， (x＋1)2＝4， x＋1＝±2， x＝1或x＝－3； (3)(x－1)3＝－64， x－1＝－4， x＝－3. 一、选择题 1．在－eq \r(2)，eq \r(9)，0.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数依次多一个)，－0.333 33…，eq \r(3,－8)，2π中，无理数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．四个实数5，0，eq \r(8)，eq \r(3)中，最小的无理数是( ) A.eq \r(3) B．0 C．eq \r(8) D．5 4．估计eq \r(3)×(2eq \r(5)＋eq \r(\f(1,3)))的值在( ) A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 5．设eq \r(2)的小数部分是m，eq \r(8)的整数部分是n，则(m＋1)n的值 是( ) A．2 B．4 C．8 D．一个无理数 6．若a，b为实数，且|a＋1|＋eq \r(b－1)＝0，则－(－ab)2 023的值 是( ) A．1 B．2 023 C．－1 D．－2 023 7．下列计算正确的是( ) A．(eq \r(2))0＝eq \r(2) B．2eq \r(3)＋3eq \r(3)＝5eq \r(6) C.eq \r(8)＝4eq \r(2) D.eq \r(3)(2eq \r(3)－2)＝6－2eq \r(3) 8. 已知a＝eq \r(2 021)－eq \r(2 020)，b＝eq \r(2 020)－eq \r(2 019)， c＝eq \r(2 019)－eq \r(2 018)，那么a，b，c的大小关系是( ) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 根据数阵排列的规律，第n(n是整数，且n≥4)行从左向右第(n－3)个数是(用含n的代数式表示)( ) A.eq \r(n2－1) B．eq \r(n2－2) C.eq \r(n2－3) D．eq \r(n2－4) 二、填空题 10.eq \r(3,64)的平方根为 ． 11．[2025·沈阳期末]比较大小：eq \f(\r(5)－1,3) eq \f(2,3)(填“<”或“>”)． 12．[2025·兰州期末]已知一个正数的平方根是3x＋1和1－5x，则这个正数是 ． 13．若最简二次根式eq \r(a＋1)与eq \r(8)是同类二次根式，则a＝ ． eq \r(13) eq \r(5)－3 17．把(m－1)eq \r(\f(1,1－m))中根号前的(m－1)移到根号内得到的结果 是 ． －eq \r(1－m) 三、解答题 18．[2025·中卫期末]计算： (1)(2eq \r(3)－1)2； (2)eq \f(\r(12)×\r(6),\r(8))； (3)eq \r(32)－eq \r(\f(1,2))＋eq \r(2)； (4)eq \f(\r(20)＋\r(5),\r(45))－eq \r(\f(1,3))×eq \r(6). 解：(1)原式＝(2eq \r(3))2－2×2eq \r(3)×1＋12 ＝12－4eq \r(3)＋1 ＝13－4eq \r(3)； (2)原式＝eq \f(2\r(3)×\r(6),2\r(2)) ＝eq \f(3\r(2),\r(2)) ＝3； (3)原式＝4eq \r(2)－eq \f(\r(2),2)＋eq \r(2) ＝5eq \r(2)－eq \f(\r(2),2)＝eq \f(9\r(2),2)； (4)原式＝eq \f(2\r(5)＋\r(5),3\r(5))－eq \f(1,\r(3))×eq \r(6) ＝eq \f(3\r(5),3\r(5))－eq \r(2) ＝1－eq \r(2). 20. [规律探究]阅读材料： eq \r(1)和eq \r(4)为整数，4－1＝3＝2×1＋1； eq \r(4)和eq \r(9)为整数，9－4＝5＝2×2＋1； eq \r(9)和eq \r(16)为整数，16－9＝7＝2×3＋1…… 小明发现结论：若eq \r(a)和eq \r(b)为相邻的两个整数，其中a＜b， 则有b－a＝2eq \r(a)＋1.并给出了证明： 由题意，得eq \r(a)＋1＝eq \r(b). 等式两边同时 ，得 ＝b. 整理得b－a＝2eq \r(a)＋1. 请根据以上材料，解决下列问题： (1)请补全小明的证明过程； (2)若eq \r(a)和eq \r(a＋11)为两个相邻整数，则a＝ ； (3)若eq \r(a)和eq \r(a＋216)为相差4的两个整数，求a的值． 解：(1)平方，a＋2eq \r(a)＋1； (2)因为eq \r(a)和eq \r(a＋11)为两个相邻整数， 所以由(1)的结论，得a＋11－a＝2eq \r(a)＋1， 所以eq \r(a)＝5，所以a＝25. 故答案为：25； (3)因为eq \r(a)和eq \r(a＋216)为相差4的两个整数， 所以eq \r(a)＋4＝eq \r(a＋216)， 等式两边同时平方，得 a＋8eq \r(a)＋16＝a＋216， 所以eq \r(a)＝25，所以a＝625. $$