安徽省六安市第九中学2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年安徽省六安九中九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的。 1．（4分）二次函数y＝3（x﹣1）2的顶点坐标是（　　） A．（0，﹣1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，0） 2．（4分）已知⊙O的半径为10，OP＝6，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不确定 3．（4分）如图，若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝4cm，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 4．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则cosA的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 5．（4分）已知，那么＝（　　） A． B． C． D． 6．（4分）如图，点A、B、C均在正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝（　　） A． B． C． D． 7．（4分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（　　） A．3：8 B．3：5 C．5：8 D．2：5 8．（4分）如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OBA＝25°，∠BOC＝30°，则∠OAC的度数为（　　） A．30° B．10° C．40° D．50° 9．（4分）二次函数y＝ax2+c与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可以是（　　） A． B． C． D． 10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，O是斜边AB的中点，以点O为圆心的半圆与AC相切于点D，交AB于点E、F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）比较大小：sin47° 　 　 sin43°．（填“＞”，“＝”或“＜”） 12．（5分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD，AB＝6，AD＝3，则AC的长为　 　 ． 13．（5分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，且满足∠ADC＝118°，连接OC，则∠BOC的度数为 　 　 °． 14．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（6，c），向左平移t（t＞0）个单位长度后得到新抛物线． （1）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝　 　 ； （2）若新抛物线有P（2t，y1），Q（2t+2，y2）两点，且y2＞y1，则t的取值范围为　 　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）计算：． 16．（8分）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．求证：AF：AD＝AD：AB． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．（8分）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠B＝30°，直线BD与⊙O切于点D，求∠ADB的度数． 18．（8分）中国面食文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（4，32），B（a，80）两点（如图）． （1）求y与S之间的函数关系式及a的值； （2）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过0.8mm2，求这根面条的总长度至少有多长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．（10分）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB 是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1． （3）已知S△OAB的面积为2.5，则△OA2B2的面积为 　 　 ． 20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB． （1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径； （2）若∠D＝2∠M，求∠D的度数． 六、（本题满分12分） 21．（12分）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，点D距地面为0.2米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行． （1）如图2，当道闸打开至∠ADC＝45°时，边CD上一点P到地面的距离PE为1.2米，求点P到MN的距离PF的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝35°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002） 七、（本题满分12分） 22．（12分）某超市以30元/千克的价格购进一批草莓，如果以35元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；如果以40元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克，根据销售经验可以知道，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在一次函数关系． （1）请你直接写出y与x之间的函数关系式为 　 　 ；（不用写出自变量的取值范围） （2）设该超市销售草莓每天获得的利润为w元，求当销售单价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）如果物价局规定商品的利润率不能高于40%，而超市希望每天销售草莓的利润不低于1500元，请你帮助超市确定这种草莓的销售单价x的范围． 八、（本题满分14分） 23．（14分）（1）如图①，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F． 【探究证明】①求证：△AED∽△BFE； 【特例分析】②若AB＝10，AD＝6，E为AB的中点，求BF的长． 【衍生拓展】（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，射线DE，DF分别交AB，AC于点E，F，且∠EDF＝90°，求的值． 2024-2025学年安徽省六安九中九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C D C C C C D 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的。 1．（4分）二次函数y＝3（x﹣1）2的顶点坐标是（　　） A．（0，﹣1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，0） 【分析】根据二次函数y＝3（x﹣1）2，得出顶点坐标是（1，0），即可作答． 【解答】解：由题意可得：函数为y＝3（x﹣1）2， ∴可得出顶点坐标是（1，0）， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象性质，正确计算是解题关键． 2．（4分）已知⊙O的半径为10，OP＝6，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不确定 【分析】直接根据点与圆的位置关系解答即可． 【解答】解：∵⊙O的半径为10，OP＝6，10＞6， ∴点P在⊙O内． 故选：A． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；①点P在圆内⇔d＜r是解题的关键． 3．（4分）如图，若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝4cm，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义列比例式即可求解． 【解答】解：由条件可知， ∵AB＝4cm， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查黄金分割的定义“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比”，理解黄金分割的概念是解题关键． 4．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则cosA的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 【分析】在直角三角形中，因为三角形三边都放大2倍，所以∠A的对边与斜边同时放大2倍，它们的比值仍然不变． 【解答】解：∵三角形三边都放大2倍， ∴∠A的对边与斜边同时放大2倍， ∴cosA＝， ∴cosA的值不变． 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 5．（4分）已知，那么＝（　　） A． B． C． D． 【分析】将原式变形为，然后代入求解即可． 【解答】解：＝， ∵， ∴原式＝＝， 故选：D． 【点评】本题考查了分式的运算；根据分式的运算法则正确拆分是解题的关键． 6．（4分）如图，点A、B、C均在正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝（　　） A． B． C． D． 【分析】设正方形网格中每个小正方形的边长为1，根据正方形网格的特点及勾股定理得BC＝2，AC＝，CD＝，BD＝，则AD＝，再根据勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，然后在Rt△ABD中，根据正切函数的定义可求出tan∠BAC的值． 【解答】解：设正方形网格中每个小正方形的边长为1，如图所示： 则BC＝2， 根据勾股定理得：AC＝＝，CD＝＝，BD＝＝， ∴AD＝AC﹣CD＝， 又∵CD2+BD2＝4，BC2＝4， ∴CD2+BD2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠BDC＝∠BDA＝90°， 在Rt△ABD中，tan∠BAC＝＝＝． 故选：C． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握网格的特点，三角函数的定义及勾股定理是解决问题的关键． 7．（4分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（　　） A．3：8 B．3：5 C．5：8 D．2：5 【分析】由DE∥BC，可得＝，再结合EF∥AB可求得，可求得CF：CB． 【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴AE：EC＝AD：DB＝BF：CF＝3：5， ∴CF：CB＝5：8， 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键． 8．（4分）如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OBA＝25°，∠BOC＝30°，则∠OAC的度数为（　　） A．30° B．10° C．40° D．50° 【分析】根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行作答． 【解答】解：∵OB＝OA， ∴△OAB是等腰三角形， ∵∠OBA＝25°， ∴∠OAB＝25°， ∵∠BOC和∠BAC所对应的弧均为BC， ∴， ∴∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝40°． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形、圆的性质、以及圆周角定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 9．（4分）二次函数y＝ax2+c与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可以是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【解答】A．∵a＜0，c＞0， ∴ac＜0， ∴反比例函数的图象应该分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意； B．∵a＜0，c＜0， ∴ac＞0， ∴反比例函数的图象应该分别位于一、三象限，故选项错误，不符合题意； C．∵a＞0，c＜0， ∴ac＜0， ∴反比例函数的图象应该分别位于二、四象限，故选项正确，符合题意； D．∵a＞0，c＞0， ∴ac＞0， ∴反比例函数的图象应该分别位于一、三象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，O是斜边AB的中点，以点O为圆心的半圆与AC相切于点D，交AB于点E、F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OD，过点D作DG⊥AB于点G，利用分割法，计算面积即可． 【解答】解：连接OD，过点D作DG⊥AB于点G， ∵∠A＝30°，AB＝8，O是斜边AB的中点，以点O为圆心的半圆与AC相切于点D， ∴∠ADO＝90°，∠AOD＝60°，OA＝AB＝×8＝4， ∴OD＝OA＝×4＝2，∠FOD＝120°， ∴OD＝OE＝OF＝2， ∴，， ∴阴影部分的面积为： ＝ ＝， 所以阴影部分的面积为， 故选：D． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，扇形的面积的计算，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形的性质，扇形面积公式是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）比较大小：sin47° 　＞　 sin43°．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【分析】根据正弦函数是0°～90°范围内是单调递增的，即可得到结果． 【解答】解：∵0°＜43°＜47°＜90°， ∴sin43°＜sin47°， 即sin47°＞sin43°， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了三角函数的大小，熟练理解锐角三角函数的单调性是解题的关键． 12．（5分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD，AB＝6，AD＝3，则AC的长为　　 ． 【分析】根据两个角对应相等的两个三角形相似，证明△BAC∽△CAD，然后根据相似三角形的性质得到，再将AB＝6，AD＝3代入计算，即得答案． 【解答】解：由条件可知∠BAC＝∠CAD， ∵∠B＝∠ACD， ∴△BAC∽△CAD， ∴， ∴AC2＝AB•AD＝18， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（5分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，且满足∠ADC＝118°，连接OC，则∠BOC的度数为 　56　 °． 【分析】先根据圆内接四边形的性质得出∠B的度数，再由等腰三角形的性质得出∠OCB的度数，根据三角形内角和定理得出∠BOC的度数即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADC＝118°， ∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣118°＝62°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B＝62°， ∴∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠OCB＝180°﹣62°﹣62°＝56°． 故答案为：56． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，熟知圆内接四边形的对角互补；三角形内角和是180°是解题的关键． 14．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（6，c），向左平移t（t＞0）个单位长度后得到新抛物线． （1）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝　3　 ； （2）若新抛物线有P（2t，y1），Q（2t+2，y2）两点，且y2＞y1，则t的取值范围为　　 ． 【分析】（1）根据当x＝0时y＝ax2+bx+c＝c和抛物线经过点过（6，c），可知点（0，c）和（6，c）关于对称轴对称，可知抛物线的对称轴是直线； （2）根据抛物线向左平移t（t＞0）个单位长度，可知平移后新抛物线的对称轴是直线x＝3﹣t，根据y2＞y1可知点P离新抛物线的对称轴比Q离新抛物线的对称轴远，所以可得PQ的中点在对称轴的左侧，从而得到不等式，解不等式求出t的取值范围． 【解答】解：（1）∵当x＝0时y＝ax2+bx+c＝c， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过（0，c）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴是直线， 故答案为：3； （2）由条件可知新抛物线的对称轴是直线x＝3﹣t， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ∵y2＞y1， ∴P离新抛物线的对称轴比Q离新抛物线的对称轴远， ∴PQ的中点在对称轴的左侧， ∴， ∴， ∵t＞0， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质．解决本题的关键是根据二次函数的图象的对称性求出抛物线的对称轴，再根据抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，确定点P、Q与对称轴距离的远近． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）计算：． 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算得到答案． 【解答】解：原式＝+﹣ ＝+1﹣ ＝+1． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 16．（8分）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．求证：AF：AD＝AD：AB． 【分析】由EF∥CD，DE∥BC可得到△AEF∽△ACD，△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质即可得证． 【解答】证明：∵EF∥CD， ∴∠AEF＝∠ACD，∠AFE＝∠ADC， ∴△AEF∽△ACD， ∴①， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB，∠ADE＝∠ABC， ∴△ADE∽△ABC， ∴②， 由①②得：＝， 即AF：AD＝AD：AB． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．（8分）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠B＝30°，直线BD与⊙O切于点D，求∠ADB的度数． 【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ODB＝90°，进而求出∠DOB，再根据圆周角定理求出∠A，最后根据三角形内角和定理即可求得答案． 【解答】解：如下图，连接OD， ∵BD是⊙O的切线，D为切点， ∴∠BDO＝90°， ∵∠B＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO＝＝＝30°， ∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴∠ADB＝120°． 【点评】本题考查圆的切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是关键． 18．（8分）中国面食文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（4，32），B（a，80）两点（如图）． （1）求y与S之间的函数关系式及a的值； （2）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过0.8mm2，求这根面条的总长度至少有多长． 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为：，将（4，32）代入可得解析式，再把将（a，80）代入解析式可得a的值； （2）厨师做出的面条横截面面积不超过0.8mm2，可得列式得，解不等式即可． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为：， 由条件可得：k＝128， ∴y与S之间的函数表达式为：； 将（a，80）代入可得a＝1.6； （2）由条件可知， 故面条的总长度至少为160m． 【点评】本题主要考查反比例函数的运用，求不等式的解集，掌握待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，求不等式的解集是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．（10分）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB 是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1． （3）已知S△OAB的面积为2.5，则△OA2B2的面积为 　10　 ． 【分析】（1）分别连接O1O、B1B并延长交于点P，则点P即为所求； （2）根据位似图形的性质作出图形即可； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，点P即为所求； （2）如图所示，△OA2B2即为所求； （3）∵在第三象限画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1， ∴△OA2B2的面积：△OAB的面积＝4：1， ∵S△OAB的面积为2.5， ∴△OA2B2的面积10， 故答案为：10． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，熟记位似三角形的性质是解题的关键． 20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB． （1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径； （2）若∠D＝2∠M，求∠D的度数． 【分析】（1）设⊙O的半径是r，由垂径定理得到DE＝CD＝8，由勾股定理得到r2＝（r﹣4）2+82，求出r＝10，即可得到⊙O的直径长； （2）由圆周角定理得到∠BOD＝2∠M，因此∠BOD＝∠D，判定△OED是等腰直角三角形，得到∠D＝45°． 【解答】解：（1）设⊙O的半径是r，则OD＝OB＝r， ∴OE＝r﹣4， ∵直径AB⊥CD， ∴DE＝CD＝×16＝8， ∵OD2＝OE2+DE2， ∴r2＝（r﹣4）2+82， ∴r＝10， ∴⊙O的直径为2r＝20； （2）∵∠BOD＝2∠M，∠D＝2∠M， ∴∠BOD＝∠D， ∵AB⊥CD， ∴∠OED＝90°， ∴△OED是等腰直角三角形， ∴∠D＝45°． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于r的方程，由圆周角定理推出∠BOD＝2∠M． 六、（本题满分12分） 21．（12分）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，点D距地面为0.2米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行． （1）如图2，当道闸打开至∠ADC＝45°时，边CD上一点P到地面的距离PE为1.2米，求点P到MN的距离PF的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝35°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002） 【分析】（1）在Rt△PDQ中，由∠PDQ＝45°，DQ＝PQ＝1，进而求出FP即可； （2）当∠ADC＝36°，PE＝1.6米时，求出PF，与1.8米比较即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，过点D作DQ⊥PE，垂足为Q， 由题意可知，∠ADC＝45°，PE＝1.2米，QE＝0.2米， 在 Rt△PDQ 中，∠PDQ＝45°，PQ＝1.2﹣0.2＝1（米）， ∴DQ＝PQ＝1 （米）， ∴PF＝AB﹣DQ＝3﹣1＝2 （米）， 即点P到MN的距离PF的长为2米； （2）当∠ADC＝35°，PE＝1.6米时， 则∠DPQ＝35°， PQ＝1.6﹣0.2＝1.4（米）， ∴DQ＝PQ•tan35°≈1.4×0.7002＝0.9803（米）， ∴PF＝3﹣0.9803≈2.02（米）， ∵2.02＞1.8， ∴能通过． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 七、（本题满分12分） 22．（12分）某超市以30元/千克的价格购进一批草莓，如果以35元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；如果以40元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克，根据销售经验可以知道，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在一次函数关系． （1）请你直接写出y与x之间的函数关系式为 　y＝﹣20x+1000　 ；（不用写出自变量的取值范围） （2）设该超市销售草莓每天获得的利润为w元，求当销售单价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）如果物价局规定商品的利润率不能高于40%，而超市希望每天销售草莓的利润不低于1500元，请你帮助超市确定这种草莓的销售单价x的范围． 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（35，300）、（40，200）代入，可得出k、b的值，继而得出y与x的函数关系式； （2）每天的总利润＝每天的销量×每千克的利润，从而可得w关于x的表达式，利用配方法求解最值即可； （3）根据利润不低于1500元，可求得x的取值范围，再由利润率不能高于40%，可最终确定这种草莓的销售单价x的范围． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 将（35，300）、（40，200）代入，得， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+1000， 故答案为：y＝﹣20x+1000； （2）w＝（x﹣30）（﹣20x+1000）＝﹣20x2+1600x﹣30000 ＝﹣20（x﹣40）2+2000 ∵﹣20＜0， ∴当x＝40时，w取得最大，w最大＝2000元； （3）由题意得﹣20x2+1600x﹣30000≥1500， 解得：35≤x≤45， 又∵物价局规定商品的利润率不能高于40%， ∴（x﹣30）÷30≤40%， ∴x≤42， 综上可得：35≤x≤42， 答：销售这种草莓的销售单价x的范围为35≤x≤42． 【点评】本题考查了一次函数，二次函数的应用，解题的关键是仔细审题，得出利润w与售价x的函数关系式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用． 八、（本题满分14分） 23．（14分）（1）如图①，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F． 【探究证明】①求证：△AED∽△BFE； 【特例分析】②若AB＝10，AD＝6，E为AB的中点，求BF的长． 【衍生拓展】（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，射线DE，DF分别交AB，AC于点E，F，且∠EDF＝90°，求的值． 【分析】（1）①四边形ABCD是矩形，EF⊥DE，∠A＝∠DEF＝∠B＝90°，再利用同角的余角相等得∠ADE＝∠BEF，根据相似三角形的判定即可求证； ②根据相似三角形的性质即可求解； （2）过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，由勾股定理求出BC＝10，由DM⊥AB，AC⊥AB，DN⊥AC， 则四边形AMDN为矩形，DM∥AC，DN∥AB，则DM是△ABC的中位线，DN是△ABC的中位线，故有DM＝4，DN＝3，再同（1）理证明△MDE∽△NDF，得即可． 【解答】（1）①证明：∵在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EF⊥DE交BC于点F， ∴∠A＝∠DEF＝∠B＝90°， ∴∠ADE+∠AED＝∠BEF+∠AED＝90°， ∴∠ADE＝∠BEF， ∴△AED∽△BFE； ②解：∵△AED∽△BFE， ∴AD：BE＝AE：BF， ∵AB＝10，AD＝6，E为AB的中点， ∴， ∴6：5＝5：BF， ∴； （2）解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，如图②，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N， 由勾股定理得：， ∴， ∵DM⊥AB，AC⊥AB，DN⊥AC， ∴四边形AMDN为矩形，DM∥AC，DN∥AB， ∵D是BC的中点， ∴DM是△ABC的中位线，DN是△ABC的中位线， ∴DM＝4，DN＝3， ∵四边形AMDN为矩形， ∴∠MDN＝90°， ∴∠MDE+∠EDN＝90°， 又∵∠EDN+∠NDF＝90°， ∴∠MDE＝∠NDF， 又∵∠DME＝∠DNF＝90°， ∴△MDE∽△NDF， ∴． 【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，矩形的判定与性质，同角的余角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$